Teoria delle decisioni

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1 A. A Teoria delle decisioni introduzione expected utility non expected utility prof. ing. Antonio Comi Department of Enterprise Engineering Tor Vergata University of Rome

2 Teoria delle decisioni razionali Teoria delle decisioni razionali in situazioni di rischio o incertezza (con disponibilità di una misura delle probabilità sugli stati): l individuo pone a confronto le conseguenze di tutte le possibili azioni e sceglie l azione che massimizza i benefici (o minimizza i costi). Per poter individuare quale è l azione ottima abbiamo bisogno di associare ad ogni conseguenza un valore reale 2

3 Utilità attesa von Neumann e Morgenstern (1947) hanno mostrato che: nell ipotesi che il decisore rispetti gli assiomi della razionalità, è possibile specificare dei valori numerici che rappresentano i suoi valori personali in modo tale che un opzione con conseguenze probabilistiche venga preferita se, e solo se: Utilità attesa dell opzione/alternativa > utilità attesa delle altre opzioni/alternative non scelte n a a P U c P U c i k j ij j kj j 1 j 1 dove a i a k indica che per il decisore la scelta dell azione a i è più conveniente di a k (o quanto meno non peggiore) se il valore atteso (expected) delle conseguenze dell azione a i è maggiore o eguale al valore atteso delle conseguenze di a k. n 3

4 Esempi di scelta in condizioni di rischio Esempio 1 Azione A: vincere 1000 euro con probabilità p=1,0 Azione B: vincere 500 euro con probabilità p= 0,5 oppure 2000 euro con probabilità p=0,5 4

5 Esempi di scelta in condizioni di rischio Esempio 1 Azione A: vincere 1000 euro con probabilità p=1,0 Azione B: vincere 500 euro con probabilità p= 0,5 oppure 2000 euro con probabilità p=0,5 L utilità attesa è: per l alternativa A, EU A = 1000 per l alternativa B, EU B = 1250 La teoria EU indica l alternativa B come alternativa da scegliere. 5

6 Decisioni in condizione di rischio o incertezza su reti stocastiche Esempio (1/2) Dati tre percorsi A, B e C, l utente non sa con certezza quale sarà il tempo che sperimenterà utilizzando uno dei tre. I possibili valori di tempo di viaggio siano due, con assegnate probabilità di verificarsi T 1 (minuti) T 2 (minuti) Percorso A probabilità 0,70 0,30 Percorso B probabilità 0,60 0,40 Percorso C probabilità 0,40 0,60 6

7 Esempio (2/2) d OD = 100 veicoli/ora Generico utente i E 1 E 2 T 1 (minuti) T 2 (minuti) EU Percorso A probabilità Percorso B probabilità Percorso C probabilità EU i A = 30 * 0, * 0,3 = 33 minuti EU i B = 20 * 0, * 0,4 = 32 minuti i n i i k j1 X EU p (E ) U ( ) i i U ( X ) Xh 1 con EU va scelta B EU i C = 25 * 0, * 0,6 = 37 minuti 7

8 Critiche all Expected Utility (1/3) Esempio 1 Alternativa A: vincere 1000 euro con probabilità p=1,0 Alternativa B: vincere 500 euro con probabilità p= 0,5 oppure 2000 euro con probabilità p=0,5 Il criterio EU ci dà: per l alternativa A, EU A = 1000 per l alternativa B, EU B =

9 Critiche all Expected Utility (2/3) Esempio 2 Percorso A Percorso B PercorsoC Il criterio EU ci dà: per il percorso A, EU A = 33 minuti per il percorso B, EU B = 32 minuti Per il percorso C, EU B = 37 minuti 9

10 Critiche all Expected Utility (3/3) Sebbene dovrebbe essere scelta l alternativa B, esperimenti indicano che un certo numero di persone scelgono A (oppure C), dunque non vengono rispettate tutte le ipotesi della teoria dell EU. Per tener conto che ci sono dei condizionamenti che possono portare il decisore a non comportarsi in modo razionale, è stato proposto l approccio non-expected Utility (Revised Expected Utility - approccio descrittivo) 10

11 Elicitazione della funzione di utilità Costruzione di una funzione di utilità che rappresenti fedelmente lo schema di preferenze del decisore. caratteristiche e peculiarità più significative ed interessanti 11

12 Elicitazione della funzione di utilità Evidenziare la propensione del decisore nei confronti del rischio dipendenza dalle conseguenze e dal livello degli importi di riferimento 12

13 Propensione o avversione al rischio Definizione dell atteggiamento del decisore nei confronti del rischio Conseguenze, ad esempio, importi monetari 13

14 Avversione e propensione (1/3) Un decisore si dice avverso al rischio se l utilità del valore atteso della lotteria è non inferiore al valore atteso dell'utilità della lotteria (come definito dalla funzione von Neumann-Morgenstern). Una funzione di utilità U è avversa al rischio se e solo se è concava. In maniera opposta si definisce il decisore amante del rischio e la sua funzione di utilità (che è convessa). Sia data la lotteria l: < x1, p; x2, (1-p) > Il valore atteso della lotteria è x x1 p 1 p x2 14

15 Avversione e propensione (2/3) Il decisore risulta avverso al rischio se vale la relazione U x U E l U x p p x U x p p U x cioè se il decisore assegna una utilità maggiore al valore atteso alla lotteria rispetto all utilità attesa dalla lotteria stessa 15

16 Avversione e propensione (3/3) U U x p p U x x x1 p 1 p x2 16

17 Propensione o avversione al rischio L atteggiamento dei confronti del rischio è strettamente dipendente dal contesto decisionale e in cui si opera e, in particolare, dall entità delle conseguenze coinvolte nel processo stesso L andamento che generalmente si riscontra nella realtà è una propensione al rischio (più o meno spiccata in dipendenza della condizione personale del decisore) per bassi valori delle conseguenze, mentre si osserva un avversione al rischio per valori elevati 17

18 Paradosso di Allias (1/8) Allais chiese ad un campione di individui di selezionare una tra due prospettive monetarie in due diverse lotterie. L esperimento si svolge in due fasi; la prima scelta è tra un milione di euro con certezza e una distribuzione di probabilità con tre esiti: 1. 5 mil con una probabilità dello 0,10; 2. 1mil con una probabilità dello 0,89; 3. 0 zero con una probabilità dello 0,01. 18

19 Paradosso di Allias (2/8) La seconda scelta è tra una distribuzione di probabilità in cui si può avere 1 ml con una probabilità dello 0,11; 0 ml con probabilità dello 0,89; una distribuzione che dà 5 ml con una probabilità dello 0,1; 0 ml con una probabilità dello 0,9. 19

20 Paradosso di Allias (3/8) Rappresentazione delle due lotterie 0 0% 1 mil 100% 5 mil 0% Lotteria a 0 1% 1 mil 89% 5 mil 10% Lotteria b SCELTA % 1 mil 11% 5 mil 0% Lotteria c 0 90% 1 mil 0% 5 mil 10% Lotteria d SCELTA 2 20

21 Paradosso di Allias (4/8) Rappresentazione delle due lotterie I soggetti a cui sono state sottoposte tali scelte hanno preferito per la maggior parte (negli esperimenti condotti originariamente da Allais intorno al 60%) l'alternativa a) rispetto alla b) l'alternativa d) rispetto alla c). 21

22 Paradosso di Allias (5/8) Risultati delle due lotterie 0 0% 1 mil 100% 5 mil 0% Lotteria a 0 1% 1 mil 89% 5 mil 10% Lotteria b SCELTA 1 Gli individui scelgono l alternativa a) (certa) nonostante la b) (incerta) abbia un valore atteso maggiore (1 vs 1,4 mil) poiché in b) esiste l evenienza di non vincere nulla. Il fatto che la vincita di 5 mil di euro è più probabile di non ottenere niente non è sufficiente per scegliere b). 22

23 Paradosso di Allias (6/8) Risultati delle due lotterie 0 89% 1 mil 11% 5 mil 0% Lotteria c 0 90% 1 mil 0% 5 mil 10% Lotteria d SCELTA 2 Nella seconda coppia di prospettive (prospetti) l individuo, avendo una probabilità decisamente bassa di ottenere un premio, preferisce un premio più alto con una probabilità minore rispetto ad un premio più basso con una probabilità maggiore, e dà quindi più credito al premio che alle probabilità. 23

24 Paradosso di Allias (7/8) Risultati delle due lotterie Allais indicò che queste scelte non sono consistenti con la teoria dell utilità attesa di von Neumann-Morgenstern. SCELTA 1 U( a ) U( b ) U(1 mil) > 0,1U(5 mil) + 0,89 U(1 mil) + 0,01 0 0,11U(1 mil) > 0,1U(5 mil) SCELTA 2 U( d ) U( c ) 0,1U(5 mil) + 0,0 U(1 mil) + 0,9 0 0,0 U(5 mil) + 0,11U(1 mil) + 0,89 0 0,1U(5 mil) > 0,11U(1 mil) 24

25 Paradosso di Allias (8/8) Risultati delle due lotterie Ma allora, per le scelte degli intervistati, dovrebbero valere entrambe le disuguaglianze, il che è assurdo. Quindi le scelte degli individui risultano incoerenti con la teoria dell utilità attesa. 25

26 Critiche all'expected utility (1/2) Esistono differenti esempi empirici che dimostrarono come le scelte degli esseri umani violano sistematicamente i principi della razionalità economica. Kahneman e Tversky (1979) posero attenzione a due importanti fenomeni psicologici: Contesto Avversione alle perdite 26

27 Critiche all'expected utility (1/2) Effetto contesto il contesto in cui l individuo si trova a operare la scelta, ha un effetto determinante sulla scelta stessa. In particolare, il modo in cui il problema viene formulato influisce sul modo in cui l individuo percepisce il punto di partenza, rispetto a cui valutare i possibili esiti delle proprie azioni. Avversione alle perdite per la maggior parte degli individui la motivazione ad evitare una perdita è superiore alla motivazione a realizzare un guadagno. Questo principio psicologico generale, che è probabilmente collegato ad una sorta di istinto di sopravvivenza, fa sì che la stessa decisione può dare origine a scelte opposte se gli esiti vengono rappresentati al soggetto come perdite piuttosto che come mancati guadagni. Ad esempio è più facile rinunciare a un possibile sconto piuttosto che accettare un aumento di prezzo, anche se la differenza tra il prezzo iniziale e quello finale è la stessa. 27

28 Esperimenti di Kahneman e Tversky Osservarono che posti degli individui di fronte ad una scelta, essi si comportano in maniera significativamente diversa, mostrando una propensione al rischio oppure un avversione ad esso, a seconda di come la scelta e le opzioni vengono presentate loro. 28

29 Esperimenti di Kahneman e Tversky Esempio 1 Opzione a): un guadagno sicuro di 750 euro; Opzione b): una lotteria nella quale c è una probabilità del 75% di vincere 1000 euro e una probabilità del 25% di non vincere niente. La maggioranza dimostra di preferire a) a b) (quando invece il valore atteso è il medesimo), ma le preferenze del certo sull incerto si ribaltano se si chiede di scegliere tra: Opzione c): una perdita certa di 750 euro; Opzione d): una lotteria nella quale c è una probabilità del 75% di perdere 1000 euro e una probabilità del 25% per cento di non perdere niente. Adesso l opzione preferita è la d) rispetto alla c). 29

30 Esperimenti di Kahneman e Tversky Esempio 2 Ci viene prima offerto un premio di 300 euro. Dopo di che, ci viene chiesto di scegliere una delle seguenti possibilità: A. Ricevere con certezza (altri) 100 euro. B. Lanciare in aria una monetina e giocare a testa o croce: se vinciamo, riceviamo (altri) 200 euro, se perdiamo non riceviamo niente (altro). La maggioranza degli individui intervistati preferisce A a B, ma le preferenze si invertono se ci viene presentato il secondo problema di scelta. Ci viene prima offerto un premio di 500 euro. Dopo di che, ci viene chiesto di scegliere una delle seguenti possibilità: C. Perdere con certezza 100 euro. D. Lanciare in aria una monetina e giocare a testa o croce: se perdiamo, dobbiamo pagare 200 euro, se vinciamo non dobbiamo pagare niente. Adesso l opzione preferita è la D rispetto alla C. 30

31 Esperimenti di Kahneman e Tversky il campione di persone sottoposto a questa scelta sarebbe dovuto rimanere perfettamente indifferente non solo alla scelta tra A e B ma tra tutte le quattro eventualità; infatti, alla fine di tutti e quattro questi giochi, le probabilità sono rigorosamente le stesse di finire avendo in tasca 400 euro in più. 31

32 Teoria del prospetto (Prospect Theory) La teoria del prospetto è una teoria della decisione formulata dagli psicologi israeliani Kahneman e Tversky nel Essa rappresenta un alternativa descrittiva alla teoria dell utilità attesa di von Neumann e Morgenstern. Ciò significa che, mentre la teoria classica aveva il fine di stabilire le condizioni ideali ("normative") secondo cui una decisione può essere definita «razionale», la teoria del prospetto si propone invece di fornire una descrizione di come gli individui effettivamente si comportano di fronte a una decisione. La teoria del prospetto si focalizza in particolare sulle decisioni in condizioni di rischio, che sono definite come le decisioni in cui è conosciuta (o si può stimare) la probabilità associata ai possibili esiti di ogni alternativa a disposizione 32

33 Teoria del prospetto (Prospect Theory) Funzione valore (value function) Funzione in cui le probabilità degli eventi possibili viene ponderata attraverso il valore w, che rappresenta il peso che ogni esito ha nella valutazione dell individuo. La value function è descritta dall equazione n j1 j U X j w p dove w(p j ) è una trasformazione, non lineare, delle probabilità p j. 33

34 Teoria del prospetto (Prospect Theory) Funzione valore (value function) La value function ha un andamento non lineare: in particolare, considerando il centro del grafico come la situazione di partenza del decisore (status quo), la funzione è concava nella regione dei guadagni e convessa nella regione delle perdite: questo significa che piccole variazioni vicine al punto di partenza (in entrambe le regioni) hanno un impatto maggiore sulla scelta rispetto a grosse variazioni lontane dal punto stesso. Inoltre, la curva ha una pendenza maggiore nella regione delle perdite, il che permette di spiegare il fenomeno descritto precedentemente come avversione alle perdite: un guadagno e una perdita dello stesso valore assoluto non hanno lo stesso effetto sulla scelta, ma una perdita ha proporzionalmente un impatto maggiore. 34

35 Teoria del prospetto (Prospect Theory) Funzione valore (value function) 35

36 Teoria del prospetto (Prospect Theory) Funzione valore (value function) Ha tre caratteristiche fondamentali: Gli esiti vengono valutati in relazione ad un punto di riferimento e sono categorizzati come guadagni o perdite. In entrambi i quadranti (guadagni e perdite) la funzione è caratterizzata da una diminuzione della sensibilità ai cambiamenti. Nel quadrante delle perdite la funzione è più ripida che nel quadrante dei guadagni. 36

37 Fase di ponderazione Permette di attenzionare due aspetti fondamentali relativi alla percezione soggettiva delle probabilità: le probabilità più basse vengono sopravvalutate le probabilità medie e alte vengono sottovalutate. 37

38 Prospect theory (1/2) (Kahneman e Tversky, 1979) Dato un fenomeno aleatorio rappresentato da una sequenza di coppie (x h, p h ), con x h l h-esimo risultato relativo all evento j all alternativa k e p la corrispondente probabilità, si assume che l utente 1. valuti il risultato delle alternative in termini di guadagni e perdite rispetto a delle situazioni di riferimento, con funzioni di utilità non lineari: con X se X 0 i i h h U (E ) U ( X ) h h X se X 0 i U X h X h > 1 in accordo al principio di avversione alle perdite; 1 la funzione è concava per i guadagni β 1 la funzione è convessa per le perdite 38

39 Prospect theory (2/2) (Kahneman e Tversky, 1979) 2. usi una funzione di ponderazione della probabilità specifica per guadagni, w + (p ), e perdite, w - (p ): w p w 1 p 1 p 1 p p 1 p p p w - (p ) con = 0,69 39

40 Non-Expected Utility Rank-dependent expected utility (Quiggin, 1982; Schmeidler, 1989) Un modo corretto di utilizzare la funzione w(p ) è il rank-dependent expected utility model: 1. i risultati dell evento sono ordinati in modo che 2. vengono calcolati i p i : con p i 1k = w (p 1k ) X 1k X X nk p i = w + (p 1k +. + p nk ) w - (p 1k +. + p n-1,k ) ; h =2,, m 3. L utilità attesa associata all alternativa k dall utente i, Y i k, diventa i n i i n i i k p j 1 p j1 X Y U (E ) U ( ) 40

41 Non-Expected Utility Differente percezione di guadagni e perdite (cumulative prospect theory) Per tener conto dei guadagni e delle perdite, la nuova utilità associata all alternativa k, Y i, diventa: i r i i n i i k p j 1 X p jr1 X Y U ( ) U ( ) dove X 1k,, X rk sono i guadagni (valori positivi) X r+1,, X n sono le perdite (valori negativi) > 1 in accordo al principio di avversione alle perdite che porta ad avere sensitività maggiore alle perdite rispetto ai guadagni; dati sperimentali suggeriscono 2 41

42 Sintesi Expected Utility Prospect Theory Cumulative PT Utente razionale che sceglie massimizzando l utilità attesa (expected utility) Si introduce: una funzione di valore, definita sulle variazioni di «ricchezza» rispetto a un punto di riferimento e non rispetto alla ricchezza finale. È concava nella regione dei guadagni e convessa in quella delle perdite. È più ripida nella regione dei guadagni che in quella delle perdite (avversione alle perdite). una funzione di ponderazione delle probabilità che assegna un peso al valore di ciascun esito. La funzione di ponderazione: utilizza la distribuzione cumulata delle probabilità anziché le probabilità dei singoli esiti; è differente a seconda che si considerino i guadagni o le perdite. 42

43 Cumulative prospect theory (1/2) Esempio: utilità attesa di percorso rivista E 1 E 2 T 1 (minuti) T 2 (minuti) Percorso A probabilità 0,70 0,30 Percorso B probabilità 0,60 0,40 Percorso C probabilità 0,40 0,60 Solo perdite (solo disutilità di viaggio: tempo, costo monetario) i n i i k p j r 1 X Y U ( ) con i U (X ) X 43

44 Cumulative prospect theory (2/2) Esempio: utilità attesa rivista di percorso p w p 1 p 1 p p i = w - (p rk +. + p ) w - (p rk +. + p r-1,k ) con j =2,, n e p i r = w (p r ) E 1 E 2 T 1 (minuti) T 2 (minuti) Y k ( = -2) Percorso A ,55 probabilità 0,70 0,30 w(p) 0,59 0,33 w(p 1 +p 2 ) 1,00 p 0,67 0,33 Percorso B ,50 probabilità 0,60 0,40 w(p) 0, w(p 1 +p 2 ) 1,00 p 0,61 0,39 Percorso C ,72 probabilità 0,40 0,60 w(p) 0,39 0,52 w(p 1 +p 2 ) 1,00 p 0,48 0,52 L utente i sceglie B = 0,69 44

45 Riferimenti bibliografici De Palma, Brn-Akiva, M.,Brownstone, D., Holt, C., Magnac, T., McFadden, D., Moffatt, P., Picard, N., Train,K., Wakker, P., Walker, J. (2008). Risk, uncertainty and discrete choice models. Market Letters 19, Chiandotto, B. (2015). Cap.1 - Teoria delle decisioni. Statistica delle Decisioni (Note didattiche). Giudizio, decisione e violazione degli assiomi di razionalità. Ce.R.D. - Centro di Ricerca sul Rischio e la Decisione, Padova. Teoria del Prospetto: avversione alle perdita, framing e status quo. Ce.R.D. - Centro di Ricerca sul Rischio e la Decisione, Padova. Poni, Camilla (2012). Dal paradosso di San Pietroburgo ai moderni sviluppi dell'utilità. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali. Corso di Laurea in Matematica. 45

46 Definizione della funzione di ponderazione w(p) Funzioni continue in p Power : w p p con 0 p Quiggin : w p con 0, p 1p Prelec: w p exp ln p con 0, 0 46

47 Definizione della funzione di ponderazione w(p) Power Power : w p p con 0 Potrebbe essere vista come non desiderabile in quanto non ha un andamento ad S rovesciata, essendo o completamente sopra ( >1) o completamente sotto ( <1) la retta 45 <1 >1 Il decisore da una maggiore importanza ai Il decisore da una maggiore importanza ai Prof. Ing. risultati Antonio peggiori Comi risultati migliori 47

48 Definizione della funzione di ponderazione w(p) Quiggin p Quiggin : w p con 0, p 1p Ha un andamento ad S rovesciata ed interseca la retta 45 in un punto che dipende da 0,279 < < 1: il limite inferiore è dovuto per assicurare che la funzione sia monotona Fu proposta da Tversky e Kahneman nel

49 Definizione della funzione di ponderazione w(p) Quiggin Prelec: w p exp ln p con 0, 0 Ha due parametri ed Se entrambi pari ad 1 Expected Utility Il parametro riflette il pessimismo, mentre il parametro determina il pronunciamento della forma della S inversa/rovesciata Di solito entrambi sono posti inferiori all unità 49

50 Definizione della funzione di ponderazione w(p) Funzioni non continue in p Ciò nasce da alcune evidenze empiriche in si osserva un comportamento discontinuo quando la probabilità del miglior risultato cambia da zero a un valore piccolo positivo. Per esempio: le persone che prendono parte ad una lotteria pubblica presumibilmente perché significativamente sovrastimano le piccole probabilità di vincere il montepremi. Questi gradi di sovrastima non si possono considerare con funzioni continue che passano per l origine 50

51 Definizione della funzione di ponderazione w(p) Funzioni non continue in p Supponiamo che le discontinuità siano a p=0 e p=1 w 0 0 w p b 1 a b p per 0 < p < 1, con a, b 0; a b < 1 w 1 1 Evidenze sperimentali hanno mostrato che a può essere non significativamente diverso da zero, e che il parametro b è significativamente più grande. Quindi significativa sovrastima delle basse probabilità 51