Matematica e sistemi elettorali

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1 Matematica e sistemi elettorali 1. Introduzione Dati n elettori x 1,..., x n e a 1,..., a k opzioni, assumendo che ogni elettore abbia un profilo di preferenza, cioè un ordinamento delle k opzioni, un sistema di voto è una procedura che, dai profili di preferenza individuale, costruisce un profilo di preferenza comune, detto scelta sociale. A diversi sistemi di voto possono corrispondere scelte sociali diverse; il problema nasce con la presenza di un numero di opzioni maggiore di due. Infatti, nel caso con due opzioni, il problema è decisamente più semplice: la scelta sociale è l opzione preferita dalla maggioranza assoluta degli elettori (o l indifferenza in caso di pareggio). Vediamo alcune proprietà che questa procedura ha che potremmo richiedere essere valide in generale Anonimato. Ogni voto conta allo stesso modo, cioè, scambiando le preferenze di due elettori la scelta sociale non cambia Neutralità. Ogni opzione è trattata allo stesso modo dalla procedura elettorale: se la scelta sociale è a 1 e tutti gli elettori scambiano di posto a 1 e a 2 nei loro profili di preferenza, allora la scelta sociale diventa a Monotonia. Se la scelta sociale è a o indeterminata e uno o più elettori innalzano a nella loro scala di preferenze, allora la scelta sociale è a. Si può dimostrare che, nel caso di scelta con due opzioni, l unica procedura che verifica le proprietà di anonimato, neutralità e monotonia è il voto a maggioranza assoluta. TEOREMA 1.1 (May). Nel caso di scelta con due opzioni l unica procedura che verifica le proprietà di anonimato, neutralità e monotonia è il voto a maggioranza assoluta. Dimostrazione. Siano a e b le due opzioni, e indichiamo con N(a) (risp. N(b)) il numero degli elettori la cui scelta è a (risp. b). 1

2 2 Se N(a) = N(b) allora la scelta sociale deve essere l indifferenza; infatti se fosse a e tutti i votanti cambiassero il loro voto, allora essa dovrebbe restare a per l anonimato, ma diventare b per la neutralità. Ora, per la proprietà di monotonia segue che se N(a) > N(b) la scelta sociale è a, mentre se N(b) > N(a) allora la scelta sociale è b. Il sistema a maggioranza assoluta tra due opzioni ha altre proprietà che sembrano naturali per un sistema di voto Coerenza. Se il corpo elettorale è diviso in due gruppi, la scelta sociale del primo gruppo è a, e così pure la scelta sociale del secondo gruppo, allora la scelta sociale dell intero corpo elettorale è pure a Sincerità. Nessun elettore ha interesse a votare per un opzione che non sia la sua preferita. Andiamo ora ad esaminare diversi sistemi di voto, in relazione alle proprietà considerate. 2. Esempi di sistemi di voto 2.1. Maggioranza semplice. ESEMPIO 2.1. Il docente di Geometria III propone per l esame di giugno le seguenti date: A) 11 giugno, B) 19 giugno, C) 27 giugno. I profili di preferenza degli studenti sono i seguenti: ABC 24 CBA 19 BCA 12 Se la votazione avviene col metodo della maggioranza relativa, il risultato del voto dovrebbe essere il seguente: A B C Vediamo su questo esempio alcune possibili critiche al sistema di voto che utilizza la maggioranza relativa: 1) Se si facessero confronti a coppie tra le diverse opzioni, il risultato sarebbe il seguente:

3 MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI 3 B > A C > A B > C 31 a a a 19 cioè A perderebbe tutti i confronti diretti. Questa critica fu mossa da Condorcet al sistema di maggioranza relativa. Egli sosteneva che la scelta dovrebbe cadere sull opzione vittoriosa in tutti i confronti diretti. Ma, come egli realizzò, tale opzione potrebbe non esistere 1. 2) L esempio mostra anche che la votazione a maggioranza relativa non ha la proprietà di sincerità: gli studenti del secondo gruppo, realizzando di essere in minoranza potrebbero votare l opzione B per evitare la più sgradita opzione A Conteggio di Borda. Il criterio di maggioranza relativa considera, ai fini della scelta, solo la prima preferenza espressa dall elettore, e non l intero profilo di preferenza. Borda propose a tal fine un sistema di voto strutturato nel modo seguente: l elettore indica il suo profilo di preferenza completo tra le n opzioni disponibili, e il suo voto viene conteggiato attribuendo n 1 punti all opzione preferita, n 2 alla seconda e così via. Vediamo un esempio. ESEMPIO 2.2. Quattro comuni devono decidere dove verrà costruito un nuovo ospedale di zona. Gli elettori dei quattro comuni sono percentualmente ripartiti nel modo seguente: A B C D 35% 24% 22% 19% Le distanze fra i paesi sono schematizzate dal seguente diagramma: La votazione si effettua col metodo di Borda. Se la votazione venisse fatta unicamente utilizzando il criterio di vicinanza, l esito sarebbe il seguente: A B C D A ABCD B BCDA C CDBA D DCBA Si veda più avanti l esempio 2.3

4 4 e l ospedale verrebbe costruito a C, penalizzando i cittadini di A che pure costituiscono la maggioranza relativa. I cittadini di A, prevedendo questo esito potrebbero mettere C all ultimo posto nelle loro liste di preferenze, per ottenere almeno che l ospedale si faccia a B. Ma anche i cittadini di D, riflettendo sul problema, potrebbero decidere di mettere C in prima posizione, per rafforzarne la candidatura. Analogamente, i cittadini di B e C, convinti che si tratti di una partita a due, potrebbero far scendere C e B di un posto nella loro lista. Il sorprendente risultato di queste strategie sarebbe il seguente: A B C D A ABDC B BDCA C CDAB D CDBA L ospedale si farebbe quindi a D, che non è la prima scelta di nessuno. la discussione dell esempio mostra chiaramente che il metodo di Borda non ha la proprietà di sincerità Confronti successivi. Il prossimo metodo che esaminiamo è basato sui confronti a coppie, ma non considera tutti i confronti possibili. Viene fissato un ordine tra le opzioni, e si vota tra le prime due. La vincente affronta la terza e così via. ESEMPIO 2.3. Il Dipartimento di Matematica dell Università dell Insubria ha risorse per acquisire un nuovo docente. Ci sono tre proposte: A) Un concorso a Ricercatore di tipo b) in Fisica Matematica; B) Un concorso a Professore Associato in Analisi; C) Una chiamata dall estero di un Ricercatore di tipo b) in Analisi. I profili di preferenza dei membri del Dipartimento sono i seguenti: ABC ACB BAC BCA CAB CBA Il Direttore decide di far votare nel modo seguente: per prima cosa scegliere tra i due possibili posti da Ricercatore di tipo b), e successivamente confrontare il vincente con il posto da Associato. Il risultato è il seguente: A batte C per 46 a 32. Si procede quindi a decidere tra A e B, e il risultato è che B batte A 41 a 37, quindi l opzione scelta è la B.

5 MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI 5 Se invece il Direttore avesse scelto di votare in un altro modo, scegliendo per prima cosa tra i due possibili posti in Analisi, la situazione sarebbe stata la seguente: C avrebbe battuto B 42 a 36, e avrebbe poi perso con A per 46 a 32. Se infine si fosse scelto per prima cosa tra i due concorsi, B avrebbe superato A e sarebbe poi stato battuto da C. L esempio fornisce un illustrazione del paradosso di Condorcet: A vince con C, C vince con B, e B vince con A. A < B B < C C < A 37 a a a 46 Osserviamo inoltre che il sistema di voto non è neutrale, perché le opzioni possono essere favorite o sfavorite dall ordine di votazione. Si può inoltre verificare che esso non verifica neppure le condizioni di monotonia e di sincerità Ballottaggio. Vediamo ora un esempio di votazione a doppio turno; nel primo turno si scelgono due candidati a maggioranza semplice, poi nel secondo si vota a maggioranza assoluta tra i due candidati scelti al primo turno. Chiaramente un tale sistema presenta le manchevolezze del sistema a maggioranza semplice, e non verifica la condizione di sincerità. Mostriamo con un esempio che non soddisfa neppure quella di coerenza. ESEMPIO giornalisti e 100 allenatori devono scegliere il miglior giocatore dell ultima Champions League, tra Messi, Cristiano Ronaldo, Diego Costa e Lampard. I profili di preferenza dei giornalisti sono i seguenti: MDCL DMLC CMLD LCDM Passano il primo turno Messi e Diego Costa, e al ballottaggio, Messi vince per 52 a 48. I profili di preferenza degli allenatori sono i seguenti: MLDC DMCL LMDC CDML Passano il turno Messi e Cristiano Ronaldo, e al ballottaggio, Messi vince per 58 voti a 42. Se giornalisti e allenatori votassero tutti insieme il risultato sarebbe molto diverso: il risultato del primo turno sarebbe: C D M L

6 6 e andrebbero quindi al ballottaggio Cristiano Ronaldo e Diego Costa, che vincerebbe il ballottaggio 128 a 72. Si può mostrare che questo sistema elettorale non soddisfa neanche la condizione di monotonia. 3. Il Teorema di Arrow Nel 1951 Kenneth Arrow nella sua tesi di dottorato diede una definizione assiomatica di sistema di voto, richiedendo le seguenti proprietà (1) Universalità: il sistema di voto deve assegnare ad ogni insieme di preferenze individuali una preferenza collettiva. (2) Democraticità = Anonimato: Scambiando le preferenze di due elettori la scelta sociale non cambia. (3) Unanimità: Se tutti i votanti preferiscono a 1 ad a 2, allora la società deve preferire a 1 ad a 2. (4) Indipendenza dalle alternative irrilevanti La scelta sociale tra le opzioni a 1 e a 2 è determinata solo dalle preferenze relative ad a 1 e a 2. Sia X = {x 1,..., x n } l insieme (finito) degli elettori e sia A = {a 1,..., a k } l insieme (finito) delle opzioni. Un profilo di preferenza individuale su A è una funzione biunivoca u : A {1,..., k}, cioè un ordine sulle opzioni. L opzione a i è preferita all opzione a j nel profilo u se e solo se u(a i ) > u(a j ). Sia U l insieme dei profili di preferenza individuale. Un profilo di preferenza collettivo è un elemento u = (u 1,... u n ) di P := U n = U U (n volte). Una funzione di scelta sociale secondo Arrow è quindi una funzione f : P U. Nota bene: Ad essere pignoli quello che si cerca è una funzione di scelta sociale che possa essere utilizzata per qualsiasi coppia di insiemi finiti X e A, quindi si tratta di una famiglia di funzioni f n,k. L universalità si traduce nel fatto che tali funzioni esistano per ogni possibile coppia di interi n, k. L anonimato si traduce imponendo che (omettiamo i pedici di f per semplicità) f (u 1,..., u i,..., u j,..., u n ) = f (u 1,..., u j,..., u i,..., u n ), mentre l unanimità si formalizza chiedendo che, u i (a 1 ) > u i (a 2 ) i = f (u)(a 1 ) > f (u)(a 2 ); in particolare f (u, u,..., u) = u.

7 MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI 7 Per formalizzare l ultima proprietà, dato un profilo di preferenza u : A {1,..., k}, associamo ad esso un nuovo profilo, u : {a 1, a 2 } {1, 2}, ponendo u(a 1 ) > u(a 2 ) u(a 1 ) > u(a 2 ). Possiamo ora esprimere l indipendenza dalle alternative irrilevanti chiedendo che f n,2 (u)(a 1 ) > f n,2 (u)(a 2 ) f n,k (u)(a 1 ) > f n,k (u)(a 2 ). TEOREMA 3.1 (Arrow). Nel caso con tre o più opzioni non esistono procedure di voto che soddisfano i quattro assiomi. Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che, grazie all assioma di unanimità, possiamo ridurci al caso n = 3; infatti, se una procedura di voto esistesse per n > 3, restringendola ai profili che permutano solo le prime tre opzioni, otterremo una procedura di voto per n = 3. Denotiamo d ora in poi le opzioni di voto con A, B e C. Possiamo rappresentare P come un insieme di sei punti su una circonferenza, vista come il quoziente di un intervallo rispetto all identificazione degli estremi, ordinati nel modo seguente. In particolare notiamo che passando da un profilo di preferenza a quello adiacente si scambiano solo due preferenze. Possiamo quindi considerare U I = [0, 1]/, dove è la relazione di equivalenza che identifica gli estremi dell intervallo, e quindi P [0, 1] n, modulo la relazione di equivalenza che identifica punti tali che la differenza delle coordinate sia una ennupla di numeri interi. Consideriamo in I n il segmento che ci fa passare da un punto u = (u 1,..., u n ) di P ad un altro punto di P, v = (v 1,..., v n ), che sia adiacente ad u, nel senso che esiste un indice i tale che, per j = i u j = v j, mentre u i e v i differiscono per uno scambio di candidati che non altera la posizione del terzo. Per l indipendenza dalle alternative irrilevanti, o f (v) = f (u) o f (v) è adiacente a f (v) nel quoziente I/ ; in particolare f può essere estesa con continuità all immagine nel quoziente del segmento congiungente u e v. E possibile (dividendo ogni n-cubo di lato 1/6 con i vertici in P in simplessi) mostrare che f può essere estesa con continuità a tutto I n /, cioè che esiste una applicazione continua f : I n / = (S 1 ) n S 1 che estende la funzione di scelta sociale. Sia Q = ((1, 0),..., (1, 0)) (S 1 ) n, sia β : I S 1 il cappio β(t) = (cos(2πt), sin(2πt))

8 8 e consideriamo i cappi α i (t) = ((1, 0),..., β(t),..., (1, 0)) Sia f il morfismo indotto da f tra i gruppi fondamentali: f : π((s 1 ) n, Q) π(s 1, f (Q)); La classe del cappio δ : I (S 1 ) n definito ponendo δ(t) = (β(t), β(t),..., β(t)), (la diagonale) viene mandata in f ([δ]) = [β], per l unanimità. Per l anomimato f ([α i ]) = f ([α j ]) per ogni i, j. Essendo [β] un generatore di π(s 1, Q) esiste un intero m tale che f ([α i ]) = f ([α j ]) = m[β]. Ma in (S 1 ) n il cappio δ è omotopo al cappio α 1 α 2 α n, e quindi le immagini delle classi corrispondenti devono essere le stesse: [β] = f ([δ]) = f ([α 1 α 2 α n ]) = n f ([α 1 ]) = nm[β], che implica n = 1, ottenendo una contraddizione. 4. Il teorema di Gibbard - Satterthwaite Consideriamo ora come funzione di scelta sociale una famiglia funzione g : P A. cioè la funzione non associa ai profili di preferenza collettivi un profilo di preferenza individuale, ma solo l opzione vincitrice. DEFINIZIONE 4.1. Una funzione di scelta sociale g : P A è non manipolabile se per ogni elettore x i e ogni coppia di profili u = (u 1,..., u i,..., u n ), u = (u 1,..., u i,..., u n) di ha u i (g(u )) u i (g(u)); si dice invece dittatoriale se esiste un elettore x i tale che u i (g(u)) u i (a j ) per ogni u P e ogni a j A. Il Teorema di Gibbard - Satterthwaite asserisce che TEOREMA 4.2. Una funzione di scelta sociale tra tre o più opzioni, unanime e non manipolabile è dittatoriale. LEMMA 4.3. (Monotonia) Sia g una funzione di scelta sociale non manipolabile e u P tale che g(u) = a. Allora, se v P è tale che, per ogni b A e i {1,..., n} si ha g(v) = a. v i (a) v i (b) se u i (a) u i (b). DIMOSTRAZIONE. E sufficiente dimostrare l asserto nel caso in cui i due profili differiscano solo per il profilo di preferenza di un elettore. Sia x j tale elettoreper la non manipolabilità si ha u j (b) = u j (g(v)) u j (g(u)) = u j (a).

9 MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI 9 v j (a) = v j (g(u)) v j (g(v)) = v j (b). Dalla prima disuguaglianza e dalle ipotesi del Lemma, segue che v j (a) v j (b), perciò v j (a) = v j (b), e quindi, essendo v j una funzione biunivoca a = b. DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA 4.2. Cominciamo con il fare alcune osservazioni che discendono dalle proprietà di g. Sia u = (u 1,..., u i,..., u n ). (1) Se g(u) = a e v è un profilo ottenuto da u migliorando in alcuni profili individuali la posizione di b e di nessun altro elemento, allora g(v) = a oppure g(v) = b. E conseguenza diretta della monotonia: se g(v) = c = a, b, allora anche g(u) = c per la monotonia. (2) Se l elemento a è ultimo nel profilo u i e g(u) = a, allora, per ogni profilo u i, posto u = (u 1,..., u i,..., u n ) si ha g(u) = a. Se g(u) = b = a, si avrebbe u i (g(u)) = u i (b) > u i (a) = u i (g(u)). (3) Se l elemento a è primo nel profilo u i e g(u) = b = a, allora, per ogni profilo u i, posto u = (u 1,..., u i,..., u n ) si ha g(u) = a. Se g(u) = a, si avrebbe u i (g(u)) = u i (a) > u i (b) = u i (g(u)). Sia ora u un profilo in cui a è l ultima scelta di tutti. Allora g(u) = a, perché altrimenti per la (2) si avrebbe g(u) = a anche per un profilo in una situazione in cui al primo posto di tutti i profili individuali c è un elemento b = a, contraddicendo la proprietà di unanimità. Siano u i i profili ottenuti da u portando a al primo posto in tutti i profili individuali u j con j i. Poiché g(u) = a e g(u n ) = a esiste r tale che g(u i ) = a per i < r e g(u r ) = a. Chiamiamo l individuo x r pivot per l opzione a. Applicando la (2) e la (3) otteniamo che (4) Per ogni u in cui a è al primo posto per j r, si ha che g(u) = a Si applica la (2) per j > r; (5) Per ogni u in cui a è all ultimo posto per j r, si ha che g(u) = a Si applica la (3) per j < r. Vogliamo ora mostrare che, se u è tale che a è all ultimo posto in tutti i profili individuali, e la prima scelta dell elettore pivot x r è b, allora g(u) = b. Sia per assurdo g(u) = c = b.

10 10 b u g(u) = c a a... a a a... a Modifichiamo u facendo salire a al primo posto per tutti i profili u i con i < r e ottenendo u. Per la (1) e la (5) abbiamo ancora g(u ) = c. u g(u ) = c a a... a b a a... a Costruiamo u facendo salire a al secondo posto per il pivot. Per la (1) si ha g(u ) = a oppure g(u ) = c. In questa seconda ipotesi, il Pivot, scambiando b ed a manipolerebbe il sistema, quindi g(u ) = a. u g(u ) = a a a... a b a a... a Costruiamo ora u facendo salire b al secondo posto per i < r e al primo per i r; per la (3) applicata a ritroso e la (2) si ha g(u ) = a. u g(u ) = a a a... a b b... b b b... b a a... a Consideriamo ora un altra situazione: sia v un profilo in cui a è sempre all ultimo posto e b sempre al primo. Chiaramente g(v) = b per l unanimità.

11 MATEMATICA E SISTEMI ELETTORALI 11 b b... b b b... b v g(v) = b a a... a a a... a Modifichiamo v facendo salire a al primo posto per tutti i profili u i con i < r e ottenendo v. Per la (1) e la (5) abbiamo ancora g(v ) = b. v g(v ) = b a a... a b b... b b b... b a a... a Costruiamo v facendo salire a al secondo posto per il pivot. Per la (3) applicata a ritroso a b si ha g(v ) = b. v g(v ) = b a a... a b b... b b b... b a a... a Ma v = u, e g(u ) = a, e abbiamo ottenuto una contraddizione. Abbiamo quindi mostrato che, se u è tale che a è all ultimo posto in tutti i profili individuali, e la prima scelta dell elettore pivot x r è b, allora g(u) = b. Dato ora un profilo w qualsiasi in cui b è al primo posto per l elettore pivot x r possiamo mostrare che g(w) = a oppure g(w) = b. Infatti possiamo passare da w a w portando a all ultimo posto. Per quanto appena mostrato si avrà g(w ) = b. Torniamo ora al profilo w facendo salire la posizione di a fino a quella iniziale e applichiamo la (1), che ci fornisce l asserto. Consideriamo ora un opzione c = a, e sia x s l elettore pivot per l opzione c. Consideriamo il seguente profilo u:

12 12 a a... a a b... b u g(u) = a c c... c c c... c Per quanto precedentemente mostrato g(u) dev essere la prima scelta del pivot x s oppure c, e quindi troviamo che s r. Per simmetria otteniamo che r s, cioè l individuo x r è un pivot per ogni opzione. In particolare per un profilo w in cui b è al primo posto per x r troviamo che g(w) = a oppure b perché x r è il pivot di a, ma anche che g(w) = c oppure b perché x r è il pivot di c, quindi g(w) = b è x r è un dittatore. Riferimenti bibliografici [1] Jean-Pierre Benoit. The Gibbard-Satterthwaite theorem: a simple proof Econom. Lett. 69 (2000), no. 3, [2] Davide Ferrario. Geometria e topologia della scelta sociale. ferrario/var/ar.pdf [3] Marco Li Calzi. Matematica ed esercizio della democrazia - L urna di Pandora In Matematica e Cultura 2002, Springer,