Appunti del Corso di Meccanica del Veicolo. L Autoveicolo. Andrea Rindi Susanna Papini Luca Pugi Jury Auciello Mirko Ignesti

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1 Appunti del Corso di Meccanica del Veicolo L Autoveicolo Andrea Rindi Susanna Papini Luca Pugi Jury Auciello Mirko Ignesti Dipartimento di Energetica Sergio Stecco Sezione di Meccanica Applicata Università di Firenze via S. Marta 3, Firenze, Italy rindi@mapp1.de.unifi.it 18 maggio 2012

2 Indice Indice Elenco delle figure Elenco delle tabelle Introduzione i iv viii ix I La dinamica longitudinale 1 1 Contatto ruota strada Modello di Coulomb Modello di Coulomb: azioni combinate Limiti del modello di Coulomb Cinematica del rotolamento Sistema di riferimento Cinematica Il modello a spazzola Scorrimento longitudinale Scorrimento laterale Coefficiente di aderenza Aderenza generalizzata Magic Formula Aderenza generalizzata in direzione laterale Spinta di campanatura Diagramma di Gough Carpet Plot Rigidezza di deriva e di campanatura Magic formulae per il comportamento laterale Interazione tra forze longitudinali e trasversali Diagramma polare Richiami di aerodinamica Sistemi di riferimento Forze aerodinamiche i

3 INDICE INDICE 6 Frenatura Decelerazione costante Contributo dei freni Contributo delle azioni aerodinamiche Contributo dell attrito di rotolamento Contributo della Pendenza della strada Modello semplificato di veicolo in frenatura Trasferimento di carico Decelerazione massima Ripartizione della frenatura Variazione del coefficiente di aderenza Efficienza della frenatura Influenza della posizione del baricentro Bloccaggio delle ruote Correttori di frenata ABS (Antilock Braking System) BAS (Brake Assistance System) CBC (Cornering Break Control) ESP (Electronic Stability Program) FDR (Regelung Fahr-Dynamik) Frenatura ideale: parabola di frenatura Ripartitore di frenatura Prestazioni del veicolo Caratteristica meccanica di un motore a combustione interna Dinamica longitudinale in piano Modello di Coulomb (1 grado di libertà) Modello a tre gradi di libertà Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo Forza resistente Massima pendenza superabile Massima pendenza compatibile con l aderenza Accelerazione massima Criteri di massima per il dimensionamento del cambio II La dinamica laterale 76 8 Sterzatura Sterzatura cinematica Il modello a bicicletta Limite di slittamento e ribaltamento Sterzatura dinamica Angoli di deriva Trasferimento di carico Equazioni di moto Derivate di stabilità Equazioni di moto linearizzate Comportamento direzionale a regime Rigidezza di deriva, punto neutro e margine statico ii

4 INDICE INDICE Influenza delle forze longitudinali Trasferimento di carico trasversale Convergenza dei pneumatici Risposta a sollecitazioni esterne Stabilità direzionale Instabilità direzionale Slip angle La posizione del baricentro Il tipo di trazione Marcia in rettilineo Caso 1: ɛ a = ɛ p Caso 2: ɛ a > ɛ p Caso 3: ɛ a < ɛ p Marcia in curva Studio della dinamica del cornering Influenza dell angolo di campanatura Influenza della forza di trazione III La dinamica verticale Dinamica verticale Angoli caratteristici del pneumatico Analisi cinematica delle sospensioni Schemi di sospensioni tipiche Comfort e guidabilità Modello a 1 gdl Modello a 2 gdl iii

5 Elenco delle figure 1.1 Azioni normali e tangenziali che si instaurano fra corpi in moto relativo Schema di corpo rigido per la ruota che rotola senza strisciare Andamento qualitativo del coefficiente d attrito al variare della velocità Andamento delle pressioni normali nel caso ideale (a) e nel caso reale (b) Andamento del coefficiente d attrito volvente al variare della velocità per un tipico pneumatico convenzionale a tele incrociate e uno radiale Vista laterale e dall alto delle azioni agenti su un pneumatico Sistema di riferimento per lo studio della cinematica del rotolamento (Fonte: [6]) S α è l intersezione fra asse elicoidale del moto e piano x z Riposizionamento dell asse elicoidale nel caso sia applicata una coppia al mozzo (b) Segno di V s al variare della coppia applicata Modello monodimensionale di contatto pneumatico strada Andamento delle tensioni longitudinali τ x (ξ) secondo il modello a spazzola Forza longitudinale al variare dello scorrimento Modello a spazzola per deriva Andamento delle tensioni laterali τ y (ξ) secondo il modello a spazzola Momento di autoallinemento secondo il modello a spazzola (Fonte: [2]) Andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µ x al variare dello scorrimento pratico s (in figura indicato con σ) (Fonte: [5]) Andamento di µ x in differenti condizioni di asfalto (Fonte: [5]) Influenza della velocità di marcia sui valori di µ x (Fonte: [5]) Influenza dell usura sull andamento del massimo di µ x con la velocità (Fonte: [5]) Fenomeno dell aquaplaning per pneumatico con battistrada (curve A) e senza (curve B) (Fonte: [5]) Diminuzione del coefficiente di aderenza longitudinale all aumentare del carico normale applicato alla ruota (Fonte: [5]) Distorsione dell orma di contatto per la presenza della deriva [5] Deformazioni laterali, distribuzione delle azioni tangenziali e normali, slittamento e velocità laterali in un pneumatico in deriva [5] Forza laterale F y e momento di autoallineamento M z in funzione dell angolo di deriva α [5] Andamenti di F y, t e M z al variare di F z in funzione di α [5] Curve qualitative F y (α), t (α) e M z (α) al variare della velocità V [5] Spinta di campanatura in funzione del carico normale e dell angolo di campanatura [5] Forza laterale al variare di γ [5] Momento di autoallineamento al variare di γ [5] iv

6 ELENCO DELLE FIGURE ELENCO DELLE FIGURE 4.9 Diagramma di Gough per un pneumatico radiale per auto (in alto) e per uno convenzionale per autocarro (in basso) [5] Diagrammi di Gough a differenti velocità per un carico F z fissato: a) pneumatico con comportamento soddisfacente; b) pneumatico con comportamento insoddisfacente [5] Carpet Plot del coefficiente di aderenza laterale [5] Rigidezza di deriva in funzione del carico F z [5] Coefficienti di aderenza in funzione dello scorrimento per diversi valori dell angolo di deriva [5] Diagramma polare [5] Diagramma polare ribaltato : grafico sperimentale [5] Sistemi di riferimento (Fonte: [5]) Andamento qualitativo dei coefficienti adimensionali aerodinamici in funzione dell angolo di inclinazione del vento Forze agenti su un veicolo in moto su una strada con pendenza tan α (Rielaborato da: [2]) Modello del veicolo in frenatura (Fonte: [6]) Carichi sui due assali in funzione dell accelerazione longitudinale (Fonte: [6]) Zona ammissibile delle possibili coppie di forze frenanti (Fonte: [6]) Zona ammissibile al variare del coefficiente di aderenza (Fonte: [6]) Zona ammissibile al variare della posizione del baricentro (arretramento) (Fonte: [6]) Aderenza longitudinale in funzione dello pseudoslittamento percentuale Aderenza longitudinale e laterale (per angolo di deriva costante)in funzione dello pseudoslittamento percentuale Curva di proporzionamento dell impianto frenante Limitatore semplice (Fonte: [7]) Limitatore semplice: pressione ai cilindri freno (Fonte: [7]) ABS Intervallo di scorrimento su cui funziona l ABS Sensore di velocità Curve di funzionamento dell ABS Curve di funzionamento dell ABS Funzionamento del BAS Schema di funzionamento dell ESP Forze agenti su un veicolo su strada in pendenza (Fonte: [5]) Frenatura in condizioni ideali: relazione fra F x1 e F x2 per un veicolo con baricentro al centro del passo a = b, con baricentro arretrato a > b e con baricentro posto anteriormente al centro del passo a < b. Grafico ottenuto per m = 1000 kg; l = 2,4 m; h G = 0,5 m, strada piana. (Fonte: [5]) Ingrandimento della zona utile del grafico di Fig Sono state tracciate anche le rette a µ x1 e µ x2 e a decelerazione costante (Fonte: [5]) Diagrammi M f2 (M f1 ) in condizioni di frenatura ideale: (a) diagramma tipico di vetture a trazione posteriore con rapporto h G /l basso; (b) diagramma tipico di vettura a trazione anteriore di classe medio alta e con rapporto h G /l medio; (c) diagramma tipico di vetture piccole a trazione anteriore, con ripartizione pesi vuoto/pieno squilibrata e con rapporto h G /l alto (Fonte: [5]) Confronto fra i momenti frenanti all avantreno e al retrotreno fra le condizioni di frenatura ideale e quella in cui il rapporto K f è costante. Nel caso illustrato il valore di µ xp è sufficientemente elevato da produrre lo slittamento oltre il punto A d intersezione fra le due curve (Fonte: [5]) v

7 ELENCO DELLE FIGURE ELENCO DELLE FIGURE 7.1 Curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata (Fonte: [5]) Curve caratteristiche di due tipici motori con relative curve iso consumo (Fonte: [5]) Moto di avanzamento del veicolo in piano (Fonte: [2]) Forze esterne agenti sul veicolo (Fonte: [2]) Forze agenti sulle ruote anteriori (Fonte: [2]) Forze agenti sulle ruote posteriori (Fonte: [2]) Schema della trasmissione (Fonte: [2]) Forze applicate a un veicolo in marcia su strada in pendenza (Fonte: [2]) Curve di potenza resa disponibile dal motore e necessaria all avanzamento per le diverse condizioni di pendenza e marcia inserita (Fonte: [2]) Variazione delle curve di potenza massima del motore su scala logaritmica dovute al rapporto di trasmissione e al rendimento (Fonte: [5]) Individuazione della massima velocità raggiungibile per un dato rapporto di trasmissione e una data pendenza (Fonte: [2]) Schema di veicolo in condizione di sterzatura cinematica (Fonte: [5]) Giunto di Ackermann (vista dall alto) Meccanismo di sterzo a quadrilatero articolato (vista dall alto) Andamento qualitativo dell errore commesso rispetto alla condizione di Ackermann utilizzando un sistema di sterzo come quello di Fig. 8.3 (Fonte: [5]) Schema di modello a bicicletta (Fonte: [5]) Forze agenti su un veicolo che percorre una traiettoria curvilinea (Fonte: [5]) Sistema di riferimento per lo studio della dinamica laterale del veicolo (Fonte: [5]) Posizione e velocità dell orma di contatto nel sistema di riferimento inerziale (Fonte: [5]) Trasferimento di carico (Fonte: [5]) Forze al contatto ruota suolo scomposte secondo gli assi corpo (a)) e secondo gli assi pneumatico (b)) (Fonte: [5]) Forze agenti sul veicolo in condizioni di sterzatura: modello a bicicletta Sterzatura dinamica: modello a bicicletta Equilibrio laterale per l intero veicolo in curva Guadagno della curvatura a regime (Fonte: [5]) Comportamento di direzionale di un veicolo ad un asse sterzante: modello a bicicletta (Fonte: [5]) Variazione del margine statico per veicolo a trazione anteriore e a trazione posteriore per diversi valori del µ xp (Fonte: [5]) Influenza del trasferimento di carico sulla rigidezza di deriva (Fonte: [5]) Guadagno della curvatura della traiettoria (Fonte: [5]) Risposta ad una forza esterna applicata nel baricentro in direzione y: a) veicolo neutro, b) sottosterzante, c) sovrasterzante (Fonte: [5]) Caso 1: ɛ a = ɛ p Caso 2: ɛ a > ɛ p Caso 3: ɛ a > ɛ p Effetto della deriva dei pneumatici sulla marcia curvilinea Schema di un veicolo in curva Angolo di sterzo in funzione della velocità al variare del segno del coefficiente di sottosterzo Angolo di campanatura Modello a bicicletta Sequenza di rotazioni Yaw Pitch Roll vi

8 ELENCO DELLE FIGURE ELENCO DELLE FIGURE 10.2 Angolo di campanatura o camber Angolo di convergenza Angolo di incidenza del montante e braccio a terra longitudinale Angolo di inclinazione del montante e braccio a terra trasversale Sospensione a quadrilateri articolati trasversali (Fonte: [5]) Sospensione a quadrilateri articolati trasversali con assi cerniera a) non orizzontali e b) non paralleli (Fonte: [5]) Avantreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5]) Retrotreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5]) Avantreno con sospensioni indipendenti di tipo Mc Pherson (Fonte: [5]) Modello a 1 grado di libertà per lo studio della dinamica verticale Diagramma del rapporto z 0 /h 0 (Rielaborato da: [5]) Diagramma del rapporto z 0 /h 0 (Rielaborato da: [5]) Modello a 2 gradi di libertà per lo studio della dinamica verticale (Fonte: [5]) Diagramma dei rapporti z s0 /h 0 e z n0 /h 0 (Rielaborato da: [5]) Diagramma dei rapporti z s0 /h 0 e z n0 /h 0 (Rielaborato da: [5]) vii

9 Elenco delle tabelle 1.1 Valori indicativi di f v0 per alcuni tipi di superficie Valori di µ P per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5]) Valori di µ S per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5]) Valori tipici di C x Valori tipici del rapporto t 2h Segni delle grandezze che definiscono il comportamento direzionale del veicolo viii

10 Introduzione Un veicolo terrestre presenta tre aspetti principali che saranno oggetto dei nostri studi: DINAMICA LONGITUDINALE; DINAMICA LATERALE; DINAMICA VERTICALE; La dinamica longitudinale si occupa delle leggi in base alla quale il veicolo si muove secondo una traiettoria rettilinea, realizzando moti uniformi, accelerati o decelerati. Gli aspetti fondamentali legati alla dinamica longitudinale riguardano: Dimensionamento del propulsore; Dimensionamento dell impianto frenante e ripartizione delle forze frenanti sugli assi; Scelta dei rapporti di trasmissione del cambio; La dinamica laterale studia le leggi in base alla quale un veicolo si muove lungo una traiettoria curva (in genere fissando una legge d avanzamento). La traiettoria curvilinea, oggetto dello studio, può essere impostata dal sistema di guida (sterzo), oppure da una perturbazione esterna. A seconda di quale sia il modo in cui viene impostata la traiettoria curvilinea, si individuano differenti oggetti di studio: il comportamento sovra o sottosterzante del veicolo, qualora la curva sia impostata per mezzo del sistema di guida, come generalmente avviene nello studio di un autoveicolo; la stabilità di marcia ad alte velocità e l assetto in curva del veicolo, nel caso in cui la dinamica laterale sia dovuta a una perturbazione esterna. Questo campo di indagine si presenta generalmente nello studio della dinamica laterale di un veicolo ferroviario. La dinamica verticale studia i moti vibratori con cui il veicolo reagisce in presenza d irregolarità stradali. Tale studio è legato sia a problemi di comfort, sia a quelli di sicurezza di marcia, in relazione a fenomeni di distacco di una ruota o del ribaltamento. Bisognerebbe infine parlare di tutti gli aspetti legati al controllo della dinamica di marcia. L incremento delle prestazioni di un autoveicolo è oggi strettamente connesso con l utilizzo d opportuni sistemi di controllo, sia su strada (ABS, controllo della trazione, ESP, sospensioni attive, sistemi di sterzata, ecc... ) sia su ferrovia (antipattinante, antislittante, sospensioni attive, ecc... ). Tali aspetti saranno marginalmente trattati nel corso di Dinamica del veicolo e saranno approfonditi nei corsi successivi. ix

11 Parte I La dinamica longitudinale 1

12 Capitolo 1 Contatto ruota strada Le forze che vengono scambiate nel moto del veicolo sono di varia natura: forze alle ruote; forze aerodinamiche; forze motrici generate dal propulsore; forze frenanti dovute all azione dei freni. Questi ultimi due tipi di forze sono propriamente forze interne al sistema, ma, poiché generano lavoro, devono essere messe in conto quando si valuta la dinamica del veicolo. In questo capitolo presenteremo alcuni modelli utili per l individuazione delle forze che vengono scambiate nel contatto ruota strada. 1.1 Modello di Coulomb Come schema di prima approssimazione s ipotizza che ruota e strada siano modellati come corpi rigidi in modo tale da considerare il loro contatto puntiforme. Se non vi è strisciamento fra i due corpi, vale la N T -N -T Fig. 1.1: Azioni normali e tangenziali che si instaurano fra corpi in moto relativo seguente legge di Coulomb: T N f s (1.1) dove T e N sono le componenti, rispettivamente, tangenziale e normale della forza di contatto. 2

13 1.1. Modello di Coulomb 1. CONTATTO RUOTA STRADA Il parametro adimensionale f s prende il nome di coefficiente d attrito statico. Esso dipende dal tipo di materiale a contatto, dalla natura delle superfici e al più dalla velocità: quindi, è indipendente sia dall area di contatto sia dal carico applicato. Con il modello di Coulomb applicato al caso ruota strada, nell ipotesi che non vi sia strisciamento fra i due corpi (e che quindi non sia superato il limite di aderenza definito dalla (1.1)), il punto di contatto coincide con il centro d istantanea rotazione C (Fig. 1.2), perciò la velocità di traslazione del centro della ruota è esprimibile, dalla relazione fondamentale della cinematica dei corpi rigidi, come: V G = ω (G C). Fig. 1.2: Schema di corpo rigido per la ruota che rotola senza strisciare Quando la forza tangenziale supera il valore definito dalla (1.1) si ha strisciamento tra ruota e pavimentazione e in queste condizioni la forza tangenziale ha direzione opposta alla velocità di strisciamento e vale in modulo: T = f cin N (1.2) dove f cin è detto coefficiente d attrito radente (cinetico). Fig. 1.3: Andamento qualitativo del coefficiente d attrito al variare della velocità Dal grafico di Fig. 1.3 si osserva che vale in generale: f s > f cin. 3

14 1.1. Modello di Coulomb 1. CONTATTO RUOTA STRADA (a) Caso ideale (b) Caso reale Fig. 1.4: Andamento delle pressioni normali nel caso ideale (a) e nel caso reale (b) Abbiamo detto che, essendo i corpi rigidi, il contatto fra pneumatico e strada è di tipo puntiforme. In realtà, si tiene conto della deformabilità del pneumatico ammettendo che il contatto avvenga non in un punto, bensì su una superficie limitata, chiamata orma di contatto. Qualora si consideri il materiale costituente la ruota perfettamente elastico, nel rotolamento del pneumatico sulla strada si instaura in corrispondenza dell orma di contatto un andamento di pressione perfettamente simmetrico. La forza normale risultante passa, quindi, per il centro del cerchio (Fig. 1.4a). A causa della semplicità del modello, per tenere conto delle resistenze di rotolamento, s introduce il parametro d attrito volvente u, che tiene conto della non perfetta elasticità dei corpi a contatto. Infatti, poiché la ruota non è perfettamente rigida, occorre spendere una certa energia per poterla deformare nel rotolamento : tale energia, però, non viene interamente restituita a causa delle perdite interne al materiale. Ne consegue, con riferimento alla Fig. 1.4b, una distribuzione delle pressioni con risultante spostata in avanti nel senso del moto. Questo richiede, per poter mantenere in moto la ruota, l instaurarsi di un momento M A pari a: M A = Nu. Se valutiamo il lavoro dissipato per unità di percorso, possiamo scrivere: dl s ds = M dϕ A ds = M A ds ds r = M A = Nu r r. Si definisce perciò il coefficiente d attrito volvente come: f v = dl s/ ds N Il coefficiente d attrito volvente dipende dalla pressione di gonfiaggio, dal tipo di pneumatico, dal tipo di strada e dalla velocità. = u r 4

15 1.1. Modello di Coulomb 1. CONTATTO RUOTA STRADA Fig. 1.5: Andamento del coefficiente d attrito volvente al variare della velocità per un tipico pneumatico convenzionale a tele incrociate e uno radiale Da rilevazioni di tipo sperimentale si è individuato per questo coefficiente un andamento come quello rappresentato qualitativamente in Fig Si osserva che, per entrambe i tipi di pneumatici, f v ha un andamento lentamente crescente fino a una certa velocità, detta velocità critica, in corrispondenza della quale si individua un ginocchio nella curva: oltre questa velocità l attrito di rotolamento subisce un incremento repentino che lo porta rapidamente ad assumere valore elevati. La velocità critica si manifesta in seguito all instaurarsi di moti vibratori che interessano la struttura del pneumatico: in corrispondenza di questa velocità, la lunghezza d onda delle vibrazioni cui è sottoposta la gomma diventa paragonabile alle dimensioni dell orma di contatto, il pneumatico tende a distaccarsi dal suolo nella parte posteriore del contatto e, conseguentemente, la pressione fra ruota e strada deve aumentare notevolmente a seguito della riduzione della superficie effettiva di contatto. Per fenomeni di isteresi, poi, la temperatura della gomma cresce e questo comporta l aumento ulteriore dell energia che deve essere dissipata nel rotolamento. Il fenomeno, quindi, si autoalimenta e, pertanto, la velocità critica pone un limite superiore al funzionamento del pneumatico in esame. L andamento della curva di Fig. 1.5 può essere rappresentata, nel tratto al di sotto della velocità critica, da una equazione del tipo: f v = f v0 + KV 2 (1.3) dove f v0 e K sono dei coefficienti da determinare sperimentalmente per ciascun tipo di pneumatico nelle diverse condizioni di asfalto. In via del tutto indicativa si fornisce la seguente Tab Modello di Coulomb: azioni combinate Il modello di Coulomb viene introdotto tradizionalmente per spiegare la possibilità delle ruote di trasmettere forze longitudinali. Peraltro, è noto che una ruota è in grado di esercitare sia forze longitudinali Si suppone la ruota assai più deformabile della strada: ciò è generalmente accettabile nel contatto pneumatico strada, ma non necessariamente nel caso di contatto ferroviario. Il valore di f v0 per la neve è relativamente alto perché essa tende ad accumularsi davanti al pneumatico. Come avremo modo di comprendere in seguito, questa è anche la ragione della ridotta efficacia dell ABS in queste condizioni: la neve che si accumula tende a bloccare la ruota, ma a questo bloccaggio si oppone il sistema elettronico di controllo, allungando la frenata. 5

16 1.1. Modello di Coulomb 1. CONTATTO RUOTA STRADA Tab. 1.1: Valori indicativi di f v0 per alcuni tipi di superficie Superficie f v0 asfalto buono 0,013 0,015 neve 0,025 sabbia 0,15 0,3 cemento 0,01 0,015 selciato 0,033 0,065 che laterali. Il modello di Coulomb può essere usato anche per descrivere questo caso a patto di considerare la condizione di superamento del coefficiente d attrito sulla risultante delle forze longitudinali e laterali. w N T Fig. 1.6: Vista laterale e dall alto delle azioni agenti su un pneumatico S Ancora una volta il modello di Coulomb descrive le sole due condizioni limite di aderenza e slittamento. 1. Aderenza: T 2 + S 2 f s N ; V = ωr 2. Slittamento: T 2 + S 2 = f c N ; V ωr Limiti del modello di Coulomb Il modello presentato in questo paragrafo si presta a descrivere con buona approssimazione condizioni di moto dei veicoli in rettilineo fintanto che le forze longitudinali trasmesse non superano il limite imposto dalla (1.1). Di fatto, le condizioni di funzionamento previste dal modello sono soltanto due: rotolamento puro e bloccaggio delle ruote. Esso si dimostra, però, inadeguato qualora si intenda studiare, per esempio, manovre di frenatura o accelerazione al limite delle prestazioni o si voglia studiare il comportamento in curva di un veicolo. Analogamente, con questo tipo di approccio non vi è modo di evidenziare i fenomeni di instabilità che intervengono ad alte velocità sui veicoli ferroviari. 6

17 Capitolo 2 Cinematica del rotolamento 2.1 Sistema di riferimento Nello studio della cinematica, che ci tornerà utile per presentare i modelli che superano i limiti di quello appena presentato, si farà riferimento al sistema di coordinate presentato in Fig Fig. 2.1: Sistema di riferimento per lo studio della cinematica del rotolamento (Fonte: [6]) Si suppone che all asse della ruota venga imposto un moto puramente traslatorio con velocità costante V su una strada perfettamente piana e rettilinea. Il cerchio della ruota ha velocità angolare ω. L origine O del sistema di riferimento è presa sul piano della strada e posta in corrispondenza del centro dell orma di contatto, ossia è data dall intersezione di tre piani: il piano stradale; il piano medio longitudinale del cerchio; il piano verticale contenente l asse di rotazione della ruota. L asse x è dato dall intersezione del piano stradale con quello longitudinale ed è diretto secondo il senso di marcia; l asse z è ortogonale alla strada e diretto verso l alto, mentre l asse y, di conseguenza, coincide con Solo per esso si può parlare di velocità angolare, essendo un corpo rigido. 7

18 2.2. Cinematica 2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO la proiezione sul piano stradale dell asse della ruota ed è orientato in modo da considerare positive rotazioni e momenti antiorari. Gli angoli rappresentati in Fig. 2.1 sono così chiamati: angolo di camber o campanatura γ è l angolo di cui è inclinato il piano medio della ruota rispetto alla perpendicolare alla strada; è uno dei più importanti angoli che determinano l assetto del veicolo in quanto riveste particolare importanza nell ottica di massimizzare l impronta a terra del pneumatico al variare del carico verticale; angolo di deriva α rappresenta l angolo fra l asse x e la velocità V e ad esso è dovuta la possibilità del pneumatico di esercitare forze laterali. Supporremo, infine, che le forze (di risultante F = (F x, F y, F z )) trasmesse dalla strada alla ruota siano applicate in corrispondenza dell origine O del sistema di riferimento: poiché ciò non sarà, in generale, verificato, occorre prevedere, per equilibrare il sistema, la presenza di una coppia di risultante: M = Di queste componenti, riveste maggiore interesse il momento di autoallineamento M z, in quanto, nella manovra di sterzatura, tende a riportare lo sterzo in posizione neutra. M x M y M z 2.2 Cinematica Supponiamo che il moto rigido del mozzo avvenga con velocità V = (V x, V y, 0) costante in modulo e direzione, parallela alla strada, ma in generale inclinata di un angolo di deriva α. Indicato con V il modulo della velocità, le due componenti lungo gli assi x e y saranno date da: V x = V cos α V y = V sin α Oltre a traslare il mozzo ruota con velocità angolare ω = (0, ω,0) dipendente, oltre che dalla velocità di traslazione, anche dalla coppia applicata all asse. Poiché l angolo di deriva è stato supposto non nullo, il moto del cerchione non è piano, ma è comunque individuato, istante per istante, l asse elicoidale del moto: il moto del mozzo consiste in una rotazione, con velocità angolare ω attorno a tale asse e in una traslazione con velocità parallela al vettore velocità angolare. Nel caso in esame, l asse elicoidale è sempre parallelo all asse y e i suoi punti hanno una velocità parallela a y e di modulo pari a V y. In Fig. 2.2 è indicato con S α la traccia dell asse elicoidale sul piano x z, mentre per quanto riguarda la distanza R fra tale punto e il centro del mozzo possiamo scrivere: R = V x ω (2.1) Definiamo condizione di puro rotolamento quella in cui il moto avvenga con deriva nulla (α = 0) e senza che vi sia alcuna coppia applicata all asse del mozzo (T = 0). In queste condizioni, il moto sarà perfettamente Si noti, per inciso, che la definizione del sistema di riferimento non cambia per la presenza o meno di detti angoli. M x e M y vengono chiamate, rispettivamente, momento di ribaltamento e momento di resistenza al rotolamento. Si suppone, come è in generale, l angolo di campanatura sufficientemente piccolo da poter trascurare la componente lungo z di ω. 8

19 2.2. Cinematica 2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO Fig. 2.2: S α è l intersezione fra asse elicoidale del moto e piano x z piano, l asse elicoidale diventa asse di istantanea rotazione, tutti i suoi punti hanno velocità nulla V y = 0 e il mozzo si muove con velocità V diretta secondo l asse longitudinale x. Se indichiamo con ω 0 la velocità angolare in queste condizioni, la (2.1) diventa: In generale, possiamo affermare: R 0 = V ω 0 (2.2) h < R 0 < R e, ossia il centro di istantanea rotazione si trova leggermente sotto il piano stradale. Possiamo, a questo punto, pensare di applicare alla ruota un angolo di deriva non nullo (α 0), pur mantenendo nulla la coppia applicata (T = 0). In queste condizioni (Fig. 2.3a), il moto del cerchio non è più piano e detta ω0 α la velocità angolare in queste condizioni (minore rispetto a ω 0 in cui non si aveva deriva) avremo (per la (2.1)): R0 α = V cos α ω0 α (2.3) Poiché α è generalmente piccolo, non vi è grossa differenza fra i due valori di R0 α e R 0, anche se concettualmente rappresentano grandezze differenti: sono la distanza fra asse elicoidale del moto e asse del cerchio nel caso in cui sia, rispettivamente, presente o meno la deriva della ruota; fermo restando che sono ottenuti in assenza di coppie applicate alla ruota. Qualora si preveda (come in Fig. 2.3b) di applicare una coppia sulla ruota, la velocità angolare ω sarà diversa dalla ω0 α che avevamo in precedenza. Questo comporta che l asse elicoidale venga a trovarsi a una distanza R = V cos α ω rispetto all asse della ruota diversa dal precedente valore R0 α definito dalla (2.3). Il punto S α, a distanza R0 α dal centro ruota, ha pertanto una velocità di scorrimento V s rispetto alla strada. Le componenti di questa velocità sono date da: { Vsx = ωr ωr0 α = V cos α ωr0 α = ω0 α R0 α ωr0 α (2.4) = V sin α = V x tan α = ω0 α R0 α tan α V sy La prima delle (2.4) è stata ottenuta osservando che V x non cambia con l applicazione della T e che si può scrivere per le (2.1) e (2.3): V x = ωr = ω α 0 R α 0 Sarà ω < ω α 0 con coppia frenante e ω > ωα 0 con coppia motrice. 9

20 2.2. Cinematica 2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO (a) (b) Fig. 2.3: Riposizionamento dell asse elicoidale nel caso sia applicata una coppia al mozzo (b) Si definisce anche un vettore velocità di rotolamento dato da: V r = ωr α 0 che rappresenta la parte di V dovuta al solo rotolamento. Vale, evidentemente: V s = V V r Anche se sono vettori definiti nello spazio, queste tre velocità hanno tutte la terza componente nulla e verranno considerate, qui e nel seguito, come vettori a due componenti. Per definire lo stato di sollecitazione del pneumatico, si definiscono i due vettori scorrimento pratico: e scorrimento teorico: σ = V s V r s = V s V x = 0 0 = V x V r s = ωα 0 ω s = 1 1 s x s = 1 ω ω0 α (2.5) tan α ω α 0 ω 1 ωα 0 ω tan α (2.6) I due vettori appena definiti differiscono fra di loro solo in modulo, avendo entrambe sempre la stessa direzione e verso di V s. In particolare, nel caso di ruota bloccata (ω = 0) in assenza di deriva (α = 0) si ha s = (1, 0) e σ = (+, 0), mentre in condizioni di puro rotolamento sono entrambi nulli. Concludiamo il capitolo osservando, con l ausilio della Fig. 2.4, che V sx > 0 con ruota frenata (T < 0) e V sx < 0 quando la ruota è motrice (T > 0). 10

21 2.2. Cinematica 2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO z T < 0 w T > 0 Vx x C M Vsx F Vsx M S a C F Fig. 2.4: Segno di V s al variare della coppia applicata 11

22 Capitolo 3 Il modello a spazzola Abbiamo già osservato che il modello di Coulomb è troppo semplice per poter spiegare alcuni aspetti fondamentali del moto del veicolo. Qui presenteremo un modello, chiamato a spazzola (brush model, in letteratura anglosassone), che ci permetterà di ottenere un andamento qualitativo delle forze longitudinali e laterali che vengono scambiate al contatto ruota strada, sia qualora si consideri la presenza della deriva o meno. 3.1 Scorrimento longitudinale Come primo approccio per presentare il modello a spazzola consideriamo la configurazione rappresentata in Fig.3.1. Fig. 3.1: Modello monodimensionale di contatto pneumatico strada Il sistema è considerato piano, ossia si suppone che il pneumatico abbia larghezza (cioè dimensione secondo l asse y, ortogonale al foglio) nulla, in modo da poter supporre che la pressione dovuta al contatto con la strada sia costante lungo l asse trasversale e vari, quindi, secondo il solo asse longitudinale x. Ipotizzeremo, senza perdere in generalità, che l angolo di camber γ sia nullo; per valutare l andamento delle tensioni longitudinali, come ci si propone di fare in questo paragrafo, dobbiamo poi supporre nullo anche l angolo di deriva α. La strada è supposta infinitamente rigida e si assume che il contatto fra i due corpi avvenga in corrispondenza di un segmento di lunghezza 2a, dipendente dalla forza normale agente e dalla deformabilità del solo 12

23 3.1. Scorrimento longitudinale 3. IL MODELLO A SPAZZOLA pneumatico. All interno di questo segmento di contatto si introduce una coordinata ξ con origine nel bordo d ingresso e orientata secondo l asse x nel verso opposto alla direzione di avanzamento. Per le ipotesi che abbiamo fatto, le deformazioni dovute alle azioni reciproche che si scambiano pneumatico e strada avvengono tutte esclusivamente sul battistrada: si ipotizza che ciascun tassello elementare di cui si può pensare costituito il battistrada si deformi in maniera del tutto indipendente dagli altri tasselli. La deformazione longitudinale del tassello individuato dalla coordinata ξ viene indicata con u (ξ). La velocità del tassello di battistrada che entra nella zona di contatto è data da : v (ξ) = V x ωr 0 + du dt = V x ωr 0 + u ξ ξ t Possiamo scrivere: ξ t = V x (3.2) in quanto la derivata parziale a primo membro rappresenta la velocità di alimentazione con cui i tasselli del battistrada entrano nella superficie di contatto e coincide con la velocità V x, appunto. La (3.1) si può così scrivere nella forma: u v (ξ) = V x ωr 0 + V x (3.3) ξ Ammettendo che vi sia una relazione lineare fra deformazione e sforzo longitudinale applicato sul singolo tassello, avremo: u (ξ) = τ x (ξ) C k dove C k rappresenta la rigidezza longitudinale del battistrada. A questo punto, è ragionevole aspettarsi che, almeno per un certo tratto in corrispondenza dell ingresso del segmento di contatto, il battistrada aderisca alla superficie stradale. In questa zona di aderenza, la velocità del tassello espressa dalla (3.1) dovrà annullarsi: da cui si ottiene: È immediato scrivere: (3.1) V x ωr 0 + V x 1 C k τ x ξ = 0 (3.4) V x ( Vx ωr 0 V x + 1 ) τ x = 0 C k ξ τ x ξ = C V x ωr 0 k = C k s (3.5) V x dove si riconosce a secondo membro lo scorrimento pratico definito dalla (2.5). Occorre a questo punto fare una precisazione: la velocità, che abbiamo chiamato di alimentazione, con cui il battistrada entra all interno del contatto non è eguale a V x, come abbiamo ammesso, bensì a V r = ωr 0, leggermente diversa dalla prima. In ragione di ciò, la (3.2) si trasforma nella: ξ t = ωr 0 e, conseguentemente, dalla (3.1) avremmo ottenuto, invece della (3.5), la seguente: τ x ξ = C V x ωr 0 k = C k σ (3.6) ωr 0 Avendo supposto α = 0, potremmo scrivere V al posto di V x, ma si preferisce seguire questa formulazione perché più generale. In realtà, è la sola componente s x, ma nel caso in esame coincide con lo scorrimento essendo nullo l angolo di deriva α. 13

24 3.1. Scorrimento longitudinale 3. IL MODELLO A SPAZZOLA In realtà, non vi è grossa differenza nell uso dell una o dell altra relazione, poiché, come abbiamo avuto modo di notare nel precedente capitolo, i due scorrimenti differiscono solo nel modulo. D altra parte, come si capirà in seguito, quello a spazzola è un modello di tipo qualitativo, in quanto, per conoscere le τ x (ξ), saremo costretti a ipotizzare un andamento, seppur ragionevole, delle p (ξ). Pertanto, non perdendo alcuna informazione in merito all andamento qualitativo delle τ x, preferiamo per semplicità far uso dello scorrimento pratico, anziché di quello teorico. Detto questo, integrando la (3.5), otteniamo: τ x (ξ) = τ x (0) C k sξ Poiché in corrispondenza del bordo d ingresso il battistrada non può essere compresso, in quanto proviene da una zona non in contatto con la strada e, pertanto, non sottoposto ad alcuna forza, avremo: τ x (0) = 0 e, quindi: τ x (ξ) = C k sξ (3.7) La precedente è valida fintanto che vale la (3.4), ossia fintanto che il battistrada aderisce alla strada. Nella zona posteriore della superficie di contatto, si instaureranno degli strisciamenti fra pneumatico e strada: se ammettiamo che il tassello si comporti in base alla legge di Coulomb, avremo che la relazione appena trovata sarà valida fintanto che le τ x non superino il valore limite imposto dal prodotto f s p (ξ), mentre nella restante parte sarà τ x (ξ) = f cin p (ξ). Concludendo, abbiamo: { τx (ξ) = C k sξ ove τ x (ξ) f s p (ξ) (3.8) τ x (ξ) = f cin p (ξ) altrove Si comprende ora quello che si è detto sul carattere qualitativo di questo modello: l andamento delle τ x (ξ) è ottenuto in funzione di quello della p (ξ), per ottenere il quale andrebbero svolte indagini più precise e complesse (come, ad esempio, analisi ad elementi finiti). Generalmente, si preferisce ipotizzare per la sua semplicità un andamento delle pressioni parabolico, con l accortezza di imporre in corrispondenza degli estremi del segmento 2a una pressione nulla, come fisicamente richiesta dalla presenza di una certa rigidezza del pneumatico. (a) Caso f cin = f s (b) Caso f cin < f s Fig. 3.2: Andamento delle tensioni longitudinali τ x (ξ) secondo il modello a spazzola 14

25 3.2. Scorrimento laterale 3. IL MODELLO A SPAZZOLA In Fig. 3.2 si riporta graficamente la soluzione della espressione (3.8), in cui si distingue l andamento lineare delle tensioni longitudinali fintanto che è soddisfatta la condizione di aderenza (per quel dato valore di scorrimento) e il successivo andamento parabolico (o comunque proporzionale a quello ipotizzato per la pressione) nel restante tratto finale di miscroslittamenti. La forza longitudinale risultante, data dall integrale della (3.8): T x = è rappresentata in Fig. 3.3 al variare dello scorrimento. 2a 0 τ x (ξ) dξ Fig. 3.3: Forza longitudinale al variare dello scorrimento 3.2 Scorrimento laterale In maniera del tutto analoga, si può sfruttare il modello a spazzola per valutare le azioni tangenziali che si scambiano ruota e strada. Si pensi semplicemente di applicare un angolo di deriva non nullo al sistema che abbiamo già presentato nel precedente paragrafo e al contempo supporre nulla la componente longitudinale T x della forza di contatto, ossia nullo lo scorrimento longitudinale del pneumatico (la componente longitudinale della velocità del centro della ruota è uguale a quella di puro rotolamento). A questa configurazione si da il nome di deriva semplice del pneumatico. La configurazione dell orma di contatto è quella di fig. 3.4, dove si è indicato con w (ξ) la deformazione laterale che subisce il tassello di pneumatico individuato dalla coordinata ξ, ancora orientata in verso opposto a x e con origine nel bordo di ingresso dell orma di contatto. Anche in questo caso si considera (modello a spazzola) che la deformazione di ciascun tassello è indipendente da quella dei tasselli adiacenti. Considerando ancora il singolo elemento di battistrada di posizione ξ, la velocità laterale con la quale si muove nell orma di contatto è data da: v y (ξ) = V sin α + dw dt Occorre, a questo punto, osservare che l angolo di deriva α è, nelle normali condizioni di marcia, dell ordine di 2 4 ; si potranno pertanto considerare accettabili le seguenti approssimazioni: sin α tan α α. (3.9) Più precisamente il modulo. 15

26 3.2. Scorrimento laterale 3. IL MODELLO A SPAZZOLA Fig. 3.4: Modello a spazzola per deriva Si può pertanto riscrivere la (3.9) nella forma: v y (ξ) = V α + w ξ ξ t = V α + V w ξ (3.10) Nella zona di aderenza dovrà realizzarsi la condizione: v y = 0, ossia: Vale, in definitiva: Integrando, si ottiene: V α + V w ξ = 0. w ξ = α (3.11) w (ξ) = αξ (3.12) avendo già considerato che la deformazione al bordo di ingresso deve essere nulla perché il battistrada proviene da una regione non soggetta sollecitazioni. Indicando con C k la rigidezza trasversale del pneumatico, si può ipotizzare una relazione lineare fra deformazione e tensione: w (ξ) = τ y (ξ). C k Sfruttando la (3.12), possiamo scrivere: τ y (ξ) = C kαξ (3.13) Per le stesse ragioni che abbiamo detto nel caso delle tensioni longitudinali, la (3.13) vale fintanto che τ y (ξ) f s p (ξ). Sarà, in definitiva: { τy (ξ) = C kαξ ove τ y (ξ) f s p (ξ) (3.14) τ y (ξ) = f cin p (ξ) altrove La risultante delle forze laterali si ottiene integrando la precedente: T y (ξ) = 2a 0 16 τ y (ξ) dξ

27 3.2. Scorrimento laterale 3. IL MODELLO A SPAZZOLA Fig. 3.5: Andamento delle tensioni laterali τ y (ξ) secondo il modello a spazzola Poiché, come si osserva dalla Fig. 3.5, la distribuzione delle tensioni non è simmetrica, si genera un momento diretto secondo l asse z dato da: M z (ξ) = 2a 0 τ y (ξ) (ξ a) dξ L andamento del momento M z, detto di autoallineamento, è rappresentato in Fig Si osserva che per valori di α molto piccoli, la zona di aderenza coincide approssimativamente con l intera orma di contatto e conseguentemente il momento di autoallinamento vale: M z (ξ) α 0 T y a 3 Invece, per valori alti di α, in corrispondenza dei quali la distribuzione delle tensioni tangenziali è pressoché simmetrica, il momento, in virtù di detta simmetria, dovrà annullarsi. Fig. 3.6: Momento di autoallinemento secondo il modello a spazzola (Fonte: [2]) Concludiamo osservando che la zona effettiva di aderenza è individuata da una relazione del tipo: τ (ξ) < f s p (ξ) 17

28 3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLA dove con τ si è indicato il modulo della tensione tangenziale totale, pari alla somma (vettoriale) delle due tensioni longitudinale τ x e laterale τ y. In altri termini, possiamo affermare che l impegno di aderenza in una direzione toglie aderenza nell altra. 3.3 Coefficiente di aderenza Quando si studiano le forze scambiate nell interfaccia pneumatico strada (o, analogamente, ruota rotaia) piuttosto che parlare in termini di coefficiente d attrito si preferisce introdurre un nuovo coefficiente, chiamato coefficiente di aderenza e definito dalla seguente relazione: µ (s, α, N) = T N (3.15) Dalla definizione (3.15) appare evidente che concettualmente coefficiente d attrito e coefficiente di aderenza sono la stessa cosa: si preferisce usare quest ultimo, però, per evidenziare la dipendenza di questo fattore da valori locali di alcune grandezze significative, quali appunto lo scorrimento s, l angolo di deriva α e il carico normale N. Nello studio della dinamica longitudinale di un veicolo è di interesse immediato l andamento, al variare dello scorrimento, del coefficiente di aderenza µ x : µ x = T x N Questa curva si ricava immediatamente dai risultati trovati nel paragrafo 3.1, con particolare riferimento alla (3.8) e alla Fig Occorre, però, fare una precisazione: tutti i grafici sperimentali che valutano l andamento delle forze e dei coefficienti di aderenza in funzione degli scorrimenti fanno uso di una convenzione opposta a quella da noi usata nella definizione di scorrimento. Fermo restando la validità dei risultati ottenuti, ci uniformeremo, qui e nel seguito, a questa convenzione, cambiando il segno allo scorrimento, le cui nuove componenti saranno date da: s x = ω ω 0 1 s y = tan α (3.16) Sul grafico di Fig. 3.7 si riporta l andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µ x al variare dello scorrimento. Si individuano due valori notevoli del coefficiente di aderenza: il valore di picco µ P e il valore in slittamento puro µ S. A rigore, come giustamente segnalato in figura, questi valori differiscono fra la frenatura e l accelerazione, ma la differenza è tale da poter ammettere che siano uguali. Si fa notare che il superamento del valore di picco µ Pf in frenatura rappresenta una condizione instabile: all aumento della coppia frenante abbiamo visto corrispondere un aumento dello scorrimento, a cui corrisponde, da quanto si evince dalla Fig. 3.7, una riduzione del µ x, ossia della forza frenante. Ne consegue l immediato bloccaggio delle ruote. In Fig. 3.8 è mostrato la forte variabilità del coefficiente di aderenza al variare delle condizioni dell asfalto. Condizione particolarmente critica (non prendendo in considerazione il caso di strada innevata o ghiacciata, in cui l aderenza si mantiene su valori sempre molto bassi) è quella in cui la strada sia solo parzialmente bagnata e piena di sporcizia, condizione che si realizza piuttosto frequentemente alle prime acque autunnali. In tali condizioni, il coefficiente di aderenza è assai variabile da punto a punto e, mentre dove si realizzano condizioni di scarso scorrimento l aderenza è ragionevolmente elevata, là dove lo scorrimento è più alto il coefficiente µ x può assumere valori assai più bassi del massimo. Del valore assoluto, con la nuova convenzione dei segni. 18

29 3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLA Fig. 3.7: Andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µ x al variare dello scorrimento pratico s (in figura indicato con σ) (Fonte: [5]) Fig. 3.8: Andamento di µ x in differenti condizioni di asfalto (Fonte: [5]) 19

30 3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLA In tabb. 3.1 e 3.2 si riportano i valori tipici che possono assumere i due coefficienti µ P e µ S per diverse tipologie di pneumatici e strada: si osservi come in condizione di asfalto favorevole con i diffusi pneumatici radiali la massima forza longitudinale trasmissibile possa anche superare del 20% il carico normale agente sulla ruota. Tab. 3.1: Valori di µ P per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5]) Tipo pneumatico Cemento Tipo di strada Asfalto Asciutto Bagnato Asciutto Bagnato Neve Ghiaccio Radiale 1,19 0,99 1,22 1,10 0,45 0,25 Convenzionale 1,13 0,84 1,02 1,07 0,27 0,24 Radiale (da neve) 1,04 1,12 0,62 0,83 1,00 1,09 1,00 1,10 0,36 0,47 0,24 0,44 Convenz. (da neve) 0,86 1,02 0,59 0,70 0,81 0,89 0,78 1,02 0,41 0,48 0,29 0,37 Catene 0,60 0,40 Tab. 3.2: Valori di µ S per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5]) Tipo pneumatico Cemento Tipo di strada Asfalto Asciutto Bagnato Asciutto Bagnato Neve Ghiaccio Radiale 0,95 0,73 1,03 0,90 0,43 0,16 Convenzionale 0,99 0,62 0,88 0,80 0,22 0,18 Radiale (da neve) 0,88 1,00 0,50 0,61 0,87 0,99 0,77 0,93 0,35 0,45 0,22 0,41 Convenz. (da neve) 0,72 0,90 0,47 0,57 0,70 0,78 0,67 0,84 0,39 0,47 0,29 0,36 Il valore massimo della forza longitudinale diminuisce all aumentare della velocità, ma questa diminuzione è fortemente influenzata dalle condizioni della strada: come si può osservare dalla fig. 3.9, questa diminuzione non è molto importante su strada asciutta, ma diventa significativa su strada bagnata. La Fig mostra come l aumento di µ P dovuto all usura del battistrada possa essere molto sensibile alle alte velocità. La cosa non deve trarre in inganno: il grafico di Fig fa riferimento a superfici asciutte, mentre la presenza di uno strato di acqua peggiora l aderenza in maniera molto più sensibile su pneumatici usurati (si veda al riguardo la Fig. 3.11). Infatti, qualora lo spessore dello strato di acqua è notevole e la velocità abbastanza sostenuta, può realizzarsi una condizione di sostentamento idrodinamico noto come aquaplaning. La superficie di contatto è in queste condizioni assai ridotta e le condizioni di contatto che ne derivano ricordano un po quelle tipiche delle superfici lubrificate. Osserviamo, infine, che il coefficiente di aderenza longitudinale diminuisce all aumentare del carico (Fig. 3.12): al contempo, però, la forza longitudinale aumenta essendo essa pari al prodotto del coefficiente di aderenza per il carico normale. 20

31 3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLA Fig. 3.9: Influenza della velocità di marcia sui valori di µ x (Fonte: [5]) Fig. 3.10: Influenza dell usura sull andamento del massimo di µ x con la velocità (Fonte: [5]) Fig. 3.11: Fenomeno dell aquaplaning per pneumatico con battistrada (curve A) e senza (curve B) (Fonte: [5]) 21

32 3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLA Fig. 3.12: Diminuzione del coefficiente di aderenza longitudinale all aumentare del carico normale applicato alla ruota (Fonte: [5]) 22

33 Capitolo 4 Aderenza generalizzata Per lo studio dei fenomeni di interazione fra pneumatico e strada sono stati sviluppati diversi modelli, oltre a quello a spazzola presentato nel precedente capitolo. Sostanzialmente, i modelli si suddividono in: fisici: riproducono il reale contatto fra pneumatico e strada, così da prevedere il comportamento dei fenomeni; semiempirici: si basano su formule matematiche che riproducono in maniera approssimata ma abbastanza precisa l andamento delle forze di un dato pneumatico, al variare di alcune grandezze caratteristiche. Dipendono da alcuni coefficienti che devono necessariamente essere valutati per via sperimentale. In questo capitolo, ci proponiamo di presentare uno dei più validi modelli semiempirici per la ricostruzione analitica del contatto e di sviluppare alcuni concetti sull interazione dei vari parametri nell aderenza del pneumatico. 4.1 Magic Formula Fra i modelli empirici di maggior rilevanza per l accuratezza dei risultati ottenuti vi è il modello matematico di Pacejka ([8]), anche detto della magic formula. Questa formula si può utilizzare per esprimere diverse grandezze, come la forza di deriva o il momento di autoallineamento o la forza longitudinale, in funzione degli altri parametri. Applicandola al caso della forza longitudinale, avremo qualcosa del tipo: ( F x = D sin C arctan {B ( 1 E )( ) [ s x + S h + E arctan B ( ) ]}) s x + S h + S v (4.1) dove i coefficienti B, C, D, E, S h, S v dipendono dal carico F z e dall angolo di campanatura γ, devono essere ricavati sperimentalmente e non hanno significato fisico. Si fanno le seguenti osservazioni: è una funzione dispari, antisimmetrica: è sostanzialmente una funzione seno; D fornisce direttamente il valore massimo di F x ; vale, per quanto detto al punto precedente: D = µ xp F z ; S h e S v sono parametri di offset per permettere eventualmente valori non nulli di forza in corrispondenza di scorrimento nullo; il prodotto BCD fornisce la pendenza della curva per s x + S h = 0. 23

34 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA Si assume poi: µ xp = b 1 F z + b 2 ; C = b 0 ; b 0 = 1,65; BCD = ( b 3 F 2 z + b 4 F z ) e b 5F z ; E = b 6 F 2 z + b 7 F z + b 8 ; S h = b 9 F z + b 10 ; S v = 0. Dalla formula (4.1) e successive assunzioni si osserva che la funzione F x = f (N, s x ) viene fatta dipendere da 10 parametri b i che vengono calcolati con metodi di identificazione in maniera da interpolare la curva sperimentale. Per la sua stessa espressione, si accetta implicitamente che il comportamento in frenatura e in accelerazione sia antisimmetrico. Inoltre, poiché B, C e D dipendono dal carico normale, può essere conveniente studiarli in forma adimensionale, fornendo le seguenti definizioni: fattore di forma: C = P C1 λ C fattore di picco: D = µf z coefficiente d attrito: µ = (P D1 + P D2 df z ) λ µ fattore di curvatura: E = ( P E1 + P E2 df z + P E3 df 2 z ) {1 PE4 sign (s + S h )} λ E rigidezza di slittamento: K = F z [ (PK1 + P K2 df z ) e P K 3 df z ] λk fattore di rigidezza: B = K/CD shift orizzontale: S h = (P H1 + P H2 df z ) λ H shift verticale: S V = F z (P V1 + P V2 df z ) λ V λ µ In questo modo, la dipendenza da F z viene tenuta in conto con: df z = F z F z0 F z0 Con questa formulazione, vengono introdotti 6 fattori di scala (λ C, λ µ, λ E, λ K, λ H, λ V ) che permettono di scalare, appunto, la formula senza cambiare tutti i parametri in essa contenuti. 4.2 Aderenza generalizzata in direzione laterale La generazione di forze tangenziali nel contatto ruota strada avviene in seguito alla deformazione del pneumatico in direzione laterale. In particolare, la forza scambiata fra ruota e strada (o rotaia) è dovuta alla presenza di una zona, più o meno estesa, in cui si instaurano dei microslittamenti fra le due superfici in contatto. La presenza di un angolo di deriva implica il fatto che la ruota non sia in rotolamento puro ma questo non significa che essa strisci sulla strada. Infatti, la deformabilità del pneumatico permette alla ruota di muoversi con la stessa velocità del suolo, ossia di aderire ad esso. Tuttavia, per ripristinare le condizioni di moto del pneumatico indeformato, in corrispondenza dell uscita dell orma di contatto, si dovranno instaurare degli slittamenti fra pneumatico e strada che coinvolgeranno una zona sempre più estesa man mano che la 24

35 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA deriva aumenta, fino a coinvolgere l intera orma di contatto e a portare così la ruota in una condizione di vero e proprio slittamento. Il fatto, insito nella presenza stessa dell angolo di deriva, che il vettore velocità non giaccia nel piano medio della ruota implica che la forma della superficie di contatto sia distorta, come mostrato in Fig Nella stessa figura si mostra anche, qualitativamente, l incremento dell estensione della zona di strisciamento all aumentare dell angolo di deriva. Fig. 4.1: Distorsione dell orma di contatto per la presenza della deriva [5] Per comprendere le ragioni di questa deformazione, si consideri un tassello del battistrada giacente, a riposo, sul piano medio del pneumatico, la cui proiezione è l asse X di Fig Se si segue il moto di questo tassello a partire dalla zona indeformata, ossia al di fuori dell orma, mano a mano che esso si avvicina al punto di contatto A, esso tenderà a uscire dal piano medio per poter seguire la traiettoria impostagli dalla direzione della velocità V. Il tassello del battistrada seguirà, quindi, una traiettoria parallela alla velocità fino al punto B, mantenendosi aderente al suolo. Oltre il punto B le forze di richiamo verso il piano di simmetria saranno di intensità tale da farlo deviare, costringendolo a strisciare sul terreno. È intuitivo che maggiore è l angolo di deriva, maggiori saranno le deformazioni che subirà il pneumatico nel tratto A B, maggiori saranno le forze di richiamo e, conseguentemente, maggiore dovrà essere l estensione della zona di strisciamento B C necessaria per riallineare il battistrada con il centro ruota. In Fig. 4.2 sono riportati gli andamenti delle grandezze fondamentali lungo l orma di contatto di un pneumatico in deriva. Si osserva che le distribuzioni delle azioni tangenziali τ y e normali σ z non sono simmetriche e questo implica che le risultanti F y e F z non sono applicate nel centro della zona di contatto: la F z è applicata in un punto spostato in avanti rispetto alla direzione di moto e determina il momento resistente dovuto al rotolamento, mentre la risultante F y delle azioni laterali è applicata in una posizione arretrata di un braccio t rispetto al centro dell orma. Si instaura, quindi, un momento di autoallineamento M z = F y t che tende a riportare il piano di simmetria della ruota nella direzione della velocità. Nelle figure seguenti si riportano gli andamenti delle grandezze fondamentali al variare di diversi parametri significativi del moto. In particolare, dalla Fig. 4.5 si osserva che, all aumentare della velocità, le grandezze F y (α), t (α) e M z (α), dopo un primo tratto in cui assumono pressoché lo stesso valore, tendono a diminuire per valori più elevati di α Spinta di campanatura Qualora sia presente un angolo di campanatura non nullo, si instaura una forza laterale, chiamata spinta di campanatura, anche se non si ha deriva. A parità di angoli γ e α, la spinta di campanatura è generalmente assai inferiore rispetto alla forza di deriva. Essa dipende dal carico normale F z e, fissato che sia quest ul- 25

36 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA Fig. 4.2: Deformazioni laterali, distribuzione delle azioni tangenziali e normali, slittamento e velocità laterali in un pneumatico in deriva [5] Fig. 4.3: Forza laterale F y e momento di autoallineamento M z in funzione dell angolo di deriva α [5] 26

37 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA Fig. 4.4: Andamenti di F y, t e M z al variare di F z in funzione di α [5] Fig. 4.5: Curve qualitative F y (α), t (α) e M z (α) al variare della velocità V [5] 27

38 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA timo, varia in maniera pressoché lineare con l angolo di campanatura (Fig. 4.6: si osservi che la spinta di campanatura è negativa per γ > 0, ossia la direzione è opposta a quella mostrata schematicamente in figura). Fig. 4.6: Spinta di campanatura in funzione del carico normale e dell angolo di campanatura [5] La spinta di campanatura è di solito applicata anteriormente al centro dell orma di contatto e produce un momento M zγ di entità generalmente trascurabile. Si tenga presente che le forze laterali dovute alla campanatura e alla deriva sono applicate contemporaneamente e la risultante che si ottiene, come mostrato in Fig. 4.7, risente maggiormente del contributo dovuto alla campanatura per bassi valori dell angolo di deriva. Da quanto abbiamo fin qui esposto, ci si può ragionevolmente aspettare che, annullando gli angoli di deriva e di campanatura, la forza laterale e il momento di autoallineamento generati dal pneumatico si annullino anch essi. In realtà, ciò non è quasi mai verificato per una serie di ragioni. Innanzitutto, il comportamento di un pneumatico non è mai simmetrico, ma, a causa dell isteresi dovuta al materiale di cui è costituito, può rimanere una piccola forza residua anche quando si sia annullata la deriva del pneumatico stesso. A questo si aggiunge la possibilità che, per le imprecisioni di lavorazione, la forma della ruota presenti una certa conicità: essa tenderà quindi a rotolare su una traiettoria non più rettilinea, bensì circolare. Un altro fattore che influenza questa asimmetria di comportamento di un pneumatico è il cosiddetto ply steer, dovuto alla sua tipica struttura a tele incrociate. Infatti, l angolo e l ordine con cui sono posizionate le varie tele fa sì che, anche in rotolamento puro, il pneumatico rotoli lungo una retta inclinata rispetto al suo piano medio: ciò determina l instaurarsi di una forza laterale, il cui verso, però, non cambia pur se si monta il pneumatico ruotato di 180 sul cerchio. Appare evidente che l effetto dovuto al ply steer può essere controllato con una buona precisione, in quanto dipende sostanzialmente dalla progettazione della disposizione delle tele. Questa controllabilità del fenomeno può essere sfruttata per limitare l uso della convergenza, il cui scopo è garantire alla traiettoria 28

39 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA Fig. 4.7: Forza laterale al variare di γ [5] Fig. 4.8: Momento di autoallineamento al variare di γ [5] 29

40 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA rettilinea la condizione di moto stabile; con la differenza che il ply steer, rispetto alla convergenza, non comporta l aumento della resistenza al rotolamento Diagramma di Gough Per avere un quadro di insieme sul comportamento laterale del pneumatico, è molto utile far uso di un diagramma del tipo rappresentato in Fig. 4.9, dove la forza laterale F y è riportata in funzione del momento di autoallineamento M z con F z, α e t come parametri. Fig. 4.9: Diagramma di Gough per un pneumatico radiale per auto (in alto) e per uno convenzionale per autocarro (in basso) [5] Si è detto che il momento di autoallineamento viene percepito dal guidatore come una reazione sullo sterzo: poiché (come è evidente dalla Fig. 4.9) al diminuire della forza laterale il momento tende a zero, la diminuzione della reazione sullo sterzo dovrebbe essere sentore di condizione di rischio. In realtà, un pneumatico di cattiva qualità può conservare un valore relativamente elevato di momento di autoallineamento anche per valori pericolosamente bassi della spinta laterale. La Fig mostra come il pneumatico di curva caratteristica b) al crescere della velocità presenta una marcata riduzione della forza di deriva che però non è accompagnata dalla riduzione del momento Carpet Plot In quest altro tipo di diagramma si riportano le grandezze considerate (tipicamente forze o coefficienti di aderenza) in funzione dell angolo di deriva per diversi valori del carico verticale, con l accortezza di traslare lungo l asse delle ascisse le curve ottenute per diversi valori di F z di quantità proporzionali al carico stesso (in Fig ne è riportato un esempio). Per poter leggere un digramma di questo tipo, poiché le curve sono shiftate a seconda del carico verticale, occorre riportare anche le curve iso deriva, come fatto in figura. 30

41 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA Fig. 4.10: Diagrammi di Gough a differenti velocità per un carico F z fissato: a) pneumatico con comportamento soddisfacente; b) pneumatico con comportamento insoddisfacente [5] Fig. 4.11: Carpet Plot del coefficiente di aderenza laterale [5] 31

42 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA Rigidezza di deriva e di campanatura Abbiamo visto (Fig. 4.3, per esempio) che per bassi valori dell angolo di deriva la forza laterale ha un andamento pressoché lineare con α, per cui si può definire una rigidezza di deriva come la pendenza della curva F y (α) nell origine: C α = F y α (4.2) α=0 Pertanto, per bassi valori di α è lecito scrivere: F y = C α α (4.3) Si definisce anche un coefficiente di rigidezza laterale come il rapporto fra la rigidezza di deriva e il carico normale: valori tipici di questo rapporto sono di 0,15 1 per pneumatici radiali e 0,12 1 per pneumatici convenzionali. In maniera analoga si definisce la rigidezza di campanatura: C γ = F y camp γ (4.4) γ=0 Al rapporto fra questa grandezza e la forza normale si da il nome di coefficiente di rigidezza di campanatura e assume valori dell ordine di 0,021 1 per pneumatici radiali e 0,01 1 per pneumatici convenzionali. Per il calcolo della forza laterale può, quindi, essere conveniente utilizzare un modello linearizzato ed esprimere la F y come : F y = C α α + C γ γ (4.5) La validità della (4.5) è del tutto accettabile per angoli α 4 e γ 10, circa. Un procedimento del tutto analogo può essere applicato al momento di autoallineamento, definendo le rigidezze come: (M z ),α = M z α α=0 (M z ),γ = M z γ γ=0 ed esprimere il momento secondo un espressione lineare del tipo: M z = (M z ),α α + (M z ),γ γ I coefficienti di rigidezza per il momento di autoallineamento assumono i seguenti valori: [ ] (M z ),α 0,01 m/deg conven. [ ] F z 0,013 m/deg radiali [ ] (M z ),γ 0,001 m/deg conven. [ ] F z 0,0003 m/deg radiali Occorre osservare che nella definizione che abbiamo dato dei coefficienti di rigidezza di deriva e di campanatura è implicita una dipendenza lineare delle forze laterali dal carico normale applicato. In realtà, la rigidezza di deriva ha un andamento lineare con il carico normale soltanto per bassi valori di quest ultimo: per valori più alti, la rigidezza cresce in maniera molto meno sensibile, al punto che si può spesso ritenere che si raggiunga una sorta di saturazione (Fig. 4.12). Si tenga presente l osservazione fatta sul segno della spinta di campanatura che è negativa per γ > 0. 32

43 4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA Fig. 4.12: Rigidezza di deriva in funzione del carico F z [5] Magic formulae per il comportamento laterale Si riportano di seguito le magic formulae ricavate con il modello semi-empirico di Pacejka [8]: valgono le stesse considerazioni che si sono fatte ad inizio del capitolo. dove vale: ( F y = D sin C arctan {B ( 1 E )( ) [ α + S h + E arctan B ( ) ]}) α + S h + S v (4.6) BCD = C α essendo C α la rigidezza di deriva. In maniera del tutto analoga al caso già presentato si forniscono una serie di espressioni per i vari componenti: C = a 0 = 1,30; D = µ yp F z ; µ yp = a 1 F z + a 2 ; E = a 6 F z + a 9 ; [ ( )] F BCD = sin 2 arctan z a 4 (1 a 5 γ ); S h = a 8 γ + a 9 F z + a 10 ; S v = a 11 F z + a 12 F z + a 13 ; a 11 = a 111 F z + a 112 Si osserva, per inciso, che i termini S v e S h tengono conto del ply steer e della conicità del pneumatico. Espressione analoga si definisce anche per il momento di autoallineamento: 33

44 4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali 4. ADERENZA GENERALIZZATA dove però si pone: C = C 0 ; D = c 1 F 2 z + c 2 F z ; ( M z = D sin C arctan {B ( 1 E )( ) [ α + S h + E arctan B ( ) ]}) α + S h + S v (4.7) E = ( c 7 F 2 z + c 8 F z + c 9 ) (1 + c10 γ ); BCD = ( c 3 F 2 z + c 4 F z ) (1 c6 γ ) e c5fz ; S h = c 11 γ + c 12 F z + c 13 ; S v = ( c 14 F 2 z + c 15 F z ) γ + c16 F z + c 17 Anche in questo caso le varie grandezze non sono dimensionalmente congruenti essendo espresse F z in (kn), α e γ in (deg), F y in (N) e M z in (N m). 4.3 Interazione tra forze longitudinali e trasversali Abbiamo già avuto modo di notare nel precedente capitolo che quanto fin qui esposto è valido solamente quando il pneumatico sviluppa forze solamente longitudinali o trasversali; ben diversa può essere la situazione se gli è richiesta la contemporanea produzione di forze in entrambe le direzioni. Infatti, l impegno di aderenza in una direzione riduce l aderenza disponibile nell altra. Più precisamente, applicando una forza motrice o frenante ad un pneumatico che abbia un certo angolo di deriva, la forza di deriva si riduce, così come si riduce la forza longitudinale che un pneumatico può esercitare se è presente anche una forza laterale. Fig. 4.13: Coefficienti di aderenza in funzione dello scorrimento per diversi valori dell angolo di deriva [5] Il fenomeno è chiarito dalla Fig. 4.13: al crescere della deriva, il valore di aderenza longitudinale di picco si riduce considerevolmente, mentre resta pressoché invariata l aderenza in condizioni di slittamento. Al contempo l aderenza laterale, a parità di angolo di deriva, dimuisce in maniera assai considerevole con l aumentare dello scorrimento: il valore di aderenza laterale a ruote bloccate è comunque sempre alquanto limitato. 34

45 4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali 4. ADERENZA GENERALIZZATA Diagramma polare Si può pensare quindi di riportare la forza laterale in funzione di quella longitudinale prendendo come parametro l angolo di deriva: ciascun punto della curva ottenuta corrisponde a valori diversi dello scorrimento longitudinale. Il procedimento può essere esteso anche al momento di autoallineamento, ottenendo la Fig Fig. 4.14: Diagramma polare [5] A rigore, le curve di forza non sono simmetriche rispetto alle ordinate, ossia il massimo di forza laterale sviluppabile dal pneumatico si raggiunge quando si ha la contemporanea azione di una leggera forza frenante. Osservando la Fig. 4.14, si constata che quando si applica una elevata forza frenante il momento cambia di segno e questo ha un effetto destabilizzante perché tende a far aumentare l angolo di deriva. Generalmente si preferisce riportare il digramma polare invertendo l asse delle ordinate, ottenendo la Fig. 4.15: la curva tratteggiata rappresenta l inviluppo dei grafici ottenuti per diversi valori di α e identifica il valore della forza risultante massima esercitabile dal pneumatico. Fig. 4.15: Diagramma polare ribaltato : grafico sperimentale [5] Se F è la forza esercitata dal pneumatico e F x e F y sono le sue componenti, il coefficiente di aderenza della forza risultante può essere espresso come: µ = F F z = µ 2 x + µ 2 y (4.8) Nei modelli più semplici si ipotizza che la curva dell inviluppo di Fig sia un cerchio, chiamato cerchio di aderenza. In realtà, µ x è maggiore di µ y e per di più le curve non sono perfettamente simmetriche. Si Detto in altri termini, le curve non sono delle vere e proprie semi ellissi, anche se si approssimano a tali. 35

46 4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali 4. ADERENZA GENERALIZZATA tenga, poi, presente che, qualunque sia il tipo di approssimazione che si faccia, la forza F ha una forte dipendenza dalla velocità. Approssimazione ellittica Generalmente non si commette un grosso errore ad approssimare la curva inviluppo di Fig (per un dato valore di α) con un ellisse di espressione: ( Fy F y0 ) 2 ( ) 2 Fx + = 1 (4.9) F x0 dove F y0 è il valore di F y esercitata con F x = 0 per un dato α, mentre F x0 è la massima forza longitudinale per α = 0. Se si introduce la rigidezza di deriva (4.2), la precedente diventa: ( ) 2 ( ) 2 Cα Fx + = 1 (4.10) C 0 α F x0 dove C 0 è la rigidezza di deriva del pneumatico in assenza di forze longitudinali. In questo modo la rigidezza di deriva C di un pneumatico che sta esercitando una forza longitudinale F x può essere espressa in funzione della rigidezza C 0 che lo stesso pneumatico sviluppa in assenza di forze longitudinali per mezzo della: ( ) 2 Fx C = C 0 1 (4.11) F x0 36

47 Capitolo 5 Richiami di aerodinamica 5.1 Sistemi di riferimento Prima di passare allo studio delle azioni aerodinamiche occorre fare una precisazione sui sistemi di riferimento di cui si fa uso nello studio del moto di un veicolo: Sistema assi suolo XYZ: Sistema di riferimento fisso rispetto alla strada. Gli assi X e Y giacciono su un piano orizzontale (con l asse X orientato secondo la linea mediana della strada) mentre l asse Z è verticale e diretto verso l alto. Sistema assi corpo xyz: Sistema solidale al veicolo, centrato nel suo baricentro. L asse x si trova nel piano di simmetria del veicolo ed è orizzontale, l asse z si trova anch esso nello stesso piano ed è veerticale e diretto verso l alto, mentre l asse y è perpendicolare agli altri due. Sistema assi vento x y z : Sistema solidale con il veicolo, simile al sistema assi corpo con la differenza che l asse x è diretto secondo la velocità relativa V r fra aria e veicolo, nel verso opposto (FIg. 5.1). È il sistema di riferimento usato nello studio dell aerodinamica. Fig. 5.1: Sistemi di riferimento (Fonte: [5]) La velocità relativa V r dell aria rispetto al veicolo è la differenza fra la velocità V del veicolo stesso e quella v v del vento. All angolo β che la velocità V forma con l asse x si da il nome di angolo di deriva del veicolo o angolo di assetto. Analogamente, l angolo β a fra lasse x, ossia V r, e l asse x prende il nome di angolo di deriva aerodinamico. 37

48 5.2. Forze aerodinamiche 5. RICHIAMI DI AERODINAMICA 5.2 Forze aerodinamiche La risultante F a delle azioni aerodinamiche è applicata nel centro di spinta, che generalmente non coincide con il baricentro. Poiché risulta più agevole, anche dal punto di vista sperimentale, ritenere la F a applicata nel baricentro, occorrerà introdurre dei momenti di trasporto aerodinamici per rendere conto di questo disallineamento. Si definiscono le seguenti componenti delle azioni aerodinamiche nel sistema assi vento: resistenza F xv : è l unica che compie lavoro; devianza F yv portanza F zv Le componenti della forza aerodinamica rispetto al sistema assi corpo prendono il nome di: resistenza longitudinale F xa resistenza laterale F ya resistenza verticale F za Quelle del momento aerodinamico nello stesso sistema assi corpo sono dette invece: momento di rollio M xa momento di beccheggio M ya momento di imbardata M za Nello studio sperimentale dell aerodinamica di un veicolo si introducono i coefficienti adimensionali: C x = C x = F x a 1 2 ρsv r 2 M a x 1 2 ρslv r 2 C y = C y = F y a 1 2 ρsv r 2 M a y 1 2 ρslv r 2 C z = C z = F z a 1 2 ρsv r 2 M a z 1 2 ρslv r 2 In Tab. 5.1 sono riportati valori tipici assunti dal C x per diverse tipologie di veicoli: si tenga presente che i coefficienti adimensionali vengono calcolati per β a = 0 fissando la superficie S e la lunghezza l (tipicamente si assume S = 2 m 2 ); poi, mantenendo S e l costanti, si vede come variano i coefficienti adimensionali al variare di β a. Tab. 5.1: Valori tipici di C x Tipo veicolo C x tipico auto 0,28 0,32 bus 0,6 0,7 autocarri 0,8 38

49 5.2. Forze aerodinamiche 5. RICHIAMI DI AERODINAMICA (a) C x (b) C y (c) C z Fig. 5.2: Andamento qualitativo dei coefficienti adimensionali aerodinamici in funzione dell angolo di inclinazione del vento 39

50 Capitolo 6 Frenatura Si consideri la Fig. 6.1, in cui sono mostrate tutte le forze agenti su un veicolo in salita su una strada in rettilineo, in assenza di vento laterale. Il veicolo è modellato come un corpo rigido in moto traslatorio. Con questa ipotesi si considerano nulli gli effetti delle sospensioni (in termini di beccheggio della cassa) e si suppone che non vi sia diversità di comportamento fra i pneumatici destro e sinistro dello stesso asse, escludendo così rotazioni di imbardata. Fig. 6.1: Forze agenti su un veicolo in moto su una strada con pendenza tan α (Rielaborato da: [2]) La legge di moto per il veicolo considerato si scrive (si prende un asse x parallelo alla strada e diretto come la velocità): Mẍ = F x1 F x2 F aer Mg sin α i f v i F zi (6.1) avendo indicato con F x1 e F x2 le forze frenanti applicate, rispettivamente, all asse anteriore e posteriore, con F aer = 1 2 ρ AV 2 SC x la resistenza aerodinamica e con i f v i F zi la resistenza all avanzamento dovuta all attrito volvente. In particolare, se ammettiamo che il coefficiente d attrito volvente sia uguale per tutte le ruote: i f v i F zi = f v i F z i ed esprimendo le forze frenanti per mezzo del coefficiente d aderenza: F xi = µ xi F zi 40

51 6.1. Decelerazione costante 6. FRENATURA la (6.1) diviene: i ẍ = µ x i F zi 1 2 ρ AV 2 SC x f v i F z i Mg sin α (6.2) M Si osserva che nelle equazioni scritte non compaiono termini riferiti alle ruote. La massa M è la massa traslante complessiva del veicolo (comprese quindi anche le ruote) e non è la massa ridotta alla traslazione longitudinale; in altri termini le masse rotanti sono direttamente rallentate dai freni e, dunque, non devono rientrare nel computo della massa ridotta. 6.1 Decelerazione costante Supponiamo che il moto del veicolo sia uniformemente decelerato, ossia sia sottoposto a forze frenanti costanti. Integrando l equazione di moto possiamo ottenere un espressione del tutto generica dalla quale possiamo risalire al tempo o lo spazio percorso dal veicolo durante la manovra di frenatura. Sia dunque F tot la forza totale (costante) agente sul veicolo. La precedente si modifica nella: ossia: ẍ = F tot M dv dt = F tot M = a x (6.3) Il tempo t f necessario a portare il veicolo dalla velocità V 0 alla V f si ottiene svolgendo l integrale: V f V 0 F tot dv = M t f 0 dt V 0 V f = F tot M t f = a x t f Il tempo d arresto a partire dalla velocità V 0 si ottiene dalla precedente ponendo V f = 0: Si può anche scrivere: che, sfruttando la (6.3), diviene: Integrando quest ultima: si perviene a: V f V 0 t arr = M F tot V 0 = V 0 a x (6.4) V = V = dx dt dx dv / F tot m V dv = x 0 x f F tot M dx V0 2 Vf 2 = F tot 2 M (x f x 0 ) Lo spazio necessario per arrestare il veicolo dalla velocità V 0 è quindi: s arr = M V0 2 F tot 2 = V 0 2 (6.5) 2a x 41

52 6.1. Decelerazione costante 6. FRENATURA Dalla (6.5) risulta immediato che lo spazio necessario per arrestare un veicolo sottoposto ad una decelerazione costante aumenta, a parità di decelerazione, con il quadrato della velocità da cui si inizia a frenare. Analizziamo adesso i singoli contributi delle forze agenti sul veicolo nell equazione della dinamica (6.2) Contributo dei freni Le forze dovute ai freni su ciascuna ruota si possono esprimere come prodotto del coefficiente di aderenza longitudinale per il carico agente sulla ruota stessa, quindi la forza totale frenante è data da: F freni = i µ x i F zi (6.6) Supponendo che i coefficienti di aderenza siano uguali per ogni pneumatico (frenatura ideale), la precedente diviene: F freni = µ x i F z i = µ x Mg (6.7) La decelerazione che si può imporre al veicolo per la sola azione dei freni è quindi fornita da: ẍ freni = F freni M = µ xg (6.8) Quindi la massima decelerazione a cui può essere sottoposto il veicolo è direttamente proporzionale al coefficiente di aderenza longitudinale µ x. In altri termini, possiamo dire che la massima forza longitudinale che le ruote possono esercitare è pari al prodotto del peso del veicolo per il coefficiente di aderenza µ x. Il tempo di arresto e lo spazio di arresto in questo caso valgono rispettivamente: t arr = V 0 µ x g s arr = V 0 2 2µ x g Contributo delle azioni aerodinamiche Integriamo adesso l equazione (6.2) considerando assieme all azione dei freni, costante per semplicità, il contributo dato dalla resistenza aerodinamica all avanzamento. In questo caso la forza totale agente sul veicolo può essere scritta nel modo seguente: F tot = F freni + cv 2 dove c = 1 2 ρsc x. L equazione di moto diventa: da cui: o anche: Essendo: M dv dt = F freni + cv 2 dv M F freni + cv 2 = dt V dv M F freni + cv 2 = V dt V dt = dx 42

53 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA si può ricavare lo spazio d arresto integrando la precedente: ottenendo: s arr 0 dx = M 0 V 0 V dv F freni + cv 2 s arr = M 2c ln F freni + cv0 2 (6.9) F freni Le forze frenanti di natura aerodinamiche sono del tutto trascurabili nello studio della dinamica della frenatura; infatti se si considera un veicolo che si muove con una velocità di V = 40 m/s (144 km/h) la resistenza aerodinamica vale F aer = 600 N che, confrontata con le altre forze frenanti, (che, come visto, possono superare il peso del veicolo in condizioni di buona aderenza: N) risulta effettivamente trascurabile. Per V = 20 m/s = 76 km/h le forze aerodinamiche F aer = 150 N Contributo dell attrito di rotolamento L attrito di rotolamento opponendosi al moto fornisce un effetto benefico ai fini della frenatura. Utilizzando il parametro d attrito volvente f v = u R, la resistenza dovuta all attrito si può esprimere come: F v = i f v i F zi che, se supponiamo che tutti i parametri di attrito volvente siano uguali per tutte le ruote, diventa: F v = i f v i F zi = f v i F z i = f v Mg (6.10) e la decelerazione dovuta al solo attrito di rotolamento sarà fornita dalla: ẍ = F v M = f vg (6.11) L attrito di rotolamento è spesso trascurabile, essendo come ordine di grandezza equivalente ad una decelerazione di 0,01 g Contributo della Pendenza della strada La pendenza può dare ovviamente un contributo positivo o negativo alla forza frenante. La componente della forza peso in direzione parallela a quella di avanzamento può essere espressa come: F pend = Mg sin α Il contributo alla decelerazione dovuta alla sola pendenza (indicata con i = tan α) sarà dato da : ẍ = gi (6.12) Per cui l effetto di una pendenza, ad esempio del 4%, è quello di decelerare o accelerare il veicolo di 0,04 g. 6.2 Modello semplificato di veicolo in frenatura Per lo studio semplificato della dinamica della frenatura adottiamo lo schema riportato nella Fig. 6.2, nel quale si si fa uso una convenzione non standard sui versi delle azioni agenti sul veicolo. In riferimento alla suddetta figura poniamo: Per i bassi valori di α normalmente ammessi sulle strade, si può ragionevolmente porre: sin α α tan α. 43

54 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.2: Modello del veicolo in frenatura (Fonte: [6]) X 1 e X 2 sono le forze longitudinali, rispettivamente, sull assale anteriore e posteriore; Z 1 e Z 2 sono le forze verticali, rispettivamente, sull assale anteriore e posteriore; u e u sono, rispettivamente, la velocità e l accelerazione del veicolo; l è il passo del veicolo; a e b sono la distanza dal baricentro, rispettivamente, dell asse anteriore e posteriore; h è l altezza del baricentro; W = mg è il peso del veicolo; G è la posizione del baricentro; O 0 x 0 z 0 è un sistema di riferimento solidale con la strada; Gxz è un sistema di riferimento solidale con il veicolo Supponiamo che il veicolo si stia muovendo su una strada piana ed orizzontale, che gli angoli di sterzo di tutte le ruote siano nulli e che si muova in aria ferma, o meglio che sia assente qualunque componente laterale del vento. Queste ipotesi equivalgono a dire che tutti gli pneumatici si trovano in condizioni di frenatura pura, cioè con angoli di deriva tutti nulli. Se si pensa di studiare una manovra di frenatura con forze frenanti costanti è possibile trascurare i moti di beccheggio della carrozzeria; tali moti sono infatti localizzati nei primi istanti di applicazione delle forze frenanti e implicano, comunque, rotazioni della cassa di pochi gradi; per questo motivo l altezza h del baricentro può essere ritenuta costante. Quest ultima semplificazione equivale in sostanza a trascurare totalmente l effetto delle sospensioni e a considerare quindi il veicolo come un unico corpo rigido. Supponiamo inoltre che le ruote di uno stesso assale si trovino nelle stesse condizioni di aderenza, carico verticale e forze frenanti. Con le ipotesi fatte ci siamo ricondotti a considerare un veicolo come un sistema piano in moto rettilineo uniformemente ritardato. Come abbiamo visto, possiamo trascurare in prima approssimazione anche il contributo delle forze aerodinamiche e dell attrito di rotolamento. Le equazioni di moto per il veicolo si possono dunque scrivere: 44

55 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA m u = (X 1 + X 2 ) 0 = Z 1 + Z 2 mg 0 = (X 1 + X 2 )h Z 1 a + Z 2 b Inoltre le forze frenanti sono limitate dal coefficiente µ secondo le seguenti disequazioni: (6.13) X 1 µz 1 X 2 µz 2 (6.14) Nella (6.14) con µ abbiamo indicato un coefficiente d aderenza fittizio, definito come rapporto tra la massima forza longitudinale ed il corrispondente carico verticale (è assunto indipendente dal carico verticale) ed è uguale per tutte le ruote. Alle (6.13) e (6.14) vanno aggiunte le condizioni di vincolo monolatero per la strada, ossia le forze verticali che essa esercita sul veicolo devono essere dirette verso l alto: Z 1 0 Z 2 0 (6.15) Osserviamo che le equazioni scritte rappresentano il comportamento del veicolo anche in accelerazione semplicemente cambiando il segno alle forze longitudinali e applicando tali forze solo all asse motore Trasferimento di carico In condizioni di marcia uniforme (velocità costante), sui due assali gravano i cosiddetti carichi statici W 1 e W 2 che dipendono solo dalla posizione del baricentro : W 1 = mg b l W 2 = mg a l (6.16) In frenatura ( u < 0) si ha un aumento Z del carico sull assale anteriore e una conseguente pari diminuzione su quello posteriore. Infatti, dalle equazioni d equilibrio (6.13) si ottiene per u generica: Z 1 = W 1 + Z = W 1 mh l Z 2 = W 2 Z = W 2 + mh l u u (6.17) Fig. 6.3: Carichi sui due assali in funzione dell accelerazione longitudinale (Fonte: [6]) I carichi statici si determinano ponendo u = 0 nella (6.13). 45

56 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Il trasferimento di carico dipende quindi linearmente dall accelerazione longitudinale ed è tanto maggiore quanto maggiore è il rapporto h/l tra l altezza del baricentro ed il passo del veicolo (Fig. 6.3). La ripartizione delle forze frenanti tra asse anteriore e asse posteriore (X 1 /X 2 ) non ha alcuna influenza sul trasferimento di carico ( Z), ma quello che conta è solo la forza frenante totale (X 1 + X 2 ). La condizione Z 2 = 0 corrisponde al distacco delle ruote posteriori e quindi all incipiente ribaltamento in senso longitudinale del veicolo. Tale condizione si ottiene per una decelerazione pari a: u = g a h Decelerazione massima La massima decelerazione si realizza quando tutte le ruote si trovano al limite di aderenza, cioè quando: Sostituendo nelle equazioni d equilibrio (6.13): X 1 = µz 1 X 2 = µz 2 (6.18) u max = µg (6.19) La massima decelerazione non dipende quindi dalle caratteristiche dell impianto frenante che determinano invece la possibilità di realizzarla nelle varie condizioni di utilizzo. La condizione d incipiente ribaltamento in direzione longitudinale va messa in relazione con la massima decelerazione realizzabile; infatti, perché si abbia il ribaltamento del veicolo dovrà sussistere la relazione: ossia: u = ag h u max = µg a h µ (6.20) Dalla (6.20) si comprende che la condizione di incipiente ribaltamento in frenatura dipende esclusivamente dalle caratteristiche geometriche e di massa del veicolo (posizione longitudinale e altezza del baricentro) e dall aderenza disponibile. Nei normali autoveicoli, anche in condizioni d elevata aderenza, tale disequazione non è mai verificata, quindi le ruote iniziano a slittare prima che il veicolo si ribalti in senso longitudinale. Inserendo le equazioni (6.17) e (6.19) nelle (6.18) si ottengono i valori delle forze frenanti X 1P e X 2P in condizioni limite d aderenza, cioè i massimi valori possibili con le date condizioni di aderenza: Sfruttando le (6.16), la precedente si modifica nella: X 1P = µ (W 1 + m hl ) µg X 2P = µ (W 2 m hl ) (6.21) µg X 1P = µ m g (b + µh) l X 2P = µ m (6.22) l g (a µh) Si consideri la prima delle (6.13): u varia con X 1 + X 2 e quindi Z varia di conseguenza. 46

57 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Ripartizione della frenatura Le forze frenanti X 1P e X 2P in condizioni limite d aderenza sono le massime esercitabili fissati il coefficiente d aderenza fittizio µ. Consideriamo il rapporto tra questi due valori: X 1P X 2P = Z 1 P Z 2P = b + µh a µh (6.23) Tale rapporto indica come ripartire le forze frenanti fra i due assali in modo da raggiungere contemporaneamente le condizioni limite ed ottenere quindi una frenatura ottimale. Tali condizioni sono, di fatto, esclusivamente teoriche ed è quindi necessario studiare tutte le possibili condizioni di frenatura di un veicolo. Supponiamo quindi di imporre una forza frenante e che l altra assuma il valore massimo compatibile con l aderenza; supponiamo cioè che X 2 sia nota e che X 1 = µz 1 e sostituiamo nell equazione di moto (6.13): X 1 = µ ( W1 + h l X ) 2 1 h l µ In maniera del tutto analoga, fissiamo X 1 e sia X 2 = µz 2 ; si ottiene: X 2 = µ ( W2 h l X ) h l µ (6.24) (6.25) Le (6.24) e (6.25) esprimono la forza al limite di aderenza, rispettivamente, sull assale anteriore e posteriore note che siano le forze frenanti sull altro assale. Come casi particolari si considerano la frenatura solo sull asse anteriore (X 2 = 0): e solo sull asse posteriore (X 1 = 0): X 10 = µw 1 1 µ h l X 20 = µw µ h l Si può osservare che la forza frenante sull assale anteriore è maggiore del prodotto tra il coefficiente d aderenza e il carico statico, mentre quella sull assale posteriore è minore per effetto del trasferimento di carico dal retrotreno all avantreno. Se sul piano di coordinate X 1 e X 2 tracciamo le due rette definite dalle equazioni (6.24) e (6.25) si ottiene il grafico di Fig La zona del piano delimitata dai due assi cartesiani e dalle due rette di cui sopra (in grigio) delimita tutte le possibili coppie di forze frenanti per un dato coefficiente di aderenza µ (regione ammissibile). In altri termini, ogni coppia di forze appartenente alla regione ammissibile dà origine ad una frenatura del veicolo senza che si bocchi nessun assale. Oltre la retta superiore si bloccano le ruote anteriori, mentre oltre la retta a destra si bloccano le ruote posteriori. L intersezione delle due rette individua il punto P di coordinate X 1P, X 2P (eq. (6.18)) in cui si ha la massima decelerazione e si bloccano contemporaneamente i due assali. La retta per l origine e per P ha la seguente equazione: X 1 = b + µh a µh X 2 (6.26) Confrontando la precedente con la (6.23), si comprende che tale retta definisce come ripartire in maniera ottimale le forze frenanti sui due assali, nota che sia l aderenza disponibile. Le rette inclinate di 45 individuano i punti in cui è costante la somma X 1 + X 2 : in base alla prima delle (6.13), corrispondono a coppie di forze frenanti che danno uguale decelerazione. 47

58 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.4: Zona ammissibile delle possibili coppie di forze frenanti (Fonte: [6]) Si osserva che per avere decelerazione massima l unica possibilità è trovarsi nella situazione individuata da P, mentre, per livelli inferiori di decelerazione, si hanno infinite combinazioni dei valori X 1, X 2 (il segmento d ogni retta a 45 compreso nella zona ammissibile) Variazione del coefficiente di aderenza Se l aderenza disponibile fosse nota e costante il dimensionamento dell impianto frenante sarebbe ultimato con le considerazioni fatte al paragrafo precedente; ovvimente l aderenza può variare moltissimo nelle varie situazioni di guida e, in genere, non è nota. Per questo motivo è necessario studiare come variano le regioni ammissibili al variare di µ. A tale scopo indichiamo con µ 1 e µ 2 i coefficienti d aderenza in due differenti condizioni di asfalto. In generale, se µ 1 < µ 2, la regione corrispondente a µ 1 è interamente contenuta in quella corrispondente a µ 2. Al crescere dell aderenza le due rette che delimitano la zona ammissibile diventano sempre più inclinate e il loro punto d intersezione, cioè i vari punti P, si sposta su di una parabola, come vederemo in seguito. La situazione è rappresentata in Fig. 6.5, dove sono raffigurate tre diverse zone ammissibili per coefficienti d aderenza crescenti µ 1 < µ 2 < µ 3 : è evidente il non parallelismo delle rette che delimitano la zona ammissibile nelle tre differenti condizioni d aderenza. Supponiamo di aver dimensionamento l impianto frenante in modo da avere una frenatura ottima per µ = µ 2 : X 1 = b + µ 2h a µ 2 h X 2 Se si è in condizioni di ridotta aderenza per µ = µ 1 si esce attraverso la corrispondente zona ammissibile attraverso il lato superiore (punto A), cioè le ruote anteriori si bloccano prima di aver completamente utilizzato l aderenza disponibile sulle ruote posteriori. Se si è in condizioni di aderenza migliore (µ = µ 3 ) si esce attraverso la corrispondente zona ammissibile attraverso il lato di destra (punto B), cioè le ruote posteriori si bloccano prima di aver completamente utilizzato l aderenza disponibile sulle ruote anteriori. Quindi, una variazione del coefficiente di aderenza rispetto a quello utilizzato per ripartire le forze frenanti porta necessariamente ad una frenatura non ottimale (cioè non si riesce ad ottenere la decelerazione massima possibile con quel coefficiente di aderenza, µ 3 g o µ 1 g). 48

59 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.5: Zona ammissibile al variare del coefficiente di aderenza (Fonte: [6]) Efficienza della frenatura Supponiamo ancora di aver dimensionato l impianto frenante in modo da avere una frenatura ottima per µ = µ 2. Come detto, sia nel caso di ridotta aderenza (µ 1 ) che d aderenza maggiore (µ 3 ) non si riesce ad avere la frenatura ottimale (che corrisponderebbe a decelerazioni rispettivamente di µ 1 g e µ 3 g): la retta per P 2 non passa né per P 1 né per P 3. Nei due casi otteniamo invece una decelerazione pari rispettivamente a ε 1 µ 1 g e ε 3 µ 3 g, dove con ε 1 e ε 3 abbiamo indicato l efficienza della frenatura nelle due condizioni d aderenza, definita dalle seguenti relazioni: b ε 1 = b + h (µ 2 µ 1 ) a ε 3 = a + h (µ 3 µ 2 ) se µ 1 < µ 2 (6.27) se µ 3 > µ 2 (6.28) Influenza della posizione del baricentro La forma e le dimensioni della zona ammissibile di frenatura nel piano X 1 X 2 dipendono anche dalla posizione del baricentro del veicolo e dal rapporto h l (eq. (6.22)). Gli spostamenti del baricentro sono dovuti, per esempio, alle condizioni di carico del veicolo. A parità di coefficiente d aderenza µ, la posizione del baricentro non influenza la decelerazione massima ottenibile essendo come visto (eq. (6.19)): u max = µg Pertanto il punto P d intersezione delle due rette, al variare della posizione del baricentro, si mantiene sulla retta a 45, caratteristica per quell aderenza µ e d equazione: µg = X 1P + X 2P (6.29) In altri termini, ricordando le (6.16) e la (6.24), si constata che la pendenza delle rette che definiscono i contorni della zona ammissibile dipende solo da h l e né da a né da b: al variare della posizione del baricentro, le rette suddette trasleranno senza cambiare inclinazione. 49

60 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.6: Zona ammissibile al variare della posizione del baricentro (arretramento) (Fonte: [6]) Ancora una volta, se l impianto frenante è stato dimensionato secondo la condizione individuata da P, una variazione della posizione del baricentro porta a condizioni di frenatura non ottimali (punto A) in cui si ha il bloccaggio delle ruote anteriori (G è in questo caso in posizione più arretrata ) Bloccaggio delle ruote Come abbiamo visto, se ad una ruota si applica una forza frenante troppo elevata si ha il bloccaggio della stessa. Il bloccaggio delle ruote è una condizione assolutamente da evitare perché: riduce la capacità di frenare: si passa da un valore del coefficiente d aderenza prossimo a µ P al valore µ S come risulta dalla figura seguente. Fig. 6.7: Aderenza longitudinale in funzione dello pseudoslittamento percentuale si perde il potere direzionale del pneumatico: quando la ruota è bloccata di fatto non funziona più come ruota, ma come un corpo che striscia sulla strada; il coefficiente di aderenza laterale per pseudoslittamenti longitudinali prossimi ad 1 si riduce enormemente (Fig. 6.8). Infatti, se b diminuisce (cioè il baricentro arretra), dalla (6.16) si ha che anche il carico statico sull anteriore W 1 diminuisce: la zona corrispondente al bloccaggio delle ruote anteriori si abbassa anch essa perché anche il limite di aderenza anteriore X 1P si è abbassato (eq. (6.18)); quindi, il punto ˆP è sotto P. 50

61 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.8: Aderenza longitudinale e laterale (per angolo di deriva costante)in funzione dello pseudoslittamento percentuale Correttori di frenata Abbiamo visto che se le condizioni d aderenza e di carico variano rispetto a quelle di progetto, le forze frenanti possono portare al bloccaggio delle ruote. Il bloccaggio delle ruote anteriori provoca, in generale, la perdita delle capacità di indirizzare il veicolo, qualunque sia l angolo di sterzo impostato. Il veicolo procede lungo la tangente e gli spostamenti laterali, se presenti, sono dovuti esclusivamente alla forza del vento o alla pendenza laterale della sede stradale. Il bloccaggio delle ruote posteriori porta ad una condizione d equilibrio instabile per il veicolo: un qualsiasi disturbo laterale, peraltro sempre presente, induce il veicolo a ruotare su se stesso; le ruote anteriori, che ruotano col veicolo, sviluppano un momento che tende a favorire la rotazione innescata dal disturbo e solo quando il veicolo si è completamente girato, torna in una condizione d equilibrio stabile. Si traccino le regioni ammissibili per vari valori di µ e delle condizioni di carico e per ciascuna condizione si disegni il segmento a 45 relativo ad una certa efficienza della frenatura: in questo modo, per ogni condizione di aderenza e di carico si definiscono dei triangoli che individuano condizioni di frenatura accettabili, anche se non ottimali. L impianto frenante dovrà fornire un legame tra le forze sull asse posteriore e quello sull asse anteriore tale da attraversare tutti i triangoli e in modo da uscire sempre dalle varie regioni ammissibili dalla parte alta (bloccaggio delle ruote anteriori). Se l impianto frenante è stato dimensionato per mantenere un rapporto fisso tra la forze frenanti anteriore X 1 e posteriore X 2, cioè imponendo la relazione definita dall equazione (6.26) per un dato valore di aderenza, non si hanno in generale condizioni ottimali di frenatura per tutte le possibili condizioni di aderenza e carico. Quindi un primo metodo per proporzionare l impianto frenante è quello di imporre che la relazione tra forze anteriori e posteriori sia descritta da una spezzata, anziché da una retta (Fig. 6.9); in pratica si impone che da un certo punto in poi le forze frenanti sull asse posteriore crescano meno di quelle sull asse anteriore. Questo tipo di proporzionamento assicura in genere il rispetto delle due condizioni di attraversamento di tutti i triangoli e di uscita dalle regioni ammissibili dalla parte alta al variare delle condizioni di aderenza. Ovviamente, non si può garantire in questo modo che per tutte le condizioni di aderenza si abbia il massimo dell efficienza della frenatura; infatti ciò richiederebbe di proporzionare l impianto secondo una legge parabolica, che definisce appunto la parabola che passa per tutti i vertici delle regioni ammissibili. Per tener conto dell influenza del baricentro, il correttore di frenata dovrebbe essere sensibile alla variazione di carico in modo da far variare la posizione del ginocchio della spezzata. I metodi tradizionali per proporzionare l impianto frenante fanno uso dei cosidetti limitatori di presione, che ci accingiamo a descrivere brevemente. 51

62 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.9: Curva di proporzionamento dell impianto frenante Limitatore di pressione Da un punto di vista pratico, come detto, si può quindi accettare che le ruote si blocchino purché a farlo siano quelle anteriori su fondo poco aderente; questo è ovviamente un compromesso, infatti così facendo il veicolo perde direzionalità, ma non va in testa-coda come succederebbe se si bloccassero le ruote posteriori. Questa condizione si realizza inserendo nel circuito dei freni degli opportuni meccanismi che limitano l azione frenante dei freni posteriori in funzione della forza frenante richiesta o della distribuzione di carico. Fig. 6.10: Limitatore semplice (Fonte: [7]) Il funzionamento di questo dispositivo è molto semplice: per un certo valore della pressione dell impianto frenante e, quindi, della forza frenante esercitata, la reazione della molla non è più sufficiente a tenere aperto il condotto dei freni posteriori; da questo valore in poi la pressione sul condotto posteriore rimane costante, mentre può continuare a crescere quella nel condotto anteriore (Fig. 6.11). I correttori di frenata diventano meno importanti se il veicolo è dotato di sistemi attivi di frenatura. In questo caso il dimensionamento dell impianto frenante viene fatto su considerazioni di durata e riscaldamento, piu che sugli aspetti della ripartizione delle forze frenanti. 52

63 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.11: Limitatore semplice: pressione ai cilindri freno (Fonte: [7]) ABS (Antilock Braking System) È un sistema che impedisce alle ruote di bloccarsi durante la frenata, conservandone quindi la direzionalità (possibilità di sterzare la vettura) e che consente di ridurre gli spazi d arresto nella maggioranza dei casi, specie sui fondi scivolosi. (a) ABS: schema funzionale (b) Centralina di distribuzione del fluido di lavoro Fig. 6.12: ABS Prendiamo come riferimento la condizione di frenata di panico, che viene effettuata dal conducente in presenza di un improvviso ostacolo, affondando con forza il pedale del freno; in tali condizioni, molto spesso, la riduzioni degli spazi d arresto ottenute con l ABS non sarebbero sufficienti ad evitare un incidente mentre, la possibilità di sterzare la vettura permette in molti casi di schivare l ostacolo. Il risultato è ottenuto modulando la frenata, vale a dire con un sistema in grado di percepire se una o più ruote stanno per bloccarsi e quindi di intervenire per ridurre la pressione del fluido di lavoro e quindi la forza frenante sulla ruota che sta per bloccarsi. Occorre, quindi, un sistema che misura la velocità di rotazione di ciascuna ruota, che la paragoni a quella delle altre ruote e che intervenga sul freno. Concettualmente l ABS ha originato molti sistemi di controllo della trazione e ora anche della stabilità (ASC Automatic stability control, ESP Electronic Stability Program, CBC Cornering Break Control ecc.). 53

64 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Principio di funzionamento Per prevenire il bloccaggio di una ruota la forza frenante deve essere continuamente modulata intorno ad una posizione ottima. Un sistema ABS è in grado di misurare istante per istante le velocità delle quattro ruote, di confrontarle tra di loro e quindi di individuare le condizioni di incipiente bloccaggio di una ruota, stimando la decelerazione del veicolo; in questo caso il sistema interviene facendo diminuire la forza frenante sulla ruota che sta per bloccarsi. Fig. 6.13: Intervallo di scorrimento su cui funziona l ABS Dal confronto delle velocità misurate, il sistema ABS è in grado di stimare per ciascun pneumatico le condizioni di slittamento. Per ottenere il massimo effetto frenante lo slittamento di ciascuna ruota dovrebbe essere mantenuto in prossimità del valore di picco, che di solito si trova per slittamenti relativi dell ordine del 15%. Peraltro le condizioni di massima manovrabilità laterali si hanno per valori dello slittamento relativo prossimi a zero. Si deve quindi accettare un compromesso tra le due esigenze e normalmente gli ABS mantengono lo slittamento percentuale tra l otto e il trenta percento. Slittamento percentuale ottimale = 8 30% Sensore di velocità Il sensore di velocità sfrutta la variazione di riluttanza magnetica che avviene al passaggio di ciascun dente della ruota solidale all asse di moto. Il sensore è formato da un magnete permanente sul quale è avvolta una spira di filo di rame alimentato. Il filo di rame è soggetto a una variazione d intensità del campo magnetico al passaggio d ogni dente e quindi si genera agli estremi del filo una differenza di potenziale di tipo alternato la cui frequenza è proporzionale alla velocità della ruota BAS (Brake Assistance System) Il sistema è anche conosciuto come BDC (Brake Dynamic Control). Molto spesso in caso d emergenza l automobilista comune non applica la necessaria forza sul pedale del freno e quindi non si riesce ad entrare nel campo d azione dell ABS: questo provoca un allungamento della frenata e perciò un rischio. Il BAS è un dispositivo di aiuto alla frenata d emergenza che fa sì che, qualora in caso di pericolo il conducente prema rapidamente il freno senza però esercitare la debita pressione, l impianto rileva le intenzioni del pilota e interviene applicando la pressione massima sull impianto frenante. 54

65 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.14: Sensore di velocità (a) Velocità angolare delle ruote e del veicolo (b) Operazioni dell ABS Fig. 6.15: Curve di funzionamento dell ABS (a) Un unico circuito idraulico (b) Andamento della pressione dell olio e della velocità delle ruote e del veicolo con ABS Fig. 6.16: Curve di funzionamento dell ABS 55

66 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.17: Funzionamento del BAS In poche parole, se in caso di emergenza il pedale del freno non fosse pigiato con la necessaria forza, il BAS, rivelando un innalzamento improvviso della pressione nell impianto frenante, applica la pressione massima possibile istantaneamente. Ad occuparsi del non bloccaggio delle ruote se n occuperà l ABS senza il quale il BAS non potrebbe esistere CBC (Cornering Break Control) È un tipo di funzionamento dei freni per mezzo del quale, durante un rallentamento in curva, la forza frenante è distribuita opportunamente fra le ruote in modo da evitare un effetto d imbardata. In curve dove si frena e in cui si sviluppa più di 0,6 g d accelerazione trasversale (registrata da un apposito sensore), la ruota posteriore interna non viene frenata in modo che nasca, tramite le altre tre ruote frenanti, una coppia di riassestamento. Il CBC agisce per frenate che non necessitano di intervento dell ABS. L ESP (e l analogo DSC 3 ) è un gradino più avanti, perché fa intervenire i freni anche se il pilota non frena; il sistema è però complicato dalla necessità di un sensore di imbardata e uno di rotazione del volante ESP (Electronic Stability Program) Sistema elettronico basato sull impianto dell ABS, con le funzioni aggiuntive BAS (Brake Assist) e ASR (Acceleration Slip Regulation) o TCS (Traction Control System), dove la regolazione automatica e separata dei freni (ovviamente senza bloccaggio), del motore e della trasmissione impedisce perdite di stabilità della vettura in curva. Occorrono sensori d assetto (di tecnica aeronautica) che comandano la centralina di funzionamento ABS, la quale, frenando opportunamente solo alcune ruote, ristabilisce il contatto col terreno di tutte e quattro le ruote e impone un momento d imbardata che recupera le perdite di stabilità. I sensori aggiuntivi a quelli dell impianto ABS riguardano l angolo di sterzata, la velocità d imbardata e l accelerazione traversale del retrotreno. Storicamente, la Mercedes classe A è la prima vettura media ad essere equipaggiata con ESP di serie, in conseguenze delle modifiche decise dopo i noti fatti connessi con il non superamento, nel 1997, della prova dell alce. La centralina dell ESP ha una potenzialità quattro volte superiore di quella di un ABS ed esegue un controllo di stabilità a intervalli di 20 millesimi di secondo. La logica di funzionamento consiste nel determinare, in base alla sterzata del pilota, qual è la reazione del veicolo che egli desidera o si aspetta, controllare quale sta per essere in realtà la risposta del veicolo e agire con i freni per adeguarla al desiderio del pilota. 56

67 6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA Fig. 6.18: Schema di funzionamento dell ESP L ESP è conosciuto con una serie di sinonimi, a seconda della ditta che lo produce o lo monta sulle proprie autovetture: VSC (Vehicle Stability Control); VDC (Vehicle Dynamic Control); DSC (Dynamics Stability Control); AHBS (Active Handling Brake System); PSM (Porsche Stability Management); EDS (Electronic Dynamic System); CSC (Corner Stability Control). In poche parole, la logica di funzionamento di tale dispositivo può essere così riassunta: l ESP, attraverso i suoi sensori, intuisce quali sono le intenzioni del pilota e se per varie ragioni (scarsa aderenza, eccessiva velocità, ecc.) l auto dovesse comportarsi in modo diverso, agendo sui freni (e non solo, vedi sopra) ne correggerebbe il comportamento. Quindi in condizioni critiche aiuta anche il conducente più inesperto a padroneggiare i comportamenti della propria vettura. Anche se stiamo guidando una vettura dotata di ESP ricordiamoci sempre che le leggi della fisica regnano sovrane e quindi, se il fondo stradale è ghiacciato, nessun sistema al mondo può consentire alla nostra autovettura di affrontare una curva a 100 km/h! FDR (Regelung Fahr-Dynamik) Sistema di sicurezza attiva per il controllo della dinamica di marcia messo a punto dalla Bosch in collaborazione con la Mercedes. All occorrenza ripristina la stabilità della vettura intervenendo automaticamente su freni e acceleratore. Mentre l ABS e l antipattinamento servono a eliminare gli slittamenti in senso longitudinale, l FDR entra in funzione per impedire gli slittamenti trasversali, ossia i fenomeni di sovrasterzo o sottosterzo che si innescano quando una o più ruote perdono aderenza. Se, per ipotesi, tutte e quattro perdessero aderenza contemporaneamente, esso sarebbe inefficace perché, ovviamente, non può rivoluzionare le leggi della fisica. La regolazione dinamica può, invece, correggere efficacemente l accenno di sbandata dovuto alla perdita d aderenza di una ruota modificando opportunamente la coppia sulle altre tre. 57

68 6.3. Frenatura ideale: parabola di frenatura 6. FRENATURA Per esempio, se l auto scivola con l avantreno verso l esterno della curva, ossia sottosterza, l FDR interviene frenando la ruota posteriore interna in modo da riallineare la vettura. Il sistema avverte la perdita di stabilità del veicolo grazie ad un sensore d imbardata, in altre parole un captatore in grado di rilevare la sbandata attorno all asse verticale che passa per il baricentro dell auto. Oltre a questo, l FDR si avvale di tutta una serie di sensori che lo informano sulla velocità delle ruote, sull entità dell accelerazione trasversale, della rotazione del volante e, infine, sulla pressione esercitata sui pedali del freno e sull acceleratore (carico motore). Per memorizzare nella centralina tutti questi dati e attuare, in un tempo brevissimo, le eventuali azioni correttive, l FDR necessita di una capacità di calcolo e di una memoria assai elevata. Questa è di 48 kb, ossia quattro volte superiore a quella richiesta per il funzionamento di un impianto ABS e il doppio di quella necessaria per un sistema antipattinamento. 6.3 Frenatura ideale: parabola di frenatura Si userà in questo paragrafo la convenzione per cui F x > 0 se la forza longitudinale è diretta in avanti, F z > 0 se verso l alto (Fig. 6.19). La frenatura ideale è definita come la condizione in cui tutte le ruote frenano con lo stesso coefficiente di aderenza longitudinale µ. Fig. 6.19: Forze agenti su un veicolo su strada in pendenza (Fonte: [5]) La forza frenante totale vale: e l equazione di moto longitudinale si scrive: F x = i µ x i F zi du dt = i µ x i F xi 1 2 ρsc xv 2 f i f z i mg sin α (6.30) m Si ponga particolare attenzione al fatto che le parti ruotanti sono rallentate direttamente dai freni e quindi non devono comparire nell espressione precedente. In sostanza, m è la massa del veicolo e non quella ridotta. La resistenza aerodinamica e di rotolamento sono in genere trascurabili e, trascurando anche l effetto dovuto alla portanza, si può scrivere nella frenatura ideale (µ xi = µ): du dt = µ i F z i mg sin α = m Nel caso di strada piana, otterremo: µmg cos α mg sin α m (6.31) 58

69 6.3. Frenatura ideale: parabola di frenatura 6. FRENATURA du dt = µg L ipotesi di frenatura ideale implica anche che, se i raggi di rotolamento sono tutti uguali, i momenti applicati alle ruote sono proporzionali a F zi. Calcoliamo adesso le forze che le ruote devono esercitare per avere una frenatura ideale. Per far ciò occorre calcolare le F zi ; con riferimento alla Fig. 6.19, dall equlibrio alla rotazione rispetto, alternativamente, ai punti di applicazione delle F z2 e F z1 si ottiene: Riscrivendo la (6.31): e sostituendovi le (6.32) si ottiene: F z1 F z2 F x1 = µ mg l F x2 = µ mg l Eliminando µ dalla precedente, otteniamo: = m ( ) du gb cos α gh G sin α h G l dt = m ( ) (6.32) du ga cos α gh G sin α + h G l dt du dt = µf z 1 + µf z2 g sin α m (b cos α µh G ) (a cos α + µh G ) (6.33) ( ) (F x1 + F x2 ) 2 a + mg cos α F x1 h F b x 2 = 0 (6.34) h La (6.34) è l equazione di una parabola: nella fattispecie, è il luogo geometrico delle coppie di forze F x1 e F x2 che danno luogo alla frenatura in condizioni ideali. Fig. 6.20: Frenatura in condizioni ideali: relazione fra F x1 e F x2 per un veicolo con baricentro al centro del passo a = b, con baricentro arretrato a > b e con baricentro posto anteriormente al centro del passo a < b. Grafico ottenuto per m = 1000 kg; l = 2,4 m; h G = 0,5 m, strada piana. (Fonte: [5]) In Fig è riportata la parabola di frenatura per un tipico autoveicolo: solo il tratto con valori negativi è d interesse, in quanto corrisponde a frenatura con marcia in avanti. 59

70 6.3. Frenatura ideale: parabola di frenatura 6. FRENATURA La parabola in sostanza mi dice come ripartire la forza tra assale anteriore e assale posteriore per ottenere una data decelerazione a prescindere da quale sia l aderenza. Infatti, le curve ad accelerazione costante sono le rette a 45 e posso pensare di riportare anche le rette di F x1 in funzione di F x2 e viceversa per vari valori di µ x1 e µ x2, ottenendo le curve a µ x1 e µ x2 costante. Fig. 6.21: Ingrandimento della zona utile del grafico di Fig Sono state tracciate anche le rette a µ x1 e µ x2 e a decelerazione costante (Fonte: [5]) La parabola la posso vedere come il luogo dei punti P che dà decelerazione massima al variare dell aderenza. Come si è detto le relazioni che legano F x1 e F x2, in altre parole M f1 e M f2 nelle condizioni di frenatura ideale, dipendono dalla posizione del baricentro (a, b, h), dalla massa del veicolo e quindi dalla condizione di carico dello stesso. Fig. 6.22: Diagrammi M f2 (M f1 ) in condizioni di frenatura ideale: (a) diagramma tipico di vetture a trazione posteriore con rapporto h G/l basso; (b) diagramma tipico di vettura a trazione anteriore di classe medio alta e con rapporto h G/l medio; (c) diagramma tipico di vetture piccole a trazione anteriore, con ripartizione pesi vuoto/pieno squilibrata e con rapporto h G/l alto (Fonte: [5]) 60

71 6.4. Ripartitore di frenatura 6. FRENATURA 6.4 Ripartitore di frenatura Si può definire un fattore di ripartizione di frenatura: K f = M f 1 M f2 come il rapporto fra il momento frenante sull avantreno e quello al retrotreno. Tale rapporto dipende dalle caratteristiche costruttive e dalla configurazione di esercizio dell impianto frenante. Fig. 6.23: Confronto fra i momenti frenanti all avantreno e al retrotreno fra le condizioni di frenatura ideale e quella in cui il rapporto K f è costante. Nel caso illustrato il valore di µ xp è sufficientemente elevato da produrre lo slittamento oltre il punto A d intersezione fra le due curve (Fonte: [5]) Sfruttando il grafico di Fig. 6.23, per ogni valore di decelerazione si può ottenere un valore di K f per il quale si ha una ripartizione ideale. Se K f è costante nel piano M f1 e M f2, le caratteristica di ripartizione dell impianto frenante è una retta. Il punto A di intersezione tra la parabola e la retta da la condizione nelle quali l impianto funziona in maniera ideale (a sinistra di A). 61

72 Capitolo 7 Prestazioni del veicolo Per procedere nello studio della dinamica longitudinale occorre conoscere, sostanzialmente, la potenza necessaria e quella disponibile per il moto del veicolo. Mentre la prima di queste potenze va intesa come la potenza resistente che occorre per mantenere il veicolo in moto in determinate condizioni di pendenza, velocità, resistenze aerodinamiche e di rotolamento, la potenza disponibile altro non è che la potenza installata sul veicolo, cioè la potenza del motore (a meno delle perdite negli ingranaggi della trasmissione). 7.1 Caratteristica meccanica di un motore a combustione interna In Fig. 7.1 è riportata la curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata. Fig. 7.1: Curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata (Fonte: [5]) Si tratta di un grafico, ottenuto per via sperimentale, in cui viene plottata la potenza erogata dal motore in funzione del regime di rotazione, per diversi gradi di ammissione: a pieno carico (grado di ammissione γ pari a 1) si ottiene la curva superiore di figura, mentre a grado di ammissione nullo si individua la curva inferiore ; ogni punto che giace nel piano compreso fra le due curve rappresenta un punto di funzionamento parzializzato del motore. Si riconosce il tipico assorbimento di potenza che ha un motore ad accensione comandata qualora si parzializzi molto l aspirazione: a questo comportamento è riconducibile il fenomeno del cosiddetto freno motore. 62

73 7.1. Caratteristica meccanica di un motore 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO Benché in uno studio delle prestazioni di un veicolo la caratteristica sperimentale del motore sia generalmente disponibile, è molto più agevole, in uno studio di massima, ricondursi a una espressione algebrica della potenza in piena ammissione: Per i coefficienti P mi 3 P m = P mi ωm i (7.1) i=0 si ritiene generalmente valido: per tutti i tipi di motore a combustione interna, P m0 = 0 P m3 = P max ω 3 max P m1 per i motori ad accensione comandata, = P max ω max P m2 = P max ω 2 max P m1 per i motori Diesel ad iniezione indiretta e = 0,6 Pmax ω max P m2 = 1,4 Pmax ω 2 max P m1 = 0,87 Pmax ω max P m2 = 1,13 Pmax ω 2 max per i motori Diesel ad accensione diretta. La coppia sviluppata dal motore si ottiene direttamente dalla potenza: e, sfruttando la (7.1), si può scrivere: M m = P m ω m (7.2) M m = 3 i=0 P mi ω i 1 m (7.3) In Fig. 7.1 sono mostrate anche le curve di potenza ottenute a parità di rendimento η: per un motore ad accensione comandata, il rendimento risulta più alto in condizioni di funzionamento assai vicine alla coppia massima di piena ammissione e si riduce piuttosto rapidamente allontanandosi da esse. Questa riduzione è molto più limitata per un motore ad accensione per compressione (Fig. 7.2). Generalmente, si preferisce parlare, piuttosto che di rendimento, di consumo specifico di combustibile definito dalla: q = 1 (7.4) H i η dove si è indicato con H i il potere calorifico inferiore del combustibile: evidentemente, il consumo specifico non è più un termine adimensionale come il rendimento ma ha l unità di misura di una massa per l inverso di un energia, ossia si misura in kg J 1 nel sistema SI. Dai grafici che abbiamo fin qui mostrato appare evidente che si evidenziano distintamente le curve di coppia e/o di potenza massime (a piena ammissione) e minime (ammissione nulla); per valutare la coppia che si sviluppa con grado d ammissione genrico γ si ipotizza una relazione lineare del tipo: M m = M mmax γ + M mmin (1 γ) (7.5) 63

74 7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO (a) Motore ad accensione comandata (b) Motore ad accensione spontanea Fig. 7.2: Curve caratteristiche di due tipici motori con relative curve iso consumo (Fonte: [5]) 7.2 Dinamica longitudinale in piano In questo paragrafo saranno ricavate le equazioni che descrivono il moto di avanzamento su strada piana di un autoveicolo. Fig. 7.3: Moto di avanzamento del veicolo in piano (Fonte: [2]) La condizione di moto è quella rappresentata in Fig. 7.3: vengono evidenziate tutte le variabili che descrivono il moto delle varie parti del veicolo e le forze agenti sullo stesso. In particolare, delle azioni aerodinamiche si prende in considerazione la sola componente di resistenza F aer e si suppongono le componenti normali delle forze di contatto avanzate del parametro d attrito volvente u. Il veicolo è supposto in moto puramente rettilineo e privo di sospensioni, ossia si considerano nulle tutte le rotazioni della cassa rispetto alle ruote; la stessa ipotesi ci porta a ritenere uguali le forze agenti sulle ruote dello stesse asse. Per quest analisi si utilizzeranno due modelli differenti delle forze di contatto ruota strada: il modello di Coulomb, che porterà a considerare il sistema di Fig. 7.3 dotato di un solo grado di libertà; le formule di Pacejka, per utilizzare le quali occorre considerare tre differenti gradi di libertà del sistema Modello di Coulomb (1 grado di libertà) Supponiamo, appunto, che il contatto fra pneumatico e strada segua la legge di Coulomb. Si può individuare una relazione cinematica fra le velocità angolari delle ruote e la velocità di traslazione dell intero veicolo: θ A = θ P = ω r = ẋ R (7.6) 64

75 7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO in quanto, in questa formulazione, le ruote supposte rigide, il loro raggio di rotolamento R, cioè le loro dimensioni, uguali e il loro moto avviene senza strisciamento con velocità angolare ω r. Supporremo, senza perdere in generalità, che il nostro veicolo sia a trazione posteriore: ω m = θ P τ = θ P τ c τ p (7.7) ove si è indicato con τ c e τ p il rapporto di trasmissione, rispettivamente, al cambio e al ponte del differenziale. Indicando con W m, W r, W p, rispettivamente, le potenze motrice, resistente e perduta e con E c l energia cinetica, si può scrivere il bilancio energetico del sistema di Fig. 7.3: W m + W r + W p = de c dt La potenza motrice sarà quella fornita dal motore: (7.8) mentre per la potenza resistente si potrà scrivere: W m = P m = M m ω m (7.9) W r = W rrot + W raer = 2N P f v R θ P 2N A f v R θ A 1 2 ρsc xẋ 2 ẋ (7.10) L equilibrio alla traslazione verticale comporta: che, per la (7.6), porta a: 2N A + 2N P = Mg (7.11) W rrot = Mgf v ẋ (7.12) La potenza perduta si ottiene una volta che siano note le caratteristiche del motore e il rendimento della trasmissione: W p = (1 η) (M m J m ω m ) ω m (7.13) Nell espressione precedente al momento motore M m è stato decurtata quella quota parte che tiene conto dell inerzia delle parti rotanti, ossia il momento J m ω m che serve per accelerare le suddette parti. L energia cinetica può essere scomposta in quella del motore: E cm = 1 2 J mω 2 m e in quella delle parti che stanno a valle della trasmissione : Si può scrivere, allora: E cu = 1 2 Mẋ J rω 2 r de c = J m ω m ω m + mẋẍ + 4J r ω r ω r dt Sfruttando le (7.6) e (7.7), la precedente diviene: de c dt ẋ ẍ ẋ = J m + mẋẍ + 4J r Rτ c τ p Rτ c τ p R Sfruttando le (7.9), (7.10), (7.13) e (7.14), la (7.8) diviene: ẍ R (7.14) È l energia cinetica utile, ossia quella posseduta dalle ruote e dalla cassa del veicolo. 65

76 7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO M m ω m (1 η) (M m J m ω m ) Mgf v ẋ 1 2 ρsc xẋ 3 ẋ ẍ ẋ ẍ = J m + mẋẍ + 4J r Rτ c τ p Rτ c τ p R R (7.15) Semplificando e raccogliendo, si giunge a: A regime, potendo porre: ẍ = ηm m Rτ c τ p Mgf v 1 2 ρsc xẋ 2 M + 4J r R 2 + ηj m R 2 τ 2 c τ 2 p (7.16) ẍ = 0 ẋ = V = cost si può calcolare facilmente la coppia motrice che deve fornire il motore per mantenere il veicolo in moto alla velocità V : M m = Rτ cτ p η (Mgf v + 12 ρsc xv 2 ) e il grado di ammissione da dare al motore per sviluppare suddetta coppia: (7.17) avendo posto: γ = M m M min ω m M max M min ω m (7.18) ω m = V Rτ c τ p Il modello utilizzato (e quindi la (7.16)) vale soltanto finché siamo in condizioni di aderenza. Affinché si possa quindi sfruttare la (7.16) occorre verificare che sia soddisfatta la suddetta condizione. Per far ciò occorre prendere in considerazione le forze esterne che agiscono sul veicolo (Fig. 7.4): si dovrà supporre che esso abbia un ulteriore grado di libertà per poter considerare la perdita di aderenza di un asse. Fig. 7.4: Forze esterne agenti sul veicolo (Fonte: [2]) Le condizioni di equilibrio alla traslazione verticale e longitudinale e alla rotazione attorno al punto P si scrivono come: Il momento motore M m non viene preso in considerazione perché è una forza interna al sistema e non compie lavoro. 66

77 7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO Mg 2N P 2N A = 0 Mẍ 1 2 ρsc xẋ 2 + 2T xa + 2T xp = 0 2N P p Mg (a + u) Mẍh ρsc xẋ 2 h 2 2J r θa 2J r θp = 0 (7.19) Poiché per l assenza di strisciamento si può porre: avremo: θ A = ẍ R N A = Mg 2N P 2 θ P = ẍ R N P = Mg (a + u) + Mẍh ρsc xẋ 2 h Jr R ẍ 2p (7.20) Occorre a questo punto aggiungere un ulteriore equazione d equilibrio per poter esplicitare le forze longitudinali. Fig. 7.5: Forze agenti sulle ruote anteriori (Fonte: [2]) Per far ciò, si prenda in considerazione la Fig. 7.5, dove sono rappresentate le forze agenti sulle ruote anteriori, comprese le componenti orizzontale e verticale delle reazioni che il telaio scambia con le ruote stesse. Sarà: da cui: 2J r θa 2N a u 2T xa R = 0 (7.21) u T xa = N A R J r R 2 ẍ Unendo la precedente con la seconda delle (7.19), si potrà verificare che siano soddisfatte le condizioni di aderenza imposte dal modello di Coulomb: T xa N A f s T xp N P f s (7.22) 67

78 7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO Modello a tre gradi di libertà Con questo modello vengono meno le relazioni cinematiche (7.6) che legano la velocità della cassa con le velocità angolari delle ruote: queste sono, invece, i gradi di libertà del nostro modello (che è sempre raffigurato dalla configurazione di Fig. 7.3). La differenza è che, adesso, non sono più incognite le forze longitudinali T xa e T xp, le quali si suppongono ricavata da un modesllo ad hoc (brush model o magic formula). Valgono sempre le stesse relazioni trovate per l equilibrio longitudinale: e per l equilibrio della ruota non motrice : Mẍ 1 2 ρsc xẋ 2 + 2T xa + 2T xp = 0 2J r θa 2N A u 2T xa R = 0 Fig. 7.6: Forze agenti sulle ruote posteriori (Fonte: [2]) A questo punto occorre aggiungere la condizione di equilibrio per le ruote motrici (Fig. 7.6): deve essere presa in considerazione anche la coppia C r trasmessa dai semiassi alle ruote: Raccogliendo tutte le equazioni avremo: 2J r θp 2N P u 2T xp R + C r = 0 (7.23) ẍ = 2T x A + 2T xp 1 2 ρsc xẋ 2 M θ A = 2N Au 2T xa R 2J r θ P = 2N P u 2T xp R + C r 2J r (7.24) Per poter risolvere le (7.24) occorre esprimere le azioni T xa, T xp e C r in funzione delle coordinate libere del sistema. Per far ciò si faccia riferimento alla Fig. 7.7, in cui è rappresentato lo schema della trasmissione di un generico autoveicolo. Il bilancio energetico del sistema di figura, escludendo le ruote (ossia degli elementi racchiusi dal riquadro di Fig. 7.7) sarà dato da: Continueremo a supporre, senza perdere in generalità, il veicolo a trazione posteriore. 68

79 7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO Fig. 7.7: Schema della trasmissione (Fonte: [2]) W m + W p W u = de c dt Per la potenza utile, ossia la potenza che è effettivamente disponibile alle ruote, avremo: (7.25) W u = C r θp (7.26) per quella motrice: W m = M m ω m (7.27) per la potenza perduta: W p = (1 η) (M m J m ω m ) ω m (7.28) e per l energia cinetica: Inserendo queste espressioni nella 7.25 si può scrivere: E cm = 1 2 J mω 2 m (7.29) Continuando a valere: M m ω m (1 η) (M m J m ω m ) ω m C r θp = J m ω m ω m (7.30) si avrà in definitiva: ω m = θ P τ c τ p = ω r τ c τ p C r = η (M m J m ω m ) ω m θ P = η M m τ c τ p η J m θ P τ 2 c τ 2 p (7.31) Per avere ẍ, θ A e θ P occorre conoscere la T = T (N, s). Ricordando la definizione di scorrimento: avremo: s = v V = ω ω 0 ω s A = ẋ R θ A ẋ Nel moto a regime possiamo porre: s P = ẋ R θ P ẋ (7.32) 69

80 7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO ẍ = 0 θa = 0 θp = 0 e ricercare le θ A e θ P supponendo nota la ẋ = V = cost. Continuando a valere le (7.19) e (7.21), avremo: N P = Mg (a + u) ρsc xv 2 h 2 2p N A = Mg 2 N P 2 (7.33) T xa = N u A R T xp = 2 T xa ρsc xv 2 2 Le formule di Pacejka non sono facilmente invertibili, per cui non si può ricavare s direttamente da T e N. Per questo, si dovrà valutare iterativamente: ( T xa sa, N ) A TxA ɛ con ɛ 0 piccolo a piacere. Una volta trovati s A (e s P ) si può porre: θ A = V R (1 s A) θ P = V R (1 s P ) ω m = θ P τ C m = 2 N P u + 2 T xa Mm = τ C m η 7.3 Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo Le prestazioni del veicolo si studiano in termini di: massima pendenza superabile: massima velocità ed accelerazione su strada piana. Generalmente, per questo tipo di studio, data l eccessiva complicazione del modello a tre gradi di libertà, si preferisce fare uso del modello di Coulomb, assicurandosi di essere in condizioni lontane dalla perdita d aderenza. Per procedere allo studio di questi fenomeni occorre in primo luogo valutare la potenza necessaria all avanzamento di un veicolo Forza resistente Le forza di resistenza all avanzamento è data in generale da: R = Possiamo notare che: [ Mg cos α 1 2 ρsc zv 2 ] (f0 + kv 2) ρsc xv 2 + Mg sin α (7.34) La parte di peso verticale deve essere decurtata della portanza, che spinge verso l alto; f v non è costante con la velocità, ma vale f v = f 0 + kv 2 70

81 7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO La (7.34) può essere riscritta in forma differente, per mettere in risalto la dipendenza dalle varie potenze della velocità: dove i termini moltiplicativi valgono: R = A + BV 2 + CV 4 (7.35) A = Mg (f 0 cos α + sin α) B = 1 2 ρs (C x f 0 C z ) + Mgk cos α C = 1 2 ρsc zk Il termine C, che moltiplica la quarta potenza della velocità, dipende quindi dalla portanza e dall attrito di rotolamento: la sua influenza diventa significativa solo per macchine sportive. A velocità di uso comune il termine di maggior rilevanza è la pendenza. La potenza resistente si ottiene direttamente dalla (7.35): Massima pendenza superabile W r = RV = AV + BV 3 + CV 5 (7.36) Sul veicolo in marcia a velocità costante in salita agiscono la forza peso mg e la resistenza aerodinamica F aer, nell ipotesi di moto a regime non si hanno forze o coppie di inerzia agenti sul veicolo. Fig. 7.8: Forze applicate a un veicolo in marcia su strada in pendenza (Fonte: [2]) Sia W ms la potenza che il motore deve erogare per muovere il veicolo in salita a velocità costante. Questa può essere calcolata attraverso un bilancio di potenze a regime: W ms + W r + W p = 0 (7.37) La potenza resistente in salita è data da: W r = 2 (N A + N P ) f v V 1 2 ρsc xv 3 MgV sin α (7.38) Dall equilibrio del veicolo in direzione perpendicolare al moto si ha: 2 (N A + N P ) = Mg cos α 71

82 7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO Per cui la (7.38) diventa: La potenza perduta nel moto a regime in salita vale: W r = Mg (f v cos α + sin α) V 1 2 ρsc xv 3 (7.39) W p = (1 η) W ms (7.40) La (7.37) diventa: W ms = 1 [Mg (f v cos α + sin α) V + 12 ] η ρsc xv 3 = 1 η W r (7.41) Per pendenze stradali si ha: cos α = 1 sin α = tan α = i per cui avremo: W ms = 1 η [(f v + i) MgV + 12 ρsc xv 3 ] (7.42) Quindi, la potenza richiesta per superare la pendenza i è la somma di un termine proporzionale alla velocità e che aumenta al crescere della pendenza, e di un termine che dipende dalla terza potenza della velocità ed è indipendente dalla pendenza. Perché l autoveicolo proceda in salita ad una certa velocità e con una certa pendenza, occorre che la potenza resa disponibile dal motore W m sia uguale o superiore alla potenza necessaria W ms. In Fig. 7.9 si riportano le curve di potenza motrice e potenza necessaria all avanzamento in salita in funzione della velocità. La curva di potenza fornita (W m = W m (ω m ), con V = ω m Rτ) è una caratteristica del motore. Fig. 7.9: Curve di potenza resa disponibile dal motore e necessaria all avanzamento per le diverse condizioni di pendenza e marcia inserita (Fonte: [2]) Per valutare W m in funzione di V c è un fattore di scala Rτ: in scala logaritmica, la moltiplicazione per un fattore di scala si traduce in una traslazione in direzione orizzontale della curva. Poiché il fattore di scala dipende dal rapporto di trasmissione, si avranno diverse curve di potenza disponibile, al variare della marcia inserita, tutte corrispondenti a diverse traslazioni in orizzontale (Fig. 7.10). 72

83 7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO Fig. 7.10: Variazione delle curve di potenza massima del motore su scala logaritmica dovute al rapporto di trasmissione e al rendimento (Fonte: [5]) Se le curve di potenza fornita e necessaria risultano tangenti (come avviene in Fig. 7.9 per cambio in III marcia e pendenza pari a 0,15), si ottiene in ordinata la velocità che consente di superare quella pendenza alla marcia impostata. Si ottiene una condizione di marcia instabile in cui, a fronte di una piccola variazione della velocità, la vettura tende ad arrestarsi. Pertanto, per poter considerare superabile una data pendenza, è necessario che per un dato intervallo di velocità la curva della potenza disponibile sia al di sopra della curva della potenza richiesta. Evidentemente, la curva di potenza disponibile che consente il superamento della maggiore pendenza è quella più vicina all asse delle potenze, che corrisponde al valore minimo del rapporto di trasmissione al cambio che si ottiene con la I marcia innestata. La condizione di moto a regime su strada piana costituisce un caso particolare del moto a regime in salita, ove si consideri pendenza nulla i = 0. La velocità massima si ottiene quando il rapporto di trasmissione è tale da posizionare il massimo della curva di potenza disponibile W m (V ) in corrispondenza con l intersezione con la curva della potenza necessaria per l avanzamento W ms (Fig. 7.11). Fig. 7.11: Individuazione della massima velocità raggiungibile per un dato rapporto di trasmissione e una data pendenza (Fonte: [2]) Massima pendenza compatibile con l aderenza La massima pendenza superabile da un veicolo va considerata anche tenendo conto dell aderenza disponibile, in quanto questa influisce sulla capacità di trasmettere a terra sulle ruote motrici una forza longitudinale 73

84 7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO di trazione sufficientemente elevata. Si scrive l equazione della rotazione dell intero veicolo intorno al punto P di Fig. 7.8 (trazione posteriore): 2N p p Mgh sin α 1 2 ρsc xv 2 h s Mg(a + u) cos α = 0 (7.43) Trascurando: le forze aerodinamiche essendo pendenze superabili a basse velocità; l avanzamento dell azione normale ti dovuto all attrito volvente rispetto al semipasso: u p/2 la precedente diviene: 2N p p Mghi Mga = 0 N p = L equilibrio in direzione longitudinale comporta: Mg (hi + a) 2p (7.44) 2T xa + 2T xp 1 2 ρsc xv 2 Mg sin α = 0 (7.45) Poiché le forze longitudinali sui pneumatici posteriori (motrici) sono maggiori di quelle sugli anteriori (condotti), trascurando poi anche le resistenze aerodinamiche si ha: 2T xp = Mgi (7.46) Imponendo che le espressioni delle forze N p e T x ottenute rispettino la condizione di aderenza: si ottiene: T x = i N a+ih P p f s i f s a /p 1 f s h /p = i max (7.47) La (7.47) fornisce il valore della massima pendenza superabile con aderenza f s a V = cost. Svolgendo lo stesso procedimento per un veicolo a trazione anteriore, la pendenza massima risulta: i f s (p a) /p 1 + f s h /p = i max (7.48) Si tenga presente che la pendenza superabile da un veicolo a trazione anteriore è generalmente inferiore rispetto a una trazione posteriore. Infatti, la (7.48) rappresenta un numero minore rispetto alla (7.47), considerando che ha un denominatore minore a fronte di un numeratore pressoché eguale (il baricentro generalmente si trova in una posizione poco discoste dal centro longitudinale del veicolo, per cui b = p a differisce poco da a) Accelerazione massima Riprendiamo l espressione dell accelerazione longitudinale di un veicolo su strada piana: Si fanno alcune assunzioni: ẍ = ηm m Rτ Mgf v 1 2 ρc xsẋ ηj m (Rτ) J R R 2 + M (7.49) si trascurano: 74

85 7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO le resistenze aerodinamiche; la potenza dovuta all attrito di rotolamento; l inerzia delle ruote J R ; l inerzia del motore varia invece con il rapporto di trasmissione (in I marcia è dell ordine di M, nell ultima marcia è circa 1/20M) Otterremo: ηm m ẍ = ηj m Rτ + RτM (7.50) Tale espressione fornisce il valore di accelerazione in funzione del rapporto di trasmissione. Per trovare il τ per cui si ha il massimo dell accelerazione si minimizza il denominatore: ottenendo: ( ) ηjm τ Rτ + RτM = 0 τ = ηjm RM (7.51) Criteri di massima per il dimensionamento del cambio Concludiamo elencando i punti fondamentali su cui si basa la procedura di dimensionamento del cambio da associare a un motore di caratteristica nota: 1. Si sceglie il rapporto di trasmissione alla velocità più alta in modo da ottenere la massima velocità su strada piana, corrispondente alla IV marcia (di solito si pone τ C = 1 e si definisce τ P in modo da ottenere la condizione di cui sopra). 2. Si sceglie il rapporto di trasmissione in prima marcia τ CI in modo da realizzare la massima accelerazione. 3. Si definiscono i rapporti di trasmissione intermedi in maniera opportunamente graduata (per esempio seguendo una progressione geometrica per minimizzare i tempi di ripresa). 75

86 Parte II La dinamica laterale 76

87 Capitolo 8 Sterzatura 8.1 Sterzatura cinematica Si definisce sterzatura cinematica il moto di un veicolo su una traiettoria curva determinata dal puro rotolamento delle ruote. Da questa definizione segue che, in condizioni di sterzatura cinematica, la velocità delle ruote è contenuta nel loro piano medio e gli angoli di deriva sono tutti nulli, perciò le ruote non possono esercitare forze trasversali per equilibrare la forza centrifuga dovuta alla traiettoria curvilinea. Quindi la sterzatura cinematica è una pura astrazione ed è possibile solo se la velocità sulla traiettoria curva tende a zero. Fig. 8.1: Schema di veicolo in condizione di sterzatura cinematica (Fonte: [5]) Perché le condizioni di sterzatura cinematica siano verificate, il centro istantaneo di rotazione O di tutte le ruote coincide: tale punto è anche il centro di curvatura dell intero veicolo (Fig. 8.1). In queste condizioni, i due angoli di sterzo non possono essere uguali, infatti devono valere le relazioni: l tan δ 1 = R 1 t 2 l tan δ 2 = R 1 + t 2 (8.1) Eliminando R 1 dalle precedenti, si ottiene una relazione diretta fra gli angoli δ 1 e δ 2, nota come relazione di Ackermann: 77

88 8.1. Sterzatura cinematica 8. STERZATURA cot δ 2 cot δ 1 = t l (8.2) Un dispositivo capace di rispettare pienamente la condizione (8.2) è il giunto di Ackermann (Fig. 8.2). Fig. 8.2: Giunto di Ackermann (vista dall alto) Infatti, per uno spostamento x dell asse di comando, le due ruote ruotano di un angolo α (δ 1 ) e β (δ 2 ). Dalla Fig. 8.2 si ottiene: x = h tan δ h tan (δ δ 1 ) = h tan (δ + δ 2 ) h tan δ (8.3) Ne consegue: cot δ 2 cot δ 1 = 2 tan δ (8.4) Confrontando la (8.4) con la (8.2) è immediato verificare che il giunto di Fig. 8.2 realizza pienamente la condizione di Ackermann qualora si faccia in modo che: 2 tan δ = t l Il rapporto t l è una caratteristica del veicolo e permette di trovare l angolo di cui devono essere inclinate le guide prismatiche del sistema di sterzo che sia realizzato con un giunto del tipo quello di Fig Fig. 8.3: Meccanismo di sterzo a quadrilatero articolato (vista dall alto) Tale meccanismo non viene in pratica mai utilizzato a causa delle presenze delle coppie prismatiche che richiedono costi e manutenzione eccessivi; si preferisce usare un meccanismo a quadrilatero articolato come quello rappresentato in Fig Con un sistema di questo tipo, però, non si è in grado di rispettare la condizione di Ackermann. Si può dimostrare, infatti, che per il sistema di Fig. 8.3 vale: (l2 ) 2 sin(δ δ 2 ) + sin(δ + δ 1 ) = 2 sin δ [ cos(δ δ 2 ) cos(δ δ 1 ) ] 2 l 1 (8.5) 78

89 8.1. Sterzatura cinematica 8. STERZATURA Per valutare di quanto ci si discosta dalla condizione di sterzatura cinematica si riporta l errore δ 2 = δ 2 δ 2ACK rispetto a δ 1 (Fig. 8.4): generalmente, si tende a preferire una situazione di compromesso, imponendo δ = 18. Fig. 8.4: Andamento qualitativo dell errore commesso rispetto alla condizione di Ackermann utilizzando un sistema di sterzo come quello di Fig. 8.3 (Fonte: [5]) L importanza delle condizioni d Ackerman per un buon comportamento direzionale è stata spesso sovrastimata, infatti: è sempre presente un angolo di deriva; le sospensioni generano un effetto sterzante dovuto al rollio del veicolo; le ruote sterzanti sono convergenti; le deformazioni delle sospensioni inducono piccoli angoli che dipendono dalle forze scambiate in direzione verticale. L errore di sterzatura ha effetto su una maggiore usura delle ruote anteriori e sulla centratura dello sterzo: il momento con cui lo sterzo reagisce deve aumentare gradualmente all aumentare dell angolo di sterzatura che si può ottenere con una corretta geometria di Ackermann. In definitiva, le condizioni di Ackermann al più minimizzano il consumo di battistrada, in quanto realizzano le condizioni in cui nessuna ruota striscia Il modello a bicicletta Per ottenere delle relazioni di più facile utilizzo si preferisce fare uso di un modello semplificato, il quale prevede che le ruote destre e sinistre si comportino allo stesso modo: il veicolo è, quindi, ricondotto allo schema di un semplice biciclo (Fig. 8.5). Con la simbologia di Fig. 8.5 abbiamo: Eliminando t 2 dalle (8.1), la precedente diviene: cot δ = R 1 l 79

90 8.2. Limite di slittamento e ribaltamento 8. STERZATURA Fig. 8.5: Schema di modello a bicicletta (Fonte: [5]) cot δ = cot δ 1 + cot δ 2 2 Il raggio R di curvatura della traiettoria del baricentro risulta: R = b 2 + R 21 = b 2 + l 2 cot 2 δ (8.6) Se il raggio di curvatura è grande rispetto al passo del veicolo e l angolo di sterzo piccolo, si può porre: che può essere riscritta nella forma: R = l cot δ = l δ 1 Rδ = 1 l La (8.7) definisce il guadagno della curvatura della traiettoria, che rappresenta il rapporto fra la curvatura che percorre il veicolo e l angolo di sterzo imposto: in condizioni di sterzatura cinematica, detto rapporto rimane costante e uguale all inverso del passo del veicolo. Un espressione analoga può essere ricavata per l angolo β di deriva del veicolo. Dalla Fig. 8.5 si ha: ( ) b β = arctan = arctan b R2 b 2 R Sfruttando la (8.7), sempre con l ipotesi di piccoli angoli, otteniamo la relazione cercata: (8.7) (8.8) β δ = b l (8.9) 8.2 Limite di slittamento e ribaltamento Un veicolo che percorra una curva ad una determinata velocità è sottoposto a una forza centrifuga che varia col variare del raggio della curva e della velocità con cui percorre la suddetta curva. A seconda dell intensità delle forze di aderenza, ci sarà un limite per cui le ruote cominceranno a slittare lateralmente 80

91 8.2. Limite di slittamento e ribaltamento 8. STERZATURA oppure il veicolo può giungere a ribaltarsi. In questo paragrafo si vuole valutare quando intervengono questi limiti. Fig. 8.6: Forze agenti su un veicolo che percorre una traiettoria curvilinea (Fonte: [5]) La situazione è quella rappresentata in Fig. 8.6: il veicolo percorre in condizioni stazionarie (V = cost) una strada piana con inclinazione laterale α t e curvatura di raggio costante R; si trascurano le forze aerodinamiche lungo x ma non quelle dovute alla portanza; il veicolo non si trova in condizioni di sterzatura cinematica, ma sono presenti su tutte le ruote i rispettivi angoli di deriva, senza i quali non si potrebbero produrre le forze laterali necessarie al moto curvilineo. Si considera un sistema di riferimento Gηz, con asse η parallelo alla superficie stradale e passante per il centro O di istantanea rotazione del veicolo: la F y non giace su η, ma l angolo compreso fra gli assi η e y è tale da poter ammettere che P ηi = F yi. L equilibrio alla traslazione in direzione η comporta: mentre quello lungo z: m V 2 R cos α t mg sin α t = i P η i = i F y i (8.10) F z = mg cos α t + mv 2 R sin α t 1 2 ρsc zv 2 (8.11) Se supponiamo che il coefficiente d aderenza sia lo stesso per tutte le ruote (µ yi = µ y i), possiamo scrivere: e, per la (8.11), la (8.10) diviene: Ponendo: i F y i = i µ y i F zi = µ y i F z i V 2 gr tan α t = µ y (1 + V 2 gr tan α t 1 2 M = 1 ρsc z V 2 2 mg cos α t 81 = µ y F z ρsc z V 2 ) mg cos α t (8.12)

92 8.2. Limite di slittamento e ribaltamento 8. STERZATURA la precedente diventa: V 2 gr = tan α ( t + µ ) y 1 MV 2 (8.13) 1 µ y tan α t che rappresenta il rapporto fra accelerazione centrifuga e accelerazione di gravità. Il valore massimo di tale rapporto si ha in corrispondenza del valore di picco di µ: Al termine: ( ) V 2 R max = g tan α t + µ yp ( 1 MV 2 ) 1 µ yp tan α t = gf s (8.14) f s = tan α t + µ yp ( 1 MV 2 ) 1 µ yp tan α t (8.15) si da il nome di fattore di slittamento. L espressione (8.14) fornisce il valore massimo della velocità di percorrenza di una curva di raggio R compatibilmente con l aderenza disponibile: se si percorre una curva con una velocità maggiore di quella definita da questa relazione, il veicolo inevitabilmente slitta lateralmente. Si noti che la (8.14) è un espressione indiretta; se si vuole un espressione diretta della V max, dopo alcuni passaggi avremo: V max = tan α t + µ yp Rg 1 µ yp (tan α t RgM) Se si trascurano i termini aerodinamici, dalle (8.14) e (8.15), si ottiene direttamente: V max = Rg f s Come già detto ad inizio del paragrafo, il limite alla velocità di percorrenza di una curva dovuto all aderenza dei pneumatici non è l unico: infatti un ulteriore limitazione viene dal pericolo di ribaltamento. Le condizioni di ribaltamento imminente si hanno quando la risultante delle forze nel piano yz cade fuori dal punto A della figura 8.6. Facendo l equilibrio alla rotazione rispetto al punto A e considerando che sul pneumatico destro e sinistro agisca F z /2 si ha: mv 2 R h cos α t mgh sin α t = 1 2 Dividendo per mg cos α t e riordinando: (mg cos α t + mv 2 R sin α t 1 2 ρsc zv 2 ) t (8.16) t V 2 tan α t + gr = 2h (1 MV 2) 1 t 2h tan α t In analogia al caso precedente si definisce un fattore di ribaltamento come: (8.17) per cui la (8.17) diviene: f r = tan α t + t 2h (1 MV 2) 1 t 2h tan α t ( ) V 2 R max In conclusione, il limite di percorrenza della curva sarà: (8.18) = gf r (8.19) 82

93 8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA ( ) V 2 R max = g min (f s, f r ) (8.20) Generalmente, si verifica che µ yp < t 2h, ossia f s < f r : questo significa che la vettura tenderà a slittare prima di ribaltarsi. Tab. 8.1: Valori tipici del rapporto Tipo Veicolo t 2h Autovettura 1,1 1,6 Veicolo commerciale 0,8 1,1 TIR o Autobus 0,4 0,8 t 2h Occorre a questo punto fare alcune osservazioni: l ipotesi che il coefficiente d aderenza sia uguale per tutte le ruote non è facilmente realizzabile nella realtà, ma l ipotesi più restrittiva è l aver trascurato completamente l effetto delle sospensioni, che hanno, invece, un influenza notevole nei fenomeni analizzati. Ad esse sono correlati, infatti, i trasferimenti di carico che si hanno fra ruota esterna e interna alla curva, il moto di rollio cui è sottoposta la cassa del veicolo (che porta a una diversa disposizione del baricentro) e tutta una serie di fenomeni dinamici che potrebbero, a seguito, per esempio, di un eccitazione come l urto della ruota con un marciapiede, portare il sistema vibrante telaio sospensioni ruote a condizioni di risonanza. Le considerazioni svolte in questo paragrafo sono, comunque, utili per avere un quadro d insieme del problema. 8.3 Sterzatura dinamica L autoveicolo viene considerato un corpo rigido avente tre gradi di libertà. Utilizzando il sistema di riferimento di Fig. 8.7, si possono prendere come coordinate del sistema le coordinate X e Y del baricentro e l angolo di imbardata ψ fra gli assi locale x e assoluto X. Fig. 8.7: Sistema di riferimento per lo studio della dinamica laterale del veicolo (Fonte: [5]) Le equazioni di moto sono: 83

94 8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA mẍ = F X mÿ = F Y (8.21) J Z ψ = MZ È noto che per passare dal sistema di riferimento assi corpo xyz al sistema assi inerziale XY Z occorre moltiplicare le espressioni trovate nel primo sistema per la matrice di rotazione R(ψ): poiché ψ non è piccolo, le espressioni ottenute non sono linearizzabili. Difatti, l utilizzo di questo modello è indirizzato alla risoluzione numerica del problema dinamico. Avremo: dove la matrice: [ ] [ F X cos ψ = F Y sin ψ [ cos ψ R (ψ) = sin ψ ] [ ] sin ψ F x cos ψ F y ] sin ψ cos ψ (8.22) (8.23) rappresenta la matrice di rotazione per passare dalle coordinate del sistema di riferimento mobile xyz a quello fisso XY Z. Evidentemente, la matrice R gode di tutte le proprietà delle matrici di rotazione; in particolare : R T = R 1 ossia: Con riferimento alla Fig. 8.7 e dalla definizione (8.23) possiamo porre: ] [ ] [Ẋ u = R Ẏ v (8.24) Derivando rispetto al tempo: { Ẋ = u cos ψ v sin ψ Ẏ = u sin ψ + v cos ψ (8.25) e raccogliendo: { Ẍ = u cos ψ + u ψ sin ψ v sin ψ v ψ cos ψ Ÿ = u sin ψ + u ψ cos ψ + v cos ψ v ψ sin ψ (8.26) Le equazioni di moto (8.21) diventano allora: { Ẍ = ( u v ψ ) cos ψ ( v u ψ ) sin ψ Ÿ = ( u v ψ ) sin ψ + ( v + u ψ ) cos ψ ( m[ u v ψ ) ( cos ψ v u ψ ) ] sin ψ = F X ( m[ u v ψ ) ( sin ψ + v + u ψ ) ] cos ψ = F Y J Z ψ = MZ (8.27) (8.28) Si noti che nei due sistemi di riferimento gli assi z e Z coincidono. Dalla (8.23) basta verificare che RR T = I e ricordare che per definizione R 1 è tale che: RR 1 = I. 84

95 8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA Osservando che: [ R 1 cos ψ = sin ψ ] sin ψ cos ψ e premoltiplicando per essa il secondo membro della (8.27) dopo alcuni passaggi otteniamo: [ cos ψ sin ψ ] [( sin ψ u v ψ ) cos ψ ( v u ψ ) ] [ sin ψ ( cos ψ u v ψ ) sin ψ + ( v + u ψ ) u = ψv ] cos ψ v + ψu (8.29) Dalla (8.22) si ha anche: R 1 [ F X F Y ] [ ] F x = F y (8.30) che, unita alla (8.28) e alla (8.29), porta a: m ( u ψv ) = F x m ( v + ψu ) = F y (8.31) J Z ψ = MZ Le espressioni trovate, pur essendo ancora non lineari, sono, rispetto alle (8.21), più semplici da scrivere e più facilmente linearizzabili Angoli di deriva Anche gli angoli di deriva possono essere espressi in funzione delle coordinate assolute. Fig. 8.8: Posizione e velocità dell orma di contatto nel sistema di riferimento inerziale (Fonte: [5]) Con riferimento alla Fig. 8.8, si può esprimere la velocità del centro P i dell orma dell i-esima ruota come: [ ] V Pi = V G + ψk u (P i G) = v L angolo β i fra la velocità del punto P i e l asse x è dato da: [ + ψk ( ) x i i + y i j = u ψy i v + ψx i ] (8.32) 85

96 8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA β i = arctan ( vi mentre l angolo di deriva α i da (δ i è l angolo di sterzo): Trasferimento di carico u i ) ( v + = arctan ψx ) i u ψy i (8.33) ( v + α i = β i δ i = arctan ψx ) i u ψy δ i (8.34) i Per valutare l influenza delle forze normali (e, in particolare, la loro asimmetria dovuta, appunto, al trasferimento di carico) sulla sterzatura occorre considerare la deformabilità delle sospensioni, anche se è stata trascurata nel modello fin qui sviluppato. Fig. 8.9: Trasferimento di carico (Fonte: [5]) Con riferimento alla Fig. 8.9, indicati con F zi e F zi il carico totale e il trasferimento di carico agenti sull assale i-esimo, le forze agenti sulle ruote destra e sinistra dello stesso assale valgono: F zis F zid = F z i 2 + F z i L equilibrio alla rotazione attorno all asse x porta poi a: = F z i 2 F z i (8.35) F y i h G + t i F zi + M xaer = 0 (8.36) i i dove generalmente M xaer viene trascurato. Se si considera, a questo punto, la rigidezza torsionale k ti dell assale i-esimo e si indica con φ l angolo di rollio, avremo: Questa relazione può essere estesa all intero veicolo: t i F zi = k ti φ (8.37) k t k F zk = φ k k t k (8.38) Ricavando φ dalla precedente e sostituendo nella (8.37): F zi = k t i k t k F zk k k (8.39) t k t i 86

97 8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA Equazioni di moto Fig. 8.10: Forze al contatto ruota suolo scomposte secondo gli assi corpo (a)) e secondo gli assi pneumatico (b)) (Fonte: [5]) Facendo riferimento alla Fig. 8.10, la (8.31) diventa: m ( u ψv ) = F x ip cos δ i F y ip sin δ i 1 i i 2 ρsc xv 2 mg sin α m ( v + ψu ) = F x ip sin δ i + F y ip cos δ i + 1 i i 2 ρsc yv 2 + mg sin α t J Z ψ = i F x ip x i sin δ i + F y ip x i cos δ i F x ip y i cos δ i + F y ip y i sin δ i i i i + M z i + 1 i 2 ρs C z V 2 l (8.40) Queste espressioni sono facilmente linearizzabili se si suppone che tutti gli angoli siano piccoli: questa ipotesi è generalmente accettabile nelle normali condizioni di esercizio, laddove non siano richieste alte prestazioni. Quindi, se si suppone β 0: { u = V cos β V v = V sin β V β (8.41) Se si indica la velocità di imbardata con r = ψ, la (8.31) diventa: m ( ) V rv β = Fx m ( v + rv ) = mv ( ) β + r + mβ V = Fy (8.42) J Z ṙ = M Z Se si considera solo la prima equazione del sistema (8.42) e si suppone che siano trascurabili i termini δ i 0 e rβ 0, si avrà: m V = F xm + F xnm 1 2 ρsc xv 2 (8.43) avendo indicato con i termini F xm e F xnm, rispettivamente, la forza motrice (o frenante) e la forza non motrice esercitata sulle ruote folli. Se si suppone nota la legge V (t), si ottiene immediatamente F xm e F xnm 87

98 8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA senza bisogno di conoscere le azioni agenti lungo y: ciò equivale a dire che il comportamento longitudinale del veicolo non è influenzato da quello laterale. Anche le espressioni degli angoli di deriva possono essere linearizzate. Dalle (8.33) e (8.34), poiché ψy i è assai più piccolo di V, si ha: β i = V β + rx i V L espressione linearizzata delle forze laterali si ottiene direttamente dalla (8.40): α i = β + r x i V δ i (8.44) F y = i F x ip δ i + i F y ip ρsc yv 2 + mg sin α t (8.45) Riprendendo la definizione di rigidezza di deriva, nelle ipotesi in cui ci siamo posti, possiamo scrivere: ( F yip = C i α i = C i β + r x ) i V δ i (8.46) In questa espressione si sono trascurati i termini dovuti alla rigidezza di campanatura in quanto essa è generalmente assai più piccola rispetto a quella di deriva e perché, avendo completamente trascurato il rollio in questo modello di veicolo privo di sospensioni, le forze di campanatura di uno stesso asse sono eguali e opposte. Se si linearizza anche il coefficiente aerodinamico: e si suppone: C y = C y β β. = (C y ), β β la (8.45) diventa: F y = i F x ip k i δ i C i Derivate di stabilità δ i = k i δ ( β + r x ) i V k iδ ρs(c y), β βv 2 + mg sin α t (8.47) La precedente equazione può essere riscritta raccogliendo le variabili del moto β, r e δ: F y = [ i C i + 12 ] ( ) r [ )] ρsv 2 (C y ), β β x i i V + k i (C i + F xip δ + mg sin α t (8.48) i Ai parametri moltiplicativi si da il nome di derivate di stabilità: Y β = C i + 1 i 2 ρsv 2 (C y ), β Y r = 1 V x ic i i Y δ = ) k i (C i + F xip i (8.49) Dalle espressioni (8.49) è evidente che, in generale, le derivate di stabilità non sono costanti, ma dipendono dalla velocità. Espressioni analoghe si possono ottenere per i momenti d imbardata. La terza delle (8.40) viene linearizzata in: M Z = i F x ip x i δ i + i F y ip x i i F x ip y i + i F y ip y i δ i + i M z i ρs C z V 2 l (8.50) 88

99 8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA Nella precedente il termine i F y ip y i δ i è generalmente trascurabile rispetto agli altri termini, mentre, per quanto riguarda il termine i F x ip y i, il contributo delle forze frenanti o di trazione è nullo perché dette forze per ruote dello stesso asse sono uguali, opposte e danno pertanto momento nullo. L unico termine che dà momento è quello dovuto al trasferimento di carico e all attrito di rotolamento (che, pur essendo piccolo, varia con il quadrato della velocità): i F x ip y i = i t i F zi ( f0 + KV 2) (8.51) Trascurando il momento aerodinamico nella (8.36), si ha: che sostituita nella precedente porta a: i F y i h G + i t i F zi = 0 (8.52) i F x ip y i = i F y i h G ( f0 + KV 2) (8.53) Se si linearizza anche l espressione del momento di autoallineamento: l ultima delle (8.40) diventa: M zi = (M zi ), α α (8.54) J Z ψ = Nβ β + N r r + N δ δ + M ze (8.55) in cui si sono definite le derivate di stabilità del momento come: N β = ( [C i x i + (M zi ), α + h G f0 + KV 2) ] C i + 1 i 2 ρs( C y ), β V 2 l N r = 1 [C i x 2 ( i + (M zi ), α x i + h G f0 + KV 2) ] C i x i V i N δ = k ( i [C i x i (M zi ), α + F xip x i h G f0 + KV 2) ] C i i (8.56) Equazioni di moto linearizzate In definitiva, le espressioni finali delle equazioni di moto linearizzate sono: Si seguono generalmente due metodi di studio: { mv ( β + r ) + m V β = Yβ β + Y r r + Y δ δ + F ye Jṙ = N β β + N r r + N δ δ + M ze (8.57) a comandi bloccati: si considera assegnato l angolo di sterzo δ e le azioni esterne F ye e M ze ; a comandi liberi: l angolo di sterzo è anch esso variabile; occorre aggiungere un equazione aggiuntiva che descriva la legge di sterzo. Nel primo caso, qualora si ipotizzi che non vi siano (ovvero, siano trascurabili) né azioni aerodinamiche, né trasferimento di carico, né interazione fra le forze longitudinali e trasversali, si può mostrare che le derivate di stabilità sono costanti, qualora sia costante anche la velocità. Riprendendo l espressione (8.46), possiamo scrivere (Fig. 8.11): F ya = C a α a F yp = C p α p α a = β + r a V δ α p = β r b V 89

100 8.4. Comportamento direzionale a regime 8. STERZATURA Fig. 8.11: Forze agenti sul veicolo in condizioni di sterzatura: modello a bicicletta e le (8.57) diventano : ossia: si ha: { mv ( β + r ) + m V β = Fya + F yp Jṙ = F ya a F yp b mv β + ( m V + C a + C p ) β + ( mv + C a a a Jṙ + (C a a C p b) β + (C 2 a b 2 V + C p V V + C b p V ) r = C a aδ ) r = C a δ Si può esprimere la precedente anche in forma matriciale. Posto: [ ] [ ] β C a x = c = r C a a [ ] mv 0 m V a + C a + C p mv + C a A = B = V + C b p V 0 J Z a 2 C a a C p b C a V + C b 2 p V (8.58) (8.59) Aẋ + Bx = c δ (8.60) 8.4 Comportamento direzionale a regime Studiamo il comportamento del veicolo a regime imponendo un angolo di sterzo δ costante e una velocità V di percorrenza costante, cioè: In queste condizioni la velocità angolare r vale: V = cost δ = 0 Poiché δ 0. 90

101 8.4. Comportamento direzionale a regime 8. STERZATURA r = V R Fig. 8.12: Sterzatura dinamica: modello a bicicletta Come risulta anche dalla Fig. 8.12, l angolo tra le due normali alle velocità effettive dei pneumatici vale δ α a + α p. Risulta quindi: δ α a + α p = l R Gli angoli di deriva in funzione delle forze trasversali sono espressi da: (8.61) α a = F y a C a α p = F y p C p (8.62) Fig. 8.13: Equilibrio laterale per l intero veicolo in curva In curva, le forze di contatto devono equilibrare solo la forza centrifuga del veicolo (Fig. 8.13): In definitiva, si avrà: F ya = mv 2 R b l F yp = mv 2 R a l (8.63) δ = l R + mv 2 ( b a ) = l ( 1 + KV 2 ) (8.64) Rl C a C p R 91