Logica fuzzy. Fabio Aurelio D Asaro

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1 Logica fuzzy Fabio Aurelio D Asaro

2 formal logic... is one of the technically most refractory parts of mathematics. The reason for this is that it deals with rigid, all-or-none concepts, and has very little contact with the continuous concept of the real or of complex number, that is, with mathematical analysis. Yet analysis is the technically most successful and best-elaborated part of mathematics. Thus formal logic is, by the nature of its approach, cut off from the best cultivated portions of mathematics, and forced onto the most difficult part of the mathematical terrain, into combinatorics. Dall articolo di John von Neumann: The General and Logic Theory of Automata

3 In logica classica... Ogni enunciato ben formato è vero (1) o falso (0) e soddisfa il ben noto principio di non contraddizione: (A A) Altrimenti, per il principio dell ex falso quodlibet, potremmo dedurre qualsiasi cosa (tutto e il contrario di tutto) L enunciato 7 è un numero primo è vero.

4 Quali paletti sono alti?

5 Quali paletti sono alti?

6 Quali paletti sono alti?

7 Quali paletti sono alti? 1 mt

8 Quali paletti sono alti? 1 mt

9 Quali paletti sono alti? perché questo è alto e quest altro no? 1 mt

10 Grafico riassuntivo alti non alti 0.5 mt 1 mt 1.5 mt metri

11 E se invece... alti non alti 0.5 mt 1 mt 1.5 mt metri

12 E se invece... alti non alti 0.5 mt 1 mt 1.5 mt metri

13 E se invece... alto e non alto in una certa misura... alti non alti 0.5 mt 1 mt 1.5 mt metri

14 Insiemi fuzzy Un insieme fuzzy A è definito dalla sua funzione di appartenenza (o membership function) che ad ogni elemento x in un dato universo U assegna il suo grado di appartenenza all insieme fuzzy A. Il grado di appartenenza è un reale compreso tra 0 ed 1 Esempio: U = [0, 10] A = insieme dei numeri grandi Come definire la funzione di appartenenza μ A :U [0,1]?

15 Insiemi fuzzy

16 Insiemi fuzzy

17 Insiemi fuzzy Il passaggio agli enunciati è immediato: ad esempio, possiamo chiederci: il numero 7 è grande? Il valore di verità associato a tale enunciato può essere calcolato attraverso la funzione di appartenenza corrispondente all insieme dei numeri grandi: μ A (7) = 7/10 = 0.7

18 Insiemi fuzzy

19 Insiemi fuzzy

20 Negazione e connettivi Un breve richiamo... A B not A A and B A or B

21 Negazione e connettivi E in logica fuzzy? Supponiamo che il valore di verità di A sia 0.9 e quello di B sia 0.3. Quanto ci aspettiamo che valga la loro congiunzione? E la disgiunzione? E la negazione di A?

22 Negazione e connettivi Nell articolo originale di Zadeh troviamo queste possibilità: Congiunzione = min Disgiunzione = max Negazione = 1 - x A B not A A and B A or B

23 Negazione e connettivi Dobbiamo notare, comunque, che queste scelte non costituiscono le uniche possibilità! Ad esempio, in alternativa al min per la congiunzione è possibile considerare il prodotto: A and B = 0.9 * 0.3 = 0.27 In alternativa al max per la congiunzione è possibile considerare la somma probabilistica: A or B = *0.3 = 0.93 Per la negazione si può usare invece... not A = (1-0.9)/( ) 0.053

24 Unione ed intersezione Le definizione date per i connettivi possono essere estese agli insiemi Dati due insiemi sullo stesso universo U specificati dalle rispettive funzioni di appartenenza μ A e μ B possiamo definire... μ A B (x) = max(μ A (x), μ B (x)) μ A B (x) = min(μ A (x), μ B (x)) μ A (x) = 1 - μ A (x)

25 Unione ed intersezione mt 1 mt 1.5 mt metri

26 Unione ed intersezione mt 1 mt 1.5 mt metri

27 Intersezione mt 1 mt 1.5 mt metri

28 Intersezione mt 1 mt 1.5 mt metri

29 Intersezione mt 1 mt 1.5 mt metri

30 Unione mt 1 mt 1.5 mt metri

31 Unione mt 1 mt 1.5 mt metri

32 Unione mt 1 mt 1.5 mt metri

33 Alcuni sviluppi... Fuzzy Control Misure di fuzziness Connettivi t-norms, t-conorms, strong negations...

34 Fuzzy Control

35 Sviluppi: Fuzzy control x Sistema y Supponiamo di avere un sistema formato dalle seguenti regole: i) Se x è minore di 0.5, allora y è uguale a 10x ii) Se x è maggiore o uguale a 0.5, allora y è uguale a 7 Domanda: Qual è l output per x=0.4?

36 Sviluppi: Fuzzy control x Sistema y Ipotizziamo ora di avere un sistema descritto dalle seguenti regole: i) Se x è piccolo, allora y è grande ii) Se x è molto grande, allora y è piccolo Domanda: Qual è l output per x=0.4?

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38 Sviluppi: Fuzzy control A volte, la necessità di controllare un sistema fisico può dar vita ad equazioni differenziali molto complesse da risolvere... (M + m)ẍ m` cos + m` 2 sin = F ` g sin =ẍ cos Equazioni differenziali non lineari

39 Sviluppi: Fuzzy control Velocità angolare Pendolo invertito Angolo Forza Fuzzy Controller

40 Sviluppi: Fuzzy control Un esempio di regola nell esempio del pendolo invertito potrebbe essere la seguente: Se l angolo è piccolo, e la velocità angolare è bassa nel verso negativo, allora va applicata una leggera forza nel verso negativo. Questa regola richiede di specificare il significato di angolo piccolo, velocità angolare bassa, leggera forza nel verso negativo, e, Se...allora...,...

41 Sviluppi: Fuzzy control Questo compito può essere adempiuto utilizzando le già viste funzioni di appartenenza: grado di appartenenza 1 Angolo piccolo 0 -maxrad 0 maxrad rad

42 Sviluppi: Fuzzy control Questo compito può essere adempiuto utilizzando le già viste funzioni di appartenenza: grado di appartenenza 1 Bassa velocità angolare negativa 0 -maxvel 0 maxvel rad/s

43 Sviluppi: Fuzzy control Questo compito può essere adempiuto utilizzando le già viste funzioni di appartenenza: grado di appartenenza 1 Leggera forza negativa N

44 Sviluppi: Fuzzy control Se l angolo è piccolo, e la velocità angolare è bassa nel verso negativo, allora va applicata una leggera forza nel verso negativo. 1 0 v Θ

45 Sviluppi: Fuzzy control Se l angolo è piccolo, e la velocità angolare è bassa nel verso negativo, allora va applicata una leggera forza nel verso negativo. 1 0 v Θ

46 Sviluppi: Fuzzy control Se l angolo è piccolo, e la velocità angolare è bassa nel verso negativo, allora va applicata una leggera forza nel verso negativo. 1 0 v Θ

47 Sviluppi: Fuzzy control Se l angolo è piccolo, e la velocità angolare è bassa nel verso negativo, allora va applicata una leggera forza nel verso negativo. 1 0 v Θ

48 Sviluppi: Fuzzy control Se l angolo è piccolo, e la velocità angolare è bassa nel verso negativo, allora va applicata una leggera forza nel verso negativo. 1 0 v Θ

49 Sviluppi: Fuzzy control Se l angolo è piccolo, e la velocità angolare è bassa nel verso negativo, allora va applicata una leggera forza nel verso negativo. 1 questo dato va poi defuzzificato... 0 v Θ

50 Sviluppi: Fuzzy control Due tecniche per defuzzificare : Center of Gravity: P y = x2u (x µ A(x)) P x2u µ A(x) y = Mean of Maxima: X x:µ A (x)=max x2u µ A (x) x n

51 Funziona? Vediamo come si comporta un sistema di controllo fuzzy formato da 24 regole: Testo Dall articolo di Mamdani e Assilian: An experiment in Linguistic Synthesis with a Fuzzy Logic Controller

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53 Misure di Fuzziness

54 Sviluppi: Misure di fuzziness mt 1 mt 1.5 mt metri

55 Sviluppi: Misure di fuzziness mt 1 mt 1.5 mt metri

56 Sviluppi: Misure di fuzziness mt 1 mt 1.5 mt metri

57 Sviluppi: Misure di fuzziness mt 1 mt 1.5 mt metri

58 Sviluppi: Misure di fuzziness mt 1 mt 1.5 mt metri

59 Sviluppi: Misure di fuzziness Il concetto intuitivo appena introdotto può essere formalizzato come segue: Una misura di fuzziness è un funzionale d che ad ogni insieme fuzzy A in un universo U assegna un valore nonnegativo (la sua misura) tale che: i) d(a)=0 SSE A è un insieme crisp ii) d(a) assume valore massimo quando μ A (x)=1/2 per ogni x in U iii) d(a*) d(a) se A* è tale che μ A* (x) μ A (x) quando μ A (x) 1/2 e μ A* (x) μ A (x) quando μ A (x) 1/2

60 Sviluppi: Misure di fuzziness Si possono inoltre imporre le seguenti ulteriori condizioni: iv) d(a) = d(a C ) v) d(a B) + d(a B) = d(a) + d(b) È stato dimostrato che aggiungendo un ulteriore condizione dal significato meno intuitivo (chiamata additività generalizzata), l unica definizione possibile è la seguente: d(a) = X x2u(µ A (x) 1 µ A (x))

61 Connettivi, negazioni

62 Sviluppi: Connettivi, negazioni Il ruolo dei connettivi è stato generalizzato dalle T- Norme, T-Conorme 1 e Negazioni forti 2, che sono definite rispettivamente come segue: Una T-Norma è una funzione T:[0,1] [0,1] [0,1] che soddisfa le seguenti proprietà: i) Commutatività: T(a, b)=t(b, a) ii) Associatività: T(a, T(b, c)) = T( T(a, b), c) iii) Monotonicità: se a c e b d, allora T(a, b) T(c, d) iv) T(1, x) = T(x, 1) = x

63 Sviluppi: Connettivi, negazioni Similemente, una T-Conorma è una funzione S:[0,1] [0,1] [0,1] che soddisfa le seguenti proprietà: i) Commutatività: S(a, b)=s(b, a) ii) Associatività: S(a, S(b, c)) = S( S(a, b), c) iii) Monotonicità: se a c e b d, allora S(a, b) S(c, d) iv) S(0, x) = S(x, 0) = x Una negazione forte è una funzione N:[0,1] [0,1] che soddisfa le seguenti proprietà: i) Se a b, allora N(b) N(a) ii) N(0)=1 ed N(1)=0 iii) N(N(x)) = x

64 Bibliografia/Ulteriori letture Un saggio divulgativo e leggero : - B. Kosko: Il fuzzy-pensiero. Teoria e applicazioni della logica fuzzy Alcuni libri più tecnici: - D. Dubois, H. Prade: Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications - E. Trillas: Fundamentals of approximate reasoning

65 Bibliografia/Ulteriori letture L originale articolo di Zadeh sugli insiemi fuzzy: - L. Zadeh: Fuzzy sets, Information and Control 8(3): (1965) Sulle misure di fuzziness: - S. Termini, A. De Luca: A Definition of a Nonprobabilistic Entropy in the Setting of Fuzzy Sets Theory, Information and Control 20(4): (1972)

66 Bibliografia/Ulteriori letture Per T-Norme, T-Conorme, Negazioni forti: - C. Alsina, E. Trillas e L. Valverde: On some logical connectives for fuzzy sets theory, Journal of Mathematical Analysis and Applications 93(1): (1983) - E. Trillas: Sobre functiones de negacion en la teoria de conjunctos difusos, Stochastica 3(1): (1979); disponibile anche in traduzione inglese: On negation functions in fuzzy set theory, Advances in Fuzzy Logic: (1998)