Artefatti intelligenti: Aritmetica Maria G. Bartolini Bussi Università di Modena e Reggio Emilia

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1 Artefatti intelligenti: Aritmetica Maria G. Bartolini Bussi Università di Modena e Reggio Emilia

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3 Seconda Primaria

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6 Seconda Primaria

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8 Quinta Primaria

9 Seconda Primaria

10 Quinta Primaria

11 Quinta Primaria

12 Prima Secondaria / Quinta Primaria

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14 Un antico manoscritto

15 Artefatti intelligenti Questo non è intelligente! Perché?

16 Artefatti intelligenti Questo è intelligente! Perché?

17 Artefatti intelligenti

18 Artefatti intelligenti Questo è intelligente! Ma è difficile: ha una componente di convenzionalità molto impegnativa (valore posizionale)

19 Artefatti intelligenti Questo è intelligente! Ma è difficile: non si presta a esercizi veloci di conteggio oltre il 9

20 Artefatti intelligenti prima dell abaco Dall inizio della scuola primaria Dall inizio della scuola primaria alla secondaria di primo grado

21 Artefatti intelligenti prima dell abaco Dall inizio della scuola primaria

22 Il libro PARTE 1 L insegnamentoapprendimento della matematica attraverso diverse culture: Italia e Cina 1. Un quadro di riferimento per sostenere le buone pratiche degli insegnanti 2. La Cina 3. Approfondimenti

23 I temi PROCESSI Contare Rappresentare i numeri (notazione posizionale) Risolvere problemi aritmetici Avviare al pensiero algebrico

24 I temi PROCESSI Contare Rappresentare i numeri (notazione posizionale) ARTEFATTI Cannucce (non solo) Risolvere problemi aritmetici Avviare al pensiero algebrico Problemi con variazione

25 I temi PROCESSI Contare Rappresentare i numeri (notazione posizionale) Risolvere problemi aritmetici Avviare al pensiero algebrico PROVE INVALSI di II e V primaria Risultato importante della ricerca internazionale

26 Il libro PARTE 1 L insegnamentoapprendimento della matematica attraverso diverse culture: Italia e Cina 1. Un quadro di riferimento per sostenere le buone pratiche degli insegnanti 2. La Cina 3. Approfondimenti

27 Cannucce

28 Perché questi temi: INVALSI (e Indicazioni) AMBITO PREVALENTE Numeri SCOPO DELLA DOMANDA Verificare il possesso di strategie di conteggio. PROCESSO PREVALENTE Conoscere e utilizzare algoritmi e procedure. Indicazioni nazionali Contare oggetti o eventi, a voce e mentalmente, in senso progressivo e regressivo e per salti di due, tre, RISULTATI DEL CAMPIONE Mancata risposta: 1,3 Errata: 42,6 Corretta: 56,1

29 Cannucce per contare fino dai tre anni

30 Cannucce per rappresentare i numeri in base dieci dalla prima elementare

31 Da un libro cinese Inizio prima elementare

32 Da un libro cinese 36-28

33 Da un libro cinese 36-28

34 36 28? 36-28= 12? problema Valore posizionale

35 problema 36 28? bambino Slego un fascetto e prendo i bastoncini che mi servono Valore posizionale cultura 36-28= 8.. con il prestito di una decina

36 36 28? Legar problema bambino e slegar e Valore posizionale cultura Comporre Scomporre 36-28= 8.. con il prestito di una decina

37 problema C è un potenziale semiotico nelle cannucce il doppio legame tra una consegna (alla portata dei bambini) e Valore posizionale quel particolare elemento del sapere da insegnare

38 problema Dove agisce l insegnante? bambino Segni, testi situati Valore posizionale cultura Segni, testi matematici

39 UN QUADRO METODOLOGICO MEDIAZIONE SEMIOTICA

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41 UN QUADRO METODOLOGICO IL CICLO DIDATTICO

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46 IN ITALIA Conti A. (1920), Aritmetica per la prima classe elementare, Firenze, Bemporad e Figlio.

47 IN ITALIA 1929 Anni 50

48 Modello delle scatole trasparenti Ho tre decine e quattordici unità. Che numero è? Scuola estiva seconde 48

49 Modello delle scatole trasparenti Ho tre decine e quattordici unità. Che numero è? Scuola estiva seconde 49

50 Modello delle scatole trasparenti 3 decine e 14 unità Scuola estiva seconde 50

51 Modello delle scatole trasparenti Lego i fascetti che posso e li metto nella scatola Scuola estiva seconde 51

52 Modello delle scatole trasparenti Scuola estiva seconde 52

53 Modello delle scatole trasparenti 4 decine e 4 unità Scuola estiva seconde 53

54 Artefatti intelligenti prima dell abaco Dall inizio della scuola primaria alla secondaria di primo grado

55 Il libro Libro in preparazione Pascalina Michela Maschietto

56 Che cos è la Pascalina? Zero+1 Quercetti da un idea di F. Arzarello

57 Nota storica: la pascalina. invenzione che consente di eseguire ogni genere di operazione aritmetica, in modo nuovo e comodo.. Questa macchina semplifica ed elimina nelle sue operazioni tutto quanto è superfluo, il più incompetente troverà tanti vantaggi quanto il più esperto. Senza trattenere o prendere a prestito nulla, la macchina fa da sola quanto l operatore desidera, senza che lui se ne debba in alcun modo preoccupare.

58 Nota storica: la pascalina Dal film Blaise Pascal di Roberto Rossellini (1972)

59 Nota storica: la pascalina William Schickard 1623

60 Nota storica: la pascalina Klein (1924) così commenta il senso delle macchine da calcolo ed in particolare della Brunsviga.

61 Nota storica: la pascalina Mi sia permesso riassumere osservando che il principio teorico della macchina è molto elementare e rappresenta semplicemente una realizzazione tecnica delle regole che si usano sempre nel calcolo numerico [ ]. (Felix Klein)

62 Nota storica: la pascalina Nell esistenza di una tale macchina vediamo una incontestabile conferma che solo le regole dell operazione, e non il significato dei numeri, sono importanti nel calcolo; perché la macchina può seguire solo queste; è costruita per fare esattamente questo; non potrebbe cogliere intuitivamente il significato dei numeri. (Felix Klein)

63 Nota storica: la pascalina Non riterremo dunque accidentale che un uomo come Leibniz, pensatore astratto di primo livello, e uomo di grande talento pratico, sia stato, al tempo stesso, sia il padre della pura matematica formale che l inventore di una macchina calcolatrice. (Felix Klein)

64 Che cos è la Pascalina?

65 Analisi del potenziale semiotico Alcuni significati matematici: Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci. Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci. Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.

66 Primo esempio (classi prima e seconda elementare) (Mara Boni) 66

67 Analisi del potenziale semiotico Alcuni significati matematici: Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci. Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci. Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.

68 Conta usando la pascalina Rappresentazione polinomiale dei numeri. Collegamento tra aspetti semantici e sintattici Prima elementare: Mara Boni

69 Conta usando la pascalina Rappresentazione polinomiale dei numeri. Collegamento tra aspetti semantici e sintattici Prima elementare: Mara Boni

70 La filastrocca di Alice

71 La filastrocca di Alice Da zero si va avanti di uno e si fa zero più uno. Dall uno si va avanti di uno e si fa uno più uno. Dal due si va avanti di uno e si fa due più uno. Dal tre si va avanti di uno e si fa tre più uno. Dal quattro si va avanti di uno e si fa quattro più uno. Dal cinque si va avanti di uno e si fa cinque più uno. Dal sei si va avanti di uno e si fa sei più uno. Dal sette si va avanti di uno e si fa sette più uno. Dall otto si va avanti di uno e si fa otto più uno. Dal nove si va avanti di uno e si fa nove più uno. 71

72 La filastrocca di Alice VOCE: Dieci. INSEGNANTE: Dieci. Abbiamo il dieci. Avete visto? Dopo il nove siamo andati avanti di uno e si è formato il dieci. Sai andare avanti ancora un po? Dai! ALICE: Dal dieci si va avanti di uno e si fa dieci più uno e con l uno si mette un altro uno e diventa undici. Poi vai avanti di uno e diventa.. INSEGNANTE: Scusate, sempre con la ruotina di destraeh, la ruotina gialla di destra, sempre la ruotina gialla Alice muove. Alice, Marta, sempre sta muovendo la ruota di destra, Alice muove qui, correttamente qui, non lì, Marta, qui. Ecco qui, avete visto?, sempre qui va avanti di uno, vero Alice? ALICE 72

73 La Pascalina Apre, fino dalla prima elementare, a nuove avventure (addizioni-sottrazioni con numeri fino a 3 cifre; addizioni e sottrazioni per iterazione dell operatore +1 o -1 e per decomposizione del numero in unità, decine, centinaia, ecc.) Suggerisce la realizzazione di procedure facilmente automatizzabili Per i bambini di livello alto Per i bambini che le inventano con difficoltà spontaneamente che le possono imitare 73

74 Dentro lo schema La risposta di Alice, colta al volo dall insegnante e proposta a tutti come modello da imitare, mette a disposizione di tutti il collegamento tra Artefatto (le ruote, andare avanti, girare, i gesti, diventa, l uno che si mette con un altro uno, diventa ) Matematica (i numerali nell ordine standard, l operatore +1,..).

75 Dentro lo schema La risposta di Alice, colta al volo dall insegnante e proposta come modello da imitare, mette a disposizione di tutti il collegamento tra Aspetti sintattici (la conta realizzata in modo automatico) Aspetti semantici (il numero degli scatti necessari)

76 Qualche mese dopo (seconda elementare) Prova individuale con una pascalina a testa: Costruisci il numero 23 e spiega con parole e disegni come hai fatto (partendo da zero).

77 Qualche mese dopo (seconda elementare)

78 Qualche mese dopo (seconda elementare)

79 Qualche mese dopo (seconda elementare)

80 Qualche mese dopo (seconda elementare)

81 Una nuova consegna (di natura semiotica) Spiega come hai fatto. Puoi aiutarti con queste parole (o numeri). Avanti di 1 Rumoretto Che numero è? Scrivilo in parole. Clic clac / zzz / tru tri /tic tac Vado di 1 Vado avanti di 1 +1

82 Restituisce agli allievi e dà valore ai segni da loro prodotti. In molti protocolli gli allievi disegnano mani, evocando gesti. Sono segni-artefatto che evocano l esperienza concreta (situata). Dovranno essere trasformati in segni matematici. Una nuova consegna (di natura semiotica)

83 Secondo esempio (classe quarta elementare) (Franca Ferri) 83

84 Analisi del potenziale semiotico Alcuni significati matematici: Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci. Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci. Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.

85 Algoritmi di addizione in base dieci Quarta elementare: Franca Ferri

86 La consegna (individuale) Scrivi le istruzioni d uso della Pascalina per l operazione di addizione (caso particolare suggerito: )

87 Christian: Due protocolli Ho scritto il primo addendo, 28, poi ho aggiunto il secondo, ruotando in senso orario la rotella delle unità quattro volte e la rotella delle decine una sola volta. Il risultato è 42. Orlando: Ho scritto il numero 28, poi ho girato in senso orario 14 volte la ruota in basso a destra, quella delle unità. Il risultato è 42.

88 Algoritmi di addizione in base dieci

89 INTENZIONE DELL INSEGNANTE Algoritmi di addizione in base dieci Testi (segni) matematici

90 Una nuova consegna Guarda che cosa hanno scritto Christian e Orlando per calcolare sulla pascalina: Prova a scrivere le espressioni matematiche che rappresentano i due diversi procedimenti.

91 Una nuova consegna Guarda che cosa hanno scritto Christian e Orlando per calcolare sulla pascalina: Prova a scrivere le espressioni matematiche che rappresentano i due diversi procedimenti.

92 Globalmente Usano solo i segni matematici (7/23) Usano segni matematici e linguaggio iconico (2/23) Usano segni matematici e linguaggio verbale (10/23) Usano segni matematici, linguaggio verbale e linguaggio iconico (4/23)

93 Solo segni matematici (M. Y. N.) Christian = ( ) + (4 + 8) = = = = 42 Orlando = (20 + 8) + ( ) = = 20 + ( ) = = = = 42

94 Segni matematici e linguaggio iconico

95 Segni matematici e linguaggio verbale Le due operazioni sono le stesse, solo che cambia come le svolgono. Christian: da + 4 u = 42 Orlando: = 42 (L. F.)

96 Segni matematici, linguaggio verbale ed iconico (L. A.)

97 Terzo esempio (classe prima media) (Rossella Garuti) 97

98 Analisi del potenziale semiotico Alcuni significati matematici: Rappresentazione polinomiale dei numeri in base dieci. Algoritmi di addizione e sottrazione in base dieci. Collegamento tra aspetti semantici ed aspetti sintattici.

99 Potenzialità della pascalina (esempio di macchina matematica) È un artefatto polisemico. L introduzione in classe non determina in modo automatico il modo in cui è usato e concettualizzato dagli allievi. Crea potenzialmente - le condizioni per generare la produzione di voci diverse (la polifonia di Bachtin) per una discussione matematica. 99

100 Le prime consegne Disegna e descrivi come è fatta la Pascalina senza farla girare. Descrivi come funziona.

101 Le prime consegne Disegna e descrivi come è fatta la Pascalina senza farla girare.

102 Le prime consegne Descrivi come funziona. Quando la ruota in basso a destra arriva a 9 fa muovere la ruota arancione che a sua volta muove la seconda ruota gialla. Le ruote arancioni si muovono quando una gialla arriva a 9. Le ruote dentate gialle si possono muovere sia in senso orario che antiorario. Secondo me le ruote arancioni servono a far muovere le ruote gialle

103 Problemi autoposti Come fare per far muovere tutte e cinque le ruote insieme? Con qualsiasi numero che finisce per 00 facendo un clic dell ultima ruota a destra in senso antiorario si muovono tutte e cinque le ruote Con tutti i numeri che finiscono per 99, facendo un clic dell ultima ruota a destra in senso orario si muovono tutte e cinque le ruote

104 Altri problemi Eseguire una moltiplicazione Eseguire una divisione Eseguire un addizione girando la ruota delle unità solo in verso orario Eseguire un addizione minimizzando il numero degli scatti (dei passi): es Eseguire una sottrazione mnimizzando il numero degli scatti (dei passi): es Congetturare che cosa può avvenire

105 Il gioco voci-eco

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108 Altri riferimenti storici Pascal.htm

109 Alcuni riferimenti Tesi di dottorato di Rossella Garuti: regionale.html Volume del progetto Regionale: tto-regionale-emilia-romagna/risultati-delprogetto/libro-progettoregionale/documento html

110 Prestito Pascaline Laboratorio di Macchine Matematiche presso il Liceo Aldo Moro di Reggio Emilia rio-macchine-matematiche/