VIII. Da Leonardo Pisano agli algebristi del Cinquecento

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1 VIII. Da Leonardo Pisano agli algebristi del Cinquecento Il primo matematico di rilievo in Occidente è Leonardo Fibonacci Pisano (ca ca.140) che in giovane età imparò la matematica dagli arabi nella città di Bugia, dove il padre notaio curava nella dogana gli interessi dei mercanti, e nei viaggi successivi in Egitto, Siria, Grecia,... 1

2 Il frutto di questi viaggi e di questi studi è il Liber Abaci (10) che è una summa del sapere aritmetico e algebrico del mondo arabo, seguito da altre opere minori per mole, ma altrettanto importanti. Si compone di 15 capitoli - i primi 7 capitoli sono dedicati all introduzione delle cifre indoarabiche, alla numerazione decimale posizionale, agli algoritmi delle operazioni. - 4 capitoli sono dedicati all aritmetica mercantile - vi è poi un capitolo di problemi miscellanei, fra cui problemi di matematica ricreativa - il cap. 13 è dedicato al metodo della falsa posizione - i capitoli 14 e 15 sono dedicati alla teoria delle proporzioni e all algebra. Liber Abaci, I numeri di man dritta Evoluzione delle cifre indoarabiche XII sec. XIII sec. XIV sec. XV sec. Inizi XVI sec.

3 Sette vecchie vanno a Roma; ognuna ha sette muli, ogni mulo ha sette sacchi, in ogni sacco ci sono sette pani, ogni pane ha sette coltelli, ogni coltello sette guaine. Si chiede la somma di tutti Si tratta di sommare una progressione geometrica. L. P. considera un termine in più rispetto al problema 79 di case e gatti del Papiro Rhind. Il problema della scacchiera La leggenda racconta che l inventore del gioco degli scacchi chiese al principe per cui lo inventò una ricompensa inusuale: 1 chicco di grano per la prima casella, per la seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, raddoppiando sempre fino a raggiungere la sessantaquattresima casella. Il principe accolse la richiesta e mal gliene incolse. L. P. non cita la leggenda, ma calcola il numero totale di chicchi. - L.P. comincia a calcolare la somma dei primi 8 numeri che formano la prima riga: = 55 = 56-1 = moltiplica 56 per se stesso ottiene 16 = che supera di 1 la somma dei numeri delle prime righe - moltiplica per se stesso ottiene 3 = che supera di 1 la somma dei numeri delle prime 4 righe. - infine moltiplicando l'ultimo numero per se stesso si trova = 64 che supera di 1 la somma di tutti i numeri della scacchiera, cioè di tutti i chicchi di grano. 7 k = k = k = 0 k = k = 0 k = k = 0 k =

4 Il problema dei conigli Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da pareti, per scoprire quante coppie di conigli discendano da questa in un anno. Per natura ogni coppia di conigli genera in un mese un altra coppia, e cominciano a procreare a partire dal secondo mese di vita. Poiché la prima coppia genera nel I mese, i conigli raddoppieranno, e alla fine del mese avremo coppie. Di queste solo una, cioè la prima genererà anche nel II, e quindi alla fine di questo avremo 3 coppie, due delle quali nel III mese genereranno altre due coppie, e così avremo 5 coppie, (p. 83)

5 L.P. ottiene al termine dell anno 377 coppie di conigli e osserva che non ha fatto altro che sommare il primo numero con il secondo, cioè 1 con ; poi il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, per trovare la quantità finale di 377 coppie di conigli; è così si può continuare ordinatamente per infiniti mesi successivi. Una pigna con 8 e 13 spirali 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1,, 33, 377,... F 1, F, F 3,... Numeri di Fibonacci F n+1 = F n + F n-1 I numeri di Fibonacci sulla Mole di Torino Girasole con 55 spirali antiorarie e 89 orarie 5

6 Numeri di Fibonacci F n+1 = F n + F n-1 Dividiamo per F n e poniamo a n = F n / F n-1, a si ha: n + 1 se facciamo si avvicinano valore γ che verifica 1 γ = 1 +, γ positiva 1 = 1 + a n, crescere n, i valori di a sempre di più ad uno stesso γ γ 1 = è γ = Fn + 1 Fn 1 = 1+ Fn Fn la relazione 0, la e a n + 1 cui soluzione Si tratta del rapporto aureo che nasce dal problema geometrico di tagliare un segmento AB in due parti AC e CB tali che AB : AC = AC : CB A C B n Abacisti contro Algoristi Leonardo Pisano diede un notevole impulso alla diffusione in Italia delle cifre indoarabiche (sistema decimale posizionale) e del calcolo con carta e penna, ma nel resto dell Europa l uso dell abaco resistette a lungo, anche perché i sistemi monetari e di misura non erano decimali. Locuzioni come prenderne uno, riportarne due, traggono origine dalla pratica dell abaco. 6

7 Lo studio della variabilità e del moto [ sec XIV] Fu uno dei temi preferiti nelle università, in particolare a Oxford e a Parigi. I filosofi scolastici del Merton College di Oxford formularono la cosiddetta regola mertoniana: se un corpo si muove di moto uniformemente accelerato, la distanza percorsa è uguale a quella che percorrerebbe nello stesso intervallo di tempo un altro corpo con moto uniforme e velocità pari a quella raggiunta dal primo corpo nell istante di mezzo dell intervallo temporale. La velocità non era definita in modo rigoroso, ma era intesa come una qualità del moto Nicole Oresme (133?-138), professore a Parigi e vescovo di Lisieux, ebbe l idea di rappresentare geometricamente i vari moti: lungo una linea orizzontale segna dei punti che rappresentano gli istanti di tempo (longitudini) e da ogni punto innalza un segmento perpendicolare la cui lunghezza rappresenta la velocità in quell istante (latitudini) Moto uniforme v = costante Moto uniformemente accelerato [uniformemente difforme] v 0 =0 v 0 >0 Moto vario [difformemente difforme] Con i suoi diagrammi Oresme poteva dimostrare la regola mertoniana v 1 + v v 1 v Tractatus de latitudinibus formarum t 1 t L area del trapezio rettangolo, che rappresenta lo spazio percorso con moto uniformemente accelerato, è uguale all area del rettangolo che rappresenta lo spazio percorso con velocità costante pari a v 1 + v 7

8 Le Scuole d Abaco Istituite fin dal XIII secolo per la formazione matematica della nuova borghesia commerciale, - costituivano un livello di studi medio preceduto da un ciclo di studi elementari, - duravano anni e vi si accedeva verso i anni, - preparavano all esercizio di attività mercantili, commerciali ed artistiche. - erano prevalentemente pubbliche, tranne che a Venezia e Firenze (botteghe d abaco). Introduzione alle cifre indo arabiche Algoritmi per eseguire le quattro operazioni Le frazioni e le operazioni con esse Problemi del tre semplice Raccolte di problemi sulle attività mercantili Sistema monetario e di misura Algebra e Matematica Ricreativa Luca Pacioli, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et proportionalità,

9 Gli algoritmi delle operazioni Moltiplicazione per crocetta = a) 7 9 = 63 scrivo 3 riporto 6 59 b) = 68 scrivo 8 e riporto c) = 1 scrivo 1 e riporto = = Divisione per galera N. Tartaglia, General Trattato,

10 18456 : 17 = il risultato è scritto cifra per cifra a destra in una casella apposita - ad ogni passo si riscrive il divisore - ad ogni passo si cancellano con una barra le cifre usate Alla fine del II libro del General Trattato di Tartaglia c è uno schema semplificato di divisione che segna il passaggio alla danda che è il nostro danda occorre dare una nuova cifra quando si è sottratto un prodotto parziale Estrazione della radice quadrata P. Cataneo, Pratica delle due prime matematiche (1546) primo testo a stampa che riporta un algoritmo per l estrazione della radice quadrata molto simile al nostro R. Bombelli, Algebra, 157 (1966, p. 35) 10

11 Le scoperte geografiche si amplia il mondo conosciuto L invenzione della stampa con caratteri mobili e la sua rapida diffusione grazie anche all introduzione dell uso della carta, favorì la riproduzione dei testi e la maggiore circolazione della cultura e il sorgere di grandi biblioteche Johann Gensfleish, detto Gutenberg Il maggiore stampatore dell Umanesimo è Aldo Manuzio che nella sua tipografia a Venezia pubblica soprattutto testi classici, in particolare greci. Stampa per gli studenti i primi formati tascabili a un costo più ridotto. La precisione filologica e la lavorazione accurata rendono le sue edizioni insuperate. 11

12 La riscoperta dei classici greci La matematica classica era considerata difficile ed era vista come una disciplina per pochi eletti, quindi in un primo tempo furono stampate o tradotte opere elementari. Nel 500 si ha però una riscoperta dei classici greci, Euclide, Archimede e Apollonio. Tra i traduttori e i commentatori si distinguono Francesco Maurolico ( ) e Federico Commandino ( ). Questi studi fornirono la base per i futuri sviluppi della matematica. F. Maurolico F. Commandino La nascita della prospettiva Mentre nel Medioevo la glorificazione di Dio era lo scopo principale della pittura, nel Rinascimento la rappresentazione del mondo reale divenne l obiettivo primario. Questo favorì la creazione di una teoria geometrica da cui gli artisti potessero trarre regole precise per la rappresentazione piana di oggetti disposti nello spazio tridimensionale. La prima esposizione teorica (sommaria) delle regole di prospettiva centrale si trova nel trattato Della pittura di Leon Battista Alberti ( ). Piero Della Francesca (1410?- 149) nel De Prospectiva Pingendi perfezionò i risultati di L.B. Alberti 1

13 La flagellazione di Cristo La Madonna tra Santi e Angeli 13

14 L intreccio di interessi matematici e artistici si trova anche in Albrecht Dürer ( ) che nella sua opera principale Ricerche sulla misurazione mediante cerchi e linee rette si propone di comunicare agli artisti tedeschi le conoscenze geometriche acquisite in Italia e in particolare la prospettiva. Melanconia 14

15 Bibliografia essenziale Catastini L. Ghione F., Le geometrie della visione. Scienza, Arte, didattica, Springer 004 Franci R., Alcuino di York. Giochi matematici alla corte di Carlomagno, Edizioni ETS 005 Galuzzi P., Gli ingegneri del Rinascimento da Brunelleschi a Leonardo da Vinci, Giunti,1996 Giusti E. (a cura di) Un ponte sul mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente, Il Giardino di Archimede. Un Museo per la matematica, Firenze, 00, pp Giusti E., Maccagni C., Luca Pacioli e la matematica del Rinascimento, Giunti,