a21 a22 a2 Figura 1 - Una matrice (insieme ordinato rettangolare di scalari)

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1 L inserimento di funzioni matriciali Le regole illustrate in precedenza per l inserimento di funzioni sono pressochè identiche per tutte le funzioni, sia quelle interne sia quelle che è possibile definire servendosi del linguaggio di programmazione VBA. Se si ritorna per un attimo al paragrafo in cui si introduceva il concetto di funzione, si può notare come essa è stata indicata come un processo di elaborazione che, a partire da determinati input (che possono essere differenti per numero e tipologia di dato) restituisce determinati output (anch essi eventualmente differenti per numero e tipologia di dato). In realtà il processo illustrato per l inserimento di una funzione in una cella del foglio elettronico riguarda il processo di inserimento di una funzione che produce un solo output. Quindi se da un lato le funzioni possono accettare intervalli di celle in input, quanto visto è valido solo per funzioni che scaturiscono in un output unico. Esistono alcune funzioni che producono in output un insieme di valori. Nel caso più generale tali valori sono disposti su una tabella rettangolare: tale tabella viene indicato con il nome di matrice (Figura 1). La matrice può essere definita, algebricamente, come un insieme ordinato rettangolare di scalari. Ciascun elemento di una matrice è identificato in modo univoco da un doppio indice che ne definisce la posizione all interno della matrice: il primo si riferisce alla posizione di riga ed il secondo alla posizione di colonna (Figura 1). La matrice può essere vista alternativamente come un insieme di n righe o di p colonne (denominati vettori). A a 11 a 12 a 1 p a21 a22 a2 p [ a ] = ij = a ij an 1 an2 a np Generico vettore colonna Generico vettore riga Elemento generico Figura 1 - Una matrice (insieme ordinato rettangolare di scalari) Una matrice non è quindi differente da un intervallo di celle contigue: volendo è possibile vedere il foglio elettronico come una matrice avente righe e 256 colonne. L unica differenza consiste nel puntamento all elemento generico, in quanto nel foglio elettronico utilizziamo identificativo di colonna seguito da numero di riga per puntare ad una particolare cella mentre nel caso di una matrice si usa posizione di riga e posizione di colonna 1. Le funzioni che restituiscono più di un valore sono indicate in Excel come funzioni matriciali e richiedono una modalità differente di inserimento nel foglio di lavoro. Per illustrare tale modalità possiamo servirci di un esempio: in Figura 2 sono illustrate due matrici da sommare (la prima nell intervallo B2:C4 e la seconda nell intervallo E2:F4). La somma (o differenza) tra due matrici è definita solo su matrici di uguali dimensioni ed è una matrice il cui elemento generico rappresenta la somma (o differenza) dei corrispondenti elementi delle due matrici). 1 Come si vedrà nel capitolo sul VBA anche nel caso di intervalli di celle è possibile utilizzare il puntamento standard utilizzato per le matrici, vale a dire (posizione di riga, posizione di colonna). 62

2 Matrice secondo addendo Matrice secondo addendo Matrice somma Figura 2 - Due matrici da sommare Usando quanto visto in precedenza e vista la struttura dell input, è possibile inserire nella cella B8 la funzione =B2+E2 (o alternativamente = somma(b2,e2)) e trascinare sulle celle corrispondenti alla matrice di output. E possibile invece usare operatori e funzioni tipicamente scalari per effettuare un calcolo tra matrici. A tale scopo è possibile seguire i seguenti passi: 1. selezione dell intervallo di celle di output (l intervallo deve contenere un numero di celle pari al numero di valori restituito dalla funzione e la stessa struttura, vale a dire numero di righe per numero di colonne). E indifferente la cella di partenza, vale a dire la cella attiva 2. inserimento della funzione matriciale con specifica degli argomenti di input 3. conferma dell inserimento attraverso la combinazione di tasti CTRL+SHIFT+INVIO. L applicazione di questi tre passaggi al caso della somma tra matrici è mostrato in Figura 3: si nota come l ultimo passaggio produca un cambiamento nella formula inserita da tastiera ({=B2:C2+E2:F4}) che viene racchiusa tra parentesi graffa per indicare che si tratta di una formula matriciale. Se si prova a cancellare una qualunque della matrice (intervallo) di output della funzione il sistema segnala il seguente messaggio di errore: Impossibile cancellare parte di una matrice. La matrice, pur costituita da singole celle, diventa un oggetto unico e potra essere cancellato solo come tale, vale a dire selezionando tutte le celle ed eliminandole. Se si seleziona ciascuna delle celle della matrice e si legge la formula generata sulla barra della formula si nota come tutte le celle hanno in comune la stessa formula: questo è il motivo per cui è indifferente la cella attiva su cui verrà digitata la formula in quanto questa verrà estesa automaticamente a tutte le celle componenti la matrice di output. Se invece di confermare l inserimento della formula matriciale usando la combinazione di tasti CTRL+SHIFT+INVIO si usa il semplice INVIO il sistema segnala un messaggio di errore (#VALORE), come mostrato in Figura 4. Una situazione anomala è segnalabile anche nel caso in cui l utente sbaglia il primo dei tre passaggi indicati in precedenza (vale a dire la selezione dell intervallo di celle di output). In questo caso è possibile segnalare tre situazioni (in realtà la prima è un caso particolare della seconda): 63

3 1. l utente dimentica di selezionare l intervallo di celle ed inserisce la formula matriciale in una cella singola: in questo caso il foglio visualizza solo l elemento che occupa la prima riga e la prima colonna della matrice di output 2. l utente seleziona un intervallo più piccolo rispetto alle dimensioni della matrice di output: il sistema visualizza solo gli elementi corrispondenti a tale intervallo 3. l utente seleziona un intervallo non coerente con le dimensioni della matrice di output (un numero di righe e/o colonne maggiore): in questo caso il sistema visualizza correttamente i valori sulle posizioni coerente e visualizza il simbolo #N/D (valore non disponibile) per gli elementi esterni. L esempio di queste tre possibili situazioni di errore dovuti ad una errata selezione delle celle di output è mostrato in Figura 5. 1 Selezione dell interavllo di celle di output (aventi un numero di celle e una struttura uguale alla matrice di output) B8:C10 2 Inserimento della formula matriciale =B2:C4+E2:F4 {=B2:C4+E2:F4} 3 Conferma di funzione matriciale CTRL + SHIFT + INVIO Figura 3 - L'operatore + usato in termni matriciali Mentre per correggere il terzo tipo di errore è necessario cancellare prima la matrice inserita e procedere nuovamente con i passaggi selezionando un intervallo adatto, negli altri due casi basta estendere la selezione (selezionando quindi intorno al sotto intervallo un numero di celle tali da avere un intervallo uguale alle dimensioni della matrice di output). 64

4 La funzione non è inserita come funzione matriciale INVIO Figura 4 - Un tipico errore nell'inserimento di una formula matriciale L intervallo di celle selezionato non corrisponde alla struttura della matrice di output Figura 5 - Un altro tipico errore nell'inserimento di una formula matriciale Una volta selezionato correttamente l intervallo di celle dove si desidera inserire l output è possibile selezionare la cella entrare in modalità digitazione in una delle celle dove si è inserita in precedenza la funzione (selezionando la cella 2 e facendo click sulla barra della formula) e premere la combinazione di tasti CTRL+SHIFT+INVIO. 2 E possibile usare il tasto CTRL per non perdere la selezione attiva 65

5 Un esempio di funzioni matriciale è la funzione MATR.PRODOTTO che effettua il prodotto tra due matrici. Il prodotto tra due matrici può essere definito nel modo seguente: sia A una matrice aventi n righe e m colonne e B una matrice avente m righe e p colonne (tali per cui il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B) si definisce loro prodotto la matrice C di dimensioni n per p (numero di righe della prima matrice e numero di colonne della seconda) il cui elemento generico è ottenuto moltiplicando la riga i-esima di A e la colonna j-esima di B e sommando il vettore risultante. La Figura 6 riporta uno schema esplicativo di tale definizione. a a c 11 1 m 11 1 p b 11 b1 j b1 p a a i = c i 1 im ij b m1 bmj b mp a c 1 n1 a nm n c np c c = a b + + a b + + a b = a b ij i 1 1 j ik 2 k im mj ik 1 k k = 1 Figura 6 - L'operazione di prodotto matriciale Se si ricorre anche qui ad un esempio è possibile provare a moltiplicare una matrice per la sua trasposta. m Matrice di input Trasposta della matrice di input Matrice di output (matrice moltiplicata per la sua trasposta) Figura 7 - La funzione matriciale MATR.TRASPOSTA La Figura 7 illustra la struttura di input del problema dove la matrice di input è riportata nell intervallo di celle B2:C4 mentre la matrice trasposta (che si ottiene scambiando le 66

6 righe con le colonne) è ottenuta applicando la funzione matriciale MATR.TRASPOSTA nell intervallo di celle E2:G3 (la matrice trasposta avrà un numero di righe (colonne) pari al numero di colonne (righe) della matrice di input). A questo punto è possibile effettuare il prodotto tra le due matrici, come riportato in Figura 8, usando la funzione MATR.PRODOTTO. Matrice di output (matrice moltiplicata per la sua trasposta) Figura 8 - La funzione MATR.PRODOTTO per il prodotto righe per colonne tra due matrici INNESTO DI FUNZIONI In realtà nell esempio precedente, per moltiplicare una matrice per la sua trasposta, si è prima calcolata la matrice trasposta e poi applicata la funzione per il prodotto tra matrici. In molti casi il risultato intermedio non occorre. Nel caso in questione potrebbe essere utile vedere sul foglio direttamente il calcolo del prodotto della matrice di input per la sua trasposta senza necessariamente dover calcolare prima la trasposta sul foglio (vedi struttura del foglio in Figura 9). Come si è detto in precedenza l input ad una funzione può essere costituito dall output di una altra funzione (è il caso delle funzioni cosiddette innestate). In questo caso, una volta richiamata la funzione esterna è possibile seguire due modalità per richiamare la funzione interna: la prima (illustrata nel caso A di Figura 10) richiede di digitare la sintassi della funzione nella casella di testo relativa all argomento di input della funzione esterna (nel nostro caso si tratta della funzione matriciale MATR.TRASPOSTA(B2:C4)). Alternativamente si può utilizzare la casella a discesa a sinistra della barra della formula (nella posizione tipicamente occupata dalla casella del nome nel caso in cui il foglio non è in modalità di inserimento funzione) e richiamare la funzione specifica se presente nell elenco (che dovrebbe riportare le ultime funzione utilizzate) o l ultima voce dell elenco (Altre funzioni ) che permette di richiamare la finestra di selezione delle funzioni. 67

7 Matrice di input Matrice di output (matrice moltiplicata per la sua trasposta) Figura 9 - Il prodotto di una matrice per la sua trasposta senza passaggio intermedio 1 Selezione dell interavllo di celle di output e richiamo della funzione per il prodotto MATR.PRODOTTO 2 Uno degli argomenti di input per il prodotto è l output di una altra funzione MATR.TRASPOSTA B O servirsi della casella a discesa a sinistra della barra della formula A Si può digitare la sintassi della funzione direttamente nella casella Figura 10 - Un esempio di innesto di due funzioni 68

8 Una volta selezionata la funzione interna sarà necessario specificare gli argomenti di input a tale funzione nella finestra di inserimento argomenti della funzioni innestati che viene mostrata (passo 2b della Figura 11). Anche se la funzione è correttamente innestata usando questi passaggi, nel caso di funzioni matriciali è necessario ritornare sulla barra della formula (passo 3 di Figura 11) e confermare che si tratta di una funzione matriciale utilizzando la combinazione di tasti CTRL+SHIFT+INVIO. Come si può notare il risultato ottenuto (passo 4 di Figura 11) è identico a quello ottenuto nel caso precedente in cui l output della funzione MATR.TRASPOSTA era stato appoggiato sul foglio di lavoro (vedi Figura 8). 2 B Specifica degli argomenti in input alla funzione interna 3 E necessario portare il cursore sulla barra della formula con la selezione delle celle di output attiva e confermare che si tratta di una formula matriciale CTRL+SHIFT+INVIO 4 La funzione innestata riporta il risultato di tipo matriciale Figura 11 - Per innestare due funzioni matriciali è necessario utilizzare la combinazioni di tasti CTRL+SHIFT+INVIO LA TAVOLA PITAGORICA RIVISTA Utilizzando la regola del prodotto matriciale è possibile risolvere l esempio della tavola pitagorica utilizzando un unica formula di tipo matriciale. Se infatti si utilizza come primo fattore del prodotto matriciale il vettore colonna contenente le intestazioni di riga (di dimensioni 10 per 1) e come secondo fattore il vettore riga contenente le intestazioni di colonna (di dimensioni 1 per 10) si ottiene una matrice di dimensioni 10 per 10 contenente la tavola pitagorica. La Figura 12 riporta l applicazione di questa formula matriciale utilizzando l operatore prodotto (caso A) o la formula equivalente MATR.PRODOTTO (caso B). Questo tipo di prodotto tra vettori dove il primo fattore è un vettore riga e il secondo fattore è un vettore colonna (e quindi il risultato è una matrice) è indicato con il termine di prodotto interno. 69

9 A Secondo fattore Primo fattore B Figura 12 - La tavola pitagorica rivista In realtà l utilizzo dell operatore prodotto non comporta sempre gli stessi risultati della funzione MATR.PRODOTTO (il caso del prodotto esterno tra vettori è forse l unico caso). L operatore prodotto, applicato nel caso matriciale, non effettua il prodotto riga per colonna come definito dall algebra matriciale, quanto piuttosto il prodotto tra elementi omologhi. Un esempio è riportato in Figura 13: per usare tale operatore si deve avere l accortenza che i due fattori della moltiplicazioni abbiano la stessa dimensione (tranne per il caso di prodotto esterno tra vettori mostrato in precedenza). In realtà nel caso in cui le due matrici usate come fattori della moltiplicazioni siano di dimensioni difformi il sistema non segnala un errore (come ci sarebbe da attendersi) ma cerca di adattare, per quanto possibile, le due matrici. E possibile distinguere i tre seguenti casi: 1. Uno dei fattori è una matrice e l altro un vettore: il foglio utilizza un numero di elementi del vettore uguali alla dimensione della matrice e replica il vettore tante volte sull altra dimensione in modo da avere due matrici di dimensioni uguali. Un esempio per un vettore riga è riportato nel caso A di Figura Uno dei fattori è uno scalare: lo scalare è moltiplicato per ciascun elemento della matrice (è come se lo scalare venga trasformato in una matrice valorizzato allo stesso numero su tutti gli elementi). In Figura 14 caso B è riportato un esempio. 3. Entrambi i fattori sono matrici ma di dimensioni difformi: il prodotto è effettuato stringendo la matrice di dimensioni maggiori (considerando solo una sottomatrice 70

10 in base alla dimensione dell altro fattore) e mettendo il valore #N/D (non disponibile) sugli altri elementi della matrice. L esempio di questo caso è riportato in Figura 15. Primo fattore Secondo fattore Matrice prodotto Figura 13 - L'operatore prodotto applicato in formule matriciali non segue le regole classiche dell'algebra lineare Primo fattore Secondo fattore Secondo fattore A B Matrice prodotto Matrice prodotto Figura 14 - L'operatore prodotto nel caso di un fattore matrice e un fattore vettore (A) e di un fattore matrice e un fattore scalare (B) 71

11 Primo fattore Secondo fattore Matrice prodotto Figura 15 - L'operatore prodotto nel caso di due fattori matrici di dimensioni difformi IL PRODOTTO SCALARE Un altro tipo di prodotto tra vettori, noto anche come prodotto interno o prodotto scalare, si ottiene utilizzando come primo fattore il vettore riga (di dimensioni 1 per n) e come secondo fattore il vettore colonna (di dimensioni n per 1). Si dice prodotto scalare in quanto il risultato è uno scalare che si ottiene moltiplicando gli elementi che occupano la stessa posizione nel vettore e nel sommare poi i vari prodotti intermedi. Nel caso in cui il vettore colonna è il trasposto del vettore riga il prodotto scalare dà come risultato la somma dei quadrati degli elementi del vettore (che è il quadrato della norma o modulo del vettore). La Figura 16 riporta quattro modi differenti per il calcolo di tale valore: A. Attraverso l utilizzo della funzione MATR.PRODOTTO B. Combinando la funzione MATR.PRODOTTO con la funzione MATR.TRASPOSTA C. Usando la funzione MATR.SOMMA.PRODOTTO, che moltiplica elementi numerici corrispondenti in matrici o intervalli e restituisce uno scalare pari alla somma dei prodotti D. Costruendo un vettore di quadrati e applicando la funzione somma Primo fattore Secondo fattore A =MATR.PRODOTTO(B2:K2,M4:M13) B { =MATR.PRODOTTO(B2:K2,MATR.TRASPOSTA(B2:K2)) } C =MATR.SOMMA.PRODOTTO(M4:M13,M4:M13) { =MATR.SOMMA.PRODOTTO(B2:K2,MATR.TRASPOSTA(B2:K2)) } D Figura 16 - Differenti funzioni per il prodotto scalare Si nota in figura che l unico caso che nel caso B e nel secondo dei due casi C è necessario inserire le formule in termini matriciali (in quanto si usa come funzione 72

12 innestata la funzione MATR.TRASPOSTA). Inoltre i due casi C permettono di sottolineare il particolare funzionamento della funzione MATR.SOMMA.PRODOTTO; la funzione richiede che le matrici in input (è possibile utilizzarla anche per più di due argomenti) siano conformi in dimensione (restituisce il valore di errore #VALORE in caso contrario). Anche nel caso in cui gli argomenti siano vettori aventi un numero uguale di elementi la funzione richiede che siano conformi (entrambi vettori riga o colonna), e questo è evidente nelle due formule illustrate nel caso D. ANCORA SULLE FUNZIONI MATRICIALI Come visto nei precedenti paragrafi, le funzioni matriciali a disposizione in Excel iniziano con il prefisso MATR e sono riportate nella seguente tabella: CATEGORIA DESCRIZIONE MATR.DETERMINANTE Restituisce il determinante di una matrice MATR.INVERSA MATR.PRODOTTO Restituisce l inversa di una matrice Restituisce il prodotto riga per colonna di due matrici MATR.SOMMA.PRODOTTO Moltiplica elementi numerici corrispondenti in matrici o intervalli dati e restituisce la somma dei prodotti MATR.TRASPOSTA Definite dall utente Restituisce la trasposta di una matrice Funzioni scritte dall utente usando il linguaggio di programmazione Visual Basic for Applications Anche in questo caso è possibile sfruttare il linguaggio di programmazione VBA per arricchire le funzioni esistenti, come sarà mostrato nel capitolo successivo. In realtà alcune funzioni che si trovano nella categoria funzioni matriciali non sono funzioni matriciali nel senso qui definito (vale a dire in termini del numero di valori restituiti in output) quanto piuttosto funzioni tipiche dell algebra matriciale. Un esempio è la funzione MATR.DETERMINANTE che restituisce il determinante (un particolare scalare) associata ad una matrice. In questo caso la funzione è di tipo scalare (in quanto restituisce un solo valore in output) e non di tipo matriciale (se non per quanto riguarda l input che la funzione si attende). In realtà usando questa accezione un gran numero di funzioni del foglio di lavoro possono essere intese come matriciali in quanto richiedono in input un intervallo di celle. Così come è stato mostrato per gli operatori (esempio della somma tra due matrici) è possibile utilizzare anche le funzioni tipicamente scalari in un ottica di tipo matriciale, come verrà mostrato nei capitoli successivi. 73