Statistica e informatica
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- Valerio Carbone
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1 Statistica e informatica Probabilità condizionate e teorema di Bayes Francesco Pauli e Nicola Torelli A.A. 2016/2017
2 Indice Probabilità condizionate Probabilità totali Teorema di Bayes Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 2 / 50
3 Eventi condizionati: esempio Riprendiamo la roulette Scommessa multipla: C: seconda colonna Q: quartina 17,18,20,21 Abbiamo effettuato due puntate: sulla II colonna: C sulla quartina {17, 18, 20, 21}: Q sappiamo che P(C) = 12/37; supponiamo di sapere che è vincente la scommessa sulla quartina (ma non che numero esattamente è uscito) Cambia la mia valutazione della probabilità che C sia vincente? se è vincente la quartina è uscito uno tra 17, 18, 20, 21 se è uscito 17 o 20 è vincente anche la colonna, se è uscito 20 o 21 no Quindi sapendo che è vero Q, la probabilità di C è 1/2. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 3 / 50
4 Evento condizionato Dati due eventi A e B si parla di evento A condizionato all evento B quando sappiamo che l evento B si verifica, l evento condizionato si indica con A B In pratica, l evento B diventa il nuovo evento certo. e 3 e 5 e 4 e 1 e2 e 7 e 6 A e 8 e 13 e 9 e 12 e 10 e 11 e 14 e 15 e 16 B S e 19 e 20 e 18 e 17 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 4 / 50
5 Evento condizionato Dati due eventi A e B si parla di evento A condizionato all evento B quando sappiamo che l evento B si verifica, l evento condizionato si indica con A B In pratica, l evento B diventa il nuovo evento certo. Ho un nuovo insieme di eventi elementari che comprende solo quelli che costituiscono B. e 3 e 5 e 4 e 1 e2 e 7 e 6 A e 13 e 16 e 9 e 15 e 12 e 10 e 11 B e e 14 8 S e 19 e 20 e 18 e 17 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 4 / 50
6 Evento condizionato Dati due eventi A e B si parla di evento A condizionato all evento B quando sappiamo che l evento B si verifica, l evento condizionato si indica con A B In pratica, l evento B diventa il nuovo evento certo. Ho un nuovo insieme di eventi elementari che comprende solo quelli che costituiscono B. e 3 e 5 e 4 e 1 e2 e 7 e 6 A e 13 e 16 e 9 e 15 e 12 e 10 e 11 B e e 14 8 S e 19 e 20 e 18 e 17 La probabilità di A condizionato a B è P(A B) = A B p i B p i Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 4 / 50
7 Probabilità condizionate Definizione: probabilità condizionata Dati due eventi A e B, la probabilità di A sapendo che è accaduto B si indica con P(A B) ed è pari a P(A B) = P(A B) P(B) In pratica, B diventa l evento certo, quindi A può verificarsi solo se si verifica A B, si divide per P(B) per rinormalizzare. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 5 / 50
8 Probabilità della congiunzione Dall espressione per la probabilità condizionata si ottiene che Probabilità di A B P(A B) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B) La probabilità che due eventi si verifichino congiuntamente è il prodotto della probabilità che se ne verifichi uno e della probabilità che si verifichi l altro sapendo che si è verificato il primo. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 6 / 50
9 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 7 / 50
10 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Consideriamo due esperimenti alternativi la carta è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata la carta NON è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 7 / 50
11 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Consideriamo due esperimenti alternativi la carta è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata la carta NON è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata Qual è la probabilità di E 2 = {la seconda carta è }? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 7 / 50
12 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Consideriamo due esperimenti alternativi la carta è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata la carta NON è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata Qual è la probabilità di E 2 = {la seconda carta è }? la probabilità è 13 qualunque sia la prima 52 P(E 2 E 1 ) = P(E 2 Ē1) = la probabilità dipende dal seme della prima P(E 2 E 1 ) = P(E 2 Ē 1 ) = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 7 / 50
13 Indipendenza e dipendenza Peschiamo una carta da un mazzo standard di 52 E 1 = {il seme è }, P(E) = 13/52 Consideriamo due esperimenti alternativi la carta è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata la carta NON è reinserita nel mazzo, un altra carta è pescata Qual è la probabilità di E 2 = {la seconda carta è }? la probabilità è 13 qualunque sia la prima 52 P(E 2 E 1 ) = P(E 2 Ē1) = Gli eventi E 1 e E 2 sono indipendenti la probabilità dipende dal seme della prima P(E 2 E 1 ) = P(E 2 Ē 1 ) = Gli eventi E 1 e E 2 sono dipendenti Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 7 / 50
14 Indipendenza e dipendenza Con reinserimento Senza reinserimento quindi quindi P( ) = = 1 16 = P( ) = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 8 / 50
15 Definizione di indipendenza stocastica Definizione: indipendenza stocastica Dati due eventi A e B essi sono indipendenti se e solo se P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) L esito dell uno non influenza la probabilità attribuita all esito del secondo Si noti che potremmo definire l indipendenza dicendo che Definizione: indipendenza stocastica /2 Dati due eventi A e B essi sono indipendenti se e solo se P(A B) = P(A)P(B) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 9 / 50
16 Esempio A = {e 6, e 7, e 9, e 13 } B = {e 8, e 9,..., e 16 } C = {e 2, e 6, e 11, e 18, e 20 } e 3 e 5 e 4 e 1 e2 A e 7 e 6 e 8 e 13 e 9 e 12 e 10 e 11 e 14 e 15 e 16 B S e 19 e 20 e 18 e 17 Assumendo P(e 1 ) =... = P(e 10 ) = 0.03 P(e 11 ) =... = P(e 20 ) = 0.07 si ottenga P(A B) =... P(A C B) =... P(B C) =... Assumendo { 0.04 i pari P(e i ) = 0.06 i dispari si ottenga P(A B) =... P(A C B) =... P(B C) =... Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 10 / 50
17 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 I dati (presi da OpenIntroStat) riguardano 6224 persone esposte al virus del vaiolo a Boston nel Di questi, 244 vennero esposti su base volontaria alla malattia in modo controllato dai medici (una specie di vaccinazione ante litteram). È noto poi chi è sopravvissuto all epidemia e chi no. Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
18 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
19 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Risp: La probabilità si ottiene come P(Sopr) = #Sopr #Totale = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
20 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di essere inoculato? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
21 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di essere inoculato? Risp: La probabilità si ottiene come P(Inoc) = #Inoc #Totale = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
22 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di essere inoculato e di sopravvivere? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
23 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo preso a caso, qual è la probabilità di essere inoculato e di sopravvivere? Risp: La probabilità si ottiene come P(Inoc Sopr) = #Inoc e Sopr #Totale = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
24 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo inoculato, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
25 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo inoculato, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Risp: La probabilità si ottiene come P(Sopr Inoc) = P(Inoc Sopr) P(Inoc) = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
26 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Dom: Per un individuo inoculato, qual è la probabilità di sopravvivere all epidemia? Risp: La probabilità si ottiene come P(Sopr Inoc) = P(Inoc Sopr) P(Inoc) Alt: Si noti che la stessa risposta si ottiene come P(Sopr Inoc) = #Inoc Sopr #Inoc = = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
27 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Eserc: Si calcoli P(Sopr non Inoc) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
28 Esempio: vaiolo a Boston, 1721 Sopravvissuto inoculato sì no Totale sì no Totale Eserc: Si calcoli P(Sopr non Inoc) Risp: (0.859) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 11 / 50
29 Esempio: elezioni, elettori del M5S Qual è la probabilità che, preso un individuo a caso tra gli aventi diritto al voto il 24/25 febbraio, questo abbia votato M5S? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
30 Esempio: elezioni, elettori del M5S Qual è la probabilità che, preso un individuo a caso tra gli aventi diritto al voto il 24/25 febbraio, questo abbia votato M5S? Gli elettori sono , i votanti Gli elettori sono Partito voti Partito Democratico Sinistra Ecologia Libertà Centro Democratico Svp Scelta Civica Con Monti Per L Italia Unione di Centro Futuro e Libertà M5S Tra questi, hanno votato M5S in Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
31 Esempio: elezioni, elettori del M5S Qual è la probabilità che, preso un individuo a caso tra gli aventi diritto al voto il 24/25 febbraio, questo abbia votato M5S? Gli elettori sono , i votanti Gli elettori sono Partito voti Partito Democratico Sinistra Ecologia Libertà Centro Democratico Svp Scelta Civica Con Monti Per L Italia Unione di Centro Futuro e Libertà M5S Tra questi, hanno votato M5S in P(M5S) = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
32 Esempio: elezioni, elettori del M5S P(M5S) = = Qual è la probabilità che, preso un individuo a caso tra gli aventi diritto al voto il 24/25 febbraio, questo sia andato a votare? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
33 Esempio: elezioni, elettori del M5S P(M5S) = = Qual è la probabilità che, preso un individuo a caso tra gli aventi diritto al voto il 24/25 febbraio, questo sia andato a votare? P(Ha votato) = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
34 Esempio: elezioni, elettori del M5S P(M5S) = = P(Ha votato) = Qual è la probabilità che, preso un individuo a caso tra gli aventi diritto al voto il 24/25 febbraio, questo sia andato a votare e abbia votato il M5S? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
35 Esempio: elezioni, elettori del M5S P(M5S) = = P(Ha votato) = Qual è la probabilità che, preso un individuo a caso tra gli aventi diritto al voto il 24/25 febbraio, questo sia andato a votare e abbia votato il M5S? P(M5S Ha votato) = P(M5S) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
36 Esempio: elezioni, elettori del M5S P(M5S) = = P(Ha votato) = P(M5S Ha votato) = P(M5S) Supponiamo ora di sapere che l individuo preso a caso è andato a votare, qual è la probabilità che abbia votato M5S? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
37 Esempio: elezioni, elettori del M5S P(M5S) = = P(Ha votato) = P(M5S Ha votato) = P(M5S) Supponiamo ora di sapere che l individuo preso a caso è andato a votare, qual è la probabilità che abbia votato M5S? Si ha P(voto M5S Ha votato) = = P(voto M5S Ha votato) P(Ha votato) P(voto M5S) P(Ha votato) = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 12 / 50
38 Quiz: nascite Si consideri una sequenza di sei nascite in un ospedale, la nascita di un maschio o di una femmina è casuale e indipendente dalle altre nascite. Si considerino le seguenti sequenze MMMFFF FFFFFF FMFMMF Le tre sequenze sono egualmente probabili? (Kahneman, p. 115) Sì No Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 13 / 50
39 Quiz: nascite Si consideri una sequenza di sei nascite in un ospedale, la nascita di un maschio o di una femmina è casuale e indipendente dalle altre nascite. Si considerino le seguenti sequenze MMMFFF FFFFFF FMFMMF Le tre sequenze sono egualmente probabili? (Kahneman, p. 115) Sì No Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 13 / 50
40 Quiz: nascite Si consideri una sequenza di sei nascite in un ospedale, la nascita di un maschio o di una femmina è casuale e indipendente dalle altre nascite. Si considerino le seguenti sequenze MMMFFF FFFFFF FMFMMF Le tre sequenze sono egualmente probabili? (Kahneman, p. 115) x Sì No Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 13 / 50
41 Quiz: nascite Si consideri una sequenza di sei nascite in un ospedale, la nascita di un maschio o di una femmina è casuale e indipendente dalle altre nascite. Si considerino le seguenti sequenze MMMFFF FFFFFF FMFMMF Le tre sequenze sono egualmente probabili? (Kahneman, p. 115) x Sì No Le nascite sono indipendenti, quindi P(MMMFFF ) = P(M)P(M)P(M)P(F )P(F )P(F ) = 1/2 6 calcolate le altre. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 13 / 50
42 Compleanni In una stanza ci sono 30 persone, qual è la probabilità che due di queste abbiano il compleanno nello stesso giorno? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 14 / 50
43 Compleanni In una stanza ci sono 30 persone, qual è la probabilità che due di queste abbiano il compleanno nello stesso giorno? Vogliamo calcolare la probabilità dell evento osserviamo che è E = {due persone condividono il compleanno} P(E) = 1 P(Ē) dove Ē = {tutti hanno compleanni diversi}, per il quale si ha P(Ē) = e quindi P(E) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 14 / 50
44 Compleanni In una stanza ci sono 30 persone, qual è la probabilità che due di queste abbiano il compleanno nello stesso giorno? In generale, se le persone sono N, la probabilità che almeno due abbiano il compleanno nello stesso giorno è P(E) = N N A titolo di esempio, per alcuni valori di N si ottiene quanto segue N P(E) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 14 / 50
45 Compleanno In una stanza ci sono 30 persone, qual è la probabilità che una di queste abbia il compleanno nel mio stesso giorno? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 15 / 50
46 Compleanno In una stanza ci sono 30 persone, qual è la probabilità che una di queste abbia il compleanno nel mio stesso giorno? Vogliamo calcolare la probabilità dell evento osserviamo che è E = {uno dei 30 è nato il...} P(E) = 1 P(Ē) dove Ē = {nessuno è nato il...}, per il quale si ha P(Ē) = = e quindi P(E) ( ) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 15 / 50
47 Compleanno In una stanza ci sono 30 persone, qual è la probabilità che una di queste abbia il compleanno nel mio stesso giorno? In generale, se le persone sono N, la probabilità che una abbia il compleano in una specifica data è P(E) = 1 ( ) 364 N 365 A titolo di esempio, per alcuni valori di N si ottiene quanto segue N P(E) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 15 / 50
48 Esempio Sono dati due eventi E 1 ed E 2 tali che P(E 2 ) = 0.7 e P(E 1 E 2 ) = 0.8. Trovare P(E 1 ) nelle seguenti circostanze: a. i due eventi E 1 ed E 2 sono incompatibili; b. i due eventi E 1 ed E 2 sono tali che P(E 1 E 2 ) = 0.55; c. i due eventi E 1 ed E 2 sono indipendenti. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 16 / 50
49 Esempio Siano dati due eventi A e B dello spazio fondamentale Ω, è noto che P(A) = 0, 3, p(b) = 0, 4 e P(A B) = 0, 5. Determinare a. P(A) b. P(A B) c. P(A B). Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 17 / 50
50 Esempio Uno studente intende presentarsi agli esami di Matematica e Statistica in una sessione, si ritiene che sia pari a 0.6 la probabilità di superare Matematica e 0.32 quella di superare Statistica, la probabilità di superarli entrambi è a. Il fatto di superare il secondo esame è indipendente dal fatto di superare il primo? b. Sapendo che lo studente ha superato il primo esame, qual è la probabilità che superi il secondo? c. Qual è la probabilità che nella sessione superi un solo esame? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 18 / 50
51 Esempio Due tetraedri regolari con le facce numerate da 1 a 4 vengono lanciati ripetutamente finché non compare un totale pari a 5 sulle facce rivolte verso il basso. a. Qual è la probabilità che siano necessari più di due lanci? b. Se si effettuano 10 lanci della coppia di tetraedri, qual è la probabilità che si ottenga almeno 1 volta un totale pari a 8? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 19 / 50
52 Esempio Un campione di prodotti manufatturieri viene sottoposto a controllo. Si scopre che il 5% ha un difetto di tipo A, il 20% un difetto di tipo B e che il 3% manifesta difetti di entrambi i tipi. Si valuti la probabilità che un prodotto dell azienda a. sia (in qualche modo) difettoso b. abbia il difetto A oppure B ma non entrambi c. abbia il difetto A ma non B d. non sia difettoso Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 20 / 50
53 Esempio L urna A contiene 4 palline nere e 1 verde; l urna B e contiene 2 palline nere e 3 verdi. Si sceglie a caso un urna e si estrae dall urna prescelta una pallina. Qual è la probabilità che la pallina sia verde? 1/2 4N 1V 4/5 N 1/5 V 1/2 2N 3V 2/5 N 3/5 V Estrazione Urna N V A A N A V B B N B V Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 21 / 50
54 Esempio L urna A contiene 4 palline nere e 1 verde; l urna B e contiene 2 palline nere e 3 verdi. Si sceglie a caso un urna e si estrae dall urna prescelta una pallina. Qual è la probabilità che la pallina sia verde? 1/2 4N 1V 4/5 N 1/5 V 1/2 2N 3V 2/5 N 3/5 V Estrazione Urna N V A P(A N)=4/10 P(A V )=1/10 B P(B N)=2/10 P(B V )=3/10 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 21 / 50
55 Esempio L urna A contiene 4 palline nere e 1 verde; l urna B e contiene 2 palline nere e 3 verdi. Si sceglie a caso un urna e si estrae dall urna prescelta una pallina. Qual è la probabilità che la pallina sia verde? 1/2 4N 1V 4/5 N 1/5 V 1/2 2N 3V 2/5 N 3/5 V Estrazione Urna N V A P(A N)=4/10 P(A V )=1/10 B P(B N)=2/10 P(B V )=3/10 P(V )=4/10 P(V ) = P(A V ) + P(B V ) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 21 / 50
56 Indice Probabilità condizionate Probabilità totali Teorema di Bayes Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 22 / 50
57 Formula delle probabilità totali Nei due esempi sopra si è impiegata, per ricavare la probabilità di un evento E la regola Probabilità totali /1 P(E) = P(H)P(E H) + P( H)P(E H) Per ottenere la probabilità non condizionata dell evento E si sono calcolate le probabilità di E condizionate a due eventi incompatibili e esaustivi (la cui unione dà l evento certo), si sono combinate le due condizionate pesandole per le probabilità degli eventi condizionanti. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 23 / 50
58 Formula delle probabilità totali: dimostrazione Probabilità totali /1 P(E) = P(H)P(E H) + P( H)P(E H) Si noti che E = E (H H) = (E H) (E H) e quindi P(E) = P((E H) (E H)) = P(E H) + P(E H) = P(H)P(E H) + P( H)P(E H) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 24 / 50
59 Formula delle probabilità totali, in generale Probabilità totali /2 Dati gli eventi H 1,..., H k a due a due incompatibili (H i H j = se i j) ( k esaustivi j=1 H j = Ω) si ha k P(E) = P(H j )P(E H j ) j=1 Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 25 / 50
60 Formula delle probabilità totali, raffigurazione H 3 H 4 H 2 E H 1 si assuma che gli eventi elementari (20) siano equiprobabili i quattro spicchi rappresentano la partizione il rettangolo è l evento E si calcoli dunque P(E) direttamente o secondo la formula delle probabilità totali Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 26 / 50
61 Esempio Si ha un urna con 2 palline nere. Si lancia un dado a sei facce e si aggiunge all urna un numero di palline bianche pari al risultato del lancio del dado. Dall urna si estrae una pallina, qual è la probabilità sia nera? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 27 / 50
62 Esempio Da un urna con 8 palline bianche e 2 nere si estraggono due palline senza reimbussolamento. Queste vengono inserite in una seconda urna, che contiene, inizialmente, 5 bianche e tre nere. Si estrae infine una pallina dalla seconda urna, qual è la probabilità che sia bianca? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 28 / 50
63 Indice Probabilità condizionate Probabilità totali Teorema di Bayes Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 29 / 50
64 Teorema di Bayes Teorema di Bayes Dati due eventi C e T si ha P(H E) = P(H)P(E H) P(E) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 30 / 50
65 Quiz: il taxi pirata Un taxi è coinvolto in un incidente una notte, ma l autista fugge dal luogo del sinistro. In città, operano due compagnie di taxi: i Verdi e i Blu, ed è noto che l 85% dei taxi in città è Verde un testimone identifica il taxi come Blu, il tribunale verifica l affidabilità del testimone nelle circostanze della notte dell incidente e conclude che identifica correttamente il colore del taxi l 80% delle volte, sbagliando il 20% delle volte. Qual è la probabilità che il taxi incriminato sia effettivamente Blu? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 31 / 50
66 Il taxi pirata: albero delle possibilità Mostriamo 100 taxi di cui 85 verdi e 15 blu al testimone (nelle stesse condizioni ecc.), quanti vengono identificati come blu? 100 taxi 85 Verde 15 Blu 68 (80% of 85) Id. Verde 17 (20% of 85) Id. Blu 12 (80% of 15) Id. Blu 3 (20% of 15) Id. Verde Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 32 / 50
67 Il taxi pirata: albero delle possibilità Mostriamo 100 taxi di cui 85 verdi e 15 blu al testimone (nelle stesse condizioni ecc.), quanti vengono identificati come blu? 100 taxi 85 Verde 15 Blu 68 (80% of 85) Id. Verde 17 (20% of 85) Id. Blu Identificato come 12 (80% of 15) Id. Blu 3 (20% of 15) Id. Verde Vero Verde Blu Verde 68 3 Blu Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 32 / 50
68 Il taxi pirata: albero delle possibilità Mostriamo 100 taxi di cui 85 verdi e 15 blu al testimone (nelle stesse condizioni ecc.), quanti vengono identificati come blu? 100 taxi 85 Verde 15 Blu 68 (80% of 85) Id. Verde 17 (20% of 85) Id. Blu Identificato come 12 (80% of 15) Id. Blu 3 (20% of 15) Id. Verde Vero Verde Blu Totale Verde Blu Totale Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 32 / 50
69 Il taxi pirata: soluzione analitica Definiamo gli eventi B (V ) il taxi colpevole è Blu (Verde) T il testimone identifica il taxi come blu. I dati forniti sono allora P(V ) = 0.85, da cui P(B) = 1 P(V ) = 0.15 P(T B) = 0.8, P(T V ) = 0.2 Ci interessa trovare P(B T ), il teorema di Bayes dice che P(B T ) = = = P(B)P(T B) = P(T ) P(B)P(T B) P(T B)P(B) + P(T V )P(V ) = = = Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 33 / 50
70 Esempio, test diagnostici L incidenza di tumore alla mammella nella popolazione è l 1%. La mammografia è un comune test diagnostico per la patologia, come tutti i test non è infallibile: nel 10% dei pazienti affetti da tumore al seno il test non lo rileva (falso negativo); d altra parte, il test rileva la malattia nel 10% dei pazienti che non hanno il cancro (falso positivo). Se una donna, presa a caso, viene sottoposta a mamografia e questa fornisce un risultato positivo, qual è la probabilità che sia effettivamente malata? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 34 / 50
71 Esempio, test diagnostici L incidenza di tumore alla mammella nella popolazione è l 1%. La mammografia è un comune test diagnostico per la patologia, come tutti i test non è infallibile: nel 10% dei pazienti affetti da tumore al seno il test non lo rileva (falso negativo); d altra parte, il test rileva la malattia nel 10% dei pazienti che non hanno il cancro (falso positivo). Se una donna, presa a caso, viene sottoposta a mamografia e questa fornisce un risultato positivo, qual è la probabilità che sia effettivamente malata? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 34 / 50
72 Esercizio per spettatori di Dr. House It s never lupus Il Lupus è una patologia che porta gli anticorpi ad attaccare le proteine del plasma come se fossero cellule estranee, il che comporta un elevato rischio di trombi. Si ritiene che il 2% della popolazione soffra di Lupus. Il test per la malattia è accurato al 98% in presenza della malattia, al 74% in assenza della stessa. Nella serie televisiva Dr. House viene spesso ripetuta la battuta Non è mai Lupus quando qualcuno ha un risultato positivo al test. Ala luce delle informazioni sopra, ritenete che la battuta sia appropriata? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 35 / 50
73 Gemelli Circa il 30% dei gemelli è omozigote (gemelli identici), il restosono eterozigoti (gemelli fraterni). I gemelli identici sono necessariamente dello stesso sesso, nel 50% dei casi maschi, nel 50% femmine. Le coppie di gemelli fraterni sono invece per il 25% entrambi maschi, per il 25% entrambi femmine, per il restante 50% misti. Sapendo che una coppia di gemelli è costituita da due ragazze, qual è la probabilità che queste siano gemelle identiche? Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 36 / 50
74 Indice Probabilità condizionate Probabilità totali Teorema di Bayes Monty Hall Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 37 / 50
75 Monty hall Il problema di Monty Hall fu proposto nel 1975 su American Statistician da Steve Selvin; ispirato al gioco a premi americano Let s Make a Deal (Monty Hall era lo pseudonimo del presentatore). Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 38 / 50
76 Monty hall Dietro una porta c è un automobile, dietro le altre due capre. Il concorrente apre una porta e vince quello che c è dietro. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 39 / 50
77 Monty hall scelta È stata scelta la porta 1. Conduttore (che sa dove sono i premi): Per aiutarla, ora le aprirò, delle altre due porte, una che cela una capra Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 40 / 50
78 Monty hall scelta È stata scelta la porta 2. Conduttore (che sa dove sono i premi): Per aiutarla, ora le aprirò, delle altre due porte, una che cela una capra Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 41 / 50
79 Monty hall scelta È stata scelta la porta 3. Conduttore (che sa dove sono i premi): Per aiutarla, ora le aprirò, delle altre due porte, una che cela una capra Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 42 / 50
80 Monty hall scelta Conduttore: Ora, se vuole, può cambiare la sua scelta Conviene cambiare? Soluzione Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 43 / 50
81 Monty hall scelta Conduttore: Ora, se vuole, può cambiare la sua scelta Conviene cambiare? Soluzione Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 44 / 50
82 Monty hall scelta Conduttore: Ora, se vuole, può cambiare la sua scelta Conviene cambiare? Soluzione Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 45 / 50
83 Monty hall scelta Conduttore: Ora, se vuole, può cambiare la sua scelta Conviene cambiare? Soluzione Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 46 / 50
84 Monty hall: la risposta E i = il premio è dietro la porta i ; P(E 1 ) = P(E 2 ) = P(E 3 ) = 1 3 ; Il concorrente sceglie la porta 1, quindi vince se e solo se è vero E 1, con probabilità 1/3. Consideriamo le due porte rimanenti (a) se è vero E 1 il conduttore apre indifferentemente la porta 2 o 3; (b) se è vero E 2 il conduttore apre la porta 3 e la porta non scelta che rimane chiusa è quella vincente ; (c) se è vero E 3 il conduttore apre la porta 2 e la porta non scelta che rimane chiusa è quella vincente ; i tre casi sono equiprobabili, in due su tre conviene cambiare perché la porta non scelta e rimasta chiusa è quella vincente. Cambiando, si vince con probabilità 2/3. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 47 / 50
85 Monty hall: albero È scelta la porta Auto in ( 1 3) Auto in ( 1 3) Auto in ( 1 3) Apre ) ( = 1 6 Apre ) ( = 1 6 Apre ( = 1 3) Apre ( = 1 3) Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 48 / 50
86 Monty hall: porte aperte Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 49 / 50
87 Monty Hall con 100 porte Ci sono 100 porte, di cui una sola contiene il premio. Il concorrente sceglie la porta 1. Il conduttore apre 98 delel restanti mostrando che hanno una capra. Alla fine rimangono due porte chiuse, quella inizialmente scelta dal concorrente e quella non aperta dal conduttore. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 50 / 50
88 Monty Hall con 100 porte Ci sono 100 porte, di cui una sola contiene il premio. Il concorrente sceglie la porta 1. Il conduttore apre 98 delel restanti mostrando che hanno una capra. Alla fine rimangono due porte chiuse, quella inizialmente scelta dal concorrente e quella non aperta dal conduttore. Francesco Pauli e Nicola Torelli Probabilità condizionate e teorema di Bayes 50 / 50
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