Curricula. A partire dal XXI Ciclo il Corso di Dottorato prevede la formazione e l avviamento alla ricerca nell ambito dei seguenti sette curricula:

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1 Curricula A partire dal XXI Ciclo il Corso di Dottorato prevede la formazione e l avviamento alla ricerca nell ambito dei seguenti sette curricula: 1. Curriculum in Analisi Matematica Analisi funzionale Calcolo delle variazioni Analisi non lineare Equazioni a derivate parziali Teoria degli operatori Un gran numero di problemi di matematica e di fisica può essere descritto in termini di equazioni a derivate parziali, che pertanto risultano fondamentali nello studio di modelli di fenomeni naturali ed intervengono in ogni settore scientifico. Esse consistono nello studio di un insieme di equazioni corredato da condizioni al bordo espresse alla frontiera del dominio spaziale in cui il fenomeno viene studiato e, nel caso di processi di evoluzione, da condizioni iniziali che descrivono lo stato del sistema all inizio dell osservazione. Lo studio del modello consente di dedurre proprietà qualitative e quantitative che da un lato ritrovano le osservazioni sperimentali e dall altro le approfondiscono consentendo di dedurre ulteriori proprietà. Lo studio delle equazioni a derivate parziali viene condotto con diversi metodi ed è attualmente in fase di continua evoluzione. Un settore molto ampio riguarda lo studio di equazioni differenziali non lineari. Molti problemi di geometria, di fisica e di varie scienze applicate portano allo studio di equazioni differenziali non lineari aventi una struttura variazionale. Pertanto le soluzioni di tali equazioni sono punti di minimo o, più in generale, punti critici di opportuni funzionali. Lo studio di tali soluzioni viene condotto utilizzando opportuni metodi di calcolo delle variazioni e si ottengono risultati di esistenza e molteplicità. Le tecniche utilizzate si basano su una analisi delle proprietà topologiche dei sottolivelli (teoria di Ljusternik-Schnirelmann, teoria di Morse) o su tecniche di teoria geometrica della misura. In particolare si studiano i seguenti problemi: geodetiche su varietà riemanniane e lorentziane, con applicazioni a problemi di Relatività Generale; traiettorie di sistemi dinamici su varietà; equazioni ellittiche non lineari in assenza di compattezza ed applicazioni a problemi di Meccanica Quantistica, teoria dei campi e solitoni; funzionali con misure ed applicazioni alla elasticità ed alla computer-vision; proprietà geometriche di varietà non regolari. L'utilizzo di tecniche variazionali si è rivelato molto efficace nello studio di modelli descriventi l'interazione tra onde solitarie e campi elettromagnetici. Tale interazione è descritta da sistemi di equazioni alle derivate parziali ottenute accoppiando opportune equazioni di campo con le equazioni di Maxwell. Per tali sistemi l'uso di opportuni principi variazionali permette di ottenere risultati di esistenza di soluzioni e di analizzare le loro proprietà di concentrazione. Un altro indirizzo di ricerca riguarda lo studio di particolari problemi differenziali tramite metodi generali di Analisi Funzionale e teoria degli operatori (semigruppi di operatori, operatori positivi, processi di approssimazione in spazi di Banach e spazi di funzioni). Di particolare interesse è lo studio di diverse classi di equazioni di evoluzione degeneri definite su domini limitati e non, e la possibilità di rappresentare ed approssimare le corrispondenti soluzioni in termini di operatori positivi di forma semplice opportunamente costruiti. Attraverso tale rappresentazione vengono investigate proprietà qualitative delle soluzioni, quali il loro comportamento asintotico, la loro regolarità e la loro proprietà di convergenza dall alto. Parallelamente, è possibile anche studiare l esistenza e le proprietà delle funzioni di transizione dei processi stocastici (di Markov) governati dalla summenzionate equazioni. Rientrano fra questi, ad esempio, alcuni processi che descrivono il cambiamento casuale del tempo di uno o più parametri reali collegati a particolari sistemi biologici (ad esempio, la densità di gameti di un certo tipo in una popolazione formata da due soli tipi di gameti che si accoppiano e selezionano casualmente). I problemi sopra indicati vengono generalmente affrontati nel contesto di spazi di funzioni continue con o senza peso ed in spazi di Banach astratti. Pertanto è necessario investigare in tale ambito anche

2 problemi di approssimazione e rappresentazione di semigruppi e problemi di approssimazione di funzioni continue in termini di operatori lineari positivi. Nell'ambito dei problemi di evoluzione su domini limitati, un altro settore di ricerca che sta ricevendo un ampio sviluppo e che ha prodotto, di recente, significativi risultati a livello internazionale, riguarda lo studio di operatori ellittici, eventualmente degeneri, con condizioni di Wentzell generalizzate al contorno e relative applicazioni. In questo contesto rivestono particolare importanza ampie problematiche, in corso di studio, tra cui ricordiamo le seguenti: generazione di semigruppi analitici in connessione con equazioni del calore; esistenza di funzioni coseno in connessione con equazioni delle onde; famiglie di evoluzione associate ad equazioni non autonome; stime Gaussiane e disuguaglianze di Sobolev in connessione con forme sesquilineari; applicazioni di risultati teorici a problemi di evoluzione su reti (ad esempio, reti neuronali o reti elettriche). Gli spazi di funzioni, naturali per questi problemi, sono spazi di funzioni continue, spazi di Sobolev, opportuni spazi Lp, dipendenti dai coefficienti dell'operatore e dalle condizioni al bordo. Le metodologie da usare variano a seconda dei problemi e si basano essenzialmente su risultati recenti di teoria degli operatori, combinati con risultati classici della teoria delle equazioni a derivate parziali. Nel Dipartimento di Matematica sono presenti numerosi studiosi che da diversi anni hanno ottenuto su tutti questi temi risultati notevoli, apparsi su riviste di rilievo internazionale, e che collaborano attivamente con centri di ricerca italiani e stranieri. 2. Curriculum in Fisica Matematica Fluidodinamica-Magnetoidrodinamica e stabilità Onde Relatività Uno dei settori di notevole interesse per la Fisica Matematica è la Fluidodinamica. L interesse di questa disciplina riguarda sia l aspetto teorico, sia, di conseguenza, l aspetto applicativo. L aspetto teorico risiede nei vari problemi che i fluidi propongono all attenzione dei ricercatori e fra questi vi sono i problemi di esistenza, unicità e stabilità dei campi di moto e di equilibrio per i diversi tipi di fluidi esistenti in natura all interno delle differenti geometrie. a) Aspetto teorico. Contempla le suddette questioni mediante l indagine su particolari problemi al contorno per equazioni e sistemi di equazioni a derivate parziali: esistenza, unicità e stabilità dei moti di fluidi omogenei, di miscele fluide, di fluidi puri o inquinati da particelle polverose (dusty fluids), di fluidi e miscele termoconduttori ed elettroconduttori, in evoluzione isotropa ed anisotropa, nelle diverse geometrie dei campi di moto, quali, ad esempio, in uno strato piano, in uno strato cilindrico (le cosiddette condotte ), in domini a sezione rettangolare o circolare, in domini limitati di forma qualsiasi (stabilità universale). Tale aspetto teorico contempla inoltre, in particolare, il problema della stabilità dei suddetti moti. Inoltre, per le inevitabili perturbazioni esistenti sia in natura, sia nel modello matematico adottato, i moti possono non essere persistenti (instabilità), mentre la osservabilità di questi dipende dalla loro stabilità; sicchè, dal punto di vista teorico e quindi, successivamente, il problema della stabilità/instabilità dei moti e uno dei più importanti. L esame contempla, innanzi tutto, lo studio della stabilità lineare, ad esempio con il cosiddetto metodo normal mode, e, nel relativo problema al contorno linearizzato, la ricerca del più piccolo autovalore quale parametro fisico critico che porta alla instabilità.

3 L instabilità può insorgere con moti stazionari ove sussista il cosiddetto principio del cambiamento di stabilità (simmetria dell operatore lineare), oppure con moti oscillatori (biforcazione di Hopf). Ove poi sussista un "principio di linearizzazione" la stabilità lineare implicherà la stabilità non lineare. In mancanza di un tale risultato, sul sistema perturbato completo va affrontato il problema della stabilità non lineare, ad esempio con il metodo diretto dei funzionali di Liapunov per equazioni differenziali a derivate parziali. Il problema variazionale collegato al massimo di un opportuno rapporto funzionale e le relative equazioni di Eulero-Lagrange portano infine alla ricerca delle migliori condizioni di stabilità. Attraverso la conoscenza dei conseguenti migliori valori dei parametri fisici critici si può così governare il moto e la sua persistenza sia dal punto di vista teorico (comportamento asintotico delle soluzioni), sia dal punto di vista applicativo (controllo tecnico dei processi evolutivi per i vari tipi di fenomeni). b) Aspetto Applicativo. E appena il caso di citare il notevole interesse dei suddetti problemi per le applicazioni nelle diverse discipline quali, ad esempio, la Fisica e in particolare, per i fluidi elettroconduttori, l Astrofisica; la Meteorologia, i Plasmi (anche sanguigno, quale fluido con struttura interna polare), la Geofisica, l Ingegneria dei Materiali, ecc. I suddetti problemi sono quelli dei quali ci si occupa - dal punto di vista teorico - nel settore Fisico matematico del Dipartimento di Matematica e nell ambito dei quali si pone l indirizzo di ricerca. 3. Curriculum in Geometria Geometria e Topologia Differenziale Geometria Combinatoria L'intento di questo curriculum è quello di favorire la creazione di competenze altamente qualificate nell'ambito degli studi a carattere geometrico. Una delle nozioni centrali nello studio della Geometria è quella di varietà. Essa si ritrova in diversi contesti che ne sottolineano i possibili differenti aspetti: Geometria Algebrica, Geometria Differenziale, Geometria Combinatoria. Di rilievo è anche la circostanza che questi studi permettono di costruire modelli e tecniche utili in diversi settori della Matematica, della Fisica, dell'informatica e dell'ingegneria. Lo studio dei diversi aspetti della Geometria vanta in Italia una tradizione ricca di nomi, che sono rimasti indissolubilmente legati ad importanti definizioni ed a famosi teoremi. In particolare: - La Geometria Differenziale, oltre alle notevoli interazioni con la Geometria Algebrica, sviluppa metodiche squisitamente differenziali nella risoluzione di problemi di classificazione di varietà in presenza di particolari strutture aggiuntive. Esempi sono le strutture Riemanniane, omogenee, simmetriche, di contatto, Kähleriane, quaternionali, spin, alcune delle quali si rivelano di grande utilità ed interesse nell'ambito della Fisica teorica con particolare riferimento alla costruzione di modelli per l'universo. - L'interesse peculiare della Geometria Combinatoria è rivolto alle applicazioni e, in particolare, alla statistica, alle comunicazioni, alla criptografia e al networking. Questa sua caratteristica comporta uno sviluppo diversificato avente come temi principali la geometria algebrica su campi a

4 caratteristica positiva, l'algebra computazionale, la teoria dei grafi e la teoria dei disegni. Spesso le tematiche affrontate richiedono metodi algebrici, geometrici, combinatorici e di teoria dei numeri, integrati dall'uso di calcolo computerizzato. 4. Curriculum in Algebra Obiettivo: Formazione di giovani ricercatori con qualificate competenze in ambito algebrico ed in particolare in teoria degli anelli. Conoscenze di base da fornire per il raggiungimento dell'obiettivo: - Teoria degli anelli commutativi - Teoria delle algebre associative - Teoria delle rappresentazioni dei gruppi - Metodi algoritmici e combinatori in algebra - Metodi omologici 5. Curriculum in Analisi Numerica e Calcolo Scientifico Obiettivo e la formazione di ricercatori con competenze nell ambito dei metodi numerici e della simulazione numerica al calcolatore di problemi della matematica applicata, ingegneria, informatica, economica, etc. In particolare l intento di questo curriculum è quello di promuovere, anche attraverso lo sviluppo di un intenso programma di stages presso università estere prestigiose, la formazione di ricercatori sui seguenti temi di ricerca: - Metodi numerici avanzati per sistemi di equazioni differenziali e sistemi dinamici; - Metodi numerici adatti all integrazione di sistemi di equazioni differenziali con invarianti; - Studio della stabilità di sistemi di equazioni differenziali non lineari; - Simulazione numerica di modelli complessi (in fluidodinamica, in economica, in controllo di sistemi ingegneristici, etc.) descritti da sistemi di equazioni differenziali ordinarie od alle derivate parziali; - Metodi numerici in algebra lineare ed aspetti legati ai metodi numerici per ODEs; - Metodi numerici avanzati per la "Grafica al Calcolatore"; - Metodi numerici di ottimizzazione di processi industriali; - Sviluppo di software scientifico e professionale sulle precedenti tematiche. 6. Curriculum in Teoria delle Probabilità Obiettivo: Favorire la creazione di competenze in teoria delle probabilità classica e quantistica. In particolare sui seguenti temi: Processi di Markov: proprietà di Markov; funzione di transizione; costruzione e proprietà del processo di Markov partendo dalla funzione di transizione; collegamento con la teoria dei semigruppi e la teoria delle equazioni differenziali.

5 Moto Browniano: costruzione e proprietà del moto Browniano sia sullo spazio Euclideo, sia sulle varietà differenziali; calcolo stocastico; formula di Ito ed equazioni differenziali stocastiche; processo di diffusione ed equazione di diffusione. Martingale: martingala, super-martingala e sub-martingala; integrale stocastico rispetto alle martingale. Processi di Lévy: Distribuzioni infinitamente divisibili e distribuzioni stabili; formula di Lévy e Khintchin; Teorema Limite Centrale generalizzato; criteri di convergenza e domini di attrazione; processi ad incrementi indipendenti (di Lévy); Teorema di decomposizione e natura delle discontinuità delle traiettorie; decompposizione integrale; processi di Lévy stazionari. Meccanica stocastica: sistemi dinamici stocastici; diffusioni conservative e invarianza per inversioni temporali; derivazione delle equazioni della Meccanica quantistica; stati entangled e loro descrizione in meccanica stocastica; dinamica stocastica e processi di Lévy. Teoria delle probabilità quantistica: il moto Browniano quantistico e lo spazio di Fock; calcolo stocastico quantistico sullo spazio di Fock; collegamento con la teoria dei campi quantistici; il teorema limite centrale quantistico. Limite stocastico quantistico: approssimazione di Markov in fisica, in particolare nella fisica quantistica; riformulazione matematica dell'approssimazione di Markov; limite stocastico quantistico con il metodo dell'algebra di operatori; limite stocastico quantistico con il metodo di distribuzione; proprietà della equazione differenziale ottenuta dal limite stocastico e sue applicazione alla fisica quantistica. Modulo di Hilbert e spazio di Fock con interazione: limite stocastico quantistico del campo elettromagnetico quantistico; necessità di introdurre il modulo di Hilbert e lo spazio di Fock con interazione per rappresentare il limite dell'operatore d'onda del campo elettro-magnetico quantistico; calcolo stocastico sul modulo di Hilbert. 7. Curriculum in Matematica per la Finanza L importanza della modellistica matematica in Finanza è aumentata in maniera quasi esponenziale negli ultimi decenni. Di conseguenza è aumentata la richiesta da parte delle società nelle quali la finanza esercita un ruolo importante (e.g. banche, assicurazioni, società di gestione del risparmio, gruppi industriali di grandi dimensioni, etc.) in grado di certificare e/o elaborare modelli e/o implementarli. In particolare la funzione di Risk Management è diventata per le aziende suddette sempre più centrale a causa delle esigenze suddette e della spinta degli enti regolatori (e.g. in Italia Consob e Banca d Italia) che tendono a concentrare in tale funzione i ruolo di certificazione, elaborazione e implementazione di modelli. Le competenze base richieste dalle aziende sono di vario genere a causa della poliedricità delle richieste cui i soggetti chiamati a ricoprire la funzione di "quantitativi" devono far fronte. Innanzi tutto sono richieste competenze e conoscenze di tipo analitico che naturalmente fanno parte del bagaglio culturale dei matematici, oltre a conoscenze meno tipiche quali: 1. informatica: linguaggi di programmazione e basi di dati; 2. mercati finanziari: elementi di base, CAPM, APT, Performance Analysis, Corporate Finance, DDM model, derivati, etc. 3. calcolo numerico, generazione di numeri pseudo casuali, metodi montecarlo e quasi montecarlo. 4. micro e macro economia.

6 In secondo luogo sono richieste competenze specifiche nei settori di ricerca, quali: 5. Processi stocastici e applicazioni alla finanza: Nozioni di base; Processi di Markov; Movimento Browniano e movimento Browniano geometrico; Martingale; Processi di Lévy; Distribuzioni stabili e infinitamente divisibili; Lévy flights troncati; Equazioni differenziali stocastiche e legame con le PDE; Option pricing; Modello di Black-Scholes-Merton; Distribuzioni non gaussiane dei prezzi; Serie temporali dei prezzi e classificazione degli stocks: Modelli dei crolli finanziari; Modelli sui tassi di interesse. 6. Econometria: modelli ARMA, VAR, ARCH, GARCH, etc e loro implementazione tramite pacchetti software come Eviews o SAS. 7. Teoria dei segnali: Processi stazionari; Funzione di autocorrelazione; Spettro di potenza; Sistemi lineari e filtri; Rappresentazione spettrale; Filtraggio, predizione e interpolazione. 8. Metodi numerici per equazioni differenziali di tipo stocastico. Il curriculum in Matematica per la Finanza intende creare le figure di elevato valore professionale che potranno, nell ambito di Banche e Finanziare, svolgere attività di ricerca in qualità di: Gestori quantitativi Risk manager Analisti di performance Asset & Liability Manager. Pricer Trader quantitativi Quantitativi in società consulenza Strutturatori Componente essenziale della formazione in questo curriculum sarà il periodo che i dottorandi dovranno trascorrere presso centri di ricerca universitari o di finanziarie del settore.