17. Il caleidoscopio: dal caos al cosmos attraverso la simmetria assiale

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1 17. Il caleidoscopio: dal caos al cosmos attraverso la simmetria assiale Aspetti generali Contesto L attività didattica può essere proposta nella seconda parte dell anno scolastico a una classe I Liceo Scientifico o all inizio dell anno ad una classe II di un Istituto tecnico, nel modulo di geometria, nell unità didattica dedicata alle trasformazioni geometriche. Obiettivi Ci si propone di introdurre il concetto astratto e delicato di trasformazione geometrica e in particolare di simmetria assiale a partire da una situazione stimolante la curiosità; l aspetto che si vuole far cogliere è il legame della matematica con la bellezza e la semplicità delle leggi adatte a descrivere situazioni apparentemente complesse. Si intende favorire in particolare l aspetto osservativo e la capacità di cogliere il valore della matematica nella spiegazione dei fenomeni fisici. L attività si presta inoltre a collegamenti interdisciplinari con Storia dell Arte e Fisica. Prerequisiti Conoscenze dei contenuti minimi della geometria elementare, utilizzo delle più semplici funzioni di Cabri geometre, conoscenza elementare del concetto di funzione. Attività proposte 1. Osservazione di un caleidoscopio e smontaggio 2. Analisi del fenomeno della riflessione con uno specchio piano per determinare la legge di riflessione della luce e poi con due specchi rettangolari montati con un lato coincidente su un goniometro, con la possibilità di variare l angolo tra essi. 3. Definizione matematica di simmetria assiale 4. Osservazioni con due specchi a diedro 5. Costruzione di caleidoscopio classico (con tre specchi), ma anche di caleidoscopi a 4,6,8 specchi. 6. Fotografia e proiezione dell immagine ottenuta 7. Attività in laboratorio di informatica: simulazione dei fenomeni osservati con Cabri Géomètre Modalità Osservazione, conversazione guidata, lezione frontale, attività di gruppo, attività individuale in laboratorio con scheda di lavoro. Strumenti e materiali necessari Un caleidoscopio bello e uno da smontare, una tavoletta di dimensione 30x40, goniometro, fogli riflettenti in materiale plastico, carta millimetrata, perline o pezzetti di plastica colorata molto piccoli, un piccolo foglio di carta (plasticata) trasparente scotch, spilli, luce laser. I materiali si possono comprare a modico prezzo in: negozi di giocattoli, negozi di bricolage Precauzioni: utilizzo del laser rosso senza puntarlo sugli occhi; utilizzo del taglierino per il materiale plastico riflettente. Tempo totale dell attività: 4-5 ore. 73

2 Suggerimenti costruttivi Con un taglierino ricavare dal foglio di plastica riflettente due specchi di dimensioni 10x15 cm circa. Unire i due specchi con il nastro adesivo (applicato sul retro), in modo che possano aprirsi e chiudersi a libro e formino così un diedro.. Incollare sulla tavoletta un foglio di carta millimetrata. Incollare il goniometro al centro del foglio oppure disegnare un goniometro sul foglio (il vantaggio sta nello spessore nullo, e si può rinunciare all accuratezza della misura per gli obiettivi prefissati). Preparare con lo stesso materiale 3 strisce rettangolari delle stesse dimensioni (1,5x20 cm circa), altre 4 uguali tra loro (1x20 cm), altre 5, altre 6 ecc., per i vari caleidoscopi che si vorranno costruire. Indicazioni operative Per la riflessione con un solo specchio è sufficiente posizionare uno specchio verticalmente (con un opportuno sostegno sul retro) in modo che lo spigolo di appoggio sia allineato con una riga principale della carta millimetrata. Per la riflessione con due specchi si colloca il diedro sul foglio di carta, in posizione verticale, in modo che la cerniera coincida con il centro del goniometro. Si colloca un oggetto davanti agli specchi. Cambiando l angolo tra gli specchi, si cercano le posizioni che producono un numero intero di immagini. Per ogni posizione si annotano l ampiezza dell angolo, la posizione dell oggetto, il numero delle immagini. Si tracciano gli schemi dei cammini della luce relativi alle situazioni più semplici - tre immagini, quattro immagini - cercando di giustificarne l apparizione. 74

3 Descrizione delle attività Fase 1: Osservazione di un caleidoscopio e smontaggio Foto 1. Caleidoscopio molto particolare in cui l immagine è formata da una pallina di vetro a colori variegati e irregolari, che può essere ruotata manualmente e fornisce all obbiettivo una diversa immagine a seconda della posizione. I caleidoscopi classici mostrano sul fondo una scatoletta trasparente che contiene piccoli oggetti colorati, liberi di muoversi al suo interno. L insegnante porta in classe due caleidoscopi, uno più raffinato (non smontabile) e uno più povero, smontabile. Ogni alunno lo esamina, e viene invitato a considerare il contrasto tra quanto appare dall esterno, sul fondo: il caos dei frammenti colorati, e la bellezza dell immagine osservata dall interno. Poi l insegnante pone la domanda: Cosa c è dentro? Come funziona? Cosa trasforma il disordine in ordine armonioso, il caos in cosmos?. Per verificare la validità delle risposte sul funzionamento si passa allo smontaggio: si constata che la struttura è molto più semplice del previsto. a) b) c) Foto 2. Caleidoscopio di scarso valore a) i pezzi che lo compongono b) visione del fondo con scatoletta contenente perline e piccoli oggetti c) immagine quando è ri-montato (il suo valore lo dimostra tutto!) L insegnante chiede qual è il fenomeno fisico alla base del fenomeno; dalle scuole medie dovrebbe essere noto il fenomeno della riflessione, in ogni caso si può far riferimento all esperienza comune. Fase 2: La riflessione su uno specchio Si pone uno specchio appoggiato a dei libri su un foglio su un banco e si segna con una matita la retta di appoggio. Si pongono diversi oggetti davanti allo specchio e si osservano le immagini, ad esempio una penna inclinata con cappuccio. Si toglie lo specchio e i libri e si chiede di disegnare l immagine sul foglio. Si lasciano i ragazzi liberi di provare. Foto 3. Riflessione con un solo specchio 75

4 La riflessione come fenomeno fisico L insegnante guida gli studenti alla scoperta della legge della riflessione della luce mediante le seguenti azioni: si posiziona un unico specchio verticalmente sul foglio di carta millimetrata con goniometro, in modo che il lato di appoggio si trovi sulla congiungente dell angolo di 90 con quello di 270 (o -90 a seconda della taratura del goniometro). Osservando l immagine di un qualsiasi oggetto (spillo ad esempio) con l immagine riflessa della carta millimetrata i ragazzi misurano la distanza dell immagine virtuale. Foto 4. Studio del fenomeno della riflessione con uno specchio, per scoprire la legge fisica Posizionando la luce di laser sul piano con diverse angolature, è possibile misurare l angolo di incidenza del raggio sullo specchio e verificare la direzione del raggio riflesso. Avvertenze: meglio rappresentare il goniometro graficamente e raccomandare ai ragazzi le precauzioni nell uso del laser. L insegnante dopo aver raccolto le osservazioni presenta le leggi della riflessione fisica (vedi appendice 2). Fase 3: La definizione di simmetria assiale L insegnante propone di rappresentare alla lavagna quanto sperimentato. Disegna una retta r e chiede di interpretarla come bordo dello specchio, rappresenta un punto P e chiede di dare indicazioni sufficienti per disegnare l immagine di P, che propone di chiamare P,(sottolineando anche che il termine immagine ha un preciso significato quando si parla di funzioni). I ragazzi danno le indicazioni, finchè emerge, eventualmente con la guida dell insegnante, che la retta r è asse del segmento PP.L insegnante propone agli studenti di disegnare sul quaderno il simmetrico di un segmento e poi di un triangolo. L insegnante verifica i quaderni. A questo punto l insegnante propone di definire rigorosamente cosa si intende per simmetrico di un punto e di una figura e dopo aver raccolto e migliorato progressivamente le definizioni degli studenti legge sul libro di testo quanto emerso nella attività comune e in quella individuale. L insegnante conclude facendo notare come la simmetria assiale risulti modello efficace del fenomeno fisico della riflessione su uno specchio piano. Fase 4: Osservazioni con due specchi a diedro Si dispongono due specchi rettangolari in posizione verticale su un foglio di carta millimetrata con fissato un goniometro che permetta di osservare l angolo tra gli specchi stessi; gli specchi devono essere posizionati in modo che la cerniera coincida con il centro del goniometro. Si colloca uno spillo o un altro oggetto sulla bisettrice dell angolo. Variando l angolo tra gli specchi, si cercano le posizioni che producono un numero intero di immagini. 76

5 a) b) Foto 5. Osservazioni con 2 specchi montati a diedro: a) gli specchi formano un angolo di 60 b) Gli specchi formano un angolo di 90 Per ogni posizione si fa annotare agli studenti: l ampiezza dell angolo, la posizione dell oggetto, se le immagini sono intere o no e, nel caso lo siano, il numero delle immagini. Si chiede ai ragazzi: a) di fare un ipotesi sulla relazione tra numero delle immagini e ampiezza dell angolo tra gli specchi; b) di immaginare i cammini dei raggi riflessi considerando la possibilità che la luce subisca riflessioni multiple sui due specchi prima di giungere all osservatore. Al termine delle osservazioni l insegnate propone di riassumere in un testo scritto condiviso che le immagine sono intere solo se l angolo tra gli specchi è divisore dell angolo giro, al diminuire dell angolo α tra i due specchi cresce il numero delle immagini e che indicando 360 con N il numero di "oggetti visti", compreso l oggetto, risulta N =. α L insegnante infine fa notare che la riflessione multipla matematicamente non è altro che una composizione di simmetrie assiali. Si può osservare che mettendo i due specchi paralleli (angolo tra gli specchi uguale a zero) si sviluppa una successione di immagini tendente all infinito. Si guidano gli studenti a ragionare sulla loro esperienza e ad immaginare cosa si dovrebbe vedere se ci si trovasse in una stanza con le quattro pareti, il soffitto e il pavimento tappezzati di specchi. Si potrebbe poi far osservare che: la composizione di due riflessioni su specchi piani produce una rotazione rispetto al vertice del diedro: quando i due piani sono perpendicolari, la rotazione è di 180 e corrisponde a una simmetria centrale. Fase 5: Costruzione di un caleidoscopio Si fanno costruire ai ragazzi piccoli caleidoscopi come prismi di specchi a base regolare di 3,4,6 8 lati fissando delle perline col nastro adesivo sul fondo oppure con perline mobili. I ragazzi sono lasciati liberi di costruire a gruppi curando anche l aspetto estetico. Foto 6. Fasi della costruzione di un caleidoscopio e dellla documentazione dell attività. 77

6 Fase 6: Fotografia Ogni gruppo fotografa col cellulare le immagini ottenute all interno del proprio caleidoscopio; vengono quindi proiettate in classe utilizzando il computer e un proiettore. L insegnante fa notare come la bellezza dell immagine sia legata al fenomeno della riflessione di cui la simmetria assiale è modello matematico. Foto 7. Immagine da caleidoscopio costruito dai ragazzi (3 specchi) Foto 8. Osservazioni dal caleidoscopio a 6 specchi Foto 9. Immagine da caleidoscopio a 6 specchi Foto 10. Immagine da caleidoscopio a 4 specchi. 78

7 Fase 7: Simulazione di un caleidoscopio con Cabri-Geomètre Con Cabri-geomètre in laboratorio di informatica si simula la riflessione con due specchi. Il docente guida la costruzione come descritto nell'appendice 3. La simulazione è interessante perché si rappresenta con un angolo la sezione sul piano dell'angolo diedro tra gli specchi. Variando l'ampiezza dell'angolo si osservano le immagini prodotte anche con angoli piccoli, che con gli specchi reali non sono osservabili. Si tratta inoltre di un semplice esercizio con Cabri che rivela la potenzialità della generalizzazione delle situazioni. Fase 8. Ricerca su internet dell origine del caleidoscopio e conclusioni. Al termine della ricerca individuale dopo breve discussione l insegnante concorda un testo che ogni ragazzo stamperà e inserirà nel quaderno. Si prepara una scheda per gli studenti (vedi appendice 1) Risultati e commenti Il lavoro ha stupito anche noi insegnanti per il fascino che la bellezza delle immagini ottenute suscitava non solo in noi e per la possibilità di far cogliere ai ragazzi un legame evidente tra matematica e bellezza. Inoltre il lavoro si presta a molti possibili approfondimenti e collegamenti interdisciplinari (fisica, arte). Spunti per possibili approfondimenti Fisica, Arte, Matematica:composizione di trasformazioni, tassellazione del piano. Bibliografia e sitografia 79

8 APPENDICE N. 1 Presentazione elaborata dagli studenti La scheda di presentazione dell attività è stata elaborata dagli studenti, a seguito di una discussione con il docente di Greco e Latino e la consultazione del sito del Politecnico di Torino (vedi sitografia). Il CALEIDOSCOPIO Il caleidoscopio (dal greco καλός, bello, ειδος, forma e σκοπέω, vedo) è uno strumento che si serve di specchi e pezzetti di vetro colorati per creare infinite strutture simmetriche. Di solito è un semplice tubo di cartone con all'interno una serie di specchi diversi per forma e colore. La parola fa riferimento alla lingua greca, e significa letteralmente "vedere bello". Appoggiando un occhio ad un'estremità (come un cannocchiale) e girando l'altra estremità, si possono vedere delle figure interessanti con i pezzi di vetro o plastica colorati contenuti all'interno.il caleidoscopio è stato inventato nel 1816 dallo scozzese David Brewster mentre conduceva esperimenti sulla polarizzazione della luce e successivamente brevettato nel La bellezza delle immagini contrasta con la banalità degli oggetti con cui è costruito: da un apparente disordine antiestetico nasce un immagine che stupisce per la sua armonia.all origine di questo passaggio dal caos al cosmo c è la legge fisica della riflessione e il suo modello matematico che è la simmetria assiale. 80

9 APPENDICE N. 2 Cos'è la riflessione? È il fenomeno per cui un'onda che incide sulla superficie di separazione (interfaccia) tra due mezzi differenti non attraversa l'interfaccia, ma cambia direzione di propagazione ritornando nel mezzo da cui è venuta. In generale l'onda incidente viene in parte assorbita e in parte riflessa. La riflessione può avvenire specularmente (riflessione speculare o regolare) cioè in una unica direzione, oppure diffusamente (riflessione diffusa) cioè in varie direzioni. Ci occuperemo della riflessione speculare. L angolo i tra il raggio incidente e la normale alla superficie riflettente nel punto di incidenza è chiamato angolo di incidenza, e il piano formato da questa due rette è chiamato piano di incidenza. Il raggio riflesso giace nel piano di incidenza e forma un angolo r con la normale chiamato angolo di riflessione. La riflessione di onde elettromagnetiche è regolata da due leggi fondamentali, ricavabili dal principio di Fermat e dal principio di Huygens-Fresnel: Il raggio incidente ed il raggio riflesso giacciono sullo stesso piano L'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono uguali. 81

10 I raggi provenienti dall oggetto riflessi da uno specchio sembrano provenire dall immagine posta dietro allo specchio. L immagine è simmetrica all oggetto. 82

11 APPENDICE N. 3 Simulazione con Cabri-Geomètre Obiettivi della simulazione con Cabri: - Previsioni sul fenomeno prima ancora di aver costruito gli specchi. Semplice esercitazione per acquisire manualità nelle funzioni più semplici di Cabri Costruzione e simulazione (con Cabri) della riflessione con due specchi Angolo di 9 fra i due specchi Angolo di 60 Angolo di La costruzione permette di osservare il numero delle riflessioni di un punto materiale posto sulla bisettrice dell angolo formato da due specchi piani. La possibilità di usare la stessa costruzione e di variare l angolo permette una efficace comprensione del fenomeno. L attività può essere svolta sia con Cabri Geometre II sia con Cabri Geometre II Plus. La costruzione è semplice e richiede conoscenze minime di Cabri. - Apri Cabri Geometre II (Cabri Geometre Plus) - Dai un titolo al lavoro: clicca sul penultimo tasto VISUALIZZA:TESTO, poi clicca sul foglio di lavoro e si apre una finestra in cui puoi scrivere il titolo, ad esempio: SPECCHI 60 - Puoi colorare l etichetta: clicca sull ultimo tasto DISEGNA: RIEMPIMENTO, scegli il colore e avvicina la freccia alla finestra del titolo finchè compare la scritta questo testo : clicca sul testo. - Crea due punti sul piano: clicca sul secondo tasto PUNTO, e clicca due volte su due punti qualsiasi del piano. Chiama O il primo di essi, e P l altro. - Costruisci il segmento che congiunge i due punti: tasto PUNTO: SEGMENTO. (In questo modo il segmento è fissato sula piano). - Costruisci una semiretta di origine O: RETTA: SEMIRETTA e clicca su O e poi su un qualsiasi altro punto del piano: Segmento e semiretta rappresentano la sezione dei due specchi rettangolari con uno dei loro lati coincidente. - Chiedi la misura dell angolo: clicca sul terzultimo tasto MISURA: MISURA DELL ANGOLO, avvicina la matita a P e clicca, poi clicca su O e infine su un punto qualsiasi della semiretta - Costruisci la bisettrice dell angolo formato dal segmento OP : quinto tasto TRASFORMA: BISETTRICE: clicca su P poi su O infine su un punto qualsiasi della semiretta - Costruisci un punto sulla bisettrice: secondo tasto PUNTO: PUNTO SU UN OGGETTO. - Cambia colore al punto: ultimo tasto: MOSTRA/NASCONDI: COLORE: appare la mappa dei colori, si clicca su uno di essi, si avvicina il pennello al punto e si clicca su di esso. Questo punto rappresenta lo spillo di cui si vogliono simulare le immagini allo specchio. (d ota in poi 83

12 sarà chiamato così) - Nascondere la bisettrice: ultimo tasto: MOSTRA/NASCONDI: quando ci si avvicina alla bisettrice appare la scritta: Quale oggetto? E la possibilità di scegliere: Bisettrice. La bisettrice rimane, ma nascosta. - Il segmento e la semiretta rappresentano due specchi piani. Il punto sulla bisettrice lo spillo di cui si vogliono osservare le immagini riflesse. - Con il sesto tasto: SIMMETRIA ASSIALE: avvicinarsi allo spillo (appare la scritta: questo punto) cliccare su di esso, avvicinarsi al segmento che rappresenta uno dei due specchi (appare la scritta: questo segmento), cliccare e si ottiene il punto simmetrico. Ripetere l operazione costruendo il punto simmetrico rispetto alla semiretta che rappresenta l altro specchio. Si procede poi costruendo le immagini delle immagini: con un angolo di 60 tra gli specchi, dopo la quinta immagine, le successive si sovrappongono a quelle già esistenti. Si può infine variare l angolo tra gli specchi: usare il primo tasto: PUNTATORE: ruota e dilata cliccando lentamente sulla semiretta (finchè il puntatore diventa una mano che afferra la semiretta stessa) e osservare quante immagini si formano al variare dell angolo tra gli specchi (naturalmente vanno ogni volta costruite tutte le immagini che si formano.) 1. Si osserva che al diminuire dell angolo tra i due specchi cresce il numero delle immagini. 2. Nel costruire i cammini della luce dall oggetto all occhio si deve considerare la possibilità che la luce subisca riflessioni multiple sui due specchi prima di giungere all osservatore. 3. Se s include nel conteggio anche l oggetto (contando quindi N = n immagini + 1) si intravede un collegamento tra il numero di "cose viste", l angolo compreso tra gli specchi e i poligoni regolari di N lati. L angolo tra gli specchi è sempre uguale all angolo esterno di tali poligoni. 4. Ne deriva la possibilità di prevedere che l angolo che produrrà un dato numero N di "cose viste" sarà uguale a 360 /N e che se ci si mette tra due specchi paralleli (angolo tra gli specchi uguale a zero) si vedranno infinite immagini. 84