Teoria dei giochi. Teoria che analizza in modo formale l interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico

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1 Teoria dei giochi Teoria che analizza in modo formale l interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico Situazione strategica Sette persone si recano insieme al ristorante a) Si paga alla romana semplice problema di scelta (Max U s.t. VdB) Ciascuno è in grado di controllare autonomamente il risultato delle sue scelte b) Si paga dividendo il conto per 7 problema strategico Non riesco a controllare la mia spesa Il risultato delle mie azioni dipende anche dalle scelte degli altri

2 Gioco insieme astratto di regole che vincolano il comportamento dei giocatori definiscono i risultati sulla base delle azioni che essi intraprendono Il gioco è le regole

3 In un gioco vi sono tre elementi caratteristici

4 Il problema dello studente semplice Alberto deve fare i compiti di scuola per domani. Ha 4 ore di tempo ( T = 4) T = S + P, dove P è il tempo passato alla playstation, S è il tempo di studio Il voto (V) è pari a V=5S (un ora di studio rende 5 voti). La frontiera delle possibilità produttiva: V=20-5P. Le sue preferenze sono U = VP. Ipotesi: può scegliere solo fra due opzioni P = 2 e P = 3 se sceglie 2, studierà 2 ore (4-2) e prenderà 10 se sceglie 3, studierà 1 ora (4-3) e prenderà 5 NB Se avessimo risolto il problema imponendo le condizioni di ottimo avremmo ottenuto lo stesso risultato Quale sceglie? quella che gli dà l utilità maggiore che lo rende più felice P = 2 U(2,10) = 2*10 = 20 P = 3 U(3,5) = 3*5 = 15 La questione è semplice. Tutto dipende da Alberto sceglie P=2

5 Il problema dello studente interdipendente Alberto, Berto e la teoria dei giochi Il compito ora è di gruppo. Alberto Berto (identico a lui) Il voto è comune e dipende dall impegno collettivo e non individuale (non osservabile) entrambi possono scegliere fra 2 ore alla play e 3 ore alla play Ipotizziamo che i voti siano assegnati in questo modo: se entrambi studiano 2 ore (giocano 2 ore alla play), il voto sarà 10 se uno studia 2 ore (2 alla play) e l altro 1 ora (3 alla play) il voto sarà 7 se entrambi studiano 1 ora (3 alla play), il voto sarà 5 Ora il voto di Alberto dipenderà da ciò che fa lui, ma anche da quello che fa Berto. Fra Alberto e Berto vi è interdipendenza strategica. Si deve usare la teoria dei giochi

6 Alberto, Berto e la teoria dei giochi Alberto ha due scelte (strategie possibili): P2: passare 2 ore alla play e studiare 2 ore P3: passare 3 ore alla play e studiare 1 ora Berto ha due scelte (strategie possibili): L utilità di ciascuno dipende da quel che fa lui e da quello che fa l altro P2: passare 2 ore alla play e studiare 2 ore P3: passare 3 ore alla play e studiare 1 ora Immaginiamo che entrambi: siano razionali abbiano una conoscenza perfetta (abbiano tutte le informazioni necessarie siano egoisti (pensino solo al loro personale benessere) non possano accordarsi in modo vincolante fra loro

7 Alberto, Berto e la teoria dei giochi Ci sono 4 possibile esiti (2*2) (il prodotto delle strategie possibili): A sceglie 2 e B sceglie 2 prendono 10 U A = U B = 10*2 = 20 A sceglie 3 e B sceglie 3 prendono 5 U A = U B = 5*3 = 15 A sceglie 2 e B sceglie 3 prendono 7 U A =7*2 = 14 e U B =7*3 = 21 A sceglie 3 e B sceglie 2 prendono 7 U A =7*3 = 21 e U B =7*2 =14 1) come rappresentiamo il problema di A e B? 2) come risolviamo il problema di A e B?

8 Rappresentazione di un gioco Forma normale: matrice delle vincite Forma estesa: albero del gioco

9 Giocatori Esempio B(erto) Strategie B A(lberto) P2 P3 P2 20, 20 14, 21 P3 21, 14 15, 15 Strategie A Uno dei 4 esiti del gioco Payoff A Payoff B

10 Rami Forma estesa A Nodi B 2 3 B 2 Non , 20 21, 14 14, 21 15, 15 Uno dei 4 esiti del gioco Payoff A Payoff B

11 Classificazione dei giochi Cooperativi NON Cooperativi Informazione completa Informazione incompleta i giocatori possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE i giocatori NON possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE Tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori NON tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori

12 Giochi a somma zero Classificazione dei giochi La somma delle vincite (o delle perdite) dei giocatori NON È COSTANTE il guadagno di un giocatore CORRISPONDE sempre alla perdita di un altro giocatore Giochi NON a somma zero Giochi statici I giocatori fanno le loro mosse SEQUENZIALMENTE Giochi one-shot I giocatori fanno le loro mosse SIMULTANEAMENTE Giochi dinamici Vengono giocati UNA SOLA volta Vengono giocati PIÙ VOLTE fra gli stessi giocatori Giochi ripetuti

13 Soluzione dei giochi Equilibrio per un gioco: situazione in cui nessun giocatore desidera modificare il suo comportamento unilateralmente dato il comportamento degli altri giocatori

14 Equilibrio di Nash Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore per lui, quando anche gli altri giocatori giochino la loro strategia di equilibrio L equilibrio di Nash si definisce strategicamente stabile o autovincolante perché nessun giocatore, singolarmente preso, desidera deviare dalla propria strategia di equilibrio ferme restando le strategie adottate dagli altri giocatori

15 Equilibrio fra Alberto e Berto La coppia di strategie (P3, P3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l incentivo a cambiare strategia data la scelta dell altro giocatore B(erto) A(lberto) P2 P3 P2 20, 20 14, 21 P3 21, 14 15, 15 E.d.N Se Alberto cambiasse e giocasse P2 avrebbe un utilità pari a 14 (inferiore) Se Berto cambiasse e giocasse P2 avrebbe un utilità di 14 (inferiore) Nessuno ha l incentivo a cambiare

16 Equilibrio di Nash La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l incentivo a cambiare strategia data la scelta dell altro giocatore B b1 b2 b3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 Se A cambiasse otterrebbe 1 giocando a1 e 1 giocando a3 Se B cambiasse otterrebbe 1 giocando b1 e 2 giocando b2

17 Equilibrio di Nash La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l incentivo a cambiare strategia data la scelta dell altro giocatore B b1 b2 b3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 A preferirebbe il 5 di (a3,b1) ma (a3,b1) non è un equilibrio perché B cambierebbe la sua scelta in b2 ma allora A si sposterebbe in a2 infine B si sposterebbe in b3 da qui NON ci si muove più L equilibrio non produce né per A né per B necessariamente il payoff più alto

18 Equilibrio di Nash i s * i (s * 1,s * 2,...s * i,..,s * n ) i (s * 1,s è la soluzione del problema * 2,...ŝ i,..,s * n ) s * i Max i (s * 1,s * 2,...s i,.., s * n ) s.t.s i S si Può essere vista come la ottima risposta del giocatore i-esimo alle mosse degli altri giocatori i Possiamo definire una risposta ottima per ogni strategia degli altri giocatori costruendo una funzione di risposta ottima BRF funzione di risposta ottima L equilibrio di Nash sarà caratterizzato dal fatto che per tutti i giocatori è una risposta ottima alle scelte degli altri

19 Come si trova l equilibrio di Nash Strategia DOMINANTE Se esiste una strategia dominante un giocatore razionale giocherà QUELLA Se esiste una strategia dominata un giocatore razionale non la giocherà MAI Strategia DOMINATA strategia che risulta migliore (garantisce più alti payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori strategia che risulta inferiore (garantisce più bassi payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori

20 Definzione Strategia (debolmente) DOMINANTE strategia che risulta non peggiore (garantisce payoffs non inferiori) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori Strategia (debolmente) DOMINATA strategia che risulta non superiore (garantisce payoffs non più alti) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori

21 Esempio: strategia dominata B b1 b2 b3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 Confrontiamo a1 con a2 qualunque sia la scelta di B (b1,b2,b3) a1 permette di ottenere un payoff più basso Nessun giocatore razionale sceglierebbe a1 se esiste a2 Strategia Dominata Per definire una strategia come dominata è sufficiente che esista una sola altra strategia che permetta di avere un payoff più alto qualunque sia la scelta dell altro giocatore

22 Esempio: strategia dominante B b1 b2 b3 a1 1,3 2,4 1,3 A a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,0 Strategia Dominante Confrontiamo b2 con b1 e b3 qualunque sia la scelta di A (a1,a2,a3) b2 permette di ottenere un payoff più alto Ogni giocatore B razionale sceglierebbe b2 Per definire una strategia come dominante è necessario che permetta di ottenere un payoff qualunque sia la strategia scelta dall altro giocatore

23 Strategie dominanti e dominate sono collegate B b1 b2 b3 a1 1,3 2,4 1,3 A a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,0 Per definizione: se esiste una strategia dominante tutte le altre (dello stesso giocatore sono dominate b1 e b3 sono dominate Ma non è vero che se la strategia b1 è dominata dalla strategia b2 questa sia necessariamente dominante.

24 Strategie dominanti e dominate sono collegate Nota è cambiato solo il payoff in rosso (5 al posto di 0) Strategia Dominata B b1 b2 b3 a1 1,3 2,4 1,3 A a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,5 b2 non è più una strategia dominate La strategia b1 è dominata da b2 ma b2 non è una strategia dominante perché se A giocasse a3 sarebbe meglio per B scegliere b3

25 Esempio: prendiamo questi altri due giochi Gli unici valori differenti sono i payoffs segnati in rosso B b1 b2 b3 a1 0,3 3,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 Strategia debolmente Dominante B b1 b2 b3 a1 1,3 2,4 1,3 A a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,4 Strategia debolmente Dominata

26 Come si trova l equilibrio di Nash se esiste una strategia dominante B b1 b2 b3 Il giocatore B sceglie b2 e A lo sa a1 1,3 2,4 1,3 A a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,0 Ora se A sceglie a1 ottiene 2 a2 ottiene 3 a3 ottiene 4 A sceglie a3 (a3,b3) Equilibrio di Nash

27 Gioco della mano invisibile figura 4.2 del libro Anil e Bala sono due agricoltori i payoff sono i profitti che ottengono dalla coltivazione possono piantare solo R o M (due strategie) il terreno di A è più produttivo se si pianta M il terreno di B è più produttivo se si pianta R se entrambi piantano la stessa cosa il prezzo diminuisce così come il loro profitto Equilibrio in strategie dominanti (M,R) Il giocatore di linea che sceglie M e il giocatore di colonna che sceglie R è l equilibrio di Nash

28 Come si trova l equilibrio di Nash B B1 b2 B3 a1 0,3 4,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 Non ci sono né strategie dominate né strategie dominanti Per trovare la soluzione occorre utilizzare la funzione di risposta ottima (BRF) risposta ottima Funzione di risposta ottima La migliore strategia che un giocatore può effettuare DATA la strategia scelta dagli ALTRI GIOCATORI L insieme delle risposte ottime di un giocatore

29 Trovare l E.d.N. utilizzando la BRF B b1 b2 b3 a1 0,3 4,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 E.d.N deve essere la coppia di strategie che è la risposta ottima di entrambi i giocatori Se il giocatore B sceglie b1 la migliore risposta di A è a3 Se il giocatore B sceglie b2 la migliore risposta di A è a1 Se il giocatore B sceglie b3 la migliore risposta di A è a2 Se il giocatore A sceglie a1 la migliore risposta di B è b1 o b3 Se il giocatore A sceglie a2 la migliore risposta di B è b3 Se il giocatore A sceglie a3 la migliore risposta di B è b2

30 Gioco della mano invisibile In questo caso la natura strategica della interazione fra i soggetti non preclude la possibilità che le decisione individuali vengano coordinate e si raggiunga un risultato socialmente desiderabile Mano invisibile Ma non è sempre così

31 Limiti della definizione di equilibrio di Nash P dx cx sx Gioco del calcio di rigore dx 0,2 2,0 2,0 A cx 2,0 0,2 2,0 cerchiamo l equilibrio con il metodo della risposta ottima sx 2,0 2,0 0,2 E evidente che non esiste un equilibrio di Nash per questo gioco

32 equilibrio di Nash Consideriamo questo gioco classico La guerra dei sessi Lui Esiste una molteplicità (due) di equilibri di Nash Lei Opera Stadio Opera 1, 2 0, 0 Stadio 0, 0 2, 1 Quale selezionare?

33 Consideriamo un altro gioco Sempre Anil e Bala Payoff differenti In questo caso immaginiamo che nel caso A e B producano lo stesso bene i prezzi diminuiscano in modo molto forte Ci sono due equilibri di Nash Quale selezionare?

34 Le due programmatrici Di nuovo Due equilibri di Nash

35 Come risolviamo il problema della ambiguità della molteplicità degli equilibri Prendiamo un altro gioco Gioco dell incrocio Due auto (S e D) arrivano contemporaneamente all incrocio Possono Fermarsi o Passare S D P F P -2, -2 2, 0 F 0, 2 0, 0

36 Molteplicità equilibri di Nash: giochi sequenziali Consideriamo il gioco dell incrocio, immaginando che l auto A si presenti per prima all incrocio Il gioco non è più simultaneo ma sequenziale, l auto A effettuerà la prima mossa e successivamente muoverà l auto B Auto A La rappresentazione del gioco a forma estesa è preferibile Auto B F P Auto B F P F P 0, 0 0, 2 2, 0-2, -2

37 Giochi sequenziali in forma estesa: induzione a ritroso Induzione a ritroso Si parte dai nodi finali del gioco e si analizzano le scelte dei giocatori fino a risalire all inizio del gioco B sceglierà P che gli da 2 al posto di 0 A lo sa e sa che se sceglierà F prenderà 0 Auto B F F Auto A P A sceglierà P che gli garantisce 2 mentre se scegliesse F P F avrebbe 0 B sceglierà F che gli da 0 al posto di -2 A lo sa e sa che se sceglierà P prenderà 2 Auto B P 0, 0 0, 2 2, 0-2, -2

38 Se c è una sequenza temporale l ambiguità sparisce Gioco delle due programmatrici Astrid Ipotesi Astrid sceglie per prima Java C++ M Bettina Java C++ Java C++ 4, 3 2, 2 0, 0 3, 6

39 Molteplicità equilibri di Nash: meccanismi istituzionali Quando non esistono altri sistemi per eliminare la molteplicità degli equilibri possono intervenire dei meccanismi istituzionali che regolamentano il comportamento individuale e risolvono l ambiguità Gioco dell incrocio il semaforo, regola codice della strada Guerra dei sessi Se il rapporto dura nel tempo, la coppia cerca una regola di buona convivenza Gioco programmatrici Se sono inserite in un impresa ci può essere una struttura gerarchica (la superiore decide per prima) Risolvere questo tipo di ambiguità è una delle spiegazioni della nascita delle istituzioni

40 Criterio Paretiano (da W. Pareto) Abbiamo visto che l individuo ordina i panieri alternativi secondo le sue preferenze e scegli il paniere che massimizza il suo benessere dati i vincoli cui è soggetto Come possiamo confrontare allocazioni che coinvolgano più di un soggetto Problema L utilità non è misurabile Non possiamo semplicemente sommare la soddisfazione individuale Esiste un punto di vista sociale per valutare le allocazioni? Ci sono o no criteri che ci consentano di dire se l allocazione A è superiore all allocazione B, oppure se è vero il contrario? Allocazione = distribuzione di beni, benessere o quant altro fra più soggetti Criterio Paretiano

41 Criterio Paretiano Il criterio di Pareto afferma quanto segue: Un allocazione A è superiore a un altra allocazione B, se almeno un soggetto preferisce A a B e nessuno preferisce B ad A (e viceversa). oppure Un allocazione A è superiore a un altra allocazione B, se in A tutti stanno altrettanto bene che in B e almeno uno sta meglio in A che in B Non tutte le allocazioni sono Pareto Ordinabili A = (10, 3, 7) B = (10, 2, 7) C = (9, 5, 16)

42 Criterio Paretiano (da W. Pareto) Un'allocazione è efficiente nel senso di Pareto se non ne esiste un'altra che sia migliore sulla base del principio di Pareto; cioè, se non è possibile migliorare il benessere di qualcuno senza peggiorare quello di qualcun altro Criterio di efficienza distributiva e non di equità

43 Criterio Paretiano e molteplicità equilibri di Nash Lui Opera Stadio Lei Opera 1, 2 0, 0 Stadio 0, 0 2, 1

44 Dilemma del prigioniero Thelma e Louise sono complici in un grave delitto e sono detenute in celle separate (non possono comunicare). Ci sono le prove solo per accusarle di un reato minore la cui pena è 1 anno di reclusione Ogni prigioniera può confessare il delitto grave o negare. Se confessa uscirà subito di prigione, mentre la complice avrà una pena di 10 anni di reclusione. Se entrambe confessano saranno condannate a una pena intermedia di 2 anni. Se nessuna delle due confessa la pena sarà di 1 anno.

45 Dilemma del prigioniero L EQUILIBRIO DI NASH È SOTT'OTTIMALE (in senso Paretiano) rispetto ad un altro esito del gioco che sarebbe preferito da entrambi i giocatori ma che non è ottenibile Nota: essendo anni di prigione si tende a minimizzare i payoffs Risultato paradossale Un comportamento teso a massimizzare il benessere individuale produce un risultato non ottimo da un punto di vista individuale Louise O.P Thelma Nega Confessa Nega 1, 1 10, 0 Nash Confessa 0, 10 5, 5

46 Dilemma del prigioniero Confessa è la strategia dominante per entrambe Louise Nega Confessa Thelma Nega 1, 1 10, 0 Confessa 0, 10 2, 2

47 Dilemma del prigioniero Gioco del controllo dei parassiti (par. 4.3) Ipotesi a) Ci sono due contadini Anil e Bala (sempre quelli) cha hanno due campi identici e adiacenti b) Per distruggere i parassiti che rovinano il raccolto hanno 2 strategie a) Usare un potente antiparassitario (Terminator) che distrugge qualsiasi tipo di insetto ma inquina la falda acquifera costa poco b) usare la lotta integrata che non ha effetti sulla falda costa di più c) Se entrambi scelgono il T il danno alla falda sarà elevato e si renderà necessario acquistare un costoso sistema di filtraggio; d) Se solo uno sceglie di usare il T il danno sarà limitato e il filtraggio non sarà necessario

48 Dilemma del prigioniero framework generale Gioco del controllo dei parassiti Bala Anil IPC T IPC 3, 3 1, 4 T 4, 1 2, 2 Payoff Monetari

49 Sotto-ottimalità dell equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione A Intervento dall esterno Ruolo delle istituzioni si vieta l uso del Terminator Meccanismi istituzionali Mafia, malavita organizzata dilemma del prigioniero Modificano dall esterno la struttura degli incentivi

50 Sotto-ottimalità dell equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione B Reputazione e giochi ripetuti Nella realtà il gioco è spesso ripetuto Possono emergere dei meccanismi endogeni di punizione di comportamenti devianti Meccanismo punitivo Se uno dei due contadini utilizzasse il Terminator lo farebbe anche l altro Ogni volta che sono chiamate a collaborare, Anil e Bala devono decidere se collaborare (IPC) o «fregarsi» a vicenda

51 Sotto-ottimalità dell equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione B Reputazione e giochi ripetuti Immaginiamo che il gioco venga giocato per tre periodi Al tempo t 1 Anil deve decidere se usare il terminator Se lo usa oggi sa che dal prossimo periodo in poi lo userà anche Bala π T A = = 8 Payoff di Anil se decide di «fregare» Bala e passare al Terminator π IPC A = = 9 Payoff di Anil se preferisce continuare ad usare l IPC Questo calcolo è troppo semplificato valore attuale = al valore futuro

52 Sotto-ottimalità dell equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione B Reputazione e giochi ripetuti Immaginiamo che il gioco venga giocato per più periodi π 4 Vantaggio immediato Perdita futura tempo

53 Sotto-ottimalità dell equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione B Reputazione e giochi ripetuti Se i giocatori sono sufficientemente pazienti (attribuiscono un peso adeguato ai guadagni futuri) Nota Il gioco deve durare all infinito o avere una durata finita ma incerta Il risultato pareto ottimale può essere raggiunto Reputazione -- Credibilità

54 Sotto-ottimalità dell equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione C Altruismo Prossima lezione