Modulo F. Sistemi di comunicazione. Obiettivi. Prerequisiti. Contenuti. Esercitazioni. F1 Comunicazioni in banda base F2 Tecniche di modulazione

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1 Modulo F Sistemi di comunicazione Obiettivi Prerequisiti Contenuti F Comunicazioni in banda base F Tecniche di modulazione Esercitazioni Esercizi di verifica Test di verifica

2 Modulo F Sistemi di comunicazione Obiettivi Al termine di questo modulo gli alunni dovranno:. conoscere gli aspetti principali delle tecniche di codifica DPCM e DM, confrontandole tra loro;. conoscere l architettura di un sistema di trasmissione PAM; 3. conoscere l architettura di un sistema di trasmissione PAM TDM; 4. conoscere il problema dell interferenza intersimbolica e le sue possibili soluzioni; 5. conoscere il concetto di filtro adattato e il suo legame con la probabilità di errore sul bit; 6. saper dimensionare un semplice sistema di trasmissione PAM binario; 7. conoscere il concetto di modulazione analogica; 8. conoscere la rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza di un segnale AM e la struttura di modulatori e demodulatori AM; 9. conoscere le tecniche di modulazione AM DSBSC, SSB e VSB;. conoscere la rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza di un segnale FM nel caso di modulante sinusoidale e la struttura di modulatori e demodulatori FM;. conoscere il concetto di multiplazione a divisione di frequenza FDM;. conoscere il concetto di modulazione digitale; 3. conoscere la struttura fondamentale e i principi di funzionamento di un sistema di modulazione digitale di ampiezza ASK; 4. conoscere la struttura fondamentale e i principi di funzionamento di un sistema di modulazione digitale di fase PSK; 5. conoscere la struttura fondamentale e i principi di funzionamento di un sistema di modulazione digitale di frequenza FSK. Prerequisiti Per una spedita comprensione degli argomenti di questo modulo sono richiesti: la conoscenza del teorema del campionamento; la conoscenza delle tecniche di rappresentazione in frequenza dei segnali e dei sistemi; una conoscenza di base del calcolo differenziale (derivate e integrali elementari).

3 3 Comunicazioni in banda base F In questa unità verrà affrontato il problema della trasmissione in banda base di un segnale digitale. L espressione banda base si riferisce al fatto che il segnale che trasporta la sequenza di bit da trasmettere viene inviato al ricevitore attraverso un canale di tipo passa basso, senza quindi la necessità di traslare lo spettro del segnale stesso in un intervallo di frequenze diverso da quello che possiede in origine. La trattazione è divisa in tre sezioni. Il problema della conversione da analogico a digitale dei segnali informativi, al fine di determinare la sequenza di bit da trasmettere. In particolare verranno presentate tre tecniche fondamentali: PCM, DPCM e Delta Modulation. Il problema della scelta della forma degli impulsi utilizzati per trasmettere sul canale il singolo bit, legato all interferenza che si produce sul canale tra impulsi adiacenti. Il problema della presenza sul canale di rumore, con la conseguente possibilità di equivocare in ricezione i bit trasmessi. F. Tecniche di conversione A/D In una precedente unità di questo volume è stato affrontato lo studio del processo di conversione di un segnale analogico in forma digitale. In particolare è stata presentata una particolare tecnica di conversione nota come PCM (Pulse-Code Modulation). Nel corso di questo paragrafo tale tecnica verrà confrontata con due tecniche alternative particolarmente diffuse nell ambito delle telecomunicazioni: DPCM (Differential PCM) e DM (Delta Modulation). Come si vedrà, queste tecniche tentano di ottimizzare il processo di conversione nella direzione della semplicità circuitale (DM) o della diminuzione del bit rate (DPCM). Da questo punto di vista la tecnica PCM viene spesso utilizzata come termine di riferimento per effettuare confronti, come mostrato schematicamente nella figura F.. Delta Modulation Pulse-Code Modulation Differential Pulse-Code Modulation Bit rate prodotto Complessita' circuitale Figura F. Tecniche di conversione A/D. PCM La tecnica PCM prevede che venga trasmessa in corrispondenza di ogni intervallo di campionamento la codifica binaria del valore di un campione del segnale quantizzato. La codifica può essere effettuata scegliendo diverse tecniche sia per la codifica di sorgente che per quella di canale. In ogni caso vengono trasmessi, opportunamente codificati, i valori di tutti i campioni del segnale quantizzato. Una discussione approfondita della tecnica PCM è di fatto già stata svolta nell unità dedicata alla teoria del campionamento dei segnali analogici, alla quale si rimanda senz altro.

4 4 Modulo F Sistemi di comunicazione DPCM Quando si campiona un segnale informativo ottenuto da una sorgente analogica standard (per esempio un segnale audio o video), i valori di campioni adiacenti del segnale mostrano in genere un alto grado di correlazione tra loro. In altri termini, il valore di un campione è generalmente piuttosto simile al valore del campione che lo precede immediatamente. La correlazione diminuisce progressivamente mano a mano che si considerano campioni sempre più distanti da quello in esame: in generale però è possibile prevedere con una certa confidenza il valore di un campione a partire dai valori di un certo numero di campioni che lo hanno preceduto. Un operazione di questo genere prende il nome di predizione, e viene effettuata da opportuni dispositivi detti filtri predittori. Lo schema di un possibile predittore che utilizza in ingresso il segnale quantizzato è mostrato nella figura F.. Figura F. Schema a blocchi di un predittore lineare. m q (nt C ) M M M P w w w P- w P Σ m(nt C ) I blocchi M i rappresentano delle memorie in grado di memorizzare ciascuna un campione del segnale quantizzato. Dopo ogni periodo di campionamento gli elementi memorizzati scorrono verso destra. In tal modo le P memorie contengono in ogni istante i P campioni quantizzati precedenti a quello attuale. Formalmente si può scrivere che la predizione dell ennesimo campione del segnale, m (nt C ), vale: P ( C ) = k q ( C C ) mnt wm nt kt k = [F.] dove m q (nt C ) indica il segnale quantizzato. Un predittore come quello della figura F. viene detto lineare, perché effettua la predizione di un campione operando una combinazione lineare dei campioni quantizzati a esso precedenti. Il valore P viene detto ordine del predittore. Naturalmente il grado di correlazione tra campioni aumenta all aumentare della frequenza di campionamento, ma si constata come per certe categorie di segnale esso rimanga elevato anche se il campionamento viene effettuato a frequenza appena superiore al limite posto dal teorema del campionamento. Se i campioni di un segnale di questo tipo vengono convertiti in digitale e quindi trasmessi utilizzando una tecnica di tipo PCM, si ottiene un flusso dati dal contenuto informativo ridondante, ovvero contenente bit che potrebbero anche non essere trasmessi senza che questo pregiudichi la possibilità di ricostruire il segnale di partenza. La tecnica di conversione DPCM si propone di eliminare o quanto meno ridurre in modo significativo la ridondanza informativa del segnale codificato, codificando non il valore dei singoli campioni del segnale quantizzato, bensì la differenza tra un campione e la predizione del suo valore ottenuta da un predittore: e(nt C ) = m(nt C ) m (nt C ) [F.] Lo schema di un codificatore DPCM è mostrato nella figura F.3.

5 F Comunicazioni in banda base 5 m(nt C ) e(nt C ) e q (nt C ) Quantizzatore Codificatore DPCM Figura F.3 Codificatore DPCM. Filtro predittore m(nt C ) m q (nt C ) È facile mostrare come per trasmettere il segnale e q (nt C ) si possano utilizzare meno bit di quelli richiesti per la trasmissione del segnale quantizzato m q (nt C ), a parità di massimo errore di quantizzazione. Verificare che un sistema DPCM consente, nel caso di forte correlazione tra i campioni di un segnale PCM, di ridurre il numero di bit utilizzati in codifica a parità di errore di quantizzazione. Si ipotizzi che un segnale campionato m(nt C ) possa assumere valori nell intervallo [V L, V H ]. Se si quantizza il segnale utilizzando 8 = 56 livelli si ottiene una dimensione dei quanti pari a VH VL VH VL S = =, ovvero una dinamica del segnale campionato pari a V H V L = 56 S 8 56 L errore di quantizzazione massimo sarà pari a qe( max) = m( ntc ) mq ( ntc ) = S ( max) I campioni del segnale quantizzato possono quindi essere codificati utilizzando 8 bit per campione. Si ipotizzi ora che la differenza tra due campioni successivi del segnale m(nt C ) possa assumere valori nell intervallo [ S, S], ovvero che risulti Δ m = m((n + )T C ) m(nt C ) S. Se la correlazione tra campioni adiacenti è molto elevata questa ipotesi è senz altro ragionevole, ed è altrettanto ragionevole utilizzare come stima del valore di un campione il valore del campione precedente: m (nt C ) = m((n )T C ) ESEMPIO ovvero un predittore di ordine con coefficiente w = (si veda la [F.]). Se si quantizza il segnale e(nt C ) = m(nt C ) m (nt C ) = m(nt C ) m((n ) T C ) utilizzando = 4 livelli posti a 3 ± S e ± S si ottiene un errore di quantizzazione massimo pari ancora a qe(max) = S, ma questa volta i campioni del segnale quantizzato possono essere codificati utilizzando solo bit per campione, invece che 8. In ricezione il segnale quantizzato di partenza può essere ricostruito, trascurando gli errori introdotti dal canale di trasmissione, a partire dal segnale e q (nt C ) decodificato, come mostrato nella figura F.4. DPCM Decodificatore m q (nt C ) Output Figura F.4 Decodificatore DPCM. e q (nt C ) m(nt C ) Filtro predittore

6 6 Modulo F Sistemi di comunicazione ESEMPIO Figura F.5 Errore di predizione. Predittore di ordine. Esistono diverse tecniche per determinare i coefficienti di un predittore per un sistema DPCM. Queste tecniche si basano sulla conoscenza delle caratteristiche del segnale da convertire e presuppongono, per essere comprese, una conoscenza avanzate delle metodologie proprie della statistica. Per questo motivo non verranno affrontate in questo testo. Qui si propone solo un esempio di come la predizione possa ridurre notevolmente la dinamica del segnale originale. Si consideri un segnale s(t) composto da una sinusoide di frequenza f = 45 Hz, campionata alla f frequenza f C = 5 Hz. Si ha cioè snt ( C ) = sin π. Utilizzando le tecniche opportune è n f C possibile stabilire che i predittori di ordine uno e due che minimizzano l errore di predizione per questo segnale sono i seguenti: s (nt C ) =.8443 s((n )T C ) s (nt C ) =.6853 s((n )T C ).996 s((n ) T C ) La figura F.5 e la figura F.6 mostrano l errore di predizione ottenuto per i diversi campioni del segnale originale utilizzando il predittore di ordine uno e quello di ordine due, rispettivamente. Come si vede, il predittore di ordine uno consente una riduzione della dinamica del segnale, se pur modesta, mentre il predittore di ordine due riesce a effettuare una stima molto accurata. Fanno eccezione il primo e (in misura minore) il secondo campione, che non possono essere stimati in maniera accurata in quanto il predittore non ha due campioni antecedenti da utilizzare per la stima. Figura F.6 Errore di predizione. Predittore di ordine.

7 F Comunicazioni in banda base 7 La valutazione delle prestazioni di un sistema DPCM rispetto a un sistema PCM può essere effettuata utilizzando un particolare parametro di merito, detto guadagno di predizione. Se si considera un segnale campionato da convertire m(nt C ) composto da N campioni, la potenza media del segnale è data dalla relazione P m = N N m ( ntc ) k = La potenza media del segnale DPCM quantizzato e q (nt C ) si può invece esprimere come Pe = N N e q ( ntc ) k = Infine, la potenza media dell errore di quantizzazione introdotto quantizzando il segnale e(nt C ) vale: Pq = N N q e ( ntc ) k = dove ovviamente si ha e(nt C ) = e q (nt C ) + q e (nt C ) Il rapporto segnale-rumore di quantizzazione complessivo di un sistema DPCM ha quindi la seguente espressione: ( SNR) = DPCM ( tot ) P P m q [F.3] mentre il rapporto segnale-rumore di quantizzazione relativo al solo errore di stima ha la seguente: ( SNR) = DPCM ( e) Pe P q [F.4] Si definisce guadagno di predizione del sistema DPCM la quantità: G P ( SNR) ( SNR) DPCM ( tot ) P = = P DPCM ( e) m e [F.5] Essa esprime il guadagno, in termini di rapporto segnale rumore, introdotto dallo schema DPCM rispetto a un sistema PCM. Dal momento che per un dato segnale da trasmettere la potenza media P m è fissata, la massimizzazione di G P richiede la minimizzazione di P e, obiettivo che come si è visto può essere raggiunto utilizzando opportune tecniche di ottimizzazione dei coefficienti del predittore. DM Delta Modulation Il sistema DPCM sfrutta la correlazione tra campioni adiacenti di un segnale per ridurre la dinamica dei valori da trasmettere, riducendo così il numero di bit necessari alla co-

8 8 Modulo F Sistemi di comunicazione difica. Per alcune categorie di segnali questa correlazione è molto forte, anche quando la frequenza di campionamento supera di poco il limite imposto dal teorema di Shannon. In generale però, aumentando la frequenza di campionamento è possibile aumentare il grado di correlazione tra i campioni di un qualsiasi segnale. Al limite, se si utilizza una frequenza di campionamento molto superiore a quella imposta dal teorema del campionamento, diventa possibile ridurre a il numero di bit utilizzato per ciascun campione, utilizzando come stima di ciascun campione il campione immediatamente precedente. Un sistema DPCM di questo genere realizza quella che viene detta Delta Modulation (DM). Si definisce Delta Modulation una tecnica di conversione dei segnali di tipo DPCM che utilizza un quantizzatore a livelli, un codificatore a bit e un predittore di ordine con coefficiente w =. Lo schema di un codificatore DM è mostrato nella figura F.7. Figura F.7 Codificatore DM. m(nt C ) e(nt C ) +δ e q (nt C ) = δ sgn(e(nt C )) δ Codificatore DM Accumulatore T C m(nt C ) = m q ((n-)t C ) m q (nt C ) Il funzionamento del sistema può essere schematizzato come segue. Ciascun campione m(nt C ) del segnale campionato da codificare viene confrontato con il campione precedente quantizzato m q ((n ) T C ). La differenza e(nt C ) tra i due valori viene quindi quantizzata attraverso un dispositivo a livelli che essenzialmente ne discrimina il segno: e q ( nt ) C ( ) δ = + entc > δ ent ( C ) [F.6] Il segnale errore quantizzato può quindi essere codificato utilizzando un codificatore a bit. ( ) eq ntc = + δ DM = eq ( ntc ) = δ [F.7] Il predittore si riduce essenzialmente a un elemento di memoria che introduce nel segnale quantizzato un ritardo pari a T C. In pratica si utilizza come stima m (nt C ) di un campione il valore quantizzato del campione precedente, m q ((n )T C ). La stima

9 F Comunicazioni in banda base 9 risulta tanto migliore quanto più è alta la correlazione tra campioni adiacenti. La correlazione come si è detto può essere aumentata utilizzando una frequenza di campionamento molto superiore al limite imposto dal teorema del campionamento. Il segnale quantizzato m q (nt C ) si ottiene sommando progressivamente i valori del segnale e q (nt C ). Risulta cioè mq ( ntc ) = i n = eq ( itc ). Per questo il blocco di predizione prende il nome complessivo di accumulatore. La figura F.8 mostra l andamento del segnale m q (nt C ), confrontandolo con il segnale campionato m(nt C ). Mostra inoltre l andamento dell uscita del quantizzatore, e q (nt C ), e del segnale DM codificato. m q (nt C ) m(nt C ) δ Figura F.8 Segnali di un sistema DM. T C +δ e q (nt C ) δ t t DM La figura F.9 mostra lo schema del decodificatore, che ricalca quello di un generico sistema DPCM mostrato nella figura F.4. e q (nt C ) Figura F.9 Decodificatore DM. DM Decodificatore m q (nt C ) LPF Output m(nt C ) = m q (nt C ) T C Un filtro passa basso (LPF), eliminando le brusche transizioni di ampiezza δ dal segnale decodificato, permette la ricostruzione del segnale analogico di partenza. Rumore di quantizzazione nei sistemi DM Il rumore di quantizzazione in un sistema DM presenta caratteristiche peculiari che meritano di essere analizzate nel dettaglio. Si faccia riferimento a tal proposito alla figura F.. Dal suo esame si possono trarre le seguenti considerazioni. Il segnale quantizzato m q (nt C ) è in grado di incrementarsi o decrementarsi di una quantità pari a δ ogni T C secondi. Se m(t) è il segnale analogico di partenza, il se-

10 Modulo F Sistemi di comunicazione gnale quantizzato riuscirà a seguire in modo accurato l andamento di m(t) solo se la δ pendenza di m(t) non supera in modulo il valore : δ dm ( t ) T C max [F.8] Se questa condizione non è verificata si assiste a un fenomeno detto slope-overload, per cui il segnale m q (nt C ) mostra una pendenza inferiore a quella del segnale analogico di partenza. La differenza tra m(t) e m q (nt C ) prende il nome di slope-overload noise. Il segnale quantizzato m q (nt C ) non può rimanere costante, come risulta chiaro dalla [F.6] e dalla figura F.. Se il segnale analogico di partenza m(t) e di conseguenza il segnale campionato m(nt C ) assumono un valore costante per un determinato intervallo di tempo, il segnale m q (nt C ) durante lo stesso intervallo continuano a oscillare intorno a tale valore. Questo fenomeno dà origine a una seconda forma di rumore di quantizzazione tipica dei sistemi DM, detta granular noise. dt T C Figura F. Rumore di quantizzazione in un sistema DM. Granular noise δ Slope-overload noise T C È importante osservare come per diminuire l incidenza dello slope-overload sia necessario scegliere un valore di δ sufficiente grande, mentre per ridurre l ampiezza del granular noise sia necessario scegliere un valore di δ sufficientemente piccolo. Occorre naturalmente arrivare a una scelta di compromesso che cerchi di minimizzare nel complesso il rumore di quantizzazione del sistema. ESEMPIO 3 Un segnale sinusoidale di ampiezza A m e frequenza f m = 3 khz viene posto in ingresso a un sistema DM caratterizzato da δ = mv e frequenza di campionamento T C =.5 μs. Determinare il massimo valore che può assumere l ampiezza della sinusoide affinché si eviti il fenomeno di slope overload. Il segnale sinusoidale ha la seguente espressione: m(t) = A m sin(πf m t + ϕ m ) dove è possibile senza perdere in generalità considerare nulla la fase iniziale: ϕ m =. Affinché non si verifichi il fenomeno dello slope overload deve risultare, secondo la [F.8]: Nel caso in esame risulta quindi: dm t dt δ dm ( t ) T C ( ) = max dt ( ) A π f cos π f t m m m

11 F Comunicazioni in banda base e dal momento che si ha cos(πfm t ), si ottiene: per cui la [F.8] assume la seguente forma: ( ) = dm t max Amπ f dt m e quindi, isolando A m : δ T C A m π f m A m 3 δ = π f T π 3.5 m C 3 6 =.4 V Convertitori A/D di tipo Sigma-Delta I principi della Delta Modulation sono alla base di una categoria abbastanza diffusa di convertitori A/D, detti ADC Sigma-Delta (Σ-Δ ADC). Lo schema di un ADC Σ-Δ è mostrato nella figura F.. Kf C f C Figura F. ADC Σ-Δ. Integratore v in Filtro digitale ADC bit Decimatore N bit (f C ) V ref bit (Kf C ) DAC bit -V ref Come si vede, la struttura è quella di una Delta Modulation in cui però l accumulatore (che in estrema sintesi è un circuito integratore) viene posto sulla linea di andata dell ADC anziché su quella di retroazione. L uscita digitale del modulatore viene quindi inviata a un filtro passa-basso digitale (che opera cioè sui valori di un segnale digitale anziché su un segnale analogico) seguito da un decimatore, ovvero un dispositivo che riduce la frequenza di campionamento del sistema di un fattore pari a K, mantenendo solo un campione ogni K di quelli prodotti dal modulatore ed eliminando i restanti. Il filtro digitale produce un uscita a N bit, dove N è la risoluzione dell ADC nel suo complesso. Una trattazione approfondita del funzionamento di un convertitore Σ-Δ esula dagli scopi di questo testo. È possibile tuttavia comprenderne i principi generali a partire dalla figura F.. Un ADC che opera alla frequenza f C introduce nel segnale campionato un rumore di quantizzazione uniformemente distribuito. L integrale del quadrato del modulo dello spettro di tale rumore è pari alla sua potenza media. Risulta cioè: e ( ) P = Q f df = q fc q

12 Modulo F Sistemi di comunicazione q fc e quindi Qe ( f ) = con f. 3 f C Se si sovracampiona il segnale analogico di partenza a una frequenza Kf C, la potenza di rumore di quantizzazione si distribuisce su una banda più ampia e, a parità di potenza media P q, si ottiene uno spettro di rumore Q e ( f ) = K q 3 f C f Kf C f C q con P = Q ( f ) df =. q e Dal momento che il segnale analogico di partenza è stato sovracampionato, è possibile eliminare buona parte del rumore di quantizzazione filtrando con un filtro passa basso numerico tutto il contenuto che cade al di fuori della banda del segnale di partenza. A questo punto si può decimare il segnale ottenuto di un fattore K senza perdita di informazione, in quanto grazie al filtraggio appena effettuato non si introduce aliasing. Figura F. Principio di funzionamento di un ADC Σ-Δ. f C ADC Q e q Kf C f C Q e f C / f ADC LPF DEC LPF Kf C f C Q e f C / Kf C / f ΣΔ LPF DEC LPF f C / Rumore di quantizzazione Kf C / Rumore mantenuto Rumore rimosso f L utilizzo di uno schema Σ-Δ permette di migliorare ulteriormente le prestazioni del sistema. Si consideri a tal proposito la figura F.3. In essa viene presentato un modello equivalente analogico del modulatore Σ-Δ (senza filtro numerico e decimatore). Come si vede il rumore di quantizzazione q e viene inserito nel sistema a valle dell integratore. Figura F.3 Modello equivalente analogico di un modulatore Σ-Δ. Funzione di trasferimento tra v in e v out (traccia blu) e tra q e e v out (traccia nera). db v in /s q e v out ω -

13 F Comunicazioni in banda base 3 È facile dimostrare che risulta: v = + + s v s + s q out in e I diagrammi di Bode del modulo della risposta in frequenza sono mostrati sempre nella figura F.3. Il segnale di ingresso v in subisce un filtraggio passa basso, mentre il rumore di quantizzazione q e un filtraggio passa-alto. Il rumore di quantizzazione viene quindi spostato nella parte superiore dello spettro (questa operazione viene detta noiseshaping) e il successivo filtraggio numerico passa-basso lo elimina quasi completamente dal sistema. I convertitori A/D di tipo Σ-Δ sono dispositivi ad alta precisione e bassa velocità di conversione. Al momento sono i convertitori di precisione più diffusi dopo gli ADC di tipo SAR. Conclusioni Da quanto fin qui detto si possono trarre le seguenti conclusioni. La tecnica DPCM permette di ridurre il bit rate di un sistema di conversione A/D rispetto a un sistema PCM. D altra parte l architettura circuitale del sistema è piuttosto complessa, in particolare per la presenza del predittore. La tecnica DM mostra d altro canto una complessità circuitale molto minore, sia rispetto alla tecnica DPCM che a quella PCM. Il quantizzatore infatti si riduce a un comparatore e il predittore a un elemento di ritardo. Il prezzo da pagare è la necessità di utilizzare frequenze di campionamento molto elevate, il che si traduce in un bit rate decisamente maggiore rispetto a quello che si ottiene con le altre tecniche. F. Trasmissione in banda base di segnali digitali Una volta convertiti in digitale i campioni del segnale da trasmettere utilizzando una delle tecniche sopra descritte, è necessario produrre un segnale che possa veicolare il flusso di bit attraverso il canale nella maniera più efficiente possibile. Di fatto questo segnale è costituito da una serie di impulsi di forma opportuna, la cui ampiezza massima è legata al contenuto informativo che si desidera trasmettere attraverso il canale. Nel seguito di questa unità si descriveranno le problematiche relative alla realizzazione di un sistema di trasmissione in banda base: con questa espressione si intende il fatto che lo spettro del segnale impulsivo da trasmettere non viene traslato a frequenze superiori a quelle che possiede in origine. Nell unità successiva verranno descritte invece le principali tecniche di traslazione dello spettro, che realizzano le cosiddette modulazioni analogiche o numeriche. Per comprendere la struttura generale di un sistema di trasmissione in banda base di segnali digitali si faccia riferimento alla figura F.4. Figura F.4 Schema di un sistema di trasmissione in banda base. Dati binari {b k } Clock Generatore di impulsi Campionamento ( t = nt B ) x(t) Filtro di Canale Filtro di y(t) y(nt ricezione B ) trasmissione H T (f) H C (f) H R (f) Soglia Decisore Dati binari Trasmettitore Canale Ricevitore

14 4 Modulo F Sistemi di comunicazione Il segnale applicato in ingresso al sistema è costituito da una sequenza di bit {b k }, (k =,...,,,,..., + ) che rappresenta il contenuto informativo da trasmettere. La sequenza è definita inoltre da un tempo di durata del bit T b che definisce l intervallo temporale che intercorre tra un valore della sequenza e il successivo. Il segnale digitale {b k } viene applicato a un generatore di impulsi, che produce per ogni bit b k un impulso unitario di forma g(t) e ampiezza A k determinata dal valore di b k. La forma d onda impulsiva complessiva ha la seguente espressione: + ( ) = k ( b ) xt Agt kt k = [F.9] dove g(t kt b ) non è altro che l impulso base g(t) traslato verso destra sull asse temporale di un tempo pari a kt b secondi. L impulso g(t) viene detto unitario perché si ha g() =. Per quanto riguarda le ampiezze A k si pone invece: A k = + a bk = a bk = [F.] Il segnale impulsivo x(t) passa attraverso un filtro di trasmissione avente risposta in frequenza H T (f). L uscita del filtro determina il segnale trasmesso attraverso il canale, che possiede risposta in frequenza H C (f). In ricezione il segnale ricevuto attraverso il canale attraversa un filtro di ricezione H R (f). Se si ipotizza che il sistema non sia affetto da rumore, il segnale y(t) che si ottiene in uscita al filtro di ricezione ha il seguente spettro: Y(f) = X(f) H T (f) H C (f) H R (f) [F.] mentre nel dominio del tempo si può scrivere: + ( ) = μ k ( b ) yt Apt kt [F.] dove μ è un opportuno fattore di scala. L impulso p(t) ha una forma diversa da g(t), ed è sostanzialmente ottenuto dal passaggio degli impulsi g(t) attraverso H T (f), H C (f) e H R (f). Anche per p(t) si ha p() =. Il segnale y(t) viene quindi campionato in maniera sincrona con il segnale x(t). Gli istanti di campionamento sono determinati attraverso un segnale di temporizzazione che viene in genere estratto dall uscita del filtro di ricezione. Infine il segnale campionato y(nt b ) viene confrontato, campione per campione, con un opportuno valore di soglia. Se il valore del campione eccede il valore della soglia si stabilisce che il bit trasmesso aveva valore, diversamente si opta per il valore. In questo modo è possibile ricostruire il segnale informativo digitale di partenza {b k }. Un sistema di comunicazione così strutturato prende il nome di sistema PAM (Pulse Amplitude Modulation), in quanto l informazione viene trasmessa attraverso l ampiezza dell impulso g(t).

15 F.3 Interferenza intersimbolica F Comunicazioni in banda base 5 In questo paragrafo si fa riferimento a quanto illustrato nel paragrafo precedente, mostrando una realizzazione pratica. Si ponga per esempio nella [F.] a = e si utilizzi nella [F.9] un impulso g(t) rettangolare, di durata pari al periodo di campionamento T b : ( ) = g t t = rect Tb t t Tb Tb > [F.3] L andamento della funzione g(t) è mostrato nella figura F.5. Sempre nella figura F.5 è mostrato l andamento dello spettro del modulo dell impulso, normalizzato rispetto alla frequenza di campionamento fb =. Tb Si ponga quindi, nella [F.], H T (f) = H R (f) =. Si ipotizzi infine che il canale di trasmissione abbia una caratteristica di trasferimento di tipo passa-basso, per cui tutte le componenti del segnale x(t) al di sotto di una certa soglia di frequenza giungono inalterate al ricevitore (fatta salva l attenuazione lungo il canale), mentre quelle al di sopra vengono sostanzialmente eliminate. Figura F.5 Impulso rettangolare di durata T b. Andamento nel tempo (grafico a sinistra) e spettro di ampiezza (grafico a destra). La figura F.6 mostra l effetto di un canale di trasmissione di tipo passa-basso su una sequenza di simboli trasmessi attraverso impulsi rettangolari (T b = ms). Nella figura F.6, i valori della sequenza A k sono indicati da pallini neri, mentre la traccia nera rappresenta la sequenza sagomata con impulsi rettangolari. La traccia blu invece mostra il segnale che giunge al ricevitore attraverso il canale a banda limitata. Per comprendere appieno il significato del grafico, si osservi quanto mostrato nella figura F.7. Come si vede, il canale ha l effetto di deformare la forma dell impulso, allargandolo. In questo modo, se si trasmette una sequenza di impulsi ravvicinati tra di loro, il canale li deformerà tutti facendo in modo che si sovrappongano tra loro. Un esempio

16 6 Modulo F Sistemi di comunicazione Figura F.6 Trasmissione di impulsi rettangolari su un canale a banda limitata. Segnale trasmesso (traccia nera) e segnale ricevuto (traccia blu). di questa sovrapposizione è mostrato nella figura F.7. In essa si mostra una sequenza di impulsi rettangolari (tracce nere punteggiate) che rappresentano la sequenza di bit. Gli impulsi vengono deformati dal canale e si allargano sovrapponendosi (tracce blu punteggiate). La traccia blu continua riporta il segnale complessivo ricevuto a valle del canale di trasmissione. Figura F.7 Effetto di un canale di tipo passa-basso su un singolo impulso rettangolare. Quando il ricevitore campiona il segnale che giunge dal canale di trasmissione, il valore campionato è formato dal simbolo trasmesso cui si sovrappongono le code degli impulsi adiacenti. Questo fenomeno prende il nome di Interferenza Intersimbolica (ISI InterSymbol Interference). Da un punto di vista matematico, il segnale y(t) che giunge in ingresso al campionatore del ricevitore ha l espressione riportata nella [F.]. L i-esimo campione ottenuto a valle del campionatore nell istante t i = it b avrà quindi la seguente espressione: + ( i ) μ k ( i b ) μ k (( ) b ) yt = Apt kt = Ap i kt = k = k = + (( ) ) = μa + A p i k T i k = k i k b + [F.4]

17 F Comunicazioni in banda base 7 Figura F.8 Sequenza di impulsi rettangolari (tracce nere), impulsi deformati dal canale (tracce blu punteggiate) e segnale complessivo ricevuto (traccia blu continua). Nell ultimo membro dell [F.4] il termine μ A i rappresenta l i-esimo simbolo trasmesso, mentre la sommatoria rappresenta le code di tutti gli altri simboli, e quindi il termine di interferenza intersimbolica. In assenza di interferenza intersimbolica (e di rumore) tale termine si annulla e risulta y(t i ) = μ A i. Un eccesso di interferenza intersimbolica può portare a errori di ricezione, in quanto il decisore non è in grado di determinare l entità del contributo di interferenza presente in un campione che gli giunge dal campionatore. Diagrammi a occhio Una tecnica empirica che permette di valutare il grado di interferenza intersimbolica presente in un sistema di trasmissione dati è quella dell analisi del cosiddetto diagramma a occhio (eye pattern). Questa tecnica consiste nell utilizzo di un oscilloscopio in modalità XY. Al canale Y viene applicato il segnale che giunge dal canale di trasmissione, mentre al canale X si applica un segnale a dente di sega di frequenza pari al periodo di campionamento T b, sincronizzato con il ricevitore. Il risultato è la visualizzazione sovrapposta dei simboli ricevuti, ed è mostrato nella figura F.9, che fa riferimento alla sequenza della figura F.6. Figura F.9 Diagramma a occhio del segnale della figura F.6.

18 8 Modulo F Sistemi di comunicazione Figura F. Trasmissione di impulsi rettangolari su un canale a banda limitata. Segnale trasmesso (traccia nera) e segnale ricevuto (traccia blu). Per comprendere il significato di questo grafico è bene considerare l aspetto che esso assume nel caso di sistemi poco affetti da interferenza intersimbolica. A questo proposito, la figura F. mostra la stessa sequenza di simboli della figura F.6, trasmessa però su un canale a banda maggiore e quindi meno affetto dal problema dell ISI. Il corrispondente diagramma a occhio è mostrato nella figura F.. Figura F. Diagramma a occhio del segnale della figura F.. La differenza tra la figura F.9 e la figura F. è evidente: nel secondo caso il diagramma assume la forma di un occhio (aperto), mentre occorre una certa dose di fantasia per vedere un occhio nella prima. Si dirà quindi che la figura F. mostra un occhio aperto, mentre la figura F.9 mostra sempre un occhio, ma questa volta chiuso. Soluzione ideale al problema dell interferenza intersimbolica Per risolvere il problema dell interferenza intersimbolica occorre trovare il modo di annullare il termine Σ A k p((i k)t b ) nella [F.4]. Dal momento che nella sommatoria deve essere k i, per annullare tale termine occorre trovare una forma d onda p(t) che si annulli a multipli interi dell intervallo di campionamento: in tal modo infatti si avrà p((i k)t b ) =. i, k: i k. Esistono diverse forme d onda che rispondono allo scopo, ma quella che permette a parità di banda di garantire la massima velocità di trasmissione è rappresentata nella figura F.3. Si tratta di un impulso la cui rappresentazione in frequenza è costituita da un rettangolo:

19 F Comunicazioni in banda base 9 ( ) = P f B f > B f B [F.5] L andamento di P(f), per le sole frequenze positive e normalizzato rispetto a B, è mostrato nella figura F.. Figura F. Spettro dell impulso a seno cardinale. Nel dominio del tempo questo impulso assume la forma cosiddetta di un seno cardinale, e ha la seguente espressione: sin ( π Bt ) = sinc t = π Bt ( ) ( ) pt [F.6] che presenta una discontinuità nell origine, eliminabile ponendo p() =, dal momento che si ha lim p(t) = lim p(t) =. La funzione p(t) si annulla in tutti gli istanti t + t k in cui risulta πb t = kπ, con k =,,3,..., ovvero negli istanti t =. Se dunque si pone: B ( ) T b = B [F.7] sin kπ si ottiene pkt ( b ) = = k >. kπ Se quindi si utilizza un impulso a seno cardinale soddisfacendo la condizione posta nella [F.7], l interferenza intersimbolica si elimina, perché tutte le code dei simboli già ricevuti si annullano in corrispondenza degli istanti di campionamento. La figura F.3 mostra l andamento del seno cardinale normalizzato rispetto a T b, una volta che sia soddisfatta la [F.7]. Come si vede in istanti multipli di T b il segnale si annulla. L [F.7] è chiamata condizione di Nyquist. Essa permette di ottenere la massima velocità di trasmissione (o bit-rate) possibile su un canale a banda limitata senza avere interferenza intersimbolica: R max = = B T B bit s [F.8]

20 Modulo F Sistemi di comunicazione Figura F.3 Seno cardinale normalizzato rispetto a T b nel rispetto della condizione di Nyquist. Infatti in assenza di rumore, se si devono trasmettere impulsi su un canale a banda limitata, è sufficiente scegliere una forma d onda a seno cardinale con B = B per far sì che gli impulsi giungano al ricevitore privi di interferenza. ESEMPIO 4 Si desidera trasmettere una sequenza di bit su un canale passa-basso privo di rumore avente banda passante B = 3 khz. Determinare il massimo bit-rate ottenibile senza interferenza intersimbolica. Scegliendo degli impulsi a seno cardinale aventi B = B = 3 khz è possibile, in base alla condizione di Nyquist e dalla [F.8], ottenere il bit-rate massimo: k R = B = 3 3 = 6 bit max s ESEMPIO 5 Figura F.4 Schema di un sistema PAM TDM. Multiplazione nel dominio del tempo Il teorema del campionamento, se rispettato, consente di trasformare un segnale analogico in una sequenza di campioni senza perdita di informazione (fatta salva la perdita associata alla quantizzazione, che però può essere, almeno in linea teorica, ridotta a piacere, aumentando il numero di bit utilizzati per la codifica). Questo fa sì che, per trasmettere l informazione associata a un segnale analogico, sia sufficiente inviare al ricevitore una sequenza di suoi campioni. ADC n bit n bit DAC ADC n bit n bit DAC modulatore PAM canale demodulatore PAM n bit Timing Timing n bit M ADC DAC M Il canale utilizzato per la trasmissione, di conseguenza, non viene impegnato dal segnale trasmesso per tutta la durata del segnale stesso, ma solo per una frazione di tempo, quella necessaria per inviare a intervalli regolari la codifica binaria dei singoli campioni. Tra un campione e l altro, il canale rimane allora libero e può essere utilizzato per inviare campioni di altri segnali, realizzando quella che viene detta una multiplazione a divisione di tempo (TDM Time Division Multiplexing).

21 F Comunicazioni in banda base Lo schema semplificato di un sistema TDM è mostrato nella figura F.4, mentre la figura F.5 mostra la suddivisione temporale del canale di trasmissione tra i vari segnali da trasmettere. n bit Trama T C Trama o campione segnale o campione segnale T C o campione segnale M o campione segnale o campione segnale o campione segnale M t TC Nella figura F.4, M segnali di ingresso vengono convertiti in parole di n bit. Un selettore invia ciclicamente ciascuna di queste parole a un modulatore PAM, che produce la corrispondente sequenza di impulsi sul canale. In ricezione, il demodulatore estrae l ampiezza degli impulsi ricostruendo le parole di bit trasmesse, che possono così essere riconvertite nei corrispondenti valori analogici. Nella figura F.5 si vede la successione dei campioni dei vari segnali nel tempo: una successione completa di un campione per ciascun segnale prende il nome di trama, e ha durata pari al periodo di campionamento dei segnali, T C. All interno di una trama, ogni campione viene codificato con parole da n bit. Un aspetto fondamentale di un sistema TDM riguarda la banda passante richiesta al canale, che a parità di periodo di campionamento T C e di numero di bit di codifica (n) è maggiore rispetto al caso di trasmissione di un singolo segnale. Infatti, nel caso di segnale singolo risulta: Figura F.5 Multiplazione a divisione di tempo: trama, campioni e bit. T b TC n = = B = n B T C [F.9] mentre nel caso di M segnali multiplati si ottiene: T b TC Mn = = B = Mn B T C [F.] che come si vede è M volte maggiore. Ricavare il numero massimo di segnali, aventi tutti frequenza massima f max = 4 khz e codificati a 8 bit, che si possono multiplare su un canale passa-basso con banda passante B = MHz. ESEMPIO 6 Per poter campionare senza perdita di informazione i segnali di ingresso occorre porre TC f max Naturalmente per poter massimizzare il numero di canali multiplabili si deve scegliere TC =, fmax anche se in fase di realizzazione pratica sarà indispensabile mantenere un margine di sicurezza rispetto al minimo previsto dal teorema del campionamento. A questo punto è possibile ricavare il periodo di bit, che deve essere, secondo la [F.]: T b TC = = Mn f Mn A questo punto, ricordando che per ottenere il massimo bit rate senza interferenza intersimbolica max

22 Modulo F Sistemi di comunicazione occorre porre B = B e Tb =, si può scrivere: B = f Mn B max [F.] da cui si ricava: B M = = = 3.5 = 3 f n max dove ovviamente si è approssimato il valore all intero immediatamente inferiore. 6 Impulsi con spettro a coseno rialzato La soluzione del seno cardinale presenta due gravi inconvenienti. Uno spettro come quello rappresentato nella figura non è fisicamente realizzabile, ed è anche molto difficile da approssimare. La funzione sinc(t) decresce asintoticamente come / t, quindi a un ritmo piuttosto blando. L interferenza intersimbolica si annulla solo se gli istanti di campionamento sono determinati con assoluta precisione. Per ovviare a questi inconvenienti è possibile utilizzare impulsi di forma diversa. In particolare, una soluzione molto valida è rappresentata dagli impulsi con spettro a coseno rialzato. L espressione dello spettro è la seguente: ( ) = P f f fa B f f + cos a fa < f B f 4B B fa f > B f a a [F.] La frequenza f a, oltre la quale lo spettro P(f) non è più costante ma assume l andamento di un coseno rialzato ( + cos(...)) è legata a B attraverso un parametro detto Roll-Off e indicato in genere con la lettera α: a α = f B [F.3] α può assumere valori compresi tra (f a = B, nel qual caso si ottiene nuovamente il seno cardinale) e (f a = ). È importante notare che per qualsiasi valore di α lo spettro del segnale si estende oltre B, arrivando ad annullarsi solo per f = B f a > B. Gli impulsi a coseno rialzato occupano quindi più banda rispetto a un seno cardinale. La figura F.6 mostra la forma spettrale, per le sole frequenze positive, degli impulsi a coseno rialzato per diversi valori di α, normalizzata rispetto a B. La tabella F. riporta la legenda della figura F.6. È possibile verificare graficamente come le curve soddisfino la [F.3].

23 F Comunicazioni in banda base 3 Figura F.6 Spettro di ampiezza di impulsi a coseno rialzato per diversi valori di Roll-Off. La figura F.7 mostra invece l andamento nel tempo degli impulsi corrispondenti agli spettri della figura F.6, normalizzato rispetto a T b. La legenda da utilizzare è sempre quella riportata nella tabella F.. Figura F.7 Andamento nel tempo degli impulsi con spettro a coseno rialzato. Colore Valore di α Nero Marrone.5 Blu scuro.5 Rosso.75 Blu Tabella F. Legenda della figura F.6. Da un analisi qualitativa della forma degli impulsi a coseno rialzato emerge chiaramente il principale pregio che essi presentano rispetto al seno cardinale. Le code di questi impulsi sono più smorzate rispetto al seno cardinale, e questo fa sì che anche in presenza di imprecisioni nel campionamento da parte del ricevitore, l interferenza intersimbolica si mantenga estremamente limitata. Inoltre, impulsi di questo genere sono facilmente realizzabili, dal momento che non presentano quella brusca transizione nello spettro in corrispondenza di B che invece si riscontra nell impulso a seno cardinale. D altra parte, a parità di bit rate R =, gli impulsi a coseno rialzato utilizzano una T b banda maggiore sul canale: B a = B f a = ( + α)b [F.4] e quindi a parità di banda disponibile permettono una velocità di trasmissione minore rispetto a quanto espresso dalla condizione di Nyquist.

24 4 Modulo F Sistemi di comunicazione La figura F.8 mostra le forme d onda che si ottengono quando si trasmette la sequenza di bit, utilizzando impulsi a seno cardinale oppure impulsi a coseno rialzato con Roll-Off α =. Come si vede, negli istanti di campionamento t k = kt b l interferenza intersimbolica è sempre nulla (il valore delle forme d onda è sempre pari a o a ). Nell intorno di tali istanti, invece, gli impulsi a coseno rialzato si discostano meno dal valore del campione rispetto al seno cardinale, garantendo così una maggiore robustezza rispetto agli errori di temporizzazione del campionamento in ricezione. Figura F.8 Sequenza di bit trasmessa con impulsi a coseno rialzato (grafici in alto), e con seni cardinali (grafici in basso). A destra si vedono i singoli impulsi, mentre a sinistra il segnale complessivo. L asse dei tempi è normalizzato rispetto a T b. ESEMPIO 7 Determinare la banda passante che dovrebbe avere il canale per multiplare gli stessi 3 segnali dell esempio 6 utilizzando impulsi a coseno rialzato con α =.4. Il valore di TC =, è lo stesso del caso precedente, mentre gli impulsi utilizzati per fmax trasmettere il singolo bit occuperanno una banda pari a B = ( + α)b, per cui la [F.] diventa: da cui si ricava: = + α f Mn B max B = f max Mn( + α) = ( +.4).39 MHz F.4 Rumore e probabilità di errore Per condurre l analisi fin qui svolta si è ipotizzato che i sistemi di trasmissione fossero esenti da rumore. Si tratta ovviamente di un ipotesi irrealistica. In effetti la presenza di rumore sul canale influenza in maniera decisiva le prestazioni del ricevitore, in quanto altera l ampiezza dei segnali ricevuti in maniera casuale e può portare il decisore a equivocare il valore di un bit ricevuto.

25 F Comunicazioni in banda base 5 In questo paragrafo si studierà l effetto del rumore sulla trasmissione in banda base di segnali digitali, affrontando due questioni fondamentali. Che caratteristiche deve avere il filtro in ricezione H R (f) (si veda la figura F.4) per minimizzare l effetto del rumore sulla decisione del simbolo trasmesso, e quindi per minimizzare la probabilità di errore in ricezione, definita come: P e = lim br b b e r [F.5] dove b r è il numero di bit ricevuti e b e il numero di bit errati in fase di decisione. Quanto vale la probabilità di errore P e di un sistema PAM date le caratteristiche degli impulsi utilizzati in trasmissione e del rumore presente sul canale. Il filtro adattato Il problema del ricevitore in un sistema di comunicazione digitale può essere così definito: Problema della ricezione di un segnale digitale Individuare la presenza di un impulso trasmesso su un canale affetto da rumore additivo. Naturalmente occorre tenere conto anche delle fonti di rumore presenti negli apparati elettronici che compongono il ricevitore stesso, ma nel nostro contesto è possibile ipotizzare che la principale fonte di rumore sia il canale. Si ipotizzerà inoltre che il rumore sia un rumore bianco. Se si considera il modello di ricevitore mostrato nella figura F.9, che riprende quanto mostrato nella figura F.4, è possibile esprimere il segnale in ingresso al filtro di ricezione come somma di un impulso g(t), di cui si conosce la forma, e di un rumore bianco w(t): x(t) = g(t) + w(t) t T dove T è un intervallo di osservazione arbitrario. T b g(t) x(t) y(t) y(t b ) H R (f) h R (t) Figura F.9 Schema di un ricevitore PAM (senza decisore). w(t) Affinché sia possibile individuare il ricevitore ottimale è necessario caratterizzare il rumore attraverso la sua densità spettrale di potenza, S N (f), che descrive la distribuzione della potenza di rumore alle varie frequenze su cui il rumore insiste. Per un rumore bianco si ha costante a tutte le frequenze. ( ) ( ) S f = W f = N N Questa espressione per la densità spettrale di rumore si riferisce alla trasformata di Fourier bilatera, che include cioè anche le frequenze negative. Qualora si utilizzi una notazione monolatera, si scrive invece S N (f) = N.

26 6 Modulo F Sistemi di comunicazione Il segnale prodotto dal filtro di ricezione, nell ipotesi che tale filtro sia un sistema lineare e tempo invariante, ha la seguente espressione: y(t) = g o (t) + n(t) t T dove g o (t) è il contributo all uscita del filtro dovuto a g(t), mentre n(t) è quello dovuto a w(t). Rapporto segnale rumore di picco Per ottimizzare il processo di ricezione si cercherà di progettare un filtro che massimizzi il cosiddetto rapporto segnale rumore di picco dell impulso trasmesso, definito come segue: ( ) η = g o T P N [F.6] dove P N è la potenza media del rumore n(t), mentre g o (T) è la potenza istantanea dell impulso g o (t) prodotto dal filtro di ricezione, misurata all istante del campionamento. È possibile allora dimostrare il seguente fondamentale risultato. La dimostrazione, se pur non complessa, va al di là degli scopi di questo testo, e verrà quindi omessa. Teorema Il massimo valore per il rapporto segnale rumore di picco è, nel caso di rumore bianco: η = E max N g [F.7] dove E g è l energia dell impulso g(t) utilizzato in trasmissione: ( ) ( ) E = g t dt = G f df g [F.8] Il valore η max si ottiene a condizione che la risposta all impulso del filtro in ricezione abbia la seguente espressione: h R (t) = kg(t t) [F.9] dove k è una costante arbitraria. Il filtro h R (t) viene detto filtro adattato, e rappresenta la scelta ottimale per minimizzare la probabilità di errore in ricezione in un sistema PAM. Si noti come la forma della risposta impulsiva del filtro adattato, a parte il fattore di scala k, è quella dell impulso utilizzato in trasmissione, g(t), ribaltato rispetto all asse dei tempi, g( t), e quindi traslato verso destra di un tempo pari a T. Si noti infine come in un sistema PAM sia ovvio porre T = T b. ESEMPIO 8 Filtro adattato per impulsi rettangolari Nel caso semplice di impulsi rettangolari di ampiezza A (che pure non sono generalmente utilizzati in quanto affetti come si è visto da interferenza intersimbolica), la forma del filtro adattato, h R (t), coincide, a meno del fattore di scala k, con quella dell impulso stesso, g(t). Questo risultato è mostrato nella figura F.3, in cui si è posto per comodità k =. Determinare la forma d onda g o (t) e il valore g o (T b ).

27 F Comunicazioni in banda base 7 g(t) g(-t) T b t Figura F.3 Forma del filtro adattato in un sistema PAM a impulsi rettangolari. -T b g(t b -t)=g(t) t T b t La funzione g o (t) rappresenta il contributo all uscita del filtro adattato dovuto all impulso g(t) utilizzato in trasmissione. Si trascura quindi nel calcolo di g o (t) la presenza di rumore sul canale. Per il calcolo dell uscita del filtro adattato si può ragionare come segue. Nel dominio del tempo l uscita di un filtro si ottiene svolgendo il cosiddetto integrale di convoluzione tra il segnale di ingresso e la risposta all impulso del filtro: ( ) ( ) ( ) yt = xτ ht τ dτ [F.3] Nel nostro caso (h R (t) = g(t)) possiamo dunque scrivere: ( ) ( ) ( ) go t = g τ g t τ dτ Si tratta dunque di determinare l integrale del prodotto di due rettangoli di ampiezza A: uno dei due rettangoli, g(τ) rimane fisso sull asse di integrazione τ, mentre il secondo, g(t τ), dopo essere stato ribaltato rispetto all asse delle ordinate, viene traslato in una quantità pari a t. Si consideri quindi la figura F.3. t< g(t-τ) t A g(τ) T b τ Figura F.3 Calcolo dell integrale di convoluzione del filtro adattato. g(t-τ) A g(τ) <=t<t b t T b τ g(τ) A g(t-τ) T b <=t<t b t T b τ A g(τ) g(t-τ) t>t b t Tb Tb τ

28 8 Modulo F Sistemi di comunicazione Per t < i due rettangoli g(τ) e g(t τ) non si sovrappongono, e quindi il loro prodotto è nullo su tutto l asse τ. Di conseguenza sarà nullo l integrale di convoluzione. Per t < T b i due rettangoli si sovrappongono per una porzione di asse pari proprio a t. In tale porzione di asse il prodotto dei due rettangoli vale A. Ne consegue che risulta: ( ) = = t g t Adτ A o t e quindi g o (T b ) = A T b. Per T b t < T b i due rettangoli si sovrappongono per una porzione di asse che va da t T b a T b, di ampiezza pari a T b t. Si ottiene dunque: Tb ( ) = τ = ( b ) g t A d A T t o t Tb Per t T b i rettangoli non si sovrappongono più e l integrale di convoluzione torna a essere nullo. Quanto appena illustrato è riassunto nella tabella F.. La rappresentazione grafica del segnale g o (t) è invece riportata nella figura F.3. Figura F.3 Uscita del filtro adattato. A T b g o (t) T b T b t Tabella F. Uscita del filtro adattato. Intervallo temporale Uscita del filtro adottato t < t < T b A t T b t < T b A (T b t) t T b Da un punto di vista pratico l uscita del filtro adattato presenta il difetto di avere risposta diversa da anche nel tratto che va da T b a T b. Questa coda di g (t) si sovrapporrebbe all impulso successivo. Nel caso di impulsi rettangolari è possibile utilizzare un particolare circuito detto Integrate and Dump, il cui schema è riportato nella figura F.33. Il circuito si comporta come un integratore (e quindi come il filtro adattato, a meno di un trascurabile fattore di scala) nell intervallo di tempo che va da a T b, con il condensatore C che si carica linearmente attraverso il diodo D. Subito dopo il campionamento del segnale g (t), che avviene all istante T b, il transistor Q scarica il condensatore C riportando l uscita del filtro adattato a zero. Figura F.33 Circuito Integrate and Dump. x(t) D R + OA y(t) carica C Q R Q Dump scarica

29 F Comunicazioni in banda base 9 Probabilità di errore nei sistemi PAM Per concludere l analisi di un sistema PAM occorre ora determinare una relazione che ci permetta di ricavare la probabilità di errore sul singolo bit, una volta che si sia scelta la forma degli impulsi e che siano note le caratteristiche del rumore sul canale. Si dà naturalmente per scontato che si utilizzi un filtro adattato in ricezione, in modo da massimizzare il rapporto segnale rumore di picco del sistema. Il calcolo della probabilità di errore implica l utilizzo di strumenti statistici che non sono immediatamente alla portata del pubblico cui è prevalentemente rivolto questo testo. Si è dunque ritenuto opportuno illustrare i risultati principali dell analisi relativi all utilizzo di impulsi rettangolari omettendo di dimostrarli. Si tratta in ogni caso di dimostrazioni facilmente reperibili su qualsiasi testo di comunicazioni digitali. In ricezione, per un sistema PAM binario, è possibile utilizzare un decisore a soglia, come quello riportato nello schema della figura F.34. Il decisore confronta l uscita campionata del filtro adattato con un valore di riferimento λ e, se risulta y(t b ) > λ opta per la ricezione di un bit, mentre se risulta y(t b ) < λ opta per la ricezione di un bit. Si noti come nel caso risulti esattamente y(t b ) = λ sia possibile decidere di optare indifferentemente per il bit o per il bit senza modificare la probabilità di errore media del sistema. w(t) x(t) T b dt T b y(t) y(t b ) Decisore λ / Figura F.34 Decisore a soglia per un ricevitore PAM binario a impulsi rettangolari. Una volta che siano note le probabilità a priori che sia stato trasmesso un bit, p, o che sia stato trasmesso un bit, p, è possibile determinare il valore ottimale per la soglia λ, λ opt : λ ( t ) = opt N 4AT log p p Nel caso in cui i bit e siano equiprobabili si ha λ opt = b p = p = e si ottiene: [F.3] Si definiscono probabilità di errore condizionate le quantità p e p che indicano rispettivamente la probabilità che il decisore opti per la trasmissione di un bit dato che sia stato trasmesso un bit e, viceversa, che che il decisore opti per un bit dato che sia stato trasmesso un bit. L espressione generale per la probabilità di errore media vale allora: P e = p p + p p [F.3] Se le probabilità a priori p e p sono uguali, si può dimostrare che lo sono anche le probabilità di errore condizionate p e p. In tal caso il canale si dice simmetrico binario e si può determinare un limite superiore per la probabilità di errore complessiva media: Eb η N e e Pe < = Eb πη π N [F.33]

30 3 Modulo F Sistemi di comunicazione La probabilità di errore massima dipende quindi solamente dal rapporto segnale rumore di picco η. Il grafico della [F.33] è riportato nella figura F.35, dove il rapporto segnale rumore di picco è espresso in db (log (η)). Si può notare come all aumentare anche di pochi db del valore di η la massima probabilità di errore diminuisca in maniera molto rapida. Figura F.35 Probabilità di errore massimo in funzione di η. ESEMPIO 9 Determinare l ampiezza A che devono avere degli impulsi rettangolari di durata T b =.5 μs trasmessi su un canale affetto da rumore bianco con densità spettrale di potenza S μw affinché per la probabilità di errore si abbia P e < 9 N ( f ) =. Hz Da un analisi grafica della figura F.35 si evince che affinché risulti P e < 9 si deve avere η > 5.5 db. In scala lineare si ottiene quindi: μw = è possibile ricavare il valore di energia del singolo im- Hz N Dal valore di η, essendo pulso: E b 5.5 η > N = η > = μj Gli impulsi utilizzati sono rettangolari di ampiezza A, quindi la loro energia vale: relazione da cui si ricava E b = A T b Tb A > = E b V ESEMPIO Si ponga, nel sistema dell esempio 8, A =. V. Determinare il valore ottimale per la soglia del decisore posto che si abbia p = p =. 3 e 3

31 F Comunicazioni in banda base 3 Dalla [F.3] si ottiene: 6 λ opt =..5 log V F.5 Conclusioni In questa unità si sono affrontati i principali problemi relativi alla realizzazione di un sistema di trasmissione in banda base di un segnale digitale. In particolare sono stati approfonditi tre aspetti significativi. Il problema della conversione del segnale analogico di partenza in una sequenza di bit. Le tre tecniche presentate, PCM, DPCM e Delta Modulation, permettono di prediligere la semplicità circuitale (massima nel caso della DM) oppure la riduzione del bit-rate prodotto (minimo nel caso di sistemi DPCM). Il problema della scelta della forma degli impulsi da utilizzare per trasmettere i bit ottenuti attraverso la tecnica di conversione scelta. In particolare si è visto come è possibile utilizzare impulsi dalla forma particolare che riducano al minimo il problema dell interferenza intersimbolica tra bit adiacenti. Il problema della presenza di rumore sul canale, che porta inevitabilmente il decisore a commettere degli errori in ricezione. L utilizzo di un filtro adattato in ricezione minimizza la probabilità di errore, che dipende solo dal rapporto tra l uscita del filtro adattato, campionata a ogni periodo di bit, e dalla densità spettrale di potenza del rumore bianco presente sul canale. Naturalmente, anche se l analisi è stata condotta prendendo in esame i tre aspetti separatamente, i sistemi di tramissione reali devono risolvere tutti e tre i problemi contemporaneamente. Questo porta alla necessità di trovare il giusto compromesso tra tutti i vincoli progettuali, globalmente considerati. In particolare, i canali normalmente utilizzati nei sistemi PAM ricadono in genere in uno dei seguenti casi. L interferenza intersimbolica è trascurabile rispetto al rumore additivo presente sul canale. In questo caso occorre utilizzare un filtro adattato per massimizzare il rapporto segnale rumore di picco. Il rapporto segnale rumore di picco è elevato, per cui la probabilità di errore è sufficientemente piccola anche senza l utilizzo di un filtro adattato. In questo caso ci si concentra sul contenimento dell interferenza intersimbolica, ricorrendo a impulsi a coseno rialzato oppure a tecniche più sofisticate (che non sono state trattate in questo testo) che permettono di immettere nel sistema una certa dose di interferenza intersimbolica in maniera controllata. Il rumore sul canale e l interferenza intersimbolica sono entrambi rilevanti. In questo caso occorre minimizzare l effetto complessivo di rumore e ISI. In genere questo si ottiene utilizzando in ricezione il collegamento in cascata di un filtro adattato e di un filtro equalizzatore. L analisi e le tecniche di progettazione del filtro equalizzatore non sono state affrontate, in quanto richiedono la conoscenza di strumenti statistici di tipo avanzato. Infine, occorre tenere conto del fatto che le caratteristiche dei canali di trasmissione reali sono in genere tempo-varianti. Questo fa sì che un ricevitore progettato per essere ottimale per un canale con determinate caratteristiche si riveli invece inadeguato di fronte alla variazione nel tempo di tali caratteristiche. Per ovviare a questo problema è possibile progettare dei ricevitori adattativi, in grado cioè di variare i propri parametri al variare delle caratteristiche del canale di trasmissione. Anche in questo caso si è omessa l analisi di tali dispositivi, in quanto esula dagli scopi di questo testo.

32 3 Esercitazioni Esercizi di verifica Esercizio Modulo F Sistemi di comunicazione A un sistema DM viene applicato un segnale a rampa m(t) = at. Il sistema è caratterizzato da frequenza di campionamento f C = MHz e ampiezza del quanto δ = 4 mv. Determinare il massimo valore che può assumere il parametro a senza che si verifichi slope overload. [Risultati: a max = 4 3 ] Esercizio Si consideri un segnale telefonico, con frequenza massima f t,max = 3.4 khz e ampiezza massima A t,max = V. Tale segnale viene inviato in ingresso a un sistema DM caratterizzato da frequenza di campionamento f C = 4 khz. Si determini un possibile valore di δ appropriato per il sistema. (Suggerimento: per la determinazione dello slope overload si ricordi che un segnale è scomponibile nella somma di sinusoidi. A questo punto si veda l esempio 3, cercando però di tenere conto anche del granular noise) Esercizio 3 Si desidera trasmettere una sequenza di bit su un canale passa-basso privo di rumore avente banda passante B = 4 khz. Determinare il massimo bit-rate ottenibile senza interferenza intersimbolica. [Risultati: R max = 8 kbit ] s Esercizio 4 Un sistema di trasmissione in banda base di tipo PAM binario utilizza impulsi a coseno rialzato con α =.3. Determinare la massima velocità di trasmissione su un canale avente banda passante B ch = 7 khz. Esercizio 5 [Risultati: R max =.77 Mb ] s Un sistema PAM binario e simmetrico utilizza in trasmissione un canale avente banda passante B ch =.5 MHz. Determinare il massimo Roll-Off α accettabile affinché la velocità di trasmissione risulti maggiore di R min = Mb. s [Risultati: α max =.5] Esercizio 6 Ricavare il numero massimo di segnali, aventi tutti frequenza massima f max = khz e codificati a bit, che si possono multiplare su un canale passa-basso con banda passante B =.5 MHz. [Risultati: n = 3] Esercizio 7 Determinare la banda passante che dovrebbe avere il canale dell esercizio 6 per multiplare gli stessi 3 segnali utilizzando impulsi a coseno rialzato con α =.4. [Risultati: B ch =.68 MHZ]

33 F Comunicazioni in banda base 33 Esercizio 8 Si consideri l impulso g(t) mostrato nella figura F.36. Determinare la risposta all impulso del corrispondente filtro adattato, h r (t), disegnandola. Determinare inoltre l andamento dell uscita del filtro, ipotizzando di utilizzare un integratore di tipo integrate and dump, disegnandola. Calcolare infine il valore di picco dell uscita del filtro, g o (T b ). Figura F.36 Esercizio 8. A/ -A/ g(t) T b / T b t ( ( ) = ( ) hr t g t ; A T g ( t) = t per t b A o g ( t) = 4, 4 3 per T b t Tb, go ( t ) = altrove; A go ( Tb ) = T b ) 4 ( t T ) b Esercitazioni Esercizio 9 Si considerino gli impulsi g (t) e g (t) rappresentati nella figura F.37. Determinare la risposta all impulso dei corrispondenti filtri adattati, h r (t) e h r (t), disegnandole. Calcolare il valore di picco dell uscita del filtro h r (t), g o (T b ), quando a tale filtro si applica l impulso g (t) e quando si applica l impulso g (t). Calcolare il valore di picco dell uscita del filtro h r (t), g o (t), quando a tale filtro si applica l impulso g (t) e quando si applica l impulso g (t). g (t) g (t) A/ T b / A/ T b /4 (3/4)T b -A/ T b t -A/ T b t ( ( ) = ( ) ( ) = ( ) h t g t, h t g t ; r r Figura F.37 Esercizio 9. g A ( ) = T, g T = ; 4 g ( t) ( T ) ( ) o b g t b b A go ( Tb ) g ( ) =, g ( T ) = T ) t o b b g ( t) 4 Esercizio Un sistema di trasmissione PAM binario utilizza un canale affetto da un rumore bianco avente densità spettrale di potenza S N N ( f ) = =.4 mw Hz, e trasmette su di esso impulsi rettangolari equiprobabili. Ipotizzando che la determinare l ampiezza mi- probabilità di errore debba risultare P e < 7 e la velocità di trasmissione nima A min che devono avere gli impulsi. R = kb 4 s [Risultati: A min = 6,7 V]

34 34 Modulo F Sistemi di comunicazione Esercitazioni Esercizio Un sistema di trasmissione PAM binario deve trasmettere su un canale affetto da rumore una sequenza di bit al Mb ritmo di R =.. Posto che gli impulsi devono essere rettangolari di ampiezza A = 5 V e che i bit e sono s equiprobabili, determinare la massima densità spettrale di rumore tollerabile sul canale affinchè la probabilità di errore risulti inferiore a P e(max) = 9. ( f ) = μw. Hz Esercizio Si desidera progettare un sistema di trasmissione PAM binario simmetrico a divisione di tempo (TDM) per la trasmissione di 4 canali telefonici campionati alla frequenza T C = 8 khz e codificati a 8 bit. Il canale di trasmissione è affetto da rumore bianco con densità spettrale di potenza SN ( f ) = =.4. Determinare il valore N μw Hz minimo per l ampiezza degli impulsi, ipotizzati rettangolari, per avere P e(max) = 8. Determinare inoltre la banda passante che il canale deve possedere se si decide di utilizzare, al posto di quelli rettangolari, impulsi a coseno rialzato con Roll-Off α =.8. [Risultati: A min = 4; B ch =.38 MHz] S N N Esercizio 3 Un sistema di trasmissione PAM binario non simmetrico trasmette R = kb s utilizzando impulsi rettangolari di energia E g = 9 μj su un canale affetto da rumore bianco nella misura di che venga trasmesso un bit è pari a p =.35. Determinare il valore ottimale per la soglia del decisore. S N N ( f ) = = μw.. La probabilità Hz [Risultati: λ opt =.54 V] Test di verifica Quesiti a risposta aperta. Disegnare lo schema di un predittore di ordine per codifica DPCM, scrivendone la relazione ingresso uscita.. Disegnare lo schema di un codificatore DPCM, commentandolo opportunamente. 3. Disegnare lo schema di un decodificatore DPCM, commentandolo opportunamente. 4. Ricavare l espressione del rapporto segnale-rumore di quantizzazione complessivo per un sistema DPCM. 5. Definire il guadagno di predizione di un sistema DPCM. 6. Disegnare lo schema di un codificatore DM, mostrando come non sia altro che un caso limite di codifica DPCM.

35 7. Disegnare lo schema di un decodificatore DM, commentandolo opportunamente. F Comunicazioni in banda base Descrivere i tipi di rumore caratteristici di un sistema DM, slope overload noise e granular noise. 9. Ricavare la condizioni di assenza di slope overload noise per un sistema DM.. Disegnare lo schema e descrivere il principio di funzionamento di un ADC di tipo Sigma-Delta.. Disegnare lo schema di un sistema di trasmissione in banda base, commentandolo opportunamente e scrivendo la sua funzione di trasferimento.. Definire il problema dell interferenza intersimbolica, ricavandone l espressione per un sistema di trasmissione che utilizzi impulsi rettangolari. 3. Spiegare come si possono utilizzare i diagrammi a occhio per valutare graficamente il grado di interferenza intersimbolica presente in un sistema di trasmissione. Esercitazioni 4. Disegnare i grafici nei tempi e nelle frequenze di un impulso a seno cardinale, mostrando come esso rappresenti la soluzione a banda minima per il problema dell interferenza intersimbolica. 5. Scrivere la condizione di Nyquist per la trasmissione binaria senza interferenza intersimbolica, commentandola opportunamente. 6. Per quale motivo l utilizzo di impulsi a seno cardinale non costituisce una soluzione pratica al problema dell interferenza intersimbolica? 7. Tracciare i grafici nei tempi e nelle frequenze di un impulso con spettro a coseno rialzato, commentandoli opportunamente 8. Illustrare pregi e difetti degli impulsi con spettro a coseno rialzato rispetto agli impulsi a seno cardinale. 9. Disegnare lo schema di un sistema PAM TDM, ricavandone l occupazione di banda rispetto a un sistema a canale non multiplato.. Definire il rapporto segnale rumore di picco per un sistema PAM binario.. Enunciare il teorema del filtro adattato.. Disegnare lo schema di un circuito integrate and dump, mostrando come esso rappresenti una soluzione pratica per realizzare un filtro adatto a impulsi rettangolari. 3. Scrivere l espressione della massima probabilità di errore in un sistema PAM binario simmetrico, disegnandone l andamento approssimativo. 4. Scrivere l espressione della soglia ottimale di decisione per un sistema PAM binario. Quesiti a scelta multipla Scegliere la risposta corretta tra quelle proposte.. La codifica DPCM, rispetto a quella PCM: a permette di aumentare il numero di bit utilizzabili in codifica a parità di errore di quantizzazione; b permette di diminuire l errore di quantizzazione a patto di aumentare il numero di bit utilizzati in codifica; c permette di diminuire i bit utilizzati in codifica mantenendo costante l errore di quantizzazione; d permette di diminuire sia il numero di bit utilizzati in codifica che il rumore di quantizzazione.

36 36 Modulo F Sistemi di comunicazione Esercitazioni. La codifica DM: a è una codifica DPCM a bit che utilizza un predittore di ordine ; b è una codifica DPCM con una frequenza di campionamento ridotta; c è una codifica PCM con una frequenza di campionamento elevata; d nessuna delle precedenti. 3. Il valore δ di un sistema DM: a deve essere il più elevato possibile per ridurre il granular noise; b deve essere il più ridotto possibile per ridurre lo slope overload; c deve essere estremamente piccolo se confrontato con l ampiezza massima del segnale da convertire; d nessuna delle precedenti. 4. Un ADC di tipo Sigma-Delta: a permette di effettuare conversioni ad alta velocità, anche se a bassa precisione; b permette di rimuovere buona parte del rumore di quantizzazione dallo spettro del segnale campionato; c permette di ridurre il rumore di quantizzazione solo a patto di aumentare di molto la frequenza di campionamento complessiva del sistema; d utilizza un filtro passivo RC per ridurre il numero di campioni posti in uscita. 5. L interferenza intersimbolica: a aumenta in genere all aumentare della banda passante del canale, se non si usano impulsi rettangolari; b può essere completamente eliminata da un sistema utilizzando una tecnica di codifica DPCM; c diminuisce in genere all aumentare della banda passante; d non si presenta se si utilizzano impulsi rettangolari. 6. L utilizzo di impulsi con spettro a coseno rialzato: a permette di ridurre l interferenza intersimbolica e di diminuire la banda occupata sul canale; b permette di diminuire la banda occupata sul canale a patto di aumentare l interferenza intersimbolica; c permette di ridurre l interferenza intersimbolica a patto di aumentare la banda occupata sul canale o di ridurre la velocità di trasmissione; d nessuna delle precedenti. bit 7. La multiplazione a divisione di tempo di M canali che trasmettono R utilizzando una banda B: s a permette di trasmettere a velocità MR utilizzando sul canale una banda pari a B; b B permette di trasmettere a velocità R utilizzando sul canale una banda pari a ; M c permette di trasmettere a velocità R utilizzando sul canale una banda pari a MB; d permette di trasmettere a velocità MR utilizzando sul canale una banda pari a MB.

37 F Comunicazioni in banda base Il filtro adattato: a minimizza la probabilità di errore di un sistema PAM solo se utilizzano impulsi rettangolari; b massimizza il rapporto segnale rumore di picco del ricevitore negli istanti di campionamento; c massimizza il rapporto segnale rumore di picco del ricevitore solo nel caso di utilizzo di impulsi a coseno rialzato; d nessuna delle precedenti. 9. La probabilità di errore in un sistema PAM: a diminuisce, a parità di rumore, all aumentare dell energia dell impulso utilizzato; b diminuisce, a parità di rumore, all aumentare dell interferenza intersimbolica sul canale; c aumenta, a parità di energia dell impulso utilizzato, al diminuire dell interferenza intersimbolica; d aumenta, a parità di energia dell impulso utilizzato, al diminuire della densità spettrale di rumore sul canale. Esercitazioni. In un sistema PAM simmetrico binario: a la probabilità di errore è minore, a parità di condizioni, rispetto a un sistema asimmetrico; b la probabilità di errore è identica, a parità di condizioni, rispetto a un sistema asimmetrico; c la soglia di decisione ottima λ opt è sempre pari a ; d nessuna delle precedenti.