ESERCIZI SUL CAMPO ELETTRICO 2

Transcript

1 ESERIZI SUL AMPO ELETTRIO 5. Una sfera di massa m possiede una carica q positiva. Essa è legata con un filo ad una lastra piana infinita uniformemente carica con densità superficiale σ, e forma un angolo con la verticale, come in figura. Dopo aver espresso l angolo in funzione dei parametri noti, calcolane il valore con i dati numerici q=.0μ, m=.0 Kg, σ=.0 /m Risposta: σ Per lo strato piano infinito abbiamo E=. ε 0 T Asse orizzontale orientato verso destra: qe q Tsin q σ σ + = 0 T= ε ε sin 0 0 asse verticale orientato in alto: mg Tcos mg= 0 T= mg cos Facendo il rapporto si elimina la tensione del filo ottenendo: T mg 0sin 0mg q 1 tan tan T = = ε σ cos qσ = ε qσ = εmg 0 Per i valori proposti: qσ tan= = εmg = 0.01 = = arctan 0.1=.8. Due sfere metalliche identiche, cariche con = 1.7 la prima, e con = 1. la seconda, di dimensioni così piccole rispetto alle distanze qui coinvolte da poter essere considerate puntiformi, si trovano nei punti A(-1; 0) e (;0). alcolare il valore del campo elettrico nel punto P (1;-1) (intensità, componenti xy,, direzione e verso). Successivamente esse sono poste a contatto e poi riportate nelle loro posizioni originarie. alcolare di nuovo il valore del campo elettrico nel medesimo punto (1;-1). Dopo ancora esse, sempre successivamente al contatto, vengono scambiate di posto. alcolare ancora il valore del campo elettrico sempre in (1;-1). H P(1; 1) E E A E 4

2 Risposta: Il campo E A nel punto P è individuato da un vettore che forma con l asse delle ascisse un angolo uguale ad HAP ˆ. Abbiamo ˆ PH 1 HAP= arctan arctan = =. HA e la sua intensità vale: EA =.0 = =.1 AP QA ( + 1 ) mentre E nel punto P è individuato da un vettore che forma con l asse delle ascisse un angolo uguale a: E 1 arctan ˆ HP 1 PH= arctan arctan = =. H e la sua intensità vale: E =.0 = =. P Q.0 1. ( + 1 ) E A 1 arctan Ricaviamo le componenti x ed y del campo E : E = E cos(.) + E cos(.) = = 4.7 x A E = E sin(.) + E sin(.) =.1 ( 0.45) = 0.41 y A ed il suo modulo: E = E + E = = 4.7 ( ) ( ) x y Dopo il contatto le due sfere saranno cariche ciascuna con: QA+ Q Q= = = 0.5 H avremo quindi: QA EA =.0 = = AP + 1 = 0.45 ( ) E E P(1; 1) E A che è anche il valore di E dato che AP= P. 5

3 Risulta ora: E = E cos(.) + E cos(180 +.) = x A = ( 0.8) = 0 E = E sin(.) + E sin(180 +.) = y A = 0.45 ( 0.45) ( 0.45) = = 0.40 Il campo risultante è pertanto verticale verso il basso e la sua intensità vale Questo valore ovviamente non muta invertendo la posizione delle cariche, dato che esse sono uguali. 7. Una carica di prova del valore di = 1.8 viene posta nel punto A(-;) ed essa subisce una forza 4 di intensità. Sapendo che nel punto (;1) c è una carica positiva di valore incognito Q= Q, e che nel punto (-,-1) una carica di valoreq = Q, si calcoli Q. Risposta: A ( ;) E ( ;) (;1) E (;1) E Q ( ; 1) E el punto A si ha l influenza del campo E, diretto verticalmente in basso, e del campo E che forma l angolo con l asse delle ascisse. Per ricavare le funzioni trigonometriche di del quale possiamo ricavare le funzioni trigonometriche di ci serviamo del suo complementare il cui seno e coseno valgono: lunghezza cateto opposto ad 1 1 sin= = = lunghezza ipotenusa ( ) + ( 1) 17

4 lunghezza cateto adiacente ad 4 cos= = = lunghezza ipotenusa ( ) + ( 1) 17 ed essendo = π- abbiamo cos 4 1 = cos= e sin= sin= alcoliamo quindi il campo risultante in A, mantenendo indicato il valore di Q. Prima le intensità: Q.0 Q.0 E =.0 = = Q A 17 ( ( ) + ( 1)) Q 18 Q E =.0 = =.0 Q A ( (+ 1) + 0) quindi le componenti lungo gli assi e la loro somma:.0 4 Ex= E cos + E cos = Q +.0 Q (0) = Q Ey= E sin + E sin = Q +.0 Q ( 1.0) =.0 Q l intensità del campo risultante sarà allora:.0 x y E = E + E = Q +.0 Q = 1. Q Moltiplicando il valore di del campo nel punto A così ottenuto per la carica posizionata otteniamo la forza che Q A subisce: Q = 1.8 ivi A F Q E 1. 4 A= A = Q QA= ed invertendo si ottiene infine: 4 Q= = Due cariche = 0.5 e = 0. sono poste rispettivamente nei punti A ( ;0) e 1 (0; ). alcolare intensità direzione e verso del campo elettrico nel punto ( ;0). alcolare inoltre la forza da esse esercitata su di un nucleo di elio 4 posto in. Dire quale accelerazione acquista il nucleo di elio per effetto di tale forza. 7

5 Risposta: 1 (0; ) ( ;0) ( ;0) p n n p E A E E Dal valore delle coordinate dei punti si ricava subito che O è la metà di un triangolo equilatero e pertanto ˆ π O=, che è anche uguale all angolo fra E A ed E. Abbiamo: EA =.0 = = 1.5 A Q.0 0. E =.0 = = 5.4 A 1 + QA Sommando le componenti si ha: 11 Ex= EA cos(0) + E cos( π) = ( /) =.1 11 Ex= EA sin(0) + E sin( π) = ( 1/) =.7 da cui: E = Ex+ Ey = (.1 ) + (.7 ) =.7 Tuttavia, essendo noto l angolo fra i due vettori, in questo caso sarebbe convenuto applicare il teorema di arnot per calcolare l intensità del campo risultante: π E= EA + E EA E cos π = ( ) = ( /) =.7 8

6 Ricordando che per un elemento X la scrittura A Z X indica in alto a sinistra la massa atomica (o numero di massa), ed in basso a sinistra il numero atomico, cioè la carica (positiva) del nucleo. Il nucleo di 4 ha quindi massa atomica 4 e numero atomico, da cui: M = 4m = =.7 P 1 1 Q = e= 1. =. Kg La forza si calcola moltiplicando la carica per il valore del campo trovato: F = Q E =..7 = e l accelerazione dalla legge di ewton F= ma : 15 F.1 a= = =.1 M.7 11 m s Un valore, come si vede, molto grande anche se la forza è molto piccola, dato che la massa è anch essa piccola rispetto ai valori macroscopici.