L evoluzione dei metodi matematici di risoluzione dei problemi

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1 L evoluzione dei metodi matematici di risoluzione dei problemi 1 COMPETENZA: MATEMATICA NELLA STORIA L evoluzione dei metodi matematici di risoluzione dei problemi AcuradiFranco Tonolini e Giuliana Zibetti La filosofia, disciplina speculativa per eccellenza Galilei e il metodo scientifico Fin da quando l uomo si è interrogato sulla natura che lo circonda, si è dato risposte cercandole nella speculazione filosofica. Anche nel momento in cui elementi di matematica venivano utilizzati, essi assumevano spesso significati esoterici o magici, più legati alla numerologia che alla matematica vera e propria. Inoltre, secondo la filosofia di Aristotele ( a.c.), che fu ampiamente sostenuta fino al XVII secolo, vi era una netta distinzione tra cose celesti e cose terrene, e pertanto la Terra, luogo dei corpi imperfetti e corruttibili, poteva essere soltanto descritta qualitativamente, mentre il Cielo era l unico oggetto degno di descrizione quantitativa. Per la filosofia aristotelica la conoscenza dei moti celesti è certa, perché è descrizione di leggi divine. Nel momento in cui l uomo allarga la sua voglia di conoscenza alla natura, allora cadono le garanzie di verità. Con Galileo Galilei ( ) nasce un nuovo modo di considerare la Scienza. Il punto di partenza di Galileo Galilei consiste nell asserire che la natura ha un carattere che la contraddistingue: è scritta in linguaggio matematico, senza la conoscenza del quale non possiamo comprenderla. Nella sua opera Il Saggiatore, Galileo scrive: La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l universo), ma non si può intendere se prima non s impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. Ritratto di Galileo Galilei. Aristotele La scuola di Atene (particolare), Raffaello Sanzio, Stanza della Segnatura nei Palazzi Vaticani Il primo passo della conoscenza è l osservazione dei fatti; la matematica ha il ruolo di decodificare le informazioni recepite dai sensi. Le decodificazione dei dati empirici porta alla formulazione di un ipotesi espressa in termini matematici, che dovrà essere verificata mediante un cimento (esperimento).

2 2 L evoluzione dei metodi matematici di risoluzione dei problemi L esperimento ha un ruolo fondamentale nel metodo galileiano: è il momento del controllo, della verifica della legge matematica mediante la quale si vuole esprimere il fenomeno oggetto di studio. Se l esperimento dà risultati negativi, allora significa che le nostre supposizioni non sono confermate. Newton e la nascita del calcolo infinitesimale Tra il XVII e il XVIII secolo vengono sviluppati il calcolo infinitesimale eilconcetto di derivata (chiamata da Newton flussione), che indica la variazione di una grandezza nel tempo. L applicazione del calcolo infinitesimale alla fisica è basato sull idea che lo spazio e il tempo sono grandezze continue; pertanto, considerando intervalli di tempo sempre più piccoli, tendenti al limite a zero, è possibile conoscere istante per istante la posizione, la velocità o altre grandezze relative a un corpo supposto puntiforme, cioè assimilabile a un punto. Ad esempio, la velocità di un corpo puntiforme in un certo istante t è data dalla variazione della sua posizione in rapporto all intervallo di tempo impiegato per muoversi, considerando questo intervallo piccolissimo, cioè infinitesimale. In simboli: lim t!0 s t dove s è la variazione della posizione, t è l intervallo di tempo impiegato per muoversi. Diciamo anche che la velocità di un corpo puntiforme è data dal rapporto della variazione della posizione del corpo nell intervallo di tempo impiegato a muoversi. Per intervalli di tempo infinitesimali il limite di tale rapporto rappresenta la velocità istantanea. I matematici che contribuirono alla formulazione del calcolo infinitesimale furono molti: tra gli altri, Isaac Barrow ( ), Cartesio ( ), Pierre de Fermat ( ), Christiaan Huygens ( ) e John Wallis ( ). Decisivi furono però gli apporti di Isaac Newton ( ) e Gottfried Leibniz, che raggiungono la piena consapevolezza dell importanza del calcolo infinitesimale per lo sviluppo di metodi e modelli per lo studio quantitativo degli oggetti dell indagine scientifica. Nel secolo XVIII si assiste poi all ampliamento dei metodi e delle applicazioni, grazie ai fratelli Bernoulli, a Eulero ( ), a Lagrange ( ), a Laplace ( ), a D Alembert ( ) e a Cauchy ( ). ConNewtonsiconcretizzailsognodisostituireallafisica qualitativa aristotelica una fisica quantitativa che si avvale di una matematica adatta allo scopo, basata su equazioni differenziali che hanno come incognite una funzione e le sue derivate; tali equazioni descrivono l evoluzione nel tempo e nello spazio delle variabili che rappresentano il sistema oggetto di studio. Ritratto di Pierre-Simon Laplace. Isaac Newton ( ), padre della meccanica classica. Si deve a lui la formulazione della legge di gravitazione universale. Conoscendo lo stato meccanico di un punto materiale (cioè la sua posizione e la sua velocità) e la legge del suo moto è possibile calcolare i suoi stati futuri. Tale visione è chiamata meccanicismo.

3 L evoluzione dei metodi matematici di risoluzione dei problemi 3 Il matematico e fisico Pierre-Simon Laplace ( ) scrive: Noi dobbiamo quindi considerare lo stato presente dell Universo come l effetto del suo stato precedente e come la causa del seguente. Una intelligenza che, in un istante dato, conoscesse tutte le forze che animano la natura, e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se fosse così elevata da sottoporre questi dati all analisi, racchiuderebbe nella stessa formula i moti dei più grandi corpi dell Universo e dell atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa, e l avvenire come il passato sarebbe presente ai suoi occhi. Boltzmann e la meccanica statistica Quando nell Ottocento gli scienziati affrontano la teoria cinetica dei gas e la termodinamica, non possono più studiare il comportamento di tutte le singole particelle che costituiscono un sistema. Non possono più, cioè, studiare sistemi a livello microscopico. Devono spiegare gli aspetti che si evidenziano macroscopicamente, per esempio, in un gas, considerando le velocità medie delle particelle del gas. Nasce così la meccanica statistica, cioè lo studio del comportamento di sistemi complessi, mediante la teoria della probabilità eladescrizione statistica dei fenomeni. La meccanica statistica fornisce un modello per collegare le proprietà di singole particelle (atomi e molecole) alle proprietà macroscopiche dei materiali. Figura di spicco di questa nuova concezione è il fisico e matematico austriaco Ludwig Boltzmann ( ). Nuove teorie minano concezioni consolidate All inizio del 1900 altre teorie scientifiche vengono elaborate, che portano a minare i fondamenti stessi della scienza e la validità delle metodologie applicate fino a quel momento. Fotografia di Vito Volterra. Vito Volterra ( ), matematico italiano, nel 1906 afferma che la scienza sta attraversando una profonda crisi per due motivi essenziali: la teoria della relatività di Albert Einstein ( ) aveva eliminato i concetti di spazio e di tempo assoluti, fondamentali per la meccanica classica; inoltre la teoria dei quanti, introdotta da Max Planck ( ), metteva in discussione la continuità dei fenomeni, ipotizzando che grandezze, come l energia, possano assumere solo particolari valori, aumentando o diminuendo a salti e non in modo continuo. Un ulteriore colpo ai fondamenti della scienza tradizionale è il principio di indeterminazione di Werner Heisenberg ( ). Albert Einstein Max Planck Tomba di Boltzmann. Vienna, Cimitero centrale. Sopra il busto è riportata la formula di Boltznamm relativa al secondo principio della termodinamica. Werner Heisenberg

4 4 L evoluzione dei metodi matematici di risoluzione dei problemi In base a esso è impossibile determinare con precisione assoluta posizione e velocità di un corpo, perché tanto più le misure sono precise per la posizione, tanto meno lo sono per la sua velocità. La nascita dei modelli matematici Occorre quindi un nuovo modo di fare scienza, in cui la matematica riveste un importanza sempre maggiore. Infatti l idea guida non è più quella di seguire modelli meccanici dei fenomeni, ma descrizioni matematiche astratte, che possono spiegare fenomeni completamente diversi tra loro, ma analoghi per quanto riguarda la formulazione matematica. Nascono così i modelli matematici della scienza contemporanea: schemi astratti applicabili di volta in volta a diverse situazioni oggetto di studio: non solo quindi ai sistemi fisici, ma anche ai sistemi biologici e chimici, economici, sociali e così via. Possiamo distinguere differenti tipologie di modelli matematici: imodelli deterministici: descrivono sistemi la cui evoluzione futura è determinata dal loro stato attuale, dal quale è possibile ricavare informazioni anche sulla loro evoluzione passata. Modelli di questo tipo sono quelli trattati dalla meccanica classica; modelli semi-deterministici: descrivonosistemila cui evoluzione futura è determinata dal loro stato attuale, dal quale però non è possibile ricavare informazioni sul loro passato; ad esempio, la diffusione del calore e tutti i fenomeni chiamati irreversibili sono descrivibili con modelli semideterministici; modelli ereditari: descrivonosistemilacuievoluzione futura non è determinata solo dal loro stato attuale, ma anche dai loro stati passati; ne sono esempi i modelli utilizzati per lo studio dei fenomeni economici, tra i quali le serie storiche; modelli stocastici: descrivono sistemi le cui variabili sono aleatorie, cioè sono soggette a un comportamento casuale. Modelli matematici e computer L uso dei calcolatori nella stesura, nella verifica e nell applicazione dei modelli è indispensabile; serve, ad esempio, a risolvere equazioni complesse approssimandone le soluzioni. Il computer è comunque solo uno strumento di lavoro, che ha bisogno di modelli inventati dalla mente umana; inoltre può lavorare solo su casi particolari, senza poter effettuare trattazioni generali. In genere il computer lavora iterativamente, per approssimazioni successive. Ciò significa che il calcolatore, partendo da certi valori, ripete più volte la procedura richiesta, fino a che le soluzioni successive differiscono poco da un passaggio al successivo. Si dice allora che il procedimento converge e che la soluzione approssimata è quella trovata. La teoria del caos e l effetto farfalla La convergenza alla soluzione del problema non è sempre possibile, non tanto per l impossibilità dei calcolatori di effettuare molte elaborazioni in un tempo finito, ma perché il modello segue una dinamica detta non-lineare. Ciò significa che una piccola variazione dei dati iniziali produce una forte variazione della soluzione, dagli effetti incontrollabili e imprevedibili. Un effetto di questo tipo è detto caotico e si trova ben descritto nella celebre frase del matematico e metereologo statunitense Edward Norton Lorenz ( ): Does the flap of a butterfly s wings in Brazil set off a tornado in Texas? ( Il battito delle ali di una farfalla in Brasile può scatenare un tornado in Texas? ). Fotografia di Edward Lorenz. La metafora dell effetto farfalla sta a indicare che un evento di grande portata può essere innescato da una causa quasi insignificante. In un sistema di questo tipo l errore sulla previsione futura cresce esponenzialmente nel tempo.

5 L evoluzione dei metodi matematici di risoluzione dei problemi 5 Ad esempio, i fenomeni meteorologici sono generalmente caotici: per questo motivo, una previsione a lungo termine (ad esempio, la temperatura in una data città fra due settimane) è del tutto impossibile. I pianeti del sistema solare si muovono invece in modo non caotico (almeno in prima approssimazione): per questo motivo è possibile prevedere eclissi con secoli d anticipo. La scoperta del caos deterministico ha avuto un forte impatto non solo in quasi tutte le discipline scientifiche, ma anche nelle scienze sociali. Come esempio rappresentiamo la successione x tþ1 ¼ x 2 t 2. Tale successione ha un comportamento non lineare e, pertanto, ci aspettiamo un andamento caotico, fortemente dipendente dai dati iniziali X 0 = 0,5 X 0 = 0, Si confrontino, ad esempio, i due andamenti della variabile x(t ) della figura, dove quello in rosso è ottenuto partendo da x 0 ¼ 0:4999, quello in blu partendo da x 0 ¼ 0:5. Vediamo come, sebbene la differenza tra i due dati iniziali sia piccolissima (0:5 0:4999 ¼ 0,0001 ¼ ), le due serie hanno un andamento completamente diverso; ad esempio, nell intervallo evidenziato nell ovale la serie in blu ha un andamento decrescente, mentre quella in rosso ha un andamento prima crescente e poi decrescente.