Università degli studi Roma Tre

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1 Università degli studi Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di laurea in Ingegneria civile per la protezione dai rischi naturali Relazione di fine tirocinio Software di rappresentazione grafica 3D: Grasshopper Studente: Virginia Marone Tutor universitario: Giovanni Formica A.A

2 Indice 1 Software di rappresentazione grafica Grasshopper Algoritmo Algoritmo generativo Introduzione al programma Modellazione Singapore bridge

3 Elenco delle figure 1.1 Area di lavoro di Grasshopper Menù a tendina, pannelli e componenti Esempio di componente: construct point Oggetto punto di coordinate [1,4,0] disegnato con Grasshopper Linea disegna tra i punti A e B Geometria parametrizzata Componente gradient Esempio con gradiente di colore Algoritmo Modello tridimensionale Singapore Bridge Funzioni di deformazione modale Piani di riferimento configurazione indeformata (in verde), piani deformati secondo il modo j-esimo (in rosso) Distanza tra i punti delle due configurazioni Deformate primi quattro modi di vibrare Comando Animate

4 Capitolo 1 Software di rappresentazione grafica 1.1 Grasshopper Il software di Grasshopper consente di "progettare" algoritmi che operano nello spazio di Rhinoceros; nonostante non sia necessario l utilizzo di alcun testo o codice l utilizzo del software implica comunque conoscenze base di programmazione. Il software di modellazione grafica Grasshopper consente di produrre rappresentazioni tridimensionali con il vantaggio di creare un modello parametrico che, per questo, risulta di gran lunga più duttile rispetto a modelli i cui elementi singoli non possono essere modificati istantaneamente. Il programma sfrutta come interfaccia grafica Rhinoceros e allo stesso tempo ne è totalmente indipendente. Lo script sviluppato con Grasshopper infatti non necessita di geometrie disegnate con Rhinoceros ma comunque vi comunica bidirezionalmente. Tutto ciò che viene disegnato con Grasshopper non può essere modificato in Rhinoceros in quanto è come se "non esistesse realmente". Solamente mediante il comando bake di Grasshopper, tutto ciò che è stato prodotto mediante algoritmo viene effettivamente trasformato in un disegno in cui tutti gli elementi che lo compongono sono modificabili in Rhinoceros Algoritmo Essendo Grasshopper un software il cui funzionamento è su base algoritmica, è utile introdurne il concetto principe. Per algoritmo si intende un procedimento che, attraverso una serie di passi, consente di risolvere un problema. Tale concetto è alla base della programmazione informatica: ogni problema si definisce calcolabile se è risolvibile mediante algoritmo. Nello sviluppo di un qualsiasi software, avviene la traduzione in termini algoritmici di una procedura da automatizzare così da poter essere effettivamente eseguita, e quindi calcolata, dal programma. Per una definizione più formale di algoritmo, si fa riferimento alla macchina di Turing, ovvero una macchina ideale che manipola i dati che 1

5 vengono scritti o letti su di un nastro di lunghezza potenzialmente infinita. In pratica è un modello astratto grazie al quale viene definita una macchina in grado di risolvere una serie di algoritmi. È comunemente accettato che qualsiasi problema calcolabile sia risolvibile dalla macchina di Turing, in quanto ha la capacità computazionale massima Algoritmo generativo In ambito architettonico, ai fini di rappresentare un qualsiasi oggetto nello spazio, entrano in gioco materie quali la geometria e la matematica che ci consentano di realizzare tale oggetto. Ogni geometria infatti, dalla più semplice alle più complesse, ha portato a dover risolvere problemi di diversa natura. Con l avvento dei computer si è reso necessario l automazione di una serie di procedure mediante algoritmi; nell ambito del design lo sviluppo di algoritmi comupatazionali unitamente allo sviluppo di nuove forme architettoniche, ha portato all Algoritmo Generativo. È grazie a questo nuovo concetto che insieme alla rappresentazione tridimensionale è ora possibile realizzare architetture parametriche. Le forme esplorate escono dallo spazio euclideo dove rientrano le figure concezionali. C è il desiderio di indagare nuove e più ardite curve e superfici. Algoritmi generativi e script consentono di realizzare queste geometrie che altrimenti, per la loro complessità, risulterebbero impossibili da produrre con i vecchi metodi. Grazie a questi mezzi, è possibile riprodurre organismi vegetali o animali con un elevatissimo grado di accuratezza, così come non ci sono più limiti nella rappresentazione dei diversi texture. Per affrontare la complessità che caratterizza oggetti di questo tipo, è necessario che il processo di design abbia inizio da un livello più semplice e che si sviluppi successivamente in livelli più complessi; il risultato finale si ottiene commistionando più strutture complesse ciascuna regolata da una sua gerarchia. Ciascuna struttura è collegata all altra così da consentire di ottenere il risultato finale mediante la proprietà associativa dei vari componenti. Più in generale per Modellazione Associativa si intende una modellazione in cui i vari elementi dell architettura vengono costruiti gradualmente su più livelli secondo uno schema gerarchico; ad ogni livello alcuni parametri relativi a questi elementi, possono essere estratti così da assumere la funzione di generatore per nuovi elementi di un livello successivo. Procedendo in questo modo, accrescendo mano mano i vari livelli, si ottiene la geometria desiderata. Per fare un esempio di facile comprensione, il punto finale di una curva può essere il centro di una circonferenza; qualsiasi modifica apportata alla curva riguarderà anche la circonferenza. Come già evidenziato, il potenziale massimo di questo tipo di modellazione deriva, oltre che da una più rapida costruzione geometrica, dalla possibilità di modificare istantaneamente i parametri in gioco, anche a processo concluso. Poiché ogni elemento dell algoritmo è modificabile in qualsiasi momento del processo, e proprio perché il prodotto finale è il risultato dell algoritmo, ad ogni cambiamento apportato allo script corrisponde l aggiornamento istantaneo dell oggetto grafico. 2

6 Grasshopper consente, sfruttando Rhinoceros come interfaccia grafica, di avere a che fare con queste tecniche di Algoritmi Generativi e modellazione associativa Introduzione al programma Per meglio comprendere come operare con il software, è necessario introdurre e descrivere sinteticamente i componenti principali utilizzati per la modellazione del ponte oggetto di questo studio. Interfaccia Gli elementi principali che compaiono in aggiunta a quelli classici dei menù di Windows sono: i pannelli dei componenti e il canvas (che letteralmente ha il significato di "tela"). I vari componenti sono quelli che, collegati tra loro, consentono di costruire l algoritmo atto ad ottenere il risultato richiesto, mentre il canvas è lo spazio di lavoro all interno del quale i componenti sono trascinati. L interfaccia grafica si presenta come riportato in Figura 1.1. Figura 1.1: Area di lavoro di Grasshopper 3

7 Componenti Il menù del software Grasshopper è composto da una serie di menù a tendina che raggruppano i vari componenti in base alla categoria. Le categorie che compaiono nel programma sono: parametri, logica, scalare, vettore, curva, superficie, mesh, intersezione, trasformata. Ognuno dei menù a tendina comprende dei pannelli con diversi componenti. Figura 1.2: Menù a tendina, pannelli e componenti Alcuni oggetti consentono di disegnare, altri di manipolare e modificare oggetti esistenti, ed altri ancora di produrre dati. Figura 1.3: Esempio di componente: construct point Per meglio comprendere le modalità con cui opera il software Grasshopper si immagini di voler disegnare un semplice oggetto quale un punto. Ciò si può fare "manualmente" lavorando direttamente nello spazio Rhinoceros ed utilizzando il comando point; oppure, mediante Grasshopper, sfruttando una serie di parametri che 4

8 identifichino tale oggetto (come più specificatamente in questo caso la sua posizione). Nonostante la seconda opzione possa risultare più complessa e laboriosa, presenta maggiori potenzialità. L oggetto punto costruito con Rhinoceros una volta disegnato, non è più modificabile; è un oggetto che "esiste realmente" (ovvero che può essere selezionato nello spazio di Rhinoceros) ma che rimane invariato. Al contrario il punto costruito con Grasshopper, può essere modificato istantaneamente in ogni momento del processo. In Figura 1.4 il punto (identificato da una crocetta rossa) è stato ottenuto grazie Grasshopper avendo definito le sue coordinate mediante i pannelli gialli, e l oggetto punto mediante il componente construct point. Da questo banale esempio si può subito capire come l obiettivo del programma Grasshopper sia proprio quello di produrre oggetti, dai più semplici ai più complessi, che risultino indipendenti e facilmente modificabili. Figura 1.4: Oggetto punto di coordinate [1,4,0] disegnato con Grasshopper Per semplificare la comprensione ed evitare equivoci, d ora in avanti il nome di ciascun componente, mediante il quale stiamo costruendo l algoritmo, verrà posto tra due parentesi <nome> così da ottenere una migliore identificazione nel testo. Cavi Dall inglese wire, i cavi consentono di costruire l algoritmo assicurando la connessione tra i vari componenti. Il collegamento tra i vari componenti può essere solo del tipo outputs - inputs (Figura 1.3); in questo modo infatti i dati di uscita di un certo componente divengono i nuovi dati di ingresso per un nuovo componente. 5

9 A titolo di esempio, in Figura 1.5 si vede com è stata costruita una linea tra il punto A e il punto B rispettivamente di coordinate A=[0,5,0] e B=[2,7,0]. Figura 1.5: Linea disegna tra i punti A e B Sliders Un altro importante elemento che rende molto agevole la costruzione dell algoritmo è lo slider. Questo strumento permette di far variare istantaneamente i parametri dell architettura rappresentata. Una volta definito il dominio (ovvero i valori massimi e minimi entro i quali lo slider può variare) facendo semplicemente scorrere il cursore, la geometria dell oggetto viene aggiornata continuamente. Dall esempio in Figura 1.6 si vede come il cursore sullo zero fa si che la posizione dei punti A e B coincida con le coordinate iniziali definite, mentre spostando il cursore i punti si allontanano divenendo AA e BB. È importante notare come la linea che li collega si modifichi di conseguenza grazie alla costruzione corretta dell algoritmo. Risultano evidenti le potenzialità di questo software per cui è sufficiente agire su un solo parametro per andare a modificare l intera geometria. 6

10 (a) slider =0.0 (b) slider =0.7 Figura 1.6: Geometria parametrizzata Gradiente di colore Il componente Gradient (Figura 1.7) rappresenta una "variazione" di colore che può essere applicata alla geometria prescelta. Le variabili base da impostare per il suo funzionamento sono tre: il limite inferiore (L0), il limite superiore (L1) ed il parametro (t). I primi due sono semplicemente il dominio, definito da un valore minimo ed uno massimo, entro il quale la gradazione di colore dovrà essere applicata; mentre il parametro t rappresenta la variabile di riferimento di cui viene calcolato di volta in volta il valore ed assegnata la colorazione sempre in riferimento al dominio stabilito. 7

11 Figura 1.7: Componente gradient Per fare un semplice esempio, basti pensare di voler colorare le linee che collegano i punti di due curve in base alla loro lunghezza come mostrato in Figura 1.8. Per una maggiore precisione nella definizione dei valori limite del dominio, una volta calcolata la distanza tra i rispettivi punti appartenenti alle due curve, i dati ottenuti sono stati riordinati (componente sort list), sono stati estratti il minimo ed il massimo dalla lista di valori (componente bounds), sono stati separati (componente deconstruct domain) così da ricavare la minima e la massima lunghezza delle linee che diventano rispettivamente L0 e L1. In questo modo tutte le colorazioni vengono sfruttate laddove i valori di default (L0 = 0 e L1 = 1) non coprirebbero tutti i valori realmente assunti dall oggetto che si vuole colorare. Infine al parametro t è bastato assegnare la distanza calcolata tra i punti mentre l oggetto che deve assumere la colorazione è la linea (componente line). Il procedimento appena esposto è stato applicato al caso studio al Paragrafo Figura 1.8: Esempio con gradiente di colore Modellazione Singapore bridge Introduzione L oggetto di studio della presente tesi è un ponte sospeso pedonale esistente di Singapore con una campata lunga 35 m ed un cavo con una freccia pari a 5.5 m. Il collegamento 8

12 tra il cavo e l impalcato è garantito dalla presenza di 13 pendini inestensibili disposti ad un passo di 2.9 m. Il ponte è interamente realizzato in acciaio. Sono stati valutati i modi propri di vibrare del ponte e l effetto che il passaggio dei pedoni provoca sulle frequenze naturali della struttura. Infine si è cercato di proporre delle possibili disposizioni di smorzatori a massa accordata (TMD) così da ottenere una riduzione in termini di ampiezza delle oscillazioni. Grazie a Grasshopper si è potuto realizzare un modello tridimensionale del ponte in cui alcuni sliders consentono di modificarne i parametri caratteristici (quali la larghezza dell impalcato, il raggio dei pendini, il raggio dei cavi, la larghezza e lo spessore della soletta). L obiettivo fondamentale raggiunto è la rappresentazione grafica dei primi quattro modi di vibrare, ottenuti avendo inserito in Grasshopper la funzione rappresentante l andamento di ciascuna deformata, computata mediante il software Wolfram Mathematica. I successivi modi propri non sono stati presi in considerazione in quanto caratterizzati da frequenze lontane da quella dei pedoni e quindi non in grado di produrre l amplificazione delle oscillazioni. Per un migliore risultato grafico, è stato possibile effettuare una mappatura di colore dell impalcato in funzione della variazione delle tensioni dipendenti dalle deformazioni. Infine, sempre mediante Grasshopper è stata fatta l animazione dei quattro modi di vibrare. In Figura 1.9 è riportata l immagine dell algoritmo completo la cui programmazione ha consentito di ottenere il risultato grafico finale (Figura 1.10). Figura 1.9: Algoritmo 9

13 Figura 1.10: Modello tridimensionale Singapore Bridge Equazioni di riferimento Una volta risolto il problema classico agli autovettori mediante il metodo di Galerkin, con il sofware di calcolo Mathematica sono stati ricavati gli autovettori corrispondenti a ciascun autovalore grazie ai quali è stato possibile costruire la deformata finale relativa a ciascun modo di vibrare. Di seguito si riportano le prime quattro deformate che sono state inserite in Grasshopper come mostrato in Figura 1.11 v 1 = sin (πx) sin (2πx) sin (3πx) sin (4πx) sin (5πx) sin (6πx) v 2 = sin (πx) sin (2πx) sin (3πx) sin (4πx) sin (5πx) sin (6πx) v 3 = sin (πx) sin (2πx) sin (3πx) sin (4πx) sin (5πx) sin (6πx) v 4 = sin (πx) sin (2πx) sin (3πx) sin (4πx) sin (5πx) sin (6πx). 10

14 Figura 1.11: Funzioni di deformazione modale Non essendo Grasshopper un sofware di calcolo, sono stati trascurati tutti i termini minori di 10 3 in quanto la precisione computazionale di Grasshopper è comunque limitata. I cavi di impalcato sono stati rappresentati mediante l equazione della parabola calcolata con sistema di riferimento coincidente con l origine dell impalcato. È stato utilizzato infatti lo stesso sistema di riferimento di Mathematica così da consentire un eventuale confronto dei valori numerici. Gradiente di colore Essendo Grasshopper un software di rappresentazione grafica, non è possibile riferirsi alla "tensione" o alla "compressione" delle fibre di impalcato. Pertanto, ai fini di ottenere una mappatura di colore soddisfacente che indicasse il passaggio dalla minima alla massima deformazione mediante un opportuna sfumatura di colore, si è fatto ricorso ad un "espediente geometrico". Come mostrato in Figura 1.12, sono stati creati quattro piani (in verde) paralleli alle quattro superfici costituenti la sezione trapezoidale dell impalcato nella condizione indeformata. Su queste quattro superfici di riferimento (ovvero in configurazione inderfomata) è stata poi creata una mesh di punti, assicurandosi che fosse coincidente con la suddivisione applicata ai piani nella configurazione deformata. In questo modo è stato possibile calcolare la distanza tra ciascun punto della configurazione di riferimento e il rispettivo della configurazione modale deformata. Tale distanza, per il modo in cui sono stati costruiti i piani di riferimento, è verticale (Figura 1.13). Come spiegato nella sezione Gradiente di colore ( 1.1.4), la distanza tra questi punti è stata utilizzata come parametro t del componente gradient, mentre la fitta mesh di punti è l input da colorare. 11

15 Figura 1.12: Piani di riferimento configurazione indeformata (in verde), piani deformati secondo il modo j-esimo (in rosso) Figura 1.13: Distanza tra i punti delle due configurazioni Il risultato grafico finale così ottenuto è riportato in Figura 1.14 per i primi quattro modi di vibrare. 12

16 (a) 1 modo (b) 2 modo (c) 3 modo (d) 4 modo Figura 1.14: Deformate primi quattro modi di vibrare Animazione modi propri È stato possibile produrre un file video in cui vengono mostrate le oscillazioni proprie di tutta la struttura con conseguente variazione delle gradazioni di colore, evidenziando il passaggio da deformazione massima (con i picchi tensionali in rosso) alla condizione non deformata (per cui tutto il ponte appare azzurro) per poi raggiungere nuovamente lo stato tensionale massimo di segno invertito rispetto a quello di partenza. L animazione è stata ottenuta impostando uno slider con dominio di estremi ±1, che moltiplicando la funzione di deformazione modale ne determini l inversione (da positiva a negativa e viceversa). Infine, anziché far variare lo slider manualmente, mediante l opzione animate, ogni variazione viene registrata da Grasshopper come un singolo frame. In questo modo è possibile definire il numero di frame desiderati al variare dello slider e infine comporre il video come sequenza di immagini frame. 13

17 (a) Animate (b) Numero frames Figura 1.15: Comando Animate 14