Progetto Formativo CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE PER LA PROTEZIONE DAI RISCHI NATURALI RELAZIONE

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1 Progetto Formativo Prof. Luciano Teresi CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE PER LA PROTEZIONE DAI RISCHI NATURALI RELAZIONE A cura di: Castelli Edoardo Anno Accademico

2 INTRODUZIONE Concentrare l attenzione sui materiali isotropi e anisotropi è molto importante per lo studio delle proprietà dei materiali, in relazione alla direzione lungo la quale vengono considerate. È bene ricordare che per isotropia si intende la proprietà dei materiali di indipendenza dalla direzione, ovvero l'invarianza delle relazioni costitutive rispetto a qualsiasi rotazione arbitraria del sistema di riferimento. L anisotropia, al contrario, è la proprietà per la quale un determinato materiale ha caratteristiche che dipendono dalla direzione lungo la quale vengono considerate. Gli aspetti appena descritti, sono stati analizzati nel dettaglio durante il periodo di tirocinio con il Prof. Teresi, mediante l ausilio del software Comsol Multyphisics. Grazie all utilizzo di tale software è stato possibile studiare alcuni casi applicativi su diversi provini e modelli di trave (trazione, distorsione, torsione), che verranno di seguito esposti. Questo studio ha permesso una migliore comprensione delle principali differenze tra materiali isotropi e anisotropi, utile ai fini della stesura della tesi, inerente ai materiali fibro-rinforzati. ELASTICITA LINEARE ISOTROPA Un materiale è detto isotropo quando la relazione tensione-deformazione è la stessa in ogni direzione. In questo caso la risposta elastica è rappresentata da due soli parametri elastici. Le coppie di parametri in uso sono la costante di Lamé (!,!), il modulo di Young e di Poisson (!,!), il modulo di taglio e di compressione (!,!). Di seguito si riporta una rappresentazione matriciale della relazione costitutiva, ossia una rappresentazione mediata dalla scelta di una base. Si ricorda che la risposta isotropa è la stessa in tutte le direzioni, e dunque la sua rappresentazione matriciale sarà la stessa in tutte le basi. In termini di Flessibilità, attraverso i moduli di Young e Pisson, si ottiene la seguente rappresentazione:

3 Nell implementazione del problema sul programma sarà necessario analizzare i seguenti punti: 1. Spazio Ambiente 2. Variabili di Stato 3. Corpo 4. Bilancio Nella sezione iniziale!"#"$%!!"#$%!!"#$%&"'% lo Spazio Ambiente scelto è quello 3D, mentre il tipo di fisica scelta con la quale si formalizzerà il PLV è la forma debole!"#$!!"#$!!"# nella sezione!""!!"#$%&$!!"#h!"#$%&'. Nella parte inferiore della sezione in AddPhysics si definiscono le Variabili Di Stato: in questo caso l incognita è il campo di spostamento, ed essendo un problema di tipo elastico lineare si avranno tre componenti dello spostamento. La simulazione numerica è un esperimento che va progettato attraverso l uso di 3 NODI (o contenitori) rappresentati da: Modello, Studio e Risultati. Inoltre ciascun nodo può essere caratterizzato al suo interno da altri contenitori, relazionabili tra loro.

4 A questo punto si determina il Corpo, rappresentativo del dominio di tutte le equazioni (Bilancio, Congruenza, Costitutiva) che caratterizzano il modello di Elasticità Lineare. Per costruire il corpo, cliccando con il tasto destro sul primo contenitore (Nome File presente in Model Builder) e selezionando!""!!"#!!"#$%!"#$"%!"!!"#$% si aprirà una schermata in cui sarà possibile definire l oggetto. L obiettivo è quello di realizzare una Prova Di Trazione Sul Provino. PROVA DI TRAZIONE SUL PROVINO VINCOLO - INCASTRO Si assegnano a Width, Depth ed Height dei parametri arbitrari che per comodità linguistica italiana vengono fatti corrispondere esattamente a Lunghezza (Lenght), Larghezza (Width) e Altezza (Height) definite nel modo seguente: Inoltre si sceglie un sistema di riferimento centrato nel parallelepipedo!"#$%$"&!!"#$"%.

5 Per poter assegnare i valori dei parametri che definiscono le proprietà del corpo bisogna lavorare nella sezione Model Builder nel nodo!!"#$%"!!"#$%$&$'%(!""!!"#"$%&%#'", contenitore nel quale vengono definite le proprietà del corpo. La prima equazione che viene definita è l Equazione di Bilancio, ossia il PLV:! 0 = (!!!! +!!)!" +!!!"!!!!!!!! Entrambi gli integrandi rappresentano la!"#$!!"#$!"#$%"&' ossia il termine che bisognerà fornire al programma. Mentre per quanto riguarda il calcolo integrale, questo è assunto automaticamente dal programma stesso. Tale principio di bilancio va scritto per componenti, sulla base delle 3 variabili di stato (componenti dello spostamento) precedentemente scelte (!!,!!,!! ), funzione di (!,!,!,!). La nomenclatura da utilizzare nel programma è la seguente:!1! =!!!!" ;!!!1!! =!!!!!!! ;!!!1! =!!!!" ; Mentre per calcolare lo Spostamento Virtuale!, si utilizza l operatore test in questo modo:! =!"#!(!1)

6 Primo Integrando La prima riga del primo integrando scritta per componenti assume questa forma:!11!"#!!1!!12!"#!!1!!13!"#!!1! +!1!"#!(!1) La relazione sarà analoga per le altre righe. Nella sezione!"#$!!"#$!!"#$!!"#$!!"#!!, la prima richiesta del programma è a quale dominio riferirsi che in questo caso specifico è quello totale di tutto il corpo. E come si nota in Weak Expression si ritrovano esattamente le tre righe del primo integrando, scritte per componenti (nella foto sono le relazioni in giallo). L attenzione particolare va al fatto che le espressioni scritte dal programma sono quelle riferite al problema più semplice ossia quello di studio del CALORE (rappresentato dal LAPLACIANO). Infatti, viene scritta la seguente relazione:!"#!!1!!1!!"#!(!1!)!1!!"#!(!1!)!1! + 1[!^ 2!]!"#!(!1) Dove i termini in rosso rappresentano proprio il gradiente dello spostamento virtuale, mentre quelli in blu indicano il Laplaciano, ossia il termine del problema semplice di studio del Calore. Allora per riportare tutto al caso specifico si devono sostituire i termini del Laplaciano con (S11, S12, S13, S21, S22, S23, S31, S32, S33), nel rispetto della simmetria della matrice S. Inoltre il programma aggiunge i termini dei carichi pari ovunque a 1, che vanno sostituiti con (f1, f2, f3). In modo tale che le relazioni assumano questa forma:!"#!(!1!)!11!"#!(!1!)!12!"#!(!1!)!13 +!1[!^ 2]!"#!(!1)! N.B. Scrivere che il campo Tensoriale (matrice 3x3) è il gradiente dello spostamento in questo caso non ha senso perché la tensione non è il gradiente dello spostamento ma la tensione dipende dalla deformazione.

7 La sorgente per questi tipi di problemi prende il nome di carico!"#$%&!!"#$!!"#$!"!#. Secondo Integrando Si assegna nella sezione!"#$!!"#$!!"#!!"#$!!"#$ il Flusso di carico al bordo!. Siccome si sta valutando il provino sottoposto a trazione, la sorgente in questo caso è proprio una forza di trazione su una delle facce del parallelepipedo. Per poter assegnare la condizione al bordo bisogna introdurre nel nodo!"#$!!"#$!!"#$!!"#$%&'($&"#. N.B. Il simbolo con bordino viola indica le condizioni al contorno, mentre il bordino pieno indica condizioni di dominio. Nuovamente la prima richiesta è di determinare il dominio sul quale agirà questa forza di trazione. Selezionando il corpo si sceglie la faccia sulla quale s impone la seguente condizione di trazione:!1!"#!!1 +!2!"#!!2 +!3!"#!(!3) Siccome nel caso in questione si considera una sorgente di tipo orizzontale, spariscono i termini!2!!!!3. E possibile valutare quanto detto nell immagine seguente: Nel PLV per definizione la RISULTANTE DELLE FORZE DEVE ESSERE NULLA. Pertanto il problema per come è stato formulato non ha senso, perché la risultante non è nulla ossia il problema è mal posto (forze non sono bilanciate). Per bilanciarle va inserito un opportuno VINCOLO ( Costraint ) in grado di erogare le reazioni vincolari necessarie. Nel caso in esame s inserisce un VINCOLO d INCASTRO, in questo modo il problema diventa ben posto.

8 Il vincolo di incastro può essere assegnato all interno del nodo!"#$!!"#$!!"#!!"#$!!"#$%&'(#%. La prima richiesta è sempre quella di definire il dominio che corrisponderà alla faccia dove dare la condizione di vincolo (faccia opposta a dove è applicata la sorgente). Inoltre per assegnare la condizione d incastro bisognerà imporre che u1, u2 e u3 sono pari a zero semplicemente scrivendolo accanto a R che nel programma indica l equazione R=0 di vincolo. Il problema appena impostato richiede di trovare! tale che:! =!!!"!!!!!!!!!!!!"##$%&"'()'*)!!""!!!"##$"!1! 0 = (!!!! +!!)!" +!!!"!!!!!!!!,!!!!!!!!"##$%&"'()!!""!!!"##$"!6 A questo punto mancano la relazione di CONGRUENZA e COSTITUTIVA, ovvero bisogna definire tensione e deformazione. Riscritte per componenti:!"#$%&'#()!! =!"#!!!!!!!!!!!!"#$%$&$%'(!!! =!!! =! 1 +!!! +!" 1 +! 1 2!!"!!!!!11 =!1!!!!!!!(!"#!$%&'($#!1!!"#$%&'(!!"#$%&&'!!!!)!

9 !12 = (!1! +!2!)/2! Bisogna scrivere sei espressioni, e per scrivere la relazione costitutiva è necessario quantificare i due parametri Poisson e Young. Per semplicità vengono considerati come PARAMETRI, dando un valore arbitrario al modulo di Young, (in questo caso pari a 1) e dando un valore al modulo di Poisson facendo attenzione a non ottenere una forma indeterminata dal rapporto nella relazione costitutiva. Inoltre per semplificare l espressione si possono utilizzare i PARAMETRI di LAME :!" 1 +! 1 2! =!!!!!!!!!!!!!!! 1 +! =!! Per evitare di perdere l analisi effettuata in maniera parametrica, vengono assegnati in funzione del modulo di Young, chiamati rispettivamente!! (in realtà sarebbe 2"!),!!in funzione di Y, e!", ovvero!!in funzione di Y. Come si notanell immagine l unità di misura del modulo di Young è in Pascal. Potrebbe anche essere espressa in Joule/m 3 che rappresenta la densità di energia ossia mostra la resistenza del materiale. Nella sezione Parametres sono definiti solamente dei parametri, e questo è valido solo per un materiale omogeneo. Mentre per un materiale non omogeneo il Modulo di Young Y è una funzione che varia da punto a punto (rigido da una parte e flessibile dall altra), quindi non può essere inserito nel contenitore dei parametri ma in quello delle VARIABILI. Infatti, all interno del nodo!"#$%!!!!"#$%$&$'%(!"#$"%&'(, si possono inserire delle funzioni, come per esempio un carico variabile che è una funzione e che quindi non si può definire come parametro. La prima richiesta è sempre di specificare il dominio.

10 A questo punto vanno definiti Deformazione!! e Distorsione!!!. Si ricorda che la deformazione elastica è pari a:!! =!!! La deformazione! (che varia da punto a punto) è una funzione che andrà opportunamente inserita nel nodo VARIABILI!"#$"%&'(. In particolare viene definita inserendo ciascuna componente (E11, E22, E33, E12, E13, E23). Inoltre si definisce anche la traccia Tr(E), sia perché da informazioni su quanto è variato il volume del corpo sia perché compatta l espressione. In questo modo è possibile scrivere la relazione costitutiva per ciascuna componente:!11 =!"!11 +!"!"(!") La distorsione!! è un dato da noi assegnato. Se è costante può essere definita all interno di!!"#"$%&#%',!altrimenti se è un campo all interno di!"#$"%&'(. In questo caso viene considerata come un parametro ed è posta pari a zero. La forza di trazione agente sul provino (faccia 6) è stata chiamata!1!(!,!,!) ma non è stato assegnato il suo valore, allora per farlo si carica un altra variabile.

11 Allora tra i parametri viene definita la funzione tiro (ovvero la forza orizzontale) che, per semplificare lo studio, viene considerata come un parametro pari a 1!!/!! e non una funzione. In realtà bisogna chiedersi se il valore di 1!!/!! assegnato al tiro è un valore corretto. Mettendo 1!!/!! si avrebbe un corpo di 1 m 3 che immagazzina energia pari ad 1 Joule che avendo un modulo di Young molto basso è iperdeformabile. Procedendo con il comando Solve, nella sezione!"#$%!!"#$%&'!""!!"#$% Study!1!"#$%&' è possibile analizzare il risultato all interno del nodo!"#$%&#, risultato corrispondente al provino colorato. I colori definiscono la deformazione maggiore o minore del corpo causata dalla forza orizzontale. Si nota graficamente come gli spostamenti orizzontali sono proprio legati al modulo di Poisson. Però il modello ottenuto non va bene, perché un modello di elasticità lineare funziona solo con spostamenti piccoli e non ammette spostamenti troppo elevati. Per realizzare una prova di trazione (bloccando il corpo da una parte e tirandolo dall altra) in modo che quest ultimo si allunghi piano piano, bisogna risolvere una sequenza di problemi, per un carico nullo, per un carico piccolo, per un carico un po più grande e così via. Per farlo ci si riferisce a!"#$!!, che indica il tipo di problema che si sta risolvendo, che in questo caso è di tipo stazionario. In questo nodo è possibile selezionare!"#$%#&'$%"# che consente di assegnare dei carichi in maniera crescente. Ossia il programma cerca la soluzione i a partire dalla soluzione i-1, e questo quando ci sono dei carichi incrementali è molto utile perché il dominio di calcolo è sempre lo stesso. Per cui il primo carico sarà pari a zero e quindi la soluzione è identica al corpo disegnato, il secondo carico è piccolo e quindi la soluzione è vicina a quella precedente; il terzo carico e gli altri sono via via più grandi. Quindi il programma cerca la soluzione in conformità a tutte le informazioni ottenute dalla soluzione precedente. Dalla lista di tutti i parametri ovviamente quello che verrà fatto variare è appunto il TIRO ossia la forza di trazione orizzontale.

12 La deformazione più importante è quella longitudinale ovvero E11, e la deformazione massima è del 6-7%, che per un problema lineare è molto. La tensione non interessa perché dipende dal modulo di Young che è assegnato, mentre la deformazione da informazioni sulla possibilità che il problema abbia senso oppure no. Dal grafico si nota come la deformazione è uguale dappertutto, mentre solo sull incastro è molto grande. Infine si vuole determinare un grafico tensione-deformazione,!! per farlo si entra nel nodo!"#$%&!"#"!"#!""!!"#!!"#$%!3!" e si misura la deformazione in L perché non ha interesse a misurarla nell incastro.ricordando che l origine coincide con il baricentro del corpo, quindi a x si assegna L/2 mentre a y e z si assegna il valore zero. Si nota dal grafico!!! che questo essendo un problema lineare, tanto si tira tanto il corpo si allunga, si ricorda che la pendenza di questo grafico rappresenta il modulo elastico. CONTROLLO DELLO SPOSTAMENTO In questo caso non è assegnato un tiro al provino ma una condizione di spostamento. Infatti, controllare lo spostamento vuol dire dare delle condizioni al bordo cinematiche, di cui la più banale è imporre proprio che lo spostamento! = 0. Quindi nuovamente con!"#$%&'!"# si inserisce la condizione cinematica di tiro con la seguente relazione: dove!"#$ =!.!1!"#$ = 0

13 Quindi!"#$ è pari allo spostamento virtuale che va opportunamente definito nei parametri. Si ricorda che il problema fisico ha senso se il carico è circa 10 volte più piccolo del modulo elastico. Allora anche in questo caso bisogna fissarne un valore, controllando che gli spostamenti non siano troppo elevati proporzionalmente alle dimensioni del corpo, ossia se il provino è lungo 2 m non si possono verificare spostamenti di 1 m. Un valore corretto di!!"#$ =! = 0,1!!. Si ottiene il seguente risultato: Nei punti in L non si ha una crescita del corpo, ma le dimensioni restano le stesse. STUDIO DELLA DISTORSIONE In questo caso viene tolta la!"#$%#&'$%"#( dei carichi e dello spostamento, quindi quello che si ottiene dal punto di vista della soluzione è un corpo non deformato in cui le linee nere rappresentano l oggetto nella configurazione di riferimento mentre la parte colorata indica la configurazione effettiva dell oggetto sempre a energia elastica nulla. A questo punto in!"#"$%&%#' si accendono le Distorsioni Sferiche (ossia quelle sulla diagonale della matrice) e si assegnano i seguenti valori: I valori assegnati alle distorsioni (Eo11, Eo22, Eo33) devono essere dello stesso ordine di grandezza della deformazione!. Infatti, quest ultima normalmente può essere dell ordine di 10!! quindi per poterle confrontare si assegnano valori simili alle distorsioni. In questo caso si è adottato un valore pari a 0.1 perché è già un valore abbastanza grande, infatti, rappresenta il 10 % del volume del corpo.

14 Si ricorda che la Distorsione!! è la deformazione che il corpo vorrebbe realizzare, ossia esiste un! =!! e quindi con una deformazione elastica nulla!! = 0. In questo caso particolare l incognita è lo spostamento mentre l ingresso è proprio la distorsione!!. Per capire cosa succede all interno del corpo si entra nel nodo!!!!"#$!!"#$%!"#$%", comando che consente di dividere in tante FETTE il corpo stesso. L aspetto particolare è che ogni fetta può essere colorata anche con riferimento ad un parametro specifico (per esempio in questa immagine le fette vengono colorate con riferimento alla distribuzione della componente S11 nel corpo). Si nota come ovunque la distorsione si è realizzata, quindi non c è stato un cambiamento di energia elastica ossia! =!!!! = 0. Mentre nell incastro ci sono anche altri colori ad indicare che la distorsione assegnata non è realizzabile perché ogni punto sull incastro è vincolato e quindi!! 0 ossia è presenta quindi uno stato tensionale. Il campo di sollecitazione presente nell intorno dell incastro (dove si ha una variazione di colore) si chiama COAZIONE, perché è il corpo stesso che la produce. Considerando invece come vincolo un glifo, si nota come il corpo riesce a realizzare la distorsione (vuole essere più grande e ci riesce) poiché il vincolo in esame è meno restrittivo di quello d incastro. Inoltre ricostruendo il grafico a fette come dappertutto l energia elastica è nulla ossia non si è realizzato uno stato tensionale.

15 STUDIO DELLA DISTORSIONE PER FLESSIONE In questo caso la prima cosa importante da capire è quale campo di distorsione bisogna assegnare per vedere la flessione. Si nota come per flessione verso l alto, nella parte superiore l elemento di volume diminuisce mentre nella parte inferiore aumenta. Quello che si fa è di mettersi nella condizione SFERICA ossia solo lungo la diagonale:!!!! =!!!;!!!!! =!!!;!!!!! =!! In questo modo però la distorsione diventa un campo quindi non può essere definita in!"#"$%&%#', ma piuttosto in!"#$"%&'(. E ciò che invece andrà opportunamente definito nei parametri è il coefficiente! = 0,1. Se si considera una distorsione anche in direzione x del tipo:!!!! =!!! Si nota come il provino dopo una certa ascissa assume una forma prevalentemente rettilinea. Inoltre all aumentare della flessione si nota oltre alla flessione d asse anche la flessione dei piani della sezione in maniera molto chiara.

16 ELASTICITA LINEARE NON ISOTROPA Un materiale è detto anisotropo quando la relazione tensione-deformazione cambia a seconda della direzione. In questo caso la risposta elastica è rappresentata da molti parametri elastici. In questa relazione si considerano solamente due classi di risposte anisotrope: Risposta ortotropa: materiali che presentano tre piani di simmetria tra loro ortogonali, la cui risposta elastica è descritta da nove parametri. Si assegna in primo luogo la relazione costitutiva per un materiale ortotropo: Come vediamo, non avendo a che fare con un materiale isotropo abbiamo 3 moduli di Young, 3 moduli di Poisson e 3 moduli di taglio (G). In questo caso si scrive bene la MATRICE DI FLESSIBILITA in cui appaiono in modo esplicito i parametri elastici (cerchio rosso). Essa rappresenta l inverso della matrice di rigidezza. Nel caso isotropo le due matrici sono simili e la matrice di flessibilità si scrive in maniera semplice con ν e Y mentre la matrice di rigidezza si scrive bene con µ e λ. Se il materiale non è isotropo la cosa è più complicata perché mentre la flessibilità la riesco ad esprimere bene con ν e Y, la rigidezza, data dalla seguente matrice

17 è più complicata da rappresentare in termini di ν e Y perché ogni elemento della matrice è legato in maniera diversa ai parametri elastici che solitamente sono i dati noti. In particolare: I coefficienti di questa matrice variano a seconda dell esperimento che stiamo effettuando. Infatti solitamente si fanno delle prove di flessione in cui si tira un provino con un valore di sforzo noto e poi si calcola il valore della deformazione. Dunque mentre la flessibilità viene assegnata la rigidezza viene calcolata in modo automatico con le relazioni dei coefficienti D sopra riportate (per risolvere un problema serve la rigidezza, infatti nell equazione di bilancio c è la rigidezza). Mentre per un materiale isotropo specificare la base non è importante, per un materiale non isotropo risulta fondamentale, infatti, cambiando il sistema di riferimento per un materiale anisotropo cambiano i coefficienti della matrice di rigidezza e dunque cambia il risultato. Si realizzano esperimenti in cui si ha un materiale non isotropo con DIREZIONI DI ANISOTROPIA come in figura: A questo punto è necessario effettuare un cambio di base. Per farlo si fa riferimento al seguente file implementato sul software Wolfram Mathematica.

18 Questa è la matrice di rigidezza nel sistema di riferimento globale. Vado ad effettuare un cambio di base per riportare questa matrice nella nuova base: Trovate tutte le componenti della matrice soprariportata si ottiene la seguente matrice di rigidezza nella nuova base: Come vediamo, rispetto a quella ottenuta nel sistema di riferimento locale si sono accesi anche altri termini. Questo è dovuto al semplice cambiamento di base effettuato che prevede la sola rotazione attorno all asse 3. In questo modo si accendono solo in più la 4 riga e la 4 colonna, ma non tutte le componenti ossia permane qualche componente nulla.

19 Una volta effettuato il cambio di base bisogna ritrovare quelli che sono i coefficienti Da, ossia quelli della matrice di rigidezza nella base globale. Per farlo si estrae per ognuna delle 6 righe i 6 coefficienti Da in funzione dei coefficienti Db ottenuti nella nuova base al fine di trovare tutte le 36 componenti della matrice di rigidezza nella nuova globale. Per estrarre i vari coefficienti si consideri la procedura adottata per la prima riga della matrice riportata nell immagine sovrastante. Si ricorda che α è l angolo di rotazione. Si noti come agendo 4 volte sulla rotazione abbiamo anche termini del tipo cos 4 (α). Controllo che la matrice di rigidezza ottenuta sia simmetrica attraverso la seguente procedura:

20 Ovviamente i valori ottenuti dovranno essere tutti nulli e la procedura andrà ripetuta per tutte e 6 le righe della matrice di rigidezza. Consideriamo le matrici di rigidezza per le varie tipologie di materiali: ANISOTROPO: Si noti come i moduli di taglio sono tutti e tre diversi tra loro. Risposta trasversalmente Isotropa: materiali che presentano un asse di simmetria trasversa, ed hanno una risposta isotropa nel paino ortogonale a tale asse. In questo caso la risposta elastica è descritta da 5 parametri. Si noti come i moduli di taglio sono funzione degli elementi presenti nel quadrato rosso. In questo caso devo calcolare solamente i 5 parametri nel riquadro rosso. Si osservi come facendo una prova di tiro in direzione 3 o 2 su un materiale con la soprariportata matrice di rigidezza, ottengo la stessa rigidezza (Db22). Dunque il materiale è isotropo nel piano 2-3. Per far diventare i coefficienti generici, calcolati come visto nelle pagine precedenti, idonei per un materiale trasversalmente isotropo vado ad applicare la seguente Regola di Sostituzione:

21 Per un materiale di questo tipo avrò una matrice di flessibilità più semplice. Si riportano la matrice di flessibilità e di rigidezza per un materiale trasversalmente isotropo calcolate dal programma: FLESSIBILITA RIGIDEZZA: È l inverso della matrice soprariportata. Per ottenerla considero i seguenti passi: Innanzitutto si inverte la matrice di flessibilità e poi, osservando che il denominatore è lo stesso per tutte le componenti, si sceglie un nome (deno) e si va a esprimere ciascuna componente moltiplicando per il denominatore. In questo modo di tutte le componenti apparirà solamente il numeratore. Si ripete il procedimento sopra riportato per la prima riga per tutte le 6 righe, ottenendo così la matrice di rigidezza finale.

22 PROVA DI TRAZIONE SUL PROVINO Si procede con l effettuare esperimenti di trazione sul provino di materiale elastico non isotropo. Un materiale elastico non isotropo non si trova facilmente. Non essendo presente nel pacchetto base la possibilità di fare un analisi non isotropa è stato implementato un modello di materiale non isotropo nella versione base del programma. Siccome ci sono tante variabili e molte di esse hanno un ruolo speciale è opportuno fare tanti nodi quante sono le variabili (in DEFINITION faccio vari nodi quali stiffness, congruence, ecc.) Il primo parametro che utilizzo è un ANGOLO che mi dice come è orientata la direzione di isotropia trasversa. Mi muovo solo nel piano 1-2 dunque la rotazione è semplice. Dopo l angolo vado a definire i 9 MODULI ELASTICI, 3ν, 3Y, 3G. Inoltre, siccome tutto deve funzionare anche nel caso isotropo vado a scrivere i 3 MODULI ELASTICI NEL CASO ISOTROPO in funzione delle costanti di Lamè (µ e λ). Quanto detto è riassunto nella seguente immagine che fa riferimento al programma:

23 A questo punto si definiscono le componenti della matrice di rigidezza nella base locale: Si prende dal file matematica commentato precedentemente le equazioni di ciascuna componente e si copiano all interno del programma come riportato nell immagine sopra. Nel secondo nodo STIFFNESS MATRIX si riportano le 36 componenti nella base globale del tipo Daij copiando le equazioni delle componenti precedentemente ricavate nel file di matematica. N.B. Si dovrà far attenzione alla sintassi diversa usata dai due programmi. Infatti, ad esempio, in Comsol la C del coseno è minuscola mentre in Mathematica è maiuscola ed inoltre vanno sostituite le parentesi graffe con le quadre. Nel terzo nodo vengono inserite le EQUAZIONI DI CONGRUENZA (Congruence), dove si definisce la deformazione elastica attraverso le derivate dello spostamento. Il quarto nodo è quello in cui sono riportate le DISTORSIONI (Distortions), utili nel caso in cui si volessero modellare processi termici. Il quinto nodo, presente sempre nel nodo Definition, è relativo alle RELAZIONI COSTITUTIVE (Costitutive Relation): essendo una relazione simmetrica si scrivono solo 6 componenti ciascuna come combinazione lineare delle componenti Da e Ea.

24 In questo caso, a differenza della forma soprariportata, non sapendo se sono presenti zeri o meno, si scrivono tutte le componenti che poi si andranno ad annullare a seconda dell esperimento. A questo punto si passa ad una serie di nodi, sempre all interno del nodo Definition, nei quali sono definite varie TIPOLOGIE DI CARICO:! BULK LOAD (Carichi semplici).! BOUNDARY TOURQUE (Coppia torcente).! BOUNDARY SHEAR LOAD (Carico di taglio). Nel caso in esame si disabilitano le ultime due tipologia di carico, in quanto si analizza una prova di trazione sul provino. N.B.Si ricorda che le rigidezze e l angolo stanno tra le variabili perché potrebbero essere un campo. Caso in cui α=0 : Tirando l oggetto solamente nella direzione x, il mio blocco si allunga solo in quella direzione: In queste simulazioni è fondamentale conoscere il materiale all interno e sapere come è fatto. Per analizzare internamente il materiale si utilizza il nodo 3D plot Slice Slice 1. Si usa questa fetta per visualizzare la componente della tensione S11 (si mette tale espressione in Expression)..

25 Inoltre nella stessa finestra grafica si inserisce un altro nodo STREAMLINE (campo vettoriale), e siccome si sta lavorando in campo 3D il programma richiede le 3 componenti del campo vettoriale, rappresentato dalle seguenti direzioni di anisotropia: Nel plot della soluzione, oltre alla Slice si vedrà anche il risultato dell aggiunta di questo campo vettoriale. Nella seguente immagine si nota il valore del campo vettoriale in alcuni punti (linee rosse). Infatti in ogni punto c è un vettore, ma il programma ne grafica solamente alcuni: Le linee rosse rappresentano la DIREZIONE DI ANISOTROPIA. Il materiale è omogeneo dunque la direzione è la stessa ovunque. I due nodi Slice e Streamline hanno come sottonodo la deformazione, in quanto si vuole visualizzare anche le deformazioni della fetta e delle direzioni di anisotropia (si noti che sono deformate nella figura).

26 Caso α=π/2: La freccia rossa rappresenta la DIREZIONE 1 DEL MATERIALE. Infatti si sta tirando il materiale nella direzione in cui il modulo è 0.5 e non 1 come nel caso precedente, in cui la direzione 1 del materiale (direzione delle fibre) coincideva con la direzione per cui il modulo di Young era unitario. Pertanto si tira il provino sempre nella direzione orizzontale ma nel primo caso era pari alla direzione delle fibre e Y=1 mentre in questo caso è ortogonale alla direzione delle fibre e Y=0.5. Per capire meglio quanto detto si rimanda alla figura iniziale in cui erano definiti i 3 valori del modulo di Young. Dunque la deformazione, in questo caso, sarà maggiore della deformazione nel caso precedente: Dall immagine sopra riportata si nota l EFFETTO DI POISSON: infatti, il provino si è espanso e contratto in maniera diversa (non proporzionale) nelle due direzioni, mentre nel caso di un materiale isotropo si avrebbero un espansione e una contrazione analoghe. Se analizziamo le tensioni interne e le direzioni di anisotropia, si avrà anche in questo caso un cambiamento:

27 Caso α variabile: Per rendere α variabile bisogna effettuare un analisi parametrica. Dunque bisogna lavorare nel nodo Study1 Step1 Study Extension Continuation, nel quale si inserisce la lista dei parametri che si fanno definire dal programma. In questo caso in Entry Methods si usa Number of value definendo un range di valori da 0 fino a π/2, con 10 intervalli ossia 10 valori. Si può utilizzare anche il comando Step (nel nodo Entry Methods) per fornire il passo dell intervallo tra due valori. Se non viene visualizzato il risultato potrebbe essere perché il nodo PARAMETRICS (nodo creato in automatico che gestisce l analisi parametrica) è stato disattivato. Infatti il nodo non viene riabilitato in maniera automatica. Pertanto è necessario andare in Parametrics e riattivarlo. Il procedimento per arrivare al nodo Parametrics è rintracciabile dalla seguente immagine: A questo punto, nella finestra che gestisce il grafico, appare una casella che chiede il parametro da graficare:

28 Si noti come il piano sbanda, anche se il provino viene tirato sempre e solo nella stessa direzione, cambiando solo la direzione delle fibre. L aspetto importante è che il provino, oltre che nella direzione in cui viene tirato, si sposta anche nella direzione ortogonale, dunque c è un accoppiamento tra il tiro in direzione 1 e gli spostamenti in direzione 2-3. Anche se lo spostamento ha una flessione lo stato di sollecitazione resta sempre uniassiale ossia non cambia. Per visualizzare le varie componenti sostituisco nel pannello del 3D PLOT SLICE in EXPRESSION i vari Sij e Eij. Se ne riporta un esempio: Il valore della componente lo leggo in basso, ad esempio in questo caso è pari x10-15 = 0 (le macchie colorate rappresentano degli zeri numerici). Attraverso questo procedimento è possibile riempire tutte le componenti della matrice S e della matrice E. Così facendo ci si accorge che nella matrice S, tranne la componente S11, tutte le altre componenti sono nulle. Nella matrice E invece, quasi tutte le componenti sono non nulle. Questo rappresenta proprio l accoppiamento tipico di un materiale anisotropo. Attraverso il pulsante in alto a destra PLAY è possibile visualizzare l animazione di tutte le soluzioni precedentemente calcolate e memorizzate in sequenza. Utilizzando tale tasto il programma va a graficare tutte le soluzioni al variare del parametro α.

29 Le animazioni vengono gestite nel nodo EXPORT. In particolare nel file sono individuati due sottonodi PLAYER 1-2 (quello a cui fa riferimento il programma è il player 2), attraverso i quali si gestisce l animazione scegliendo i parametri e i valori da animare (in questo caso il parametro è ANGLE e i valori sono ALL). A questo punto, è interessante vedere cosa succede alle estremità, ossia si vogliono misurare gli spostamenti. A tal proposito si consideri il provino in figura: Si vuole sapere di quanto si sposta la faccia in direzione 1 ossia U 1 e di quanto lo spigolo si sposta in direzione 2 ossia U 2. Si utilizza la stringa: Data set Cut Point Center face e si definiscono le Coordinate del punto (in questo caso il centro della faccia). Eventualmente con un plot è possibile graficae il punto individuato. Si utilizza la stringa: Data set Cut Point Edge face e si definiscono le Coordinate dello spigolo della faccia. Possono essere utili anche altri comandi per individuare una Sezione Verticale o l Asse del blocco rispettivamente indicati con Cut Line Vertical e Cut line Axis. Si riporta una schermata dei suddetti comandi:

30 A questo punto si visualizzano i due spostamenti e dunque si crea un nodo per il grafico 1d che chiamo 1d plot dispacement. Per creare il grafico si definiscono due sottonodi Point Graph 1-2. In particolare ciascun nodo serve per plottare lo spostamento di ciascuno dei due punto sopracitati. POINT GRAPH 1: in Data set si inserirà Cut point Center face. Parameter!"#$%&&'()! =!!"#$% 180/! POINT GRAPH 1: in Data set si inserià Cut point Edge face. Parameter!"#$%&&'()! =!!"#$% 180/! In X-axis In X-axis Per definire una Leggenda in entrambi i casi si utilizza la seguente stringa: Legend spunto Show legend Legend manual U 1 nel primo caso e U 2 nel secondo caso. Si può graficare così il risultato: Come vediamo nel caso di fibre orizzontali non si ha sbandamento infatti parte e arriva a 0 tra 0 <! <!.! In mezzo lo sbandamento è prima positivo e poi negativo. L andamento blu invece dà un idea della rigidezza apparente, ossia di quanto è rigido questo materiale. Il carico è sempre lo stesso mentre lo spostamento assiale è diverso al variare di α. Ad esempio con le fibre messe un po in diagonale α=40 si ha lo spostamento minimo. Dunque la rigidezza apparente ce l ha quando lo tiro con un angolo rispetto alla direzione delle fibre di 40. I valori graficati dipendono dai parametri elastici che sono stati messi.

31 In seguito è stata effettuata un altra analisi cambiando i moduli elastici. Siccome si vuole conservare la soluzione commentata finora, per fare un confronto si copia la soluzione precedente. La stringa da utilizzare è: Solver Configuration Solver1 (destro)solution Copy Successivamente nel Data set appare un altro pallino rosso Solution2. Cliccando su questo nodo si può constatare come i valori utilizzati provengano proprio da Copy 2. Così è possibile definire i nuovi moduli elastici come segue: Rilanciando la soluzione si avrà una Solution 1, che riguarda l ultima modifica effettuata, e una Solution 2, copia della soluzione precedente. Per effettuare il confronto si aggiungono alle ultime le vecchie soluzioni dunque in Solution 2 si aggiungono i nodi Cut point Center face e Cut point Edge face. In questi nodi in Data set si dice al programma di prendere quelli della soluzione 2 Solution 2 ossia quelli della vecchia soluzione.

32 Si aggiungono anche due nodi nel 1D Plot Displacement in modo da avere 4 nodi e in ciascun nodo avere uno spostamento di un diverso punto: Il comportamento qualitativo e lo stesso nei due casi. La rossa sale e scende mentre quella blu, per α piccoli è più alta quella tratteggiata, mentre per α grandi è più alta quella della soluzione più recente.! PROVA DI TAGLIO (Shear) SUL PROVINO: Per imporre un carico di taglio si lavora nel Definition sfruttando i carichi che erano stati definiti in precedenza: DISATTIVO ATTIVO BUONDARY TRACTION. BOUNDARY SHEAR LOAD. Successivamente bisogna assegnare il CAMPO DI FORZA sulla faccia 6. In particolare per avere la situazione nella figura seguente dovranno essere nulle tutte le componenti eccetto U 3 : In particolare, siccome il TAGLIO E MOLTO PIU GRAVOSO DELLA TRAZIONE, si riduce il tiro1 di 100 volte:

33 Bisogna sostituire il vincolo precedente (ottimale per la sollecitazione uni assiale) con un incastro. Questo perché mentre prima non avevamo sforzi di taglio e dunque per eliminare la traslazione verticale bastava una piccola cerniera (essendo lo sforzo uniassiale non avevo reazioni sulla cerniera), in questo caso, avendo sforzi di taglio ho bisogno di VINCOLI CHE EROGHINO UNA FORTE REAZIONE VINCOLARE E DUNQUE USO UN INCASTRO. Per mettere un incastro si va nei nodi relativi ai vincoli Constraint e oltre alle componenti U 1 e U 2 già presenti si mette anche U 3, infatti l incastro blocca tutte le traslazioni: Con il vincolo corretto ottengo la soluzione seguente: Questa è la soluzione ottenuta per α = 0 e come vediamo ho PURA FLESSIONE.

34 Usando un altro parametro, ad esempio α = , si avrebbe anche TORSIONE. Infatti si ha un accoppiamento perché si ha il carico solo in direzione verticale e il campo di spostamento che si accende tutto: A questo punto si aggiunge una fetta orizzontale sulla quale si grafica S33 e si scopre che ha un valore omogeneo su tutto lo strato medio. ANDANDO A VISUALIZZARE L ANIMAZIONE SI VEDE BENE COME IL PROVINO SBANDI PRIMA DA UNA PARTE E POI DALL ALTRA E INFINE TERMINA SENZA TORSIONE.

35 LIBRERIA MATERIALI Travi in elasticità lineare - Studio Stazionario Essendo un problema tridimensionale, la prima scelta da effettuare nel programma è!"#"$%!!"#$%!!"#$%&"'%!!". Dentro!"#$%"$#&'!!"#!!"#$% si seleziona!"#$%!!"#$%&'#(, analizzando il caso di uno studio stazionario. Il primo passo è quello di introdurre dei parametri cliccando con il tasto destro su!"#$%"!!"#$%$&$'%!!"#"$%&%#', dove si definisce la lunghezza, altezza e la larghezza della trave ed una serie di parametri attinenti le caratteristiche dei materiali, mostrati nella figura sottostante. A questo punto è importante definire la geometria entrando dentro!"#$"%&'!!"#$% inserendo dentro Width Lenght, definita nei parametri, in Depth Width e in Higth Hight. Come si nota il programma disegna un parallelepipedo. In Position si può scegliere la posizione dell'origine del sistema di riferimento e scegliendo ad esempio Center il sistema di riferimento viene posizionato nel baricentro del parallelepipedo. A questo punto si costruisce un altro parallelepipedo uguale al precedente, mediante il Duplicate del primo Block, lungo sempre Lenght, con una Width che è la Width Top definita nei parametri, che sarebbe la larghezza della soletta della trave, con una Hight che è una Hight Top. Il programma la posiziona nel centro, essendo il sistema di riferimento baricentrico, e quindi si deve traslare verso l'alto la soletta di una quantità pari a Hight/2 + Hight Top/2. Si ottiene così la prima trave composta da anima e soletta. Questa trave viene ulteriormente modificata disegnando un cilindro che presenta un raggio che è pari al raggio inserito prima nei parametri, e questo cilindro si posiziona con una direttrice che è lungo l'asse y, e il cilindro viene lungo quanto è larga l'anima poiché lo posizioniamo lungo la y. Siccome l'asse di riferimento è centrale, la base del cilindro sta in mezzeria dell'anima ovvero la base del cilindro sta in mezzeria per cui si deve traslare indietro lungo la y la base del cilindro di una lunghezza pari a metà della sua lunghezza, così da avere il cilindro proprio a metà dell'anima.

36 Adesso si vogliono formare altri cilindri, e senza perdere tempo, Comsol ha una funzione che si chiama Array,!"#$"%&'!!"#$%&'"(%!!""#$ dove come input si mette l'unità che viene ripetuta, e si effettua un Array lineare per mettere i cilindri su una retta. Si considerano 5 di questi cilindri quindi in Size si mettono 5, le unità che devono essere ripetute e ognuna si sposta in avanti rispetto alla originaria della lunghezza della trave diviso dieci. Quindi si ottengono cinque cilindri in avanti, e creando un altro Array modificando l'input, si mette in!"#$!"#$%$&' un meno,!"#$h!/10. Finora quindi si sono solamente posizionati i cilindri all'interno dell'anima, invece adesso si vuole "bucare" l'area della trave, forare quindi la trave in corrispondenza proprio di questi cilindri. Si sfrutta quindi nel calcolatore la funzione presente dentro!"#$"%&'!!""#$%&!!"#$%&'!()!!"##$%$&'$. Ovvero si vuole creare la soletta più l'anima, e da sottrarre sono proprio i 10 cilindri che aggiungiamo in Objects to subtract. Si copiano i due Block, per costruire una trave uguale senza però i cilindri, traslando in Position lungo zeta di due volte Higth, ovvero il baricentro della trave di sopra dista due volte l'altezza dal baricentro della trave di sotto. Si utilizza quindi la libreria presente in Comsol tramite il comando!"#$%&"'(!"#$!!"#$%&"'!!"#$%&". In questo caso il materiale scelto è la quercia rossa American red oak e l'acciao strutturale Structural Steel e tramite il simbolo + si aggiungono i materiali, e in Material Properties sono elencate tutte le proprietà dei materiali selezionati. Quindi sotto il nodo!"#$%&"'( compaiono i due materiali. Bisogna ora assegnare questi materiali scelti, assegnando in questo caso l'american red oak alle due anime e in Structural Steel le solette. Questo si fa cliccando sui due nodi relativi ai due materiali. All'interno del nodo dei materiali c'è la possibilità di utilizzare una funzione che permette di colorare i materiali. Finora quindi sono stati definiti i parametri del modello, la geometria e i materiali. Adesso bisogna considerare l aspetto della elasticità lineare. All'inizio si è selezionato!"#$%!!"#$%&'#( e questo il programma lo ha applicato a tutti e 4 i domini, e mediante "l'occhietto" sotto Model, con il quale è possibile attivare alcuni funzioni di Comsol come la Equation Views. Per esempio nel nodo Linear Elasticity possiamo vedere il tipo di variabili, il modello, la descrizione, l'espressione, le unità di misura e cos' via.

37 L'analisi che verrà effettuata è tutta in elasticità lineare per cui non dobbiamo ricavare funzioni aggiuntive, e si può notare come all'interno del nodo Elasticity si ha Linear Elastic Materials e il programma di default è andanto a prendere per ogni dominio i valori del modulo di Young, di Poisson e della densità da un materiale. Quindi utilizzando la libreria materiali si può tranquillamente trascurare questa parte perché fa tutto il programma. Quando è presenta la D nei nodi, significa che questi sono nodi di default della fisica che non possiamo togliere. Il nodo!"##!! mostra come per adesso tutto il contorno delle travi è libero, non è applicata nessuna forza, nessun vincolo sugli spostamenti. La string!"#$%!!"#$%&'#(!"#$%!!"#$%&'(#% prende i gdl del modello, le tre componenti scalari dello spostamento, e li pone uguali a zero. Sempre tramite!"#$%!!"#$%&'#(!"#$!!"#$ si caricano le travi e il carico che mette di default è il carico per unità di volume ovvero il peso delle travi. Per esempio si applica il primo Body Load sulle anime e in fondo si può definire il tipo di carico da mettere e si lascia il carico per unità di volume. Quindi quando il programma chiede di inserire la forza, l'accelerazione di gravita va verso z, e quindi si applica la forza proprio lungo z e mettiamo!!"#$%_!"# e così il programma applica ad ogni punto che sta all'interno delle due anime una densità specifica pari a!!"#$%_!"# considerando che nei parametri il peso della quercia era già densità per accelerazione di gravità. Si fa la stessa cosa per l'acciaio, creando un altro Body Load mettendolo però sulle solette.

38 A questo punto si possono anche caricare le due facce alle estremità di destra caricandole per esempio a taglio!"#$%!!"#$%&'#(!"#$%&'(!!"#$, e lo si applica sulle facce libere a destra, e compaiono infatti i simboli delle forze applicati. Si può mettere una forza totale in Total Forze lungo z, pari a [kg]*g e così applica il calcolatore una forza totale su queste 4 superfici. Un'altra cosa da poter fare è applicare un momento. In questo caso il discorso risulta più complicato in quanto il modello è 3D per cui non si hanno dei gradi di libertà di rotazione. Si ricorda che in un modello 3D gli unici gradi di libertà sono le tre traslazioni, i tre spostamenti, al contrario del modello 1D dove come gradi di libertà si hanno lo spostamento assiale, lo spostamento flessionale e la rotazione delle sezioni. Nel modello 3D le rotazioni sono già determinate dagli spostamenti non c'è bisogno di definire le rotazioni e questo da un punto di vista computazionale è un problema definire un momento. Però sappiamo che un momento su una superficie lo possiamo descrivere come una distribuzione di sforzi. Quindi consideriamo sempre la solita sezione in figura e se vogliamo un momento torcente andiamo ad applicare una distribuzione di sforzi fatta come quella rossa in figura, che per Comsol questa è sempre una Boundary Load e sappiamo che ci da una forza di taglio nulla, perché la distribuzione è dispari rispetto al baricentro e quindi l'integrale è zero, però sfruttiamo la seguente relazione :!!!!!" =! 0! Ovvero integrale dell'area sulla distribuzione P moltiplicato per il braccio y ci da un momento diverso da zero. Quindi applichiamo un momento come quello in figura: sempre su Boundary Load considerando le superfici nella figuradel programma, e assegniamo il momento come una forza come una forza diretta lungo z, e la poniamo pari a:! 1 10!!![!"/!]!!!""#$#%!&'()#!!!!!"!!"#$$%&&'!!! ottenendo così una dimensione in Newton. Ovviamente i carichi li possiamo utilizzare tutti insieme oppure è molto veloce disabilitarne uno e utilizzarne l'altro, ad esempio se volessimo fare una prova in cui applichiamo solamente il taglio basta fare!"#$%&'(!!"#$!!"#$%&"!!"#$%&'%!!"#$%&'.

39 In questo modo, oltre al peso distribuito, rimane solamente il taglio. Dentro il nodo!"#$%&!!"#$%&'!!"#$%&"'!!, cliccando dentro Equation sono presenti le equazioni della elasticità lineare che il programma risolve, relazioni della divergenza, congruenza e le relazioni costitutive. Finora abbiamo determinato così la geometria, i materiali e fisica. Possiamo quindi passare alla Mesh ed effettuare dei Run su alcuni esempi pratici. Essendo la geometria molto semplice, la griglia è buona norma farla realizzare a Comsol; si sceglie in primo luogo la dimensione Size, muovendosi con!"#$!!"#$ e scegliendo ad esempio che ci sono due domini molto diversi, ovvero le due anime che sono abbastanza omogenee ovvero non ci sono dimensioni più piccole delle altre al contrario delle solette che hanno la dimensione lungo l'asse z che è molto più piccola delle altre due. Per cui se facciamo una griglia omogenea sicuramente sorgeranno dei problemi sulla soletta. Quindi la prima cosa che possiamo fare è definire una dimensione molto piccola Predefined / Extrafine e poi fare una Mesh Free tetragonale, ovvero elementi a 4 nodi, tramite!"#$!!!!"##!!"#$%&"'$%( e come dominio si inserisce la soletta delle due travi. Siccome come detto la dimensione lungo l'asse z è molto più piccola allora facciamo uno Scale lungo l'asse z, mettendo per esempio 20, ovvero la dimensione dell'elemento di griglia lungo la dimensione z sarà 20 volte più grande della dimensione caratteristica dell'elemento nel piano. Guardando la griglia dal piano ci sono triangolini con dimensione ben precisa ed omogenea al contrario degli elementi più piccoli presenti lungo l'asse z, ovvero la dimensione è molto più piccola (in particolare 20 volte più piccola). Questo è necessario ai fini di non ritrovarsi con un solo elemento lungo lo spessore che porterebbe ad una non buona soluzione numerica. Adesso passiamo alla Mesh delle due anime, quindi andiamo a definire un altro size,!"#$!!"#$ ed essendo più omogenee non c'è bisogno di andare su extrafine ma possiamo anche mettere Fine e facciamo anche qui una!"#$!!!!"##!!"#$%&"'$%( e la applichiamo sul resto della geometria, non c'è bisogno delle Scale per quanto detto. Si nota subito una differenza in quanto nella trave superiore abbiamo una dimensione degli elementi abbastanza omogenea e grande rispetto a quella sotto, infatti Comsol ha un generatore di reticolo che va a misurare automaticamente la curvatura della geometria, quindi in corrispondenza dei fori si accorge che c'è una curvatura molto alta rispetto al resto della geometria e quindi decide

40 automaticamente di andare a rimpicciolire la taglia del reticolo. Questo aumenta molto il numero dei gdl, infatti in Message compaiono elementi. Anche se gli abbiamo fatto generare la griglia in due step diversi lui quando genera la griglia nella soletta la fa interfacciare con quella dell'anima infatti nell'immagine si vede come i nodi corrispondono. Passiamo ora allo studio,!"#$%. In questa sezione diciamo al programma che cosa vogliamo fare. Vogliamo effettuare uno studio stazionario, abbiamo due travi caricate in un certo modo e sono fatte di un certo tipo di materiali, la studiamo con una teoria di elasticità lineare e vogliamo fare uno studio stazionario,!"#$!!!!"#$%&'#(). Quindi la schermata resta quella già impostata dal programma. L'unica cosa che possiamo fare è!"#$%!!!"#$!!"#$%&'!!"#$%& che ci permette di vedere delle opzioni in più che ha il risolutore stazionario come ad esempio il nodo!"#$%&'!!"#$%&'()!!"#"$%"$&% il programma ci dice quanti sono i gradi di libertà del nostro problema, e come notiamo sono e quindi la matrice di rigidezza sarà * ! Il nodo Stationary Solver fornisce la possibilità di intervenire in maniera più dettagliata sul risolutore ma queste sono delle opzioni che si utilizzano con problemi più complicati. Per ora lasciamo così. A questo punto lanciamo il caso con il Taglio. Study! Compute. Analizziamo quindi i risultati. Il programma di Default da una soluzione sola. Analizzando il grafico dello Stress (solid), cliccando su Plot otteniamo il risultato grafico di questo primo caso.

41 Si nota come il grafico sia coerente con l applicazione di carichi di volume e forze di taglio verso il basso, ovvero lungo meno zeta. Quindi vediamo la flessione delle due travi verso il basso. Notiamo anche come la trave di sotto soffre un po' di più flettendosi di più e i colori più scuri sono gli sforzi di Von Mises, con intensificazione degli sforzi lungo le forature. Come era lecito aspettarsi la trave più forte è quella senza buchi. Adesso per vedere come variano determinate grandezze lungo delle rette è utile su Comsol andare su!"#!!!"#!!"#!!"#$!!" ovvero considerare un segmento lungo il quale andremo a fare un grafico. Per esempio definiamo un segmento dove abbiamo una coordinata S e si effettua il grafico di una funzione di S che va da 0 a 1, questo per vedere come varia una componente del tensore degli sforzi ( S11, S22, ). Adesso definiamo proprio due segmenti, rinominando i nodi di Comsol per comodità, e in particolare indicheremo questi due segmenti come Cut Line Vertical e Trasversal. Definiamo due punti posizionati tutti e due nel piano x-y uguale a zero, (ricordando che siamo in mezzeria, essendo il sistema di riferimento centrale ) e ci spostiamo lungo la zeta da zeta che va da - H/2, sommare 2H, quantità traslata in quella direzione, H/2 della trave di sopra, + Htop.!/2 + 2! +!/2 +!"#$