Analisi dell interazione domanda/offerta: Equilibrio delle reti di trasporto e algoritmi di assegnazione

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1 Corso di: Fondamenti di Trasporti Lezione: Analisi dell interazione domanda/oerta: Equilibrio delle reti di trasporto e algoritmi di assegnazione Corso di Laurea Ingegneria Civile AA Giuseppe Inturri Università di Catania Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale

2 equilibrio di una rete di trasporto Studiare l equilibrio di una rete di trasporto signiica calcolare come si distribuiscono i lussi di utenti sugli elementi della rete (nodi e archi) a partire dalla domanda e dalle caratteristiche degli elementi della rete La distribuzione dei lussi nella rete può essere vista come il risultato di due meccanismi in competizione. Da un lato gli utenti (automobilisti, passeggeri, pedoni) cercano di minimizzare la disutilità associata allo spostamento per esempio gli automobilisti che si spostano da un origine ad una destinazione cercano di scegliere il percorso con il tempo di spostamento più breve D altra parte, la disutilità associata allo spostamento non è issa, ma dipende in parte dal numero di utenti presenti nel sistema di trasporto quindi, per esempio, il tempo totale sul precedente percorso è unzione del lusso di traico totale, cioè del livello d congestione Per questo motivo, il calcolo dell equilibrio di una rete non è semplice e diretto

3 3 equilibrio di una rete di trasporto assegnazione del traico l approccio analitico per la soluzione dell equilibrio tra i due meccanismi in competizione (scelta del percorso e congestione) è simile a quello usato per la descrizione dell interazione tra domanda e oerta in un mercato di beni, dove la quantità consumata di un bene diminuisce con il prezzo mentre la quantità prodotta ha un andamento opposto basta sostituire il prezzo con la disutilità (inverso del livello di servizio del trasporto) e la quantità consumata con i lussi Il problema di trovare l equilibrio della distribuzione dei lussi in una data rete di trasporto si chiama anche assegnazione del traico il metodo di soluzione ondamentale è basato sulla ormulazione e risoluzione di un problema di ottimizzazione non lineare

4 4 analogia e dierenze tra equilibrio di un mercato ed equilibrio di una rete la dipendenza del lusso dal livello di servizio è la caratteristica ondamentale del mercato dei trasporti i lussi dipendono dal livello di servizio, il livello di servizio dipende dalla congestione e la congestione dipende dai lussi FLUSSI CONGESTIONE LIVELLO DI SERVIZIO

5 5 Esempio di assegnazione del traico su una rete di trasporto percorso q TAB A percorso q B Vi sono due zone di uso del territorio collegate da un sistema di trasporto costituito da due strade parallele, un arteria principale ed un altra strada più lunga di tipo locale residenziale Calcoleremo l equilibrio tra la domanda di trasporto e l oerta di trasporto usando un metodo algebrico. 5

6 6 Ricerca graica dell equilibrio tempo di spostamento da A a B (min) domanda 40 Condizioni di equilibrio 950 percorso 370 percorso t_ab perc. t_ab perc. t_ab=0/tab Serie lusso q ('000 veic/h) 6

7 equilibrio di una rete di trasporto e approccio sistemico 7 la soluzione dei problemi di equilibro di una rete in ambito urbano devono essere arontati con un approccio di sistema e non concentrandosi sul singolo elemento (es. intersezione, o singola strada) supponiamo di avere un segmento di una strada urbana in condizioni di congestione per ridurre la congestione, prevediamo che l aggiunta di una corsia renderà più luido il traico e dunque stimiamo i costi e i beneici determinati dall allargamento della strada il risultato del nostro calcolo potrebbe essere sbagliato se non prendiamo in considerazione il comportamento degli automobilisti nel loro complesso per esempio, alcuni utenti, che prima non usavano quella strada, potrebbero usarla in seguito al suo miglioramento e quindi il livello di servizio della strada sarà peggiore di quello atteso inoltre, alcune delle strade che conducono alla strada allargata potrebbero congestionarsi ancora, le condizioni di lusso su strade parallele a quella allargata, potrebbe migliorare a causa del traserimento di parte di traico sulla strada allargata dunque altri utenti, potrebbero includere nei loro percorsi, alcune di queste strade parallele che si sono decongestionate

8 equilibrio di una rete di trasporto e approccio sistemico 8 si innesca dunque un eetto di modiiche di scelte a cascata sino a quando la rete, nel suo complesso, non raggiunge un nuovo stato di equilibrio Gli eetti delle nostre scelte non possono essere oggetto di una stima basata sull intuizione Le reti di trasporto sono, in questo senso, sistemi complessi il concetto di equilibrio è simile a quello della isica, cioè uno stato nel quale non ci sono orze che spingono il sistema in un altro stato viceversa, quando il sistema non è in equilibrio, ci sono orze che lo spingono verso un nuovo stato di equilibrio nello stato di equilibrio, i lussi sono tali che non esiste per gli utenti alcun vantaggio a modiicare i percorsi scelti

9 ormulazione del problema dell assegnazione del traico come problema di equilibrio sia nota la domanda, cioè i lussi di spostamenti per una serie di coppie di nodi originedestinazione (matrice O/D) sia data l oerta costituita da una rete urbana costituita da un insieme di nodi ed un insieme di archi sia noto per ogni arco della rete la unzione del livello di servizio (o unzione di costo), cioè l espressione che associa al lusso su un arco il corrispondente valore di costo, ad esempio il tempo di percorrenza dell arco è ragionevole che ciascun utente che si sposta da un origine O ad una destinazione D cercherà di minimizzare il suo tempo di spostamento

10 ormulazione del problema dell assegnazione del traico come problema di equilibrio il tempo di spostamento per una data coppia OD è la somma dei tempi degli archi che appartengono al percorso scelto, tra quelli disponibili il tempo di ciascun percorso cambia al cambiare dei lussi sugli archi si raggiungerà una condizione stabile quando nessun utente potrà ridurre il tempo di spostamento modiicando unilateralmente il percorso scelto questa condizione caratterizza l equilibrio degli utenti o User-Equilibrium (UE)

11 User Equilibrium 3 la deinizione di equilibrio degli utenti (UE) implica che essi hanno una peretta conoscenza dei tempi di percorrenza su ogni percorso che si comportano in modo razionale, cioè minimizzando il tempo di spostamento e che si comportano tutti allo stesso modo queste ipotesi possono anche essere rimosse, distinguendo tra tempo eettivo e tempo percepito il tempo percepito può essere trattato come una variabile aleatoria distribuita tra tutti gli utenti l equilibrio si raggiunge quando nessun utente crede che il suo tempo di spostamento possa essere ridotto modiicando unilateralmente il percorso scelto questa è la condizione dell equilibrio dell utente di tipo stocastico o Stochastic User Equilibrium (SUE)

12 soluzione del problema dell equilibrio 4 la soluzione del problema dell equilibrio ( o dell assegnazione) a partire da questa ormulazione non è agevole bisogna ovviamente ornire una ormulazione matematica speciichiamo che qui ci rieriamo ad equilibrio di tipo stazionario: signiica che i lussi di domanda tra le O/D possono essere considerati costanti durante il periodo di analisi, che deve essere abbastanza più grande del tempo medio di spostamento OD

13 5 esempio semplice di UE rete con una coppia OD, due archi ( e ) che coincidono con due percorsi (ig. a) un lusso di domanda q x e x lussi di percorso = lussi di arco q = x + x se q è piccolo (<q ) tutti gli utenti usano l arco (ig. b) si tratta di una situazione di equilibrio perché nessun utente modiicherà la propria scelta se q>q allora t >t, quindi alcuni utenti useranno l arco e via via gli utenti si distribuiranno tra i due archi in modo che il tempo sia uguale, t =t (ig. c) anche questa è una conigurazione di equilibrio si può anche dire che all equilibrio, i tempi sugli archi non vuoti sono uguali

14 deinizione operativa di UE 6 in base all esempio orniamo adesso una deinizione più operativa di UE per ogni coppia OD, all equilibrio, il tempo di spostamento è uguale in tutti percorsi utilizzati, e (anche) minore o uguale al tempo che sarebbe sperimentato da un veicolo isolato su qualunquepercorso non utilizzato tornando all esempio precedente, la soluzione del problema è la seguente: per q < q x =q per q > q imporre t = t e calcolare x = t - (t) e x = t - (t)

15 7 soluzione graica il tempo all equilibrio si determina costruendo una nuova curva del livello di servizio sommando t (x ) e t (x ) come in igura e determinando il tempo t corrispondente al lusso di domanda q all intersezione con t (x ) e t (x ) si determinano x e x ovviamente questo metodo non è applicabile per le reti di dimensione reale

16 I principi di Wardrop 8 John Glen Wardrop era un ingegnere dei trasporti che nel 95 ha sviluppato due principi di equilibrio applicati alle reti di trasporto. I concetti sono molto simili a quelli che il matematico John Nash sviluppò separatamente nella teoria dei giochi. L'equilibrio di Nash rappresenta la situazione nella quale un gruppo di giocatori si viene a trovare se ogni componente del gruppo a ciò che è meglio per se, cioè mira a massimizzare il proprio proitto a prescindere dalle scelte degli avversari. Tuttavia, non è detto che l'equilibrio di Nash sia la soluzione migliore per tutti. Inatti, se è vero che in un equilibrio di Nash il singolo giocatore non può aumentare il proprio guadagno modiicando solo la propria strategia, non è aatto detto che un gruppo di giocatori, o, al limite, tutti, non possano aumentare il proprio guadagno allontanandosi congiuntamente dall'equilibrio.

17 Equilibrio di Nash Il dilemma del prigioniero 9 Scenario Due prigionieri sono accusati di aver collaborato in un crimine. Sono rinchiusi in celle separate e non possono comunicare. Ad ognuno è stato chiesto di conessare.

18 0 Matrice dei payo Prigioniero B Conessare Non conessare Conessare -5, -5 -, -0 Prigioniero A Scegliereste di conessare? Non conessare -0, - -, -

19 I principi di Wardrop Una dierenza del principio di Wardrop rispetto all equilibrio di Nash è che nelle reti di trasporto ci sono molti giocatori, e ciò rende l analisi più diicile. I modelli di equilibrio delle reti sono comunemente utilizzati per la previsione della distribuzione dei lussi di traico sugli archi della reti congestionate. L idea originaria di equilibrio del traico u di Frank Knight (94). Nel 95 Wardrop ormulò due principi che ormalizzano questo concetto di equilibrio e introdusse l ipotesi del comportamento alternativo alla minimizzazione dei costi totali di trasporto

20 I principi di Wardrop Il primo principio di Wardrop della scelta del percorso, che è identico a quello ormulato da Knight, u accettato come semplice e sicuro principio di comportamento per descrivere la distribuzione degli spostamenti su percorsi alternativi in condizioni di congestione. Il primo principio di Wardrop dice: Data un punto di origine ed uno di destinazione, collegati da più percorsi, i tempi di viaggio eettivamente sostenuti su ciascun percorso utilizzato sono uguali o minori di quelli che sarebbero sperimentati da un singolo veicolo su un qualunque percorso alternativo non utilizzato. In particolare sono uguali se tutti i percorsi sono carichi; se qualche percorso non è utilizzato signiica che il tempo del percorso a vuoto è maggiore di quelli degli altri percorsi. Ciascun utente che agisce in modo non cooperativo cerca di minimizzare il costo di trasporto. I lussi di traico che soddisano questo principio sono chiamati lussi di equilibrio dell utente (User Equilibrium UE), poiché ciascun utente sceglie il percorso migliore. In particolare si raggiunge l equilibrio ottimo dell utente, quando nessun utente può ridurre il suo costo di trasporto mediante cambiamenti di scelta di tipo unilaterale. Una variante è l equilibrio dell utente di tipo stocastico (SUE), nel quale nessun utente può unilateralmente cambiare il percorso per migliorare i tempi di viaggio percepiti.

21 Primo principio di Wardrop 3 t O t D t3 3 t4 4 t=t=t3<t4 3 (in generale) 4=0

22 I principi di Wardrop 4 Il secondo principio di Wardrop dice: All equilibrio, il tempo medio di viaggio medio su tutti i percorsi è minimo e dunque anche il tempo totale speso complessivamente da tutti gli utenti sulla rete. Ciò implica che ciascun utente si comporta in modo cooperativo nello scegliere il suo percorso in modo da assicurare l uso più eiciente dell intero sistema. I lussi di traico che soddisano il secondo principio sono chiamati sistemi ottimi (SO). Gli economisti dicono che questi possono esseri raggiunti solo con una tariazione stradale basata sul costo marginale, pari cioè alla dierenza tra il costo marginale e il costo medio. t + t + t3 = min 3 Reerence Wardrop, J. G., 95. Some theoretical aspects o road traic research, Proceedings, Institute o Civil Engineers, PART II, Vol., pp

23 o d od a d od d K od k A od A δ c C F ormulazione del problema di assegnazione UE come problema equivalente di minimizzazione di una unzione NOTAZIONI C=A T c nodo origine spostamento nodo destinazione spostamento coppia origine-destinazione generico arco della rete lusso di domanda vettore domanda insieme dei percorsi k utili per la coppia od generico percorso matrice di incidenza archi-percorsi per la coppia od matrice di incidenza archi-percorsi complessiva elemento della matrice A vettore costi di arco vettore costi di percorso vettore lussi di arco vettore lussi di percorso =AF 5

24 ormulazione del problema di assegnazione UE come problema equivalente di minimizzazione di una unzione 6 risolvere il problema di assegnazione all equilibrio signiica trovare la distribuzione dei lussi di arco che soddisano il criterio UE quando siano assegnati tutti i lussi domanda d alla rete tale distribuzione può trovarsi risolvendo un problema equivalente di programmazione matematica, cioè di minimizzazione di una unzione obiettivo rispettando alcuni vincoli min z( ) = s. t. F od k a k = F od k 0 = d a od o d k 0 F a od k c a ( ω ) δ od a, k dω la unzione obiettivo è la somma degli integrali delle unzioni di costo c() (non ha un signiicato isico preciso) il primo vincolo garantisce la conservazione dei lussi di percorso (i veicoli non spariscono per strada) il secondo vincolo garantisce la signiicatività isica della soluzione il terzo vincolo lega i lussi di percorso F con i lussi di arco ; è equivalente alla relazione matriciale =AF questa ormulazione è nota come trasormazione di Beckmann

25 esempio per dimostrare l equivalenza della problema UE e della trasormazione di Beckmann - soluzione graica 7 dati c =+ c =+ d od =F od =5 soluzione equilibrio rete con due archi 0 9 c() 8 soluzione c =c =5 =3 = costo spostamento (min) *= *=3 c() c() c() * lusso (veic/min)

26 8 esempio per dimostrare l equivalenza della problema UE e della trasormazione di Beckmann - soluzione analitica la soluzione soddisa i vincoli e dunque è anche il minimo del problema vincolato dunque la soluzione del problema di Beckmann è equivalente alla soluzione dell assegnazione UE ( ) ( ) ( ) 3, ) (5 ) (5 0 ) (5 0.. min = = = + = = = d dz z e s t d d z ω ω ω ω

27 soluzione analitica e graica del problema UE e della trasormazione di Beckmann 9

28 il problema di Beckmann equivale a trovare il minimo dell area A sottesa dalle due unzioni di costo 30 A

29 reti UE e reti SO 3 Dal punto di vista dell analisi dell equilibrio, si distinguono due tipi di reti di trasporto: utente-ottimizzata (user-optimized) UO sistema-ottimizzata (system-optimized) SO Nel primo caso (UO) gli utenti agiscono unilateralemente, scelgono il percorso, perseguendo il loro interesse individuale e determinano un equilibrio dei costi medi, rispettando il principio di Wardrop Nel secondo caso (SO) gli utenti scelgono il percorso secondo quanto corrisponde ad una situazione di ottimo dal punto di vista della collettività, determinano un equilibrio dei costi marginali, rispettando il principio di Wardrop

30 3 Esempio di rete utente-ottimizzata UO Rete di due nodi, una sola O/D e due archi, coincidenti con due percorsi Funzioni di costo c a ( a )= a +5 c b ( b )= b +0 Domanda a d =0= a + b In assenza di politiche di traico, gli utenti si dividono nei due percorsi p e p, in modo che C p =c a =5, C p =c b =5, con a = b =5 Soddisacendo le condizioni di equilibrio della rete Il costo totale della rete è: C tot =c a a + c b b =75+75=50 b

31 33 Esempio di rete sistema-ottimizzata SO In questo caso l equilibrio si ottiene uguagliando i costi marginali C p = c a ( a ) a =( a +5) a ; C p =c b ( b ) b = ( b +0) b c mg = dc p /d a = 4 a + 5; c mg = dc p /d b = b + 0 c mg = c mg a = 4.7, b =0-4.7 = 5.83 C tot = c a a + c b b = ( 4.7+5) 4.7+ (5.83+0) 5.83 = 47.9 < 50 a b

32 34 Esempio di rete sistema-ottimizzata SO Uguagliare i costi marginali, oppure minimizzare il costo totale è la stessa cosa. Inatti se cerchiamo il minimo della unzione di costo totale: C tot =c a a + c b b = ( a +5) a + ( b +0) b = =( a +5) a + (0- a +0) (0- a )= 3 a -5 a +00 dc tot /d a =0, 6 a -5=0; a = 4.7, b = 5.83 otteniamo gli stessi lussi corrispondenti all equilibrio dei costi marginali Quindi per avere un ottimo di sistema bisogna o costringere gli utenti a scegliere il percorso in modo diverso da quello che avrebbero atto per scelta individuale, oppure applicare una tariazione di uso degli archi pari alla dierenza tra il costo marginale e il costo medio

33 35 calcolo della taria ottima Calcoliamo la taria di uso della strada che rende l ottimo di sistema coincidente con l ottimo dell utente Arco a C a tot = c a a = ( a + 5) a = a + 5 a c a mg = d C a tot /d a = 4 a + 5 t a = c a mg - c a = (4 a + 5) - ( a + 5) = a Arco b C b tot = c b b = ( b +0) b = b + 0 b c b mg = d C b tot /d b = b +0 t b = c b mg - c b = ( b +0) - ( b +0) = b

34 calcolo della taria ottima Veriichiamo che la taria calcolata sia quella di ottimo di sistema, dunque riormuliamo il problema dell equilibrio della rete usando come costo dell utente la somma del costo medio e della taria di uso c a = ( a + 5)+ a = 4 a + 5 c b = ( b +0) + b = = b c a = c b 4 a + 5 = b +0; b =0 - a a = 5/6 = 4.7; b = 35/6 = 5.83 dunque l uso di una taria pari alla dierenza tra costo marginale e costo medio ottimizza l uso della rete; naturalmente la spesa sostenuta per la taria non è un costo supplementare, perché si tratta di risorse che ritornano alla collettività e che possono essere usate per migliorare il sistema dei trasporti da un punto di vista matematico rende il problema di ottimo dell utente (primo principio di Wardrop) equivalente al problema di ottimo di sistema (secondo principio di Wardrop) si può anche dire che la distribuzione dei lussi è di tipo SO quando c a ( a ) + a (d c a / d a ) = c b ( b ) + b (d c b / d b )

35 37 Calcolo della taria ottima per un arco stradale in generale Costo medio dell arco Costo totale dell arco Costo marginale dell arco Taria ottima dell arco ( ) + = β α Cap c c 0 ( ) Cap c c C T + = = β α 0 ( ) + + = = β β α Cap c d dc c T mg 0 β β α = = Cap c c c RP mg 0

36 38 Calcolo della taria ottima per un arco stradale in generale Road Pricing as dierence between marginal and average cost Unit cost ( /user) dc T c = = mg c0 + α d ( β + ) Cap Marginal cost RP = c = α β mg c c0 Cap Road Pricing ( ) c = c + α 0 Cap β β Average cost β traic low (veic/h)

37 algoritmi per la soluzione di problemi di equilibrio assegnazione tutto o niente AoN (All or Nothing) 39 Link d 0 3 Parametri c unzioni a di b costo c 4 3 Assegnazione a tutto o niente Iterazione c c c c c c c c c c 3 = = = = step 0: porre c a0 =c a (0), calcolare a 0 step : c an =c a ( a (n-) ) step : assegnazione AoN step 3: i max a { a n - a (n-) }<k stop, other n=n+ Come si vede in tabella l algoritmo non converge

38 assegnazione AoN con smorzamento per rimediare la problema, l algoritmo può essere modiicato come segue: invece di usare il costo ottenuto dalla precedente iterazione, si usa una combinazione degli ultimi due costi la regola di arresto dell algoritmo non è basata su un test di convergenza, ma sul numero di iterazioni a dierenza del caso precedente, tutti i percorsi sono utilizzati, ma i costi non sono uguali Assegnazione a tutto o niente con smorzamento Iterazione step 0: porre c a0 =c a (0), calcolare 0 a c tau c tau c tau c tau c Media c step : τ an =c a ( a (n-) ) step : c an =0.75c a (n-) +0.5τ a n step 3: assegnazione AoN usando c a n 40 step 4: i n=n go to step 5, otherwise n=n+ step 5: c a* =(/4) 3 l=0 [ a (n-l) ] and N numero massimo iterazioni

39 assegnazione incrementale 4 questo algoritmo assegna in ciascuna iterazione una razione della matrice O/D, quindi si aggiornano i costi e si procede all assegnazione di un altra razione Assegnazione incrementale Iterazione c incremento wn c incremento wn c incremento wn c incremento wn c step 0: porre d n =d/n, N numero incrementi step : porre c a0 =c a (0), calcolare 0 a step : c an =c a ( (n-) a ) step 3: assegnazione AoN usando c an e d n, si ottiene il lusso w n a step 4: an = (n-) a +w n a step 5: i n=n stop, otherwise n=n+ è meglio della precedente, ma non è detto che si trovi l equilibrio

40 4 assegnazione con il metodo della programmazione matematica il problema può essere risolto imponendo che la somma dei costi sia minima e che i costi siano uguali e risolvendo un problema di programmazione matematica non lineare per problemi di dimensioni reali non è però acile risolvere un pb. di programmazione non lineare con il metodo successivo (Franke- Wole) si risolvono invece problemi lineari in modo iterativo min s. t. c c c a + 0 c c 3 c z( ) = c 3 + = 0 = 0 = 0 3 ( ) + c ( ) + c ( ) = d 3 3 Assegnazione con il metodo della programmazione matematica unz. obiettivo c coe. variabili coeic. x variabili vincoli

41 algoritmo per la soluzione del problema di Beckmann Metodo delle Medie Successive (MSA) il metodo di Frank-Wole trasorma la minimizzazione di una unzione non lineare in una minimizzazione iterativa di unzioni lineari si può comunque evitare la minimizzazione ricorrendo ad un metodo iterativo che in ogni iterazione a un assegnazione AoN, quindi calcola il percorso più breve e vi assegna una razione di domanda sempre minore si chiama algoritmo MSA (Method o Successive Averages) e richiede un numero maggiore di iterazioni c _AoN c _AoN c _AoN c _AoN c _AoN c _AoN c _AoN step 0: porre c a0 =c a (0), calcolare a 0 44 step : porre n=, are assegnazione AoN per trovare _AoN(n) step : an = a (n-) +/n[ n a_aon - (n-) ] step 3: test di convergenza