La formula di Mason. l ingresso X all uscita Y: P i i T = Y X = 1

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1 La formula di Mason Dato uno scema a blocci, un ingresso X e un uscita Y, la formula di Mason permette di calcolare in modo semplice e diretto il coefficiente di trasmittanza T = Y (ovvero la funzione di trasferimento) ce lega X l ingresso X all uscita Y: T = Y X = P i i P è l insieme degli indici di tutti i percorsi distinti ce collegano l ingresso X all uscita Y. P i è il coefficiente dell i-esimo percorso, cioè il prodotto dei coefficienti di tutti i rami ce compongono il percorso. è il determinante dell intero scema a blocci. i è il determinante dello scema a blocci parziale ce si ottiene eliminando dallo scema tutti gli elementi appartenenti al percorso i-esimo. Il determinante di uno scema a blocci si calcola nel modo seguente: := A i + A i A j A i A j A k +... i J (i,j) J 2 (i,j,k) J 3 dove A i è il coefficiente dell i-esimo anello, J è l insieme degli indici di tutti gli anelli dello scema a blocci, J 2 è l insieme degli indici di tutte le coppie di anelli ce non si toccano 2 a 2,..., J n è l insieme degli indici di tutte le n-ple di anelli ce non si toccano n ad n. Esempio. Dato il seguente scema a blocci, calcolare la funzione di trasferimento T = Y X ce lega la variabile di ingresso X alla variabile di uscita Y: i P X a b c d e Y g f

2 5.. FORMULA DI MASON 5. 2 Un percorso è una successione di rami e di nodi adiacenti senza anelli in cui ogni elemento viene attraversato una sola volta. Il coefficiente P del percorso è il prodotto dei guadagni dei rami ce lo compongono. Esempio: il coefficiente P del percorso evidenziato in figura è P = abcd. X a b c d e Y g f Un anello è un percorso ciuso. Il coefficiente A dell anello è il prodotto dei guadagni dei rami ce lo compongono. Esempio: il coefficiente A 2 dell anello evidenziato in figura è A 2 = bcd. e X a b c d Y g f Due percorsi o due anelli non si toccano quando non anno nessun nodo in comune. Per calcolare il determinante di uno scema a blocci è necessario calcolare gli insiemi P, J, J 2, ecc. L insieme P = {,2,3}èl insieme degli indici di tuttiipercorsi dello scema a blocci ce collegano la variabile di ingresso X alla variabile di uscita Y. Ad ogni indice i si associa il coefficiente P i del corrispondente percorso: P = abcd, P 2 = aed, P 3 = abf.

3 5.. FORMULA DI MASON 5. 3 L insieme J = {,2,3,4}èl insieme degli indici di tuttigli anelli dello scema a blocci. Ad ogni indice i si associa il coefficiente A i del corrispondente anello: A = ed, A 2 = bcd, A 3 = bf, A 4 = g. L insieme J 2 = {(,4)} è l insieme delle COPPIE di indici degli anelli dello scema a blocci ce NON si toccano a due a due: J 2 = {(,4)}. L insieme J n = { } per n [3, 4,...] è l insieme delle n-ple di indici degli anelli dello scema a blocci ce NON si toccano a n a n: J 3 = J 4 =... = J n = { }. Calcolati gli insiemi J, J 2,..., J n e i coefficienti A i di tutti gli anelli, il determinante dello scema a blocci si calcola utilizzando la formula: def = A i + A i A j A i A j A k +... i J (i,j) J 2 (i,j,k) J 3 Per il caso in esame si a ce: i J A i = ed+bcd+bf+g, per cui il determinante dello scema a blocci è: Osservazioni: = ed bcd bf g +edg. (i,j) J 2 A i A j = edg Il determinante di uno scema a blocci dipende SOLO dagli anelli presenti all interno dello scema e non dalle variabili di ingresso e di uscita. Tutte le funzioni di trasferimento ce compongono uno scema a blocci in forma minima sono caratterizzate dallo stesso determinante. I determinanti i degli scemi a blocci parziali associati ai percorsi P i si calcolano nello stesso modo del determinate.

4 5.. FORMULA DI MASON 5. 4 Lo scema a blocci parziale associato al percorso P 2 = aed, per esempio, si determina eliminando tutti i nodi e tutti i rami ce appartengono al percorso P 2. Nel caso in esame si a: 2 = g. e X a b c d Y g f Nel caso in esame, i determinanti i degli scemi a blocci parziali associati ai percorsi P i sono i seguenti: =, 2 = g, 3 =. Il numeratore della formula di Mason è quindi il seguente: P i i = abcd()+aed( g)+abf() i P La funzione di trasferimento G(s) = Y(s) X(s) all uscita Y è quindi la seguente: = T ce collega l ingresso X T = abcd+aed( g)+abf ed bcd bf g +edg

5 5.. FORMULA DI MASON 5. 5 Esempio : Forma minima: c = G G 2 G 3 r+bg 3 d +G 2 G 3 H +G G 2 G 3 H 2 Esempio 2: Funzione di trasferimento: y x = ADBC +ADE(+BC) +BC +CDF

6 5.. FORMULA DI MASON 5. 6 Esempio 3: Funzione di trasferimento: Esempio 4: y x = G G 2 +G H +G 2 H 2 +G G 2 Funzione di trasferimento: C(s) R(s) = G G 2 G 3 +G H G 3 +G G 2 G 3 +G H G 3 +G 2 H 2 +G 2 G 3 H 3 +H G 3 H 3

7 5.. FORMULA DI MASON 5. 7 Esempio 5. Scema a blocci di un motore in corrente continua: V E ω m K e R+Ls b+js I a K e C m C e Il legame in forma minima tra la variabile di uscita ω m (s) e le variabili di ingresso V(s) e C e (s) è il seguente: ω m (s) = G (s)v(s)+g 2 (s)c e (s) dove G (s) lega l ingresso di controllo V(s) all uscita ω m (s) K e G (s) = ω m(s) V(s) = (R+Ls)(b+J s) K e Ke 2 = (R+Ls)(b+J s)+ke + 2 (R+Ls)(b+J s) mentre G 2 (s) lega l ingresso di disturbo C e (s) all uscita ω m (s): G 2 (s) = ω m(s) C e (s) = (b+j s) (R+Ls) Ke 2 = (R+Ls)(b+J s)+ke + 2 (R+Ls)(b+J s)

8 5.. FORMULA DI MASON 5. 8 Esempio 5. Scema a blocci di una frizione idraulica: P P A F x F m Q K v C m s Q x A b+m p s ẋ K m x s 0 Utilizzando la formula di Mason e le seguenti variabili ausiliarie G = K v, G 2 = C m s, G 3 = b+m p s, si ottiene la funzione di trasferimento G(s) del sistema: G 4 = K m s G(s) = F m(s) P(s) = AG G 2 G 3 G 4 +G G 2 +A 2 G 2 G 3 +G 3 G 4 +G G 2 G 3 G 4 ce sostituendo diventa: G(s) = AK m K v C m m p s 3 +(C m b+k v m p )s 2 +(A 2 +C m K m +K v b)s+k m K v Esempio 6. Si consideri il seguente scema a blocci: V 0 Cs R Cs R Cs R V p 0 La funzione di trasferimentog(s) ce lega l ingresso V 0 (s) all uscita V p (s) si calcola agilmente utilizzando la formula di Mason: G(s) = V p(s) V 0 (s) = R 3 C 3 s 3 +5RCs+6R 2 C 2 s 2 + R 3 C 3 s 3

9 5.. FORMULA DI MASON 5. 9 Infatti, all interno dello scema a blocci ci sono 5 anelli distinti, tutti aventi guadagno di anello RCs. Inoltre ci sono 6 coppie di anelli ce non si toccano a due a due, e una terna di anelli ce non si toccano a tre a tre. L unico percorso ce parte da V 0 e arriva a V p attraversa tutti i blocci. Esempio 7. Sia dato il seguente sistema dinamico retroazionato: d (t) d 2 (t) r(t) e(t) s+2 2 s y(t) Calcolare il valore a regime della variabile e(t) in presenza dei seguenti segnali: r(t) = t, d (t) = e d 2 (t) =. Si opera con le trasformate di Laplace e si applica la sovrapposizione degli effetti: E(s) = R(s) 2 s D (s) D 2 (s) + 2 s(s+2) = s(s+2)r(s) 2(s+2)D (s) s(s+2)d 2 (s) s 2 +2s+2 Essendo R(s) = e D s 2 (s) = D 2 (s) = s, si a ce: E(s) = (s+2) 2(s+2) s(s+2) s(s 2 +2s+2) Applicando il teorema del valore finale si ricava: 2 lim e(t) = limse(s) = t s 0 = (s+2)( 2 s) s(s 2 +2s+2) = 2