FISICA GENERALE II FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO. 1) Elettrostatica

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1 FISICA GENERALE II FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO 1) Elettrostatica ɛ = ɛ o ɛ r = costante dielettrica assoluta ; ɛ r = costante dielettrica relativa Nel vuoto( e nella maggior parte dei gas, condizioni STP)ɛ r 1 Legge di Coulomb nel vuoto : F = 1 q 1 q 2 4πɛ o r ˆr 2 Campo elettrostatico : E = F q o E = d F dq Potenziale : forma integrale :V (P 1 ) V (P 2 )= P 2 P 1 E dl forma differenziale : E = grad V = V Conservativitá del campo elettrostatico Forma integrale : E dl =0 Forma differenziale : E =0 Campo elettrostatico e potenziale generati da : -carica isolata puntiforme : E = 1 q 4πɛ r ˆr V = 1 q 2 4πɛ r -distribuzione discreta di carica : E = 1 q i ˆr 4πɛ r 2 i V = 1 i i 4πɛ -distribuzione continua di carica : E = 1 ρdτ 4πɛ r ˆr V = 1 2 4πɛ Ω qi Dipolo elettrico Potenziale : V = 1 p r = 1 1 p ( 4πɛ r 3 4πɛ r ) Campo : E = 1 4πɛ [3( p r ) p r r 5 r ] 3 Energia del dipolo in un campo esterno : U = p E Forza agente su un dipolo costante: F = U = ( p E ) Momento meccanico agente : τ = p E Ω r i ρdτ r 1

2 Legge di Gauss Forma integrale : Σ E ˆn ds= Q int ɛ o (Σ superficie chiusa) Forma differenziale : E = ρ ɛ o Conduttori E int =0 conduttore è sempre equipotenziale campo in vicinanza di un conduttore(teorema di Coulomb): E = σ ˆn ɛ o forza per unitá di superficie su un conduttore : df ds = σ2 2ɛ o Equazione del potenziale elettrostatico Equazione di Poisson : 2 V = ρ ɛ o Equazione di Laplace : 2 V =0 (doveρ =0) Condensatori Definizione di capacitá : C = Q V Capacitá cond. piano : C = ɛ S d L Capacitá cond. cilindrico : C = 2πɛ log(r est /r int ) Capacitá cond. sferico : C =4πɛ r intr est r est r int Condensatori in parallelo : C = C + C C N 1 Condensatori in serie : C = C 1 C 2 C N Energia del condensatore : U = 1 2 Q V = 1 2 C V 2 = 1 2 Forza tra armature : F = Q2 2ɛS (cond.piano) Q 2 C

3 Energia elettrostatica Energia distribuzione discreta : U = πɛ i,ji j q i q j r ij = 1 2 q i V i (V i potenziale di tutte le cariche i) Energia distribuzione continua : U = 1 ρv dτ 2 Energia sistema conduttori : U = 1 Q i V i 2 (V i potenziale conduttore i con carica Q i ) Densitá energia del campo : u = 1 1 E D = 2 2 ɛ oɛ r E 2 Densitá energia interazione di un dielettrico in un campo esterno: u = 1 1 E D = 2 2 ɛ oɛ r E 2 i i 2) Correnti stazionarie Densitá di corrente : j = nq v = ρ v Equazione di continuitá : j = ρ (ρ=densitá di carica) Intensitá di corrente : i = dq dt = j ˆn ds Σ Legge di Ohm (forma locale) : j = σ E (σ=conducibilitá) per elemento finito : V = Ri Resistenza conduttore di sezione costante : R = 1 l σ S = ρ l s S N resistenze in serie : R = R 1 + R R N 1 N resistenze in parallelo : R = R 1 R 2 R N Leggi di Kirchhoff - legge dei nodi : k i k =0 legge delle maglie : k i kr k = k V k Effetto Joule(potenza P = dw/dt,w =energia): in forma locale : dp = j E dτ conduttore finito : P = V i = i 2 R 3

4 3) Magnetismo Magnetostatica nel vuoto Campo generato da una carica in moto : B = µ o v r 4π q r 3 µ o dl r Campo generato da una corrente : B = 4π i r 3 -filo rettilineo indefinito : B = µ o i 2π r ˆτ -spira circolare ( sull asse!) : B = µ o 2 i R 2 ˆk (R2 + z 2 ) 3 -interno solenoide indefinito : B = µ o in [n = N spire L ] Forza agente su una corrente : F = i dl B Forza su carica in moto(forza Lorentz) : F = q v B Equazioni della magnetostatica nel vuoto: B =0 ; Σchiusa B ˆndS =0 B = µo j ; B dl = µo iconc Energia dipolo in campo esterno : U = m B Momento agente su dipolo in campo esterno : M = m B Momento magnetico e momento angolare di una carica q, massa m, in moto circolare uniforme: m = Precessione (di Larmor) in campo esterno: ω L = qb m q L 2m Potenziale vettore Definizione : B = A Equazione del potenziale : 2 A = µo j Potenziale generato da un dipolo : A = µ o m r 4π r 3 Proprietá magnetiche della materia Vettore magnetizzazione (momento dipolo per unitá di volume) : M = lim τ 0 m τ mezzo isotropo e lineare : 1 χ M = B = χ H µ o 1+χ 4

5 NZe 2 <r 2 > N m 2 o Suscettivitá magnetica: χ m = χ dia + χ par µ o + µ o 6m e 3 kt Vettore campo magnetico H : H = 1 χ M Relazione fra B e H : B = µ o H + µo M = µo µ r H : µ r = χ +1 Correnti di magnetizzazione : j sup = M ˆn : j vol = M Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali H = j libere ; H dl = iconc B =0 ; Σchiusa B ˆndS =0 Condizioni di continuitá all interfaccia fra due mezzi H t1 = H t2 ; B n1 = B n2 4) Campi variabili Campi quasi-statici Legge di Faraday-Neumann Forma integrale : dφ E dl = dt = d B ˆndS dt Σ Forma locale : E = B Coefficiente di mutua induzione fra due circuiti : Φ 2 = M 12 i 1 ; Φ 1 = M 21 i 2 ; M 12 = M 21 Coefficiente di autoinduzione Induttanza solenoide : :Φ = Li L = µ o n 2 ls Energia magnetica Energia sistema circuiti : U = 1 Φ k i k 2 Densitá energia del campo : u = 1 1 H B = 2 2 µ oµ r H 2 = 1 B 2 2 µ o µ r Energia induttore : U = 1 2 Li2 k 5

6 5) Circuiti elettrici Grandezze variabili sinusoidalmente e fasori : i = i o cos(ωt + φ) R[i o exp (iφ)exp(iωt)] = R[I] I = Ĩoe (iωt) ; Ĩ o = i o e iφ Circuito RC Circuito RL : R dq dt + q C = V Carica C : q = CV (1 exp ( t/τ) ; τ = RC Scarica C : q = q o exp ( t/τ) Extracorrente chiusura : L di dt + Ri= V : i = V (1 exp ( t/τ) ; τ = L/R R Extracorrente apertura : i = V exp ( t/τ) R Circuito RLC serie : L d2 i dt + Rdi 2 dt + 1 C i = V Frequenza di risonanza : ω r =2πν r = 1 LC Impedenze complesse : resistenza : Z = R capacitá : Z = 1 iωc induttanza : Z = iωl EquazionidiMaxwell 6) Onde elettromagnetiche Forma differenziale Forma integrale D = ρ D ˆndS = Qi nt Σ B =0 Σ B ˆndS =0 B E = Γ E ˆdl = B ˆn ds Σ D H = j + Γ H ˆdl = Σ j ˆn ds+ Densitá corrente di spostamento : j = D Legge di Ohm(per conduttori) : j = σ E Caratteristiche generali propagazione per onde Equazione delle onde (3D) : 2 φ 1 2 φ v 2 =0 2 Equazione delle onde (1D) : 2 φ z 1 2 φ 2 v 2 =0 2 Σ D ˆn ds 6

7 parametri dell onda sinusoidale : numero d onda : k = 2π λ = ω v vettore d onda : k = k (versore propag.) lunghezza d onda : λ = v ν pulsazione : ω =2πν onda piana sinusoidale progressiva(1d) : φ = φ 0 sin(kz ωt) φ 0 e i(kz ωt) onda sferica sinusoidale progressiva(1d) : φ = φ 0 r sin( k r ωt) =φ 0 e i( Caratteristiche delle onde elettromagnetiche Velocitá di propagazione(fase) : v = Trasversalitá onde e.m. : E = v B Onda piana (polarizzata asse-x) : E = E x = E o sin(kz ωt) B = B y = B o sin(kz ωt) E o = vb o = Z o H o ; Z o = k r ωt) c ; c = 1 ɛr µ r ɛo µ o µo ɛ o 377Ω Velocitádigruppo: v g = dω dk = c n(ω)+ω dn dω Effetto Doppler (c=velocitá onda e.m.): ν = ν 1 (v oss/c)cosθ 1 v 2 sor /c 2 Effetto Doppler nel moto collineare(non relativistico, v=velocitá onda): ν = v v oss ν v v sor Energia e impulso dell onda Densitá dienergia:u = 1 2 ɛe µh2 = ɛe 2 = B2 µ (energia per unitá di volume) Vettore di Poynting : P = E H Intensitá (istantanea)dell onda : I = (potenza per unitá di superficie) P = vɛe 2 = vu Intensitá (media) dell onda(sinusoidale) : < I >= vɛ E2 2 Quantitá di moto dell onda : p = u onˆk = P v (per unitá di superficie e unitá ditempo) 7

8 Dipolo elettrico oscillante p(t) =p o sin ωt Campo a grandi distanze(vuoto) : E θ = 1 p o 4πɛ o r sin θ(ω c )2 sin(kr ωt) ; B φ = 1 p o 4πɛ o cr sin θ(ω c )2 sin(kr ωt) Intensitá(media) irraggiata dal dipolo : < I >= p 2 oω 4 32π 2 ɛ o c 3 r 2 sin2 θ (energia per unitá superficie e unitá di tempo) Potenza(media) totale irraggiata dal dipolo : P =< de dt >= p2 oω 4 12πɛ o c 3 Carica accelerata : Potenza(media) totale irraggiata (carica q oscillante sinusoid. z = z o sin ωt P =< de dt >= q2 zo 2ω4 12πɛ o c 3 Intensitá irraggiata da carica accelerata nella direzione θ(rispetto all accelerazione): I(θ) = dp dθ = q2 a 2 16π 2 ɛ o c 3 sin2 θ Potenza istantanea irraggiata da una carica accelerata : P = de dt = q2 a 2 6πɛ o c 3 7) Ottica Ottica geometrica Indice di rifrazione : n = ɛ r ; ɛ r = ɛ r (ω) cost. dielettrica velocitá della luce in un mezzo : v = c n cammino ottico : d = i n il i sin θ 1 Leggi di Snell : θ inc = θ rifl ; = n 2 = v 1 sin θ 2 n 1 v 2 angolo limite : sin θ lim = n 2 ; se n 2 <n 1 n 1 angolo di Brewster : tan θ Bre = n 2 n 1 Formule di Fresnel (µ 1 = µ 2 µ o ): ( E rifl ) = n 2 cos θ 1 n 1 cos θ 2 = tan(θ 1 θ 2 ) E inc n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2 tan(θ 1 + θ 2 ) ( E rifl ) = n 1 cos θ 1 n 2 cos θ 2 = sin(θ 1 θ 2 ) E inc n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2 sin(θ 1 + θ 2 ) 2n 1 cos θ 1 ( E tra E inc ) = ( E tra ) = E inc trasmittivitá :t =( E tra ) 2 E inc riflettivitá : 2cosθ 1 sin θ 2 sin(θ 1 + θ 2 )cos(θ 1 θ 2 ) = n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2 2n 1 cos θ 1 = 2cosθ 1 sin θ 2 n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2 sin(θ 1 + θ 2 ) r =( E rifl E inc ) 2 8

9 Caso di incidenza normale di onda non polarizzata: t =( 2 n 1 n 2 ) 2 n 1 + n 2 Interferenza Diffrazione r =( n 1 n 2 n 1 + n 2 ) 2 Formula lenti sottili: 1 p + 1 q = 1 f ; 1 f =(n 1)( 1 r 2 1 r 1 ) Interferenza fra onde piane,sinusoidali, lin. polarizzate: E 1 = A 1 sin[(kz ωt)+φ 1 ] E 2 = A 2 sin[(kz ωt)+φ 2 ] I = I 1 + I 2 +2 I 1 I 2 cos(φ 1 φ 2 ) Due sorgenti coerenti(alla Young) : I = I o cos 2 β β = πd sin θ (d = distanza fra sorgenti) λ N sorgenti coerenti : I = I o [ sin2 (Nδ/2) sin 2 (δ/2) ] δ = 2π d sin θ (b = larghezza fenditura) λ Diffrazione(di Fraunhofer) da fenditura rettangolare : I = I o ( sin2 α ) α 2 α = πb sin θ (b = larghezza fenditura) λ condizione per i minimi ; sin θ = n λ [n 0] b Diffrazione(di Fraunhofer) da foro circolare : I = I o [ 2J 1(2πR sin θ/λ) ] 2 2πR sin θ/λ condizione per il 1 o minimo ; sin θ =1.22 λ 2R Diffrazione(di Fraunhofer) da reticolo di N fenditure : I = I o ( sin2 α )( sin2 Nβ α 2 sin 2 β ) α = πb λ sin θ (b = larghezza fenditura) β = πp λ sin θ (p = distanza fra fenditure) massimi di intensitá ; p sin θ = nλ [ p= passo] Potere dispersivo del reticolo ; dθ dλ = Potere risolutivo del reticolo ; 9 n p cos θ λ λ = nn

10 8) Operatori vettoriali Coordinate cartesiane Elemento di volume : dτ = dx dy dz grad f f = f + f xîx y îy + f z îz div v v = v x x + v y y + v z z rot v v =[ v y z v z y ]î x +[ v z x v x z ]î y +[ v x y v y x ]î z Laplaciano : 2 = 2 x y z 2 Relazioni vettoriali utili a ( b c )= b ( a c ) c ( a b ) rot grad f f =0 div rot v v =0 rot rot v v = ( v ) 2 v rot(f v ) (f v )=f( v ) f v div(f v ) (f v )=f( v )+ f v 10

11 9) Costanti di uso frequente Costante dielettrica del vuoto : ɛ o = F/m Permeabilitá magnetica del vuoto : µ o =4π 10 7 H/m Carica dell elettrone : e = C Massa dell elettrone : m e = kg Rapporto e/m dell elettrone : e/m = C/kg Massa del protone : m p = kg Velocitá delle onde e.m. nel vuoto : c = m/s Impedenza del vuoto : Z o = Ω Costante di Planck : h = J s Magnetone di Bohr : µ B = Am 2 Costante gravitazionale : G = m 3 kg 1 s 2 Numero di Avogadro : N A = mol 1 Costante di Boltzmann : k = JK 1 Costante dei gas : R =8.314 J/(mol K) =1.986 cal/(mol K) Volume di una mole(stp gas ideale) : k = m 3 mol 1 Unitá astronomica : AU = m Raggio(equatoriale)della terra : R = m Massa della terra : M = kg Massa del sole : M = kg 11