DIDATTICA DELLA MATEMATICA LEZIONE 2 29/09/2017

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1 DIDATTICA DELLA MATEMATICA LEZIONE 2 29/09/2017

2 QUESTIONARIO 2017

3 Cosa studia la matematica? Serie1 0 Numeri Geometria Dati e previsioni Problemi Altro 2017

4 Quali sono i suoi strumenti di lavoro? Materiale concreto Oggetti della matematica Strumenti tecnologici Logica Altro

5 Per cosa è utile lo studio della matematica? Per la vita quiotidiana, per capire la realtà Sviluppa il ragionamento Sviluppa l'intuizione Serie1 Serie1 2017

6 In che modo la matematica contribuisce alla formazione della persona? Serie Serie Sviluppa le capacità razionali Sviluppa le capacità di affontare i problemi Sviluppa il senso critico Altro 2017

7 6) Tra i contenuti di matematica che dovrai insegnare c è qualcosa che vorresti capire meglio e/o approfondire? -Quasi tutte le risposte manifestano il bisogno di approfondire più le metodologie che i contenuti. 7) Qual è, per la tua esperienza, il metodo migliore per imparare la matematica? -Plebiscito per: partire dal concreto, utilizzare il gioco.

8 Una matematica per bambini

9 «L apprendimento della matematica, come quello della lettura e della scrittura, è il risultato di una scelta culturale, che è alla base dell idea stessa di scuola. Si tratta dello sviluppo dell intelligenza attraverso l astrazione e il pensiero simbolico: il passaggio da un mondo di pure percezioni, dal senso comune al discorso razionale, dall immersione nelle apparenze e nelle cose concrete alle entità astratte che ci permette di ottenere una conoscenza certa. Questo scopo dell educazione è delineato nelle opere di Platone, il quale individua nelle matematiche gli studi che portano su questa via.» ( Numeri e forme Ana Millàn Gasca, pag.105)

10 Platone: la matematica come paideia Platone, nel libro VII della Repubblica, attribuisce alla matematica una grande potenza formativa: i numeri, come la geometria ( conoscenza di ciò che sempre è ), costringono l anima a valersi dell intelligenza per raggiungere la verità: «Hai mai osservato come quelli per natura idonei ai computi sono pronti e acuti in quasi tutte le discipline; e che i tardi, qualora in questa disciplina vengano educati ed esercitati, anche se non ne ritraggono nessun altro vantaggio, tuttavia guadagnano un acume e fanno progressi?»

11 Ancora Platone «Che, per la vita familiare, per quella pubblica e per tutti i tipi di arte nessun disciplina formativa ha una efficacia così grande come la scienza dei numeri; ma la cosa più importante è che essa sveglia chi per natura è sonnolento e tardo di intelletto e lo rende pronto ad apprendere, di buona memoria e perspicace, facendolo progredire per arte divina oltre le sue capacità naturali» (libro V)

12 Il filosofo Kieran Egan, dell università di Stanford, scrive: «Alcune percezioni, come vedere un dito, non pongono alla mente alcuna domanda. Altre, come confrontare le dita in termini di taglia, iniziano a porre domande alla mente. Se solleviamo il nostro dito mignolo e le altre due vicine possiamo chiamare il nostro ultimo dito piccolo e il dito medio grande. Ma il dito che sta tra loro possiamo chiamarlo grande se confrontato con il mignolo e piccolo se confrontato con il medio. La nostra visione riporta quindi alla mente che un dito è sia grande che piccolo. Tale confusione provoca pensiero per poterla sbrogliare. Può stimolare il pensiero su come usiamo grande e piccolo per differenziare gli oggetti nel confronto tra di loro, e può portare eventualmente a conclusioni sulla relatività.

13 Ossia, serve ad iniziare a stabilire la distinzione tra gli oggetti di percezione e gli oggetti di pensiero. La disciplina ideale per rendere questa distinzione chiara, decide Platone, sono le matematiche. Le unità matematiche hanno la qualità di essere riferibili a cose del mondo pur essendo nel contempo chiaramente distinte da esse. Nessuna coppia di alberi è uguale nel mondo, ma nel contare due alberi usiamo unità che sono idealmente uguali. Rapidamente le matematiche lasciano indietro le cose materiali che hanno potuto formare gli oggetti di calcolo iniziali, e trattano gli oggetti puramente intellettuali: numeri, ognuno dei quali è uguale a tutti gli altri.» (citazione da Numeri e forme, pag. 106)

14 Le concezioni matematiche ingenue I bambini amano farsi coinvolgere in attività che includono numeri e forme: far rotolare una palla, impilare cubi, ripetere la sequenza dei numeri, contare, confrontare. L incontro con i concetti matematici è normalmente frutto dell insegnamento, ma oggi tale incontro può avvenire anche attraverso la famiglia, il gioco, i mezzi di comunicazione, perché i numeri e le forme sono onnipresenti. In seguito alle tante sollecitazioni il bambino si costruisce delle concezioni matematiche ingenue, con le quali entra nella scuola, sia essa dell infanzia o primaria. Da esse si deve partire e comunque l insegnamento scolastico si deve misurare con esse.

15 In alcuni studi sull apprendimento è stato sottolineato quanto sia dannoso lo scollamento tra l istruzione matematica scolastica e le concezioni ingenue dei bambini. «In definitiva, l acquisizione dei concetti matematici è un processo attraverso il quale essi si distaccano progressivamente dai contesti del mondo della vita : l insegnante interviene offrendo molti contesti e spingendo per far emergere il concetto astratto; il bambino rinsalda i collegamenti con la sua esperienza mentre inizia a intravedere il valore generale dei concetti matematici» (Numeri e forme, pag.109)

16 Concetto Il concetto in senso lato è un'idea astratta e generale che viene espressa in maniera definita con un procedimento che raccoglie e aggrega aspetti sensibili particolari che una molteplicità di oggetti hanno in comune. Con il concetto la mente è in grado di avere chiari i caratteri essenziali e costanti di una specifica realtà. Questi aspetti sostanziali, chiamati nella Logica "note definitorie", con il concetto saranno presenti alla mente che sarà in grado di riconoscere, senza dover procedere a ulteriori elaborazioni, tutti quegli oggetti che presentano il complesso di quelle stesse caratteristiche particolari. (Wikipedia)

17 «L avventura dei bambini nel mondo della matematica può iniziare precocemente, dai 2-3 anni, con una attività propedeutica imperniata sul contare, sui concetti geometrici basilari e sulla misura, che si mettono in gioco proprio giocando e attraverso la discussione, la conversazione matematica spesso provocata dalle domande per cui si cerca una risposta e i problemi per cui si cerca una soluzione. È fondamentale allora arrivare a comprendere sempre meglio come l apprendimento di questi concetti affondi le sue radici nell esperienza infantile. L incontro con la matematica non lascia il bambino indifferente, anzi, i bambini elaborano intorno a queste sollecitazioni una complessa rete di concezioni, le quali sono collegate a situazioni d uso e di contesto. Gradualmente questa rete si infittisce e diventa più integrata, con la maturazione intellettuale e linguistica del bambino e nella misura in cui egli ha occasioni di esperienza matematica, e si riferisce agli oggetti matematici anche attraverso l immedesimazione, collegandoli al proprio vissuto.» (Numeri e forme, pag.111)

18 Dalle Indicazioni nazionali Numero e spazio La familiarità con i numeri può nascere a partire da quelli che si usano nella vita di ogni giorno; poi, ragionando sulle quantità e sulla numerosità di oggetti diversi, i bambini costruiscono le prime fondamentali competenze sul contare oggetti o eventi, accompagnandole con i gesti dell indicare, del togliere e dell aggiungere. Si avviano così alla conoscenza del numero e della struttura delle prime operazioni, suddividono in parti i materiali e realizzano elementari attività di misura. Gradualmente, avviando i primi processi di astrazione, imparano a rappresentare con simboli semplici i risultati delle loro esperienze. Muovendosi nello spazio, i bambini scelgono ed eseguono i percorsi più idonei per raggiungere una meta prefissata scoprendo concetti geometrici come quelli di direzione e di angolo. Sanno descrivere le forme di oggetti tridimensionali, riconoscendo le forme geometriche e individuandone le proprietà (ad esempio, riconoscendo nel quadrato una proprietà dell oggetto e non l oggetto stesso). Operano e giocano con materiali strutturati, costruzioni, giochi da tavolo di vario tipo.

19 IL LABORATORIO DI MATEMATICA Una opportunità per una didattica innovativa

20 Perché parliamo di laboratorio? Le quattro discontinuità la scuola richiede prestazioni individuali, mentre il lavoro mentale all esterno è spesso condiviso socialmente; la scuola richiede un pensiero privo di supporti, mentre fuori ci si avvale di strumenti cognitivi o artefatti; la scuola coltiva il pensiero simbolico, nel senso che lavora su simboli, mentre fuori dalla scuola la mente è sempre direttamente alle prese con oggetti e situazioni; a scuola si insegnano capacità e conoscenze generali, mentre nelle attività esterne dominano competenze specifiche, legate alla situazioni.

21 Indicazioni Nazionali 2012 Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio, per favorire l operatività e allo stesso tempo il dialogo e la riflessione su quello che si fa. Il laboratorio, se ben organizzato, è la modalità di lavoro che meglio incoraggia la ricerca e la progettualità, coinvolge gli alunni nel pensare, realizzare, valutare attività vissute in modo condiviso e partecipato con altri, e può essere attivata sia nei diversi spazi e occasioni interni alla scuola sia valorizzando il territorio come risorsa per l apprendimento. (L ambiente di apprendimento, pag. 27)

22 Indicazioni Nazionali 2012 In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive.

23 L esperienza (Dewey, 1915) «L unica via diretta per un miglioramento dei metodi dell istruzione e dell insegnamento consiste nel concentrarsi sulle condizioni che esigono, promuovono e mettono alla prova il pensiero. Il pensiero è il metodo dell apprendimento intelligente, dell apprendimento che mette a profitto e ricompensa la mente. Lo stadio iniziale di quell esperienza in sviluppo che si chiama pensiero è l esperienza. Questa osservazione può sembrare un banale truismo. E dovrebbe esserlo ma disgraziatamente non lo è.

24 Al contrario, il pensiero è spesso considerato nella teoria filosofica e nella pratica educativa come qualcosa di tagliato fuori dall esperienza e capace di essere coltivato isolatamente. L errore fondamentale dei metodi di istruzione consiste nel postulare negli allievi un esperienza precedentemente acquisita. Quello su cui abbiamo insistito fin qui è invece la necessità di una situazione realmente empirica come fase iniziale del pensiero.»

25 L esperienza implica l intelligenza del senso delle cose (Longo, 2015) «Quello che caratterizza l esperienza come momento formativo non è il fare come fatto meccanico, ma capire una cosa, un fatto, scoprirne il senso. L esperienza quindi implica l intelligenza del senso delle cose, è fonte di conoscenza a patto di porsi»

26 In un articolo comparso nella rivista Emmeciquadro n 39, dal titolo «Il laboratorio di matematica in classe e oltre» Raffaella Manara propone, per tale attività, alcune linee di metodo

27 Come la parola laboratorio si adatta alla didattica di una materia che richiede l astrazione? Troppo spesso si privilegia un insegnamento che si rivolge principalmente alla mente dei ragazzi, privilegiando un insegnamento verbale, ripetitivo, addestrativo. Laboratorio: attività didattica che si rivolge all allievo coinvolgendo tutta la sua persona, corpo e mente. Attenzione: non si propone una attività manipolatoria e basta, ma una attività «empirica» che diventi generatrice di pensiero, cioè che favorisca l interiorizzazione e la comprensione di ciò che si sta facendo; non una attività per intrattenere, ma per favorire la riflessione e il giudizio sull esperienza che si fa

28 Linee di metodo Interpellare tutta la persona dell alunno ( da attività fisicamente eseguibili a laboratorio di idee) Prendere l avvio da una domanda ( meglio se viene dai ragazzi) Prevedere una ipotesi di progettazione comune e una ipotesi di previsione dei risultati possibili Prevedere una fase di riflessione, che evidenzi le risposte raggiunte, le domande rimaste aperte e le nuove domande Prevedere una modalità di descrizione e narrazione di quanto avvenuto

29 Dal gesto al pensiero: le azioni Vedere, toccare, ascoltare.cioè osservare. Verbalizzare, cioè descrivere, spiegare ciò che si è fatto. Rappresentare, facendo emergere le caratteristiche delle realtà osservate e manipolate, in modo da poterle poi riconoscere in altri contesti. Usare o creare strumenti per osservare e agire. Collegare gli oggetti alle azioni compiute, appropriandosi criticamente dell esperienza. Riflettere, per esprimere congetture, ipotesi, nuove osservazioni e nuove domande, per scoprire nuove proprietà. Agire consapevolmente orientando le proprie azioni ad uno scopo.

30 Dal pensiero al gesto: le azioni Interpretare i diversi modelli usati e costruiti Riconoscere in contesti diversi situazioni problematiche già esaminate, e sviluppare analogicamente azioni adeguate Progettare creativamente le osservazioni e le esperienze Riconoscere in quanto si è imparato la spinta e la ragione per conoscere altro, per fare nuove scoperte.

31 N.B.1: anche il lavoro in classe può diventare laboratorio ogni volta che l azione didattica è caratterizzata dalla ricerca di consapevolezza della sua origine e del suo scopo N.B.2: E importante stabilire la connessione tra quanto avviene nelle attività del laboratorio e l azione disciplinare, per evitare che le attività per scoperta vengano percepiti come episodi di intrattenimento

32 Durante il lavoro l insegnante osserva ( e registra): il modo di procedere degli studenti le loro dinamiche relazionali le difficoltà che incontrano come propongono le soluzioni se e come seguono le tracce di lavoro Attività di questo tipo permettono di scoprire nei ragazzi potenzialità che non sempre riescono ad emergere dal lavoro in classe.

33 Un esempio 1) Prendo spunto dal seguente quesito Invalsi per la seconda primaria:

34 Un altro modo di lavorare con le tabelline Consegna: metti i seguenti numeri al posto giusto: Minori di 20 Maggiori di 20 Multipli di 3 Multipli di 4 Si potrebbero anche dare numeri che stanno in più di una casella, come, ad es., 24

35 Cerca l intruso: Oppure Pari Dispari Multipli di 5 Multipli di 3 Oppure si può alzare il livello della consegna non dando i numeri e chiedendo: Metti in ogni casella bianca due numeri ( o tre..)

36 Multipli di 5 Multipli di 7 Multipli di 3 Multipli di 4 Multipli di 4 Multipli di 9 Pari Dispari? Errore!!!

37 Si può far lavorare i bambini a coppie o a gruppetti, magari dando più tabelle da riempire e chiedendo che si controllino tra loro, in modo che il gruppo restituisca un lavoro corretto. Si può fare una gara dividendo la classe in due gruppi: ogni gruppo prepara delle tabelle che devono poi essere riempite dall altra squadra; se le tabelle non sono tutte formulate in modo corretto si possono dare delle penalità; vince la squadra che scrive più numeri corretti.

38 Ancora esempi

39 Rally matematico transalpino, anno 2014

40 Un problema non standard Lunedì hanno regalato alla maestra Loriana una caramella ma è troppo poco perché ha 25 alunni. La maestra prova a fare una magia: tocca la caramella con la bacchetta magica e si trova davanti 2 caramelle. Purtroppo questa magia funziona solo una volta al giorno. Martedì mattina tocca le 2 caramelle di nuovo con la bacchetta e se ne trova 4 davanti. Secondo voi, se ha la pazienza di fare una magia ogni giorno con le caramelle che ha, riuscirà giovedì a dare una caramella a ognuno dei suoi alunni? E se non ce la fa giovedì, quando ci riuscirà?

41 Rally matematico transalpino, anno 2016

42 Dalla prova per la quinta primaria, Matematica senza frontiere 2017

43 Le prove Invalsi

44 CHE COSA SONO Sono prove standardizzate nazionali per la rilevazione degli apprendimenti preparate dall Istituto nazionale per la valutazione del sistema educativo di istruzione e di formazione (Invalsi) Discipline interessate: Matematica e Italiano Vengono somministrate ogni anno su tutto il territorio nazionale Classi interessate attualmente: seconde e quinte della scuola primaria, terza secondaria di primo grado, seconda secondaria di secondo grado Chi formula i quesiti per le prove: circa 200 autori, per la maggior parte docenti di scuola primaria e secondaria e alcuni professori universitari. Una quota del gruppo è costante, e un altra cambia di anno in anno. Per diventare autori è necessario seguire un corso di formazione di una settimana. Una curiosità: ciascun singolo quesito di matematica viene pagato 10 euro.

45 A CHE COSA SERVONO? «Gli obiettivi sono essenzialmente due: innanzi tutto fornire alla cittadinanza e ai decisori politici i dati generali sul funzionamento della scuola, in particolare il grado di competenze raggiunto dagli studenti in due grandi aree: la comprensione di un testo e la padronanza della matematica in situazioni concrete. Il secondo obiettivo è quello di fornire alle scuole i dati elaborati, in modo che siano possibili valutazioni sul piano didattico, confronti e migliorie.» (Paolo Mazzoli, direttore generale dell Invalsi)

46 Riferimenti Strumenti Fascicolo della prova Griglia di correzione Guida alla lettura della prova di matematica Strumenti consentiti per la prova di matematica Nota Tecnica sugli alunni con particolari bisogni educativi Quadro di riferimento

47 QUADRO DI RIFERIMENTO INVALSI 1. A chi si rivolge il Quadro di Riferimento. 2. La competenza matematica e la definizione degli obiettivi di apprendimento 3. Le due dimensioni della valutazione 4. Il Servizio Nazionale di Valutazione e il contesto internazionale 5. Strumenti disponibili, caratteristiche generali delle prove e criteri di formulazione dei quesiti 6. Strumenti per l'interpretazione della correzione delle prove e l'interpretazione dei risultati

48 La competenza matematica e la definizione degli obiettivi di apprendimento Si vuole in primo luogo valutare la conoscenza della disciplina matematica e dei suoi strumenti, intendendo tale disciplina come conoscenza concettuale, frutto cioè di interiorizzazione dell esperienza e di riflessione critica, non di addestramento meccanico o di apprendimento mnemonico. Una conoscenza concettuale quindi, che affondi le sue radici in contesti critici di razionalizzazione della realtà, senza richiedere eccessi di astrazione e di formalismo. La formalizzazione matematica dovrebbe infatti essere acquisita a partire dalla sua necessità ed efficacia nell esprimere ed usare il pensiero matematico. Gli aspetti algoritmici applicativi ed esecutivi, che pure costituiscono una componente irrinunciabile della disciplina matematica, non dovrebbero essere considerati fine a se stessi.

49 Visti gli obiettivi generali che sono attribuiti all'insegnamento della matematica dalle disposizioni di legge, ma più in generale dalla nostra società, nel solco di una visione della matematica profondamente radicata nella cultura, le prove INVALSI non devono limitarsi a valutare l'apprendimento della matematica utile, ma devono cercare di far riferimento alla matematica come strumento di pensiero e alla matematica come disciplina con un proprio specifico statuto epistemologico.

50 Definizione ufficiale delle otto competenze-chiave (Raccomandazione del Parlamento Europeo e del Consiglio del 18 dicembre 2006) La competenza matematica è l abilità di sviluppare e applicare il pensiero matematico per risolvere una serie di problemi in situazioni quotidiane. Partendo da una solida padronanza delle competenze aritmetico-matematiche, l accento è posto sugli aspetti del processo e dell attività oltre che su quelli della conoscenza. La competenza matematica comporta, in misura variabile, la capacità e la disponibilità a usare modelli matematici di pensiero (pensiero logico e spaziale) e di presentazione (formule, modelli, schemi, grafici, rappresentazioni).

51 INDICAZIONI NAZIONALI (1) Le conoscenze matematiche contribuiscono alla formazione culturale delle persone e delle comunità, sviluppando le capacità di mettere in stretto rapporto il "pensare" e il "fare" e offrendo strumenti adatti a percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali, concetti e artefatti costruiti dall uomo, eventi quotidiani. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri.

52 INDICAZIONI NAZIONALI (2) La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un acquisizione graduale del linguaggio matematico. Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola.

53 INDICAZIONI NAZIONALI (3) Gradualmente, stimolato dalla guida dell insegnante e dalla discussione con i pari, l alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che s intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive.. L uso consapevole e motivato di calcolatrici e del computer deve essere incoraggiato opportunamente fin dai primi anni della scuola primaria, ad esempio per verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti e per esplorare il mondo dei numeri e delle forme.

54 INDICAZIONI NAZIONALI (4) Di estrema importanza è lo sviluppo di un adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e strutture che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell uomo.

55 Le due dimensioni della valutazione Le domande di matematica delle prove del Servizio Nazionale di Valutazione sono costruite in relazione a due dimensioni: - i contenuti matematici coinvolti, organizzati nei quattro ambiti: Numeri, Spazio e figure, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni - i processi coinvolti nella risoluzione. Questa bi-dimensionalità della valutazione è utilizzata in quasi tutte le indagini, ed è indispensabile per fotografare correttamente gli apprendimenti dello studente, individuandone le componenti strutturali. N.B.: Ogni quesito delle prove del Servizio Nazionale di Valutazione viene quindi riferito a un ambito di contenuti e a un singolo processo, ma va sempre inteso che quelli indicati sono l'ambito e il processo prevalenti.

56 Processi 1. conoscere e padroneggiare i contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...); 2. conoscere e utilizzare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico ); 3. conoscere diverse forme di rappresentazione e passare da una all'altra (verbale, numerica, simbolica, grafica,...);

57 4. risolvere problemi utilizzando strategie in ambiti diversi numerico, geometrico, algebrico (individuare e collegare le informazioni utili, individuare e utilizzare procedure risolutive, confrontare strategie di soluzione, descrivere e rappresentare il procedimento risolutivo, ); 5. riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni, utilizzare strumenti di misura, misurare grandezze, stimare misure di grandezze (individuare l'unità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto, stimare una misura );

58 6. Acquisire progressivamente forme tipiche del ragionamento matematico (congetturare, argomentare, verificare, definire, generalizzare,...); 7. utilizzare strumenti, modelli e rappresentazioni nel trattamento quantitativo dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, utilizzare modelli matematici per descrivere e interpretare situazioni e fenomeni, interpretare una descrizione di un fenomeno in termini quantitativi con strumenti statistici o funzioni...).

59 8. riconoscere le forme nello spazio e utilizzarle per la risoluzione di problemi geometrici o di modellizzazione (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, ).

60 Anno 2014: i macroprocessi Le risposte degli studenti sono state disaggregate anche in relazione alle tre fasi del ciclo della matematizzazione.

61 Formulare (F): sono qui aggregati i risultati di tutte quelle domande in cui all allievo è richiesto di descrivere con uno strumento matematico (un equazione, una operazione, una tabella, un grafico, un diagramma,...) un problema o una situazione. Utilizzare (U) sono qui aggregati i risultati delle domande in cui il processo richiesto all allievo è interno alla matematica (trovare il risultato di una operazione, risolvere un equazione,...). Interpretare (I): sono qui aggregati i risultati delle domande in cui l allievo deve leggere e interpretare i risultati delle procedure matematiche implementate o descritte, nel particolare contesto di un problema.

62 Anno 2015 e 2016: le dimensioni Nell'ottica di rendere le prove INVALSI sempre più uno strumento collegato alle Indicazioni Nazionali, le domande sono anche raggruppate secondo una dimensione trasversale legata ai Traguardi per lo sviluppo delle competenze. Ogni domanda viene collegata a un traguardo delle Indicazioni Nazionali e i traguardi sono a loro volta accorpati in Dimensioni. Questa modalità di organizzazione è funzionale a una composizione equilibrata dei fascicoli e alla leggibilità della restituzione dei risultati degli studenti.

63 Tale raggruppamento risponde quindi a esigenze connesse con l'analisi statistica degli esiti delle Prove INVALSI e all'esigenza fondamentale di orientare sempre meglio le scuole nella lettura dei risultati delle Prove in accordo con le indicazioni di legge. Già nelle Guide alla Lettura del 2015 è quindi presente un raggruppamento delle competenze, con riferimento ai Traguardi delle Indicazioni Nazionali, secondo tre aree denominate: Conoscere, Risolvere problemi, Argomentare. Per quanto riguarda le prove di seconda e quinta primaria, ogni domanda viene collegata a un Traguardo per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola Primaria, e ogni Traguardo a una delle Dimensioni suddette.

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65 Strumenti per l'interpretazione della correzione delle prove e l'interpretazione dei risultati Per ogni fascicolo di prove l'invalsi fornisce agli insegnanti una griglia per la correzione in cui sono riportate le riposte corrette per i quesiti a risposta chiusa, e delle indicazioni per la classificazione e la valutazione dei quesiti a risposta aperta. L'INVALSI predispone anche delle Guide alla lettura, contenenti per ciascun item la classificazione in termini di ambito e processo prevalente, il richiamo degli obiettivi di apprendimento coinvolti (dai documenti ufficiali citati al paragrafo 2), un breve commento di natura didattica tendente a chiarire il possibile ruolo dei distrattori e sottolineare alcuni possibili comportamenti degli studenti, altre informazioni utili per capire quali indicazioni fornisce l'item in questione.

66 Anno 2014 AMBITO PROCESSO OBIETTIVI I.N. MACROPROCESSO

67 Per quanto riguarda le prove di seconda e quinta primaria, ogni domanda viene collegata a un Traguardo per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola Primaria, e ogni Traguardo a una delle Dimensioni suddette. AMBITO PROCESSO TRAGUARDI DIMENSIONE Anno 2015

68 Seconda primaria

69 Quinta primaria

70 RISULTATI NAZIONALI

71 RISULTATI NAZIONALI

72 QUESITI

73 STRUTTURA DEI QUESITI Le prove di Matematica sono costituite da quesiti di diverse categorie: a risposta chiusa (scelta multipla) a risposta falsa-aperta (risposta univoca) a risposta aperta, (spiegare, giustificare) cloze (completare)

74 SECONDA PRIMARIA

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87 QUINTA PRIMARIA

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100 Le prove invalsi costituiscono un materiale didattico preziosissimo: prendiamo spunto dalle prove Invalsi per una attività di laboratorio

101 Quinta primaria 1)Prendo spunto dal seguente quesito Processo: Risolvere problemi utilizzando strategie in ambiti diversi numerico, geometrico, algebrico Traguardo: Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.

102 Quante possibilità? Si divide la classe in gruppi e si chiede di calcolare: a) la spesa minima b) la spesa massima c) tutte le possibili spese - Si mettono in comune i lavori e si confrontano i risultati - Si chiede ad ogni gruppo di spiegare i procedimenti seguiti per rispondere alle domande

103 N.B.: si può suggerire di rappresentare le diverse possibilità con dei disegni, oppure si preparano delle tesserine da combinare 1,50 2 0, = ,02 = 7,02

104 Se dalla discussione emerge la necessità o la possibilità di un criterio, si può arrivare a costruire insieme un metodo per percorrere tutte le possibilità. Ulteriore processo che viene attivato: Acquisire progressivamente forme tipiche del ragionamento matematico