DIMENSIONE APPARENTE, DISTANZA E DIMENSIONI REALI DI UN OGGETTO ASTRONOMICO: UN DIFFERENTE APPROCCIO METRICO.

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1 DIMENSIONE APPARENTE, DISTANZA E DIMENSIONI REALI DI UN OGGETTO ASTRONOMICO: UN DIFFERENTE APPROCCIO METRICO. In astronomia il diametro angolare (o dimensione angolare) di un oggetto è la misura del suo diametro rispetto alla distanza dall osservatore. Esso corrisponde all angolo che ha per tangente il rapporto: diametro DIAMETRO/DISTANZA, ovvero arctan. La formula si basa su uno dei teoremi dei triangoli distan za rettangoli che dice: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo. In questo enunciato compare la nozione trigonometrica di tangente di un angolo (PQ nel disegno sotto riportato) intesa come rapporto tra seno e coseno (diametro e distanza nel nostro caso). Si osservi infatti che i due triangoli OPQ e OHM sono in PQ HM proporzione ovvero: (1). Inoltre HM = senγ, OM = cosγ, OQ = raggio circonferenza OQ OM goniometrica (x 2 + y 2 = 1) e quindi = 1. Pertanto la (1) diventa: tan g 1 sen cos, ovvero tan g sen cos Fig. 1 La dimensione angolare di un corpo celeste è facilmente conoscibile empiricamente tramite la misura del diametro apparente del corpo. Di nuovo ci vengono in aiuto i triangoli rettangoli e la circonferenza goniometrica. Infatti se PQ rappresenta il diametro apparente dell oggetto astronomico osservato (Fig. 1) OQ rappresenta la distanza del diametro apparente (ovvero della superficie su cui si misura il diametro apparente) dal vertice ottico dell osservatore (es. occhio). In buona sostanza è possibile misurare il diametro apparente di un oggetto astronomico anche senza strumentazione da astrofili (se si tratta di Sole e Luna) utilizzando un piano di riferimento (es. un vetrino annerito)per la misura del diametro apparente che deve essere posto ad una distanza specifica dalla superficie oculare. Sempre dalla Fig. 1 si capisce che se OA rappresentasse la distanza del corpo celeste dalla Terra, BA indica la misura del diametro reale dello stesso (triangoli simili OPQ e OAB). Quindi AB = OA tangγ (per analoga similitudine tra i triangoli: OHM e OAB).Per determinare quindi il diametro di un qualsiasi corpo celeste una volta conosciuta la distanza e la dimensione angolare è sufficiente moltiplicare la distanza medesima per la tangente del diametro angolare. Nel caso del Sole (vedi tab. 1) avremo: dimensione angolare media = 1930 = 0, (1930/3600), distanza = ,5 Km. Quindi Diametro = ,5 Km * tang 0, = ,9 Km. Cioè un raggio di circa Km, come è noto.

2 Tab. 1 UN APPROCCIO DIVERSO PER MISURARE IL DIAMETRO E per tutti facile verificare che se si osserva un oggetto qualsiasi da due punti diversi posti il secondo a distanza doppia rispetto al primo le dimensioni dell oggetto osservato si riducono a metà ovvero la superficie apparente si riduce di quattro volte. Viceversa, se la distanza si dimezza avvicinandoci all oggetto, la superficie apparente diventa quattro volte maggiore. Possiamo anche esprimere matematicamente questa relazione con la seguente uguaglianza: In questa uguaglianza la costante K assume il valore di 8 come facilmente verificabile se ad r ed a D1 si dà il valore 1. Dalla (2) si può ricavare poi il valore del raggio apparente quando l osservatore O raddoppia o dimezza la sua distanza dall oggetto utilizzando la seguente formula inversa.

3 In definitiva, reiterando il procedimento un determinato numero di volte è possibile approssimare il valore del diametro di un oggetto astronomico man mano che la distanza presa in considerazione e in progressivo raddoppiamento si avvicina a quella che l oggetto medesimo ha dalla Terra. Il numero di reiterazioni è possibile calcolarlo facilmente perché sarà 2 n volte. Possiamo applicare la seguente formula che ci permette di ricavare il valore di n: Dr n 2 Da (4) (con Dr = diametro reale e Da = diametro apparente). Se prendiamo come valore di Dr il raggio solare espresso in chilometri e per quello del Da il valore di 5,81377*10-7 Km (valore calcolato utilizzando la dimensione angolare solare. Vedi oltre.)avremo: n 2 5,81377* log1, *10 ; 2 n = 1, *10 12 ; log 2 1, *10 12 = n; n ; log ,5 n = 40, E adesso possibile calcolare la distanza minima reiterata: 0, , cioè circa 12,5 cm. Questa distanza corrisponde esattamente a quella compresa tra superficie oculare e la superficie di osservazione (vetro annerito) su cui è stato misurato il diametro apparente del Sole in alcune prove sperimentali realizzate. A tale distanza corrisponde una superficie apparente il cui raggio è 5,81377*10-7 Km. Fig. 3 Quindi dopo 40, reiterazioni in cui si raddoppia progressivamente la distanza minima di 12,5 cm raggiungendo i ,5 Km il raggio apparente di 0, mm del Sole diventa Km cioè il valore reale. Si può osservare il predetto andamento dalla seguente tabella basata sull applicazione della (2) e della (3): Colonna1 Colonna2 Colonna3 Colonna4 Colonna5 Colonna6 Colonna7 R(in metri) Пr^2 metri^2) (in П(r/2)^2 (in metri^2) K D1 (in metri) D2 metri) (in DISTANZA PERCORSA IN AVVICINAMENTO 0, ,06132E-06 2,65329E ,125 0,25 0, ,24527E-06 1,06132E ,25 0,5 0,25 0, ,69811E-05 4,24527E ,5 1 0,5 0, ,79243E-05 1,69811E

4 0, , ,79243E , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4002 3,05904E ,8004 1,22362E+12 3,05904E ,601 4,89446E+12 1,22362E ,202 1,95779E+13 4,89446E ,403 7,83114E+13 1,95779E ,807 3,13246E+14 7,83114E ,61 1,25298E+15 3,13246E ,23 5,01193E+15 1,25298E ,718E ,45 2,00477E+16 5,01193E ,436E ,9 8,01909E+16 2,00477E ,8719E ,8 3,20764E+17 8,01909E ,3744E ,62 1,28305E+18 3,20764E ,37439E+11 2,7488E , ,24 5,13222E+18 1,28305E ,74878E+11 5,4976E ,00 #N/D #N/D 5,13222E ,49756E+11 #N/D 5,49756E+11 Tab. 2 Come è possibile osservare dalla precedente tabella tra la 40 e 41 reiterazione (escludendo il valore di partenza) si raggiunge il valore del raggio solare e della distanza Terra-Sole (valori in rosso).

5 Consideriamo adesso la seguente tabella ricordando che un anno luce corrisponde a: Colonna1 Colonna2 Colonna3 Colonna4 Colonna5 Colonna6 Colonna7 DISTANZA MEDIA DIAMETRO PERIGEO/PERIELIO APOGEO/AFELIO (Km) MEDIO DIAMETRO ANGOLARE IN DIAMETRO ANGOLARE (IN ") SOLE , , LUNA , , ANNI LUCE SIRIO 8,6 8,1365E ,84379E-06 0, Tab. 3 Con i dati riportati in tabella 3 determiniamo adesso il diametro apparente dei tre astri considerando una circonferenza apparente di raggio 12,5 cm (distanza compresa tra superficie oculare e la superficie di osservazione, come già sopra specificato). Per far questo è sufficiente calcolare la frazione di angolo giro rappresentata dal diametro angolare dei singoli astri (es. 0, /360 = 0, ). Quindi moltiplicare tale valore per quello della circonferenza apparente. I risultati sono presentati nella tabella 4: Colonna1 Colonna2 Colonna3 Colonna4 Colonna5 Colonna6 FRAZIONE DI CIRCONFERENZA APPARENTE OVVERO DIAMETRO APPARENTE RAGGIO (Da) CERCATO DEL APPARENTE (Ra) FRAZIONE DI RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA CORPO CELESTE (valore DEL CORPO ANGOLO GIRO CIRCONFERENZA APPARENTE (2πR) col.2 X valore col.4) CELESTE (valore (MEDIA) APPARENTE (Km) (Km) (Km) col.5 : 2) (Km) SOLE 0, , , ,16275E-06 5,81377E-07 LUNA 0, , , ,13088E-06 5,65438E-07 SIRIO 5,12163E-09 0, , ,02252E-12 2,01126E-12 Tab. 4 Osserviamo adesso che è possibile calcolare il raggio reale (Rr) dei precedenti corpi celesti applicando la seguente relazione: Distanza * Ra * K = Rr (5) dove K assume il noto valore 8. Questa equazione pone in relazione il raggio reale con quello apparente e con la distanza. La costante K assume il carattere di fattore amplificatore. A verifica della (5) e del valore assunto da K si propone la seguente tabella 5:

6 Colonna1 Colonna2 Colonna3 Colonna4 Colonna5 DISTANZA (m) Ra (m) Rr (m) K (m -1 ) SOLE 1,49598E+11 0, , LUNA , , SIRIO 8,13646E+16 2,01E , In essa il valore di K è stato determinato dalla formula inversa della (5). SIGNIFICATO FISICO DI K E VALENZA DEL METODO Come abbiamo visto K assume il valore 8, cioè 2 3, che confrontato con la distanza che diventa 2 volte più grande ad ogni reiterazione rappresenta l incremento del volume di spazio interessato dal fenomeno ottico osservato. In ultima analisi stiamo parlando di fenomeni ottici in cui entra in gioco il propagarsi della radiazione elettromagnetica nello spazio. Quest ultima si propaga in tutte le direzioni e in tutto il volume a disposizione. L effetto di ingrandimento o rimpicciolimento di un oggetto luminoso con il variare della distanza di osservazione riguarda in qualche modo il moto di propagazione della luce nello spazio. Nello spazio il volume è sempre legato alla distanza da una relazione cubica pertanto non sorprende che la luce occupando tutto lo spazio disponibile causi ai nostri sensi il noto effetto di ingrandimento e rimpicciolimento a tutti noto quando varia la distanza dall oggetto luminoso osservato. Quindi potremmo affermare che il significato fisico della costante K va ricercato nel fatto che al raddoppio della distanza il volume in cui si propaga la radiazione luminosa diventa otto volte (2 3 ) e quindi l effetto dell ingrandimento o della riduzione delle dimensioni apparenti sembra essere in correlazione con la progressione cubica con cui varia lo spazio al variare della distanza. In definitiva poi l ingrandimento o il rimpicciolimento di uno stesso oggetto posto a diversa distanza dall osservatore è un effetto fisiologico legato all elaborazione delle informazioni elettromagnetiche effettuata dal nostro sistema nervoso centrale. In qualche modo l intensità (o densità) della radiazione elettromagnetica che i nostri occhi riescono a raccogliere viene dal nostro cervello associata alla distanza dell oggetto così percepita. Del resto anche un oggetto molto distante che non riusciamo a vedere e che si trova in linea visuale con i nostri occhi riflette (o emette) luce. Tuttavia questa informazione luminosa non supera una certa soglia analizzabile da parte del nostro sistema nervoso centrale e pertanto esso rimane a noi invisibile. Il metodo di determinazione del raggio reale di un corpo celeste tramite la (5) non presenta particolari vantaggi operativi rispetto ad altri metodi. Tuttavia esso offre una opportunità per un controllo incrociato per quanto riguarda distanza e diametro di un corpo celeste. Infatti dato il carattere costante di K è possibile fare una verifica incrociata per determinare in maniera più precisa la distanza di un corpo celeste o il suo raggio o diametro. Nel caso infatti di corpi molto lontani (ad esempio galassie) è sempre possibile determinare il loro diametro apparente e ipotizzando un loro diametro reale, stabilito in base al tipo di corpo celeste (utilizzando differenti tecniche astronomiche( 1 )) è possibile correggere la distanza già approssimata con altri metodi. E viceversa, conoscendo la distanza in maniera più certa è possibile meglio approssimare il loro diametro. In tal modo si è in grado di operare una serie di operazioni di affinamento 1 Google Scholar - il Premio nobel Per la Fisica news.pdf

7 dei dati in possesso relativamente a queste due grandezze. Questo approccio metodologico per la determinazione del diametro apparente di un corpo celeste presenta tuttavia una certa valenza didattica. Potrebbe rappresentare infatti un modo per creare un interessante collegamento tra matematica e realtà nell ambito delle conoscenze astronomiche di base di studenti liceali.

8 Bibliografia E. Lupia Palmieri, M. Parotto; Il Globo Terrestre e la sua Evoluzione; Edizione Zanichelli ASTROLAB: calcolo delle dimensioni angolari; Diametro Angolare Wikipedia; Sole Wikipedia; Luna Wikipedia;