Misure di mobilità - Definizioni

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1 Misure di mobilità - Definizioni La base di una specifica classe di analisi modale sperimentale è la misura di un insieme di Funzioni di Risposta in Frequenza (FRF). Il movimento può essere descritto in termini di spostamento, velocità o accelerazione. Le corrispondenti funzioni di risposta in frequenza sono cedevolezza, mobilità ed inertanza. Il termine "misura della mobilità" è usato, in senso generale, per descrivere ogni forma di FRF. Nella progettazione, la FRF più comunemente usata è la cedevolezza. La FRF generalmente usata per le misurazioni è l'inertanza, poiché i trasduttori del movimento più comodi ed efficaci sono gli accelerometri. Cedevolezza, mobilità ed inertanza sono algebricamente correlati, la misura di ognuno di questi può essere usata per il calcolo degli altri. (Attenzione però nel derivare i segnali!!!) 19 Analisi in Frequenza

2 Calcolo della FRF In linea teorica, la misura della mobilità dovrebbe comportare semplicemente l'eccitazione della struttura tramite una forza nota, la misura della risposta ed il calcolo del rapporto tra lo spettro della forza e quello della risposta. In pratica, tuttavia, si presentano degli altri problemi, quali: a) Rumore meccanico nella struttura, incluso il comportamento non-lineare b) Rumore elettrico nella strumentazione c) Limitata risoluzione dell'analisi Per ridurre la portata di questi problemi si devono applicare alcuni metodi statistici, per decidere come calcolare la FRF, dalle misure effettuate. Dati contenenti rumore casuale implicano generalmente una qualche forma di integrazione. Quali tecniche possiamo impiegare per integrare il rapporto uscita/ingresso?: 20 Analisi in Frequenza

3 Rumore nella misura dell'uscita. Per eseguire la misura, la struttura in esame viene sospesa. Il segnale della forza viene misurato da un trasduttore di forza collegato direttamente al punto dove la forza è applicata. A parte alcuni rumori elettrici di livello molto basso presenti nella strumentazione, I'eccitazione reale può così essere misurata. Altri processi dinamici (macchinari, vento, passi, ecc.) possono, insieme con rumori e processi dinamici interni, causare del rumore meccanico e produrre così delle vibrazioni nell'oggetto in esame. Il segnale di risposta non solo contiene la risposta causata dall'eccitazione misurata, ma anche la risposta causata all'eccitazione casuale, prodotta dall'ambiente. Possiamo perciò dire che questa misura contiene del rumore nel segnale in uscita misurato. Usando il metodo dei minimi quadrati, per ridurre gli effetti del rumore all'uscita, troviamo che il miglior estimatore della FRF è: H = ( F* X) / ( F* F) chiameremo questo estimatore H 1 ed il suo valore sarà pari al cross spettro, tra la risposta e la forza applicata, diviso per l'autospettro della forza stessa: H 1 ( ) = G FX ( ) / G FF ( ) Una rilevazione importante circa H 1 è che il rumore casuale presente nell'uscita viene rimosso durante il processo d'integrazione del cross spettro. Più è alto il numero di integrazioni e più H 1 si avvicina al valore reale di H. 21 Analisi in Frequenza

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5 Rumore nelle misure dell'ingresso. Nelle misure pratiche su una struttura, un'altra sorgente di rumore può apparire, quando viene usato un eccitatore. Alla sua frequenza naturale, la struttura diventa molto cedevole e ciò provoca delle ampiezze molto alte della vibrazione. Può quindi verificarsi che l'eccitatore usi tutta la sua energia per accelerare le sue componenti meccaniche, non disponendo quindi più di alcuna forza per eccitare la struttura. Il livello del segnale della forza può quindi cadere verso il normale livello di rumore nella strumentazione, in contrasto con la risposta, che si trova ora al massimo livello e copre probabilmente ogni rumore. Questa situazione può essere definita come avente del rumore all'ingresso. Lo stimatore che riduce al minimo l'effetto di tale rumore è: H 2 ( ) = G XX ( ) / G XF ( ) Usando H 2, il rumore d'ingresso viene rimosso dal cross spettro durante il processo d'integrazione. Più alto sarà il numero d'integrazioni e più H 2 si avvicinerà al reale valore di H. Quando del rumore è presente sia all'ingresso che all uscita, H 1 e H 2 formano generalmente l'intervallo di confidenza del valore reale di H. 23 Analisi in Frequenza

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7 L'analizzatore bicanale FFT Un analizzatore bicanale FFT può essere usato valutare la Funzione di Risposta in Frequenza. L'analizzatore può essere considerato come una "scatola nera" dall'operatore, che deve semplicemente fornire il segnale analogico di eccitazione e quello di risposta e quindi premere il "tasto FRF". Passi per effettuare l analisi spettrale: A) I segnali di ingresso analogico sono filtrati, campionati e digitalizzati, per dare una serie di sequenze digitali o registrazioni. Su di un tempo finito, queste registrazioni rappresentano la storia nel tempo dei segnali. La velocità del campionamento e la lunghezza della registrazione determinano la gamma di frequenza e la risoluzione dell'analisi. B) Ogni registrazione di una sequenza continua può essere moltiplicata (ponderata) per una funzione finestra. Questa tratta i dati sia all'inizio che alla fine di ogni registrazione per renderli più adatti all'analisi a blocchi. C) La sequenza è ponderata trasformata, nel dominio della frequenza, come uno spettro complesso, tramite una trasformazione discreta di Fourier. Questo processo è reversibile (una trasformazione inversa darà la sequenza temporale originale). Per stimare la densità spettrale di un segnale, alcune tecniche di integrazione devono essere usate per rimuovere il rumore ed aumentare la confidenza statistica. 1

8 D) Un autospettro viene calcolato moltiplicando uno spettro per il suo numero complesso coniugato (segno di fase opposto), e mediando un numero di prodotti indipendenti. E) Quando il numero complesso coniugato di uno spettro è moltiplicato per uno spettro di una grandezza fisica differente otteniamo un cross spettro. Il cross spettro è complesso, indica la differenza di fase tra l'uscita e l'ingresso ed una quantità che rappresenta il prodotto coerente della potenza all'ingresso e all'uscita. L'autospettro della forza e della risposta, insieme al cross spettro tra la forza e la risposta sono esattamente le quantità di cui abbiamo bisogno per la stima di FRF e della coerenza. 2

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11 Scelta dell'estimatore ottimale FRF Per concludere la nostra discussione sugli estimatori FRF e sugli errori di misura, possiamo stabilire delle regole empiriche, di aiuto per il personale addetto alle prove. In ogni misurazione è probabile che ad alcune frequenze ci sia del rumore all'ingresso, ad altre frequenze del rumore in uscita e, ad altre ancora, del rumore sia all'ingresso che all'uscita. Nei sistemi con delle alte risonanze e delle profonde antirisonanze, nessun estimatore coprirà l'intera gamma di frequenza senza, con questo, introdurre degli errori di bias. L'estimatore ottimale deve essere scelto sulla base della FRF stessa: a) Eccitazione casuale e risonanze. H 2 ( ) = G XX ( ) / G XF ( ) è il miglior estimatore poiché cancella il rumore all'ingresso ed è meno sensibile alla dispersione. b) Antirisonanze. H 1 ( ) = G FX ( ) / G FF ( ) è il miglior estimatore, poiché il problema dominante è il rumore all'uscita. c) Eccitazione ad impatti e pseudo-casuale. H1 e H2 saranno generalmente uguali alle risonanze. H1 è preferibile essendo il miglior estimatore alle antirisonanze. In generale, con il rumore casuale presente sia all'ingresso che all'uscita, H1 e H2 costituiscono i limiti di confidenza del reale H H1 H H2 5

12 ALIASING In un analizzatore se il tempo di campionamento è t ed il segnale da analizzare contiene componenti in frequenza superiori a 1/2 t, si verifica un fenomeno chiamato aliasing o ripiegamento della funzione nel dominio della frequenza. Gli analizzatori limitano gli effetti di queste problematiche attraverso un filtro passa basso (filtro antialiasing) con una frequenza di taglio di 1/2 t con una pendenza di -140dB/ottava. Nelle figure sono riportate due onde sinusoidali di differente frequenza, campionate con lo stesso tempo. 6

13 Differenza tra un onda quadra acquisita con e senza il filtro antialiasing: 7

14 TRONCAMENTO TEMPORALE: È un problema direttamente correlato alla necessità di considerare una time history di lunghezza finita e di poterla considerare come periodica. In figura sono riportate due funzioni sinusoidali a frequenza diversa, ma campionate prendendo lo stesso intervallo temporale, all interno del quale la periodicità non è perfetta per una delle due funzioni. Il troncamento nel tempo porta ad una dispersione nella frequenza. La dispersione si rivela nei picchi misurati, che sono troppo ampi e bassi. Questo effetto può essere causato dall'utilizzazione di una risoluzione in frequenza insufficiente per l'analisi. 8

15 L'esperienza indica che l'estimatore H 2 può ridurre drasticamente l errore di dispersione. In una misura tipica noi eccitiamo generalmente la struttura usando uno spettro piatto, che può essere quindi misurato senza alcun errore di dispersione. Il cross spettro riflette i picchi acuti nella risposta, e può essere distorto dalla dispersione. H 1 è il rapporto tra uno spettro con dispersione ed uno spettro senza dispersione. H 1 include perciò la dispersione. H 2, per contrasto, è il rapporto tra due spettri con risonanze acute, entrambi soggetti ad errori di dispersione; nel loro rapporto gli errori tendono ad annullarsi. 9

16 Ricordiamo che: I dati possono essere rappresentati normalmente in due differenti domini, tempo o frequenza. E' la stessa informazione che viene fornita, ma rappresentata in due modi diversi. Ricordate che un evento ampio in un dominio è stretto nell'altro: 1) Impulsi brevi hanno un ampio spettro da 0 Hz fino a frequenze molto alte. 2) Una sinusoide continua ha solo una linea spettrale. 3) Una risonanza acuta risuona per un lungo tempo, quando viene eccitata. Relazione tra troncamento e dispersione: Quando l'ampiezza di osservazione è limitata in un dominio, la registrazione è troncata, e la dispersione corrispondente è introdotta nell'altro dominio: 1) Se tentiamo di misurare un impulso acuto, usando della strumentazione che non abbia una sufficiente larghezza di banda, I impulso stesso apparirà più ampio di quanto sia realmente. 2) Quando misuriamo una risonanza in smorzamento usando un tempo di osservazione più corto del tempo di decadimento, il picco di risonanza osservato è troppo ampio. Le dispersioni introducono un errore non-lineare che è correlato alla lunghezza di record della trasformata discreta di Fourier. Questa è una proprietà intrinseca e non è correlata al modo di esecuzione dell'osservazione. 10

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18 Troncamento temporale FINESTRE TEMPORALI Le finestre temporali impongono un profilo definito al segnale temporale prima di fare la trasformata di Fourier. FINESTRA RETTANGOLARE: è definita da uno step di durata finita all interno del quale il segnale è preso senza alcuna variazione. FINESTRA DI HANNING o sinusoidale: elimina in maniera consistente il troncamento. Altre tipologie di finestrature: FINESTRA TRANSIENTE: utilizzata generalmente per prove ad impatto, fa passare i dati, non ponderati, durante l impatto; annulla tutti gli altri per il resto della registrazione. FINESTRA ESPONENZIALE: per fenomeni transienti. 12

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20 La Finestra Transiente La durata di un impatto è normalmente molto breve rispetto alla lunghezza di registrazione. Particolare attenzione si dovrà quindi prestare all'uso della finestra. È il segnale di forza durante l'impatto che ci interessa. La rimanente parte del segnale è rumore. Questo può essere rumore elettrico o vibrazione nel martello, dopo l'impatto. La finestra da usare è la finestra transiente. Questa fa passare i dati, non ponderati, durante la durata dell'impatto, e annulla tutti gli altri per il resto della registrazione. La finestra può includere delle transazioni morbide, ai due bordi laterali della finestra, per migliorare il livellamento quando il segnale di forza contiene una componente DC. Quando esaminiamo l'evoluzione nel tempo della forza d'impatto, possiamo rilevare dei segnali di segno negativo. Dal punto di vista fisico ciò non è ammesso, ma poiché stiamo misurando la forza all'interno di una gamma di frequenza limitata (troncamento), questo breve effetto è una rappresentazione corretta, nella particolare gamma di frequenza (dispersione). La lunghezza della finestra della forza deve essere scelta in modo che l'intero segnale sia incluso. Doppio impatto. Se il martello è troppo pesante, la struttura potrebbe rimbalzare sul martello, producendo così un doppio impatto. Il verificarsi di impatti doppi dipende anche dall'abilità dell'operatore. Un impatto doppio non può essere utilizzato per le misure poiché lo spettro conterrà dei punti a valore zero spaziati di n/t r dove n è un numero intero e t r è il ritardo di tempo tra i due impatti. Tutte le funzioni di risposta in frequenza (FRF), misurate quando si verifica un doppio impatto, sono errate e da escludere dall insieme dei dati. 14

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22 La Finestra Esponenziale La risposta ad un impatto è uno smorzamento libero di tutti i modi di vibrazione. Consideriamo due situazioni tipiche: 1) Una struttura leggermente smorzata che dia delle risonanze acute che risuonano per lungo tempo (strette in frequenza, ampie nel tempo). Se la lunghezza di registrazione è più breve del tempo di decadimento, la misura presenterà un errore di dispersione (troncamento nel tempo, dispersione in frequenza) che renderà le risonanze osservate troppo basse ed ampie. 2) Una struttura molto smorzata dove la risposta decada molto rapidamente e che presenti quindi un valore zero della risposta dopo un intervallo molto breve di tempo. Se la lunghezza di registrazione è molto più lunga del tempo di decadimento otterremo un rapporto segnale - rumore molto basso, e la misura verrà così contaminata dal rumore. La finestra esponenziale sarà ugualmente utile in entrambi questi casi. Questa è una funzione seguente effetto: W( t) e t r che aggiunge dello smorzamento alla risposta, con il 1) Nel caso della struttura leggermente smorzata, la risposta è obbligata a decadere completamente all'interno della registrazione, così che vengono evitate le dispersioni dovute al troncamento. L'effetto osservato sulla misura è che la risonanza diventa troppo ampia, o lo smorzamento apparente è troppo alto. Una correzione di smorzamento può essere facilmente applicata nello stadio di post-elaborazione. 2) Nel caso della struttura molto smorzata, il rumore è attenuato dalla finestra. Una correzione di smorzamento non è richiesta poiché il decadimento naturale è generalmente molto più veloce di quello della funzione finestra. 16

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