Fisica 2A. 12 novembre 2004

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1 Fisica 2A 2 novembre 2004 Rispondere alle domande e risolvere i problemi in modo chiaro, esauriente ma sintetico. Spiegare e motivare sinteticamente tutte le assunzioni e i passaggi. Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quello che viene chiesto, incluse le eventuali risposte numeriche. Chiedere spiegazione e chiarimenti su qualunque aspetto del testo che non sia chiaro. Domande. Si supponga di schematizzare l atomo di idrogeno (in termini puramente classici) come una carica positiva, il protone, attorno a cui un elettrone (m e = kg, q e = C) percorre un orbita circolare ad una distanza pari ad a 0 = m. Calcolare il campo magnetico prodotto dall elettrone alla posizione del nucleo. Calcolare il momento di dipolo magnetico orbitale dell elettrone. B = 4π e 2 a 5/2 0 4πε 0 m = 4 T m = Iπa2 0 = J/T (0.) 2. Si supponga di misurare la curva di prima magnetizzazione di un materiale ferromagnetico (Ferro), cioè la curva di magnetizzazione a partire dal materiale smagnetizzato. Si supponga che i dati sperimentali possano essere descritti, attraverso un opportuno fit, dalla funzione M[H] = α arctan [βh], con α = A/m e β = 0 A/m. Determinare la suscettività magnetica differenziale ad H = 0 A/m. Calcolare il numero medio di elettroni per atomo di Ferro che contribuiscono alla magnetizzazione di saturazione. Momento magnetico intrinseco di un elettrone: µ e = J/T. Densità del Ferro: ρ = 7.9 kg/dm 3. Massa molare del Ferro: M 0 = 55.8 g/mol. Numero medio di elettroni per atomo di Ferro che contribuiscono alla magnetizzazione di saturazione: n = απm 0 2µ e N A ρ (0.2) χ M [H = 0] = αβ = 0 5 (0.3)

2 3. Una navicella spaziale, di massa complessiva M =.5 ton, viaggia ai confini del Sistema Solare. Ad un certo istante la navicella accende un laser di potenza Π = 0 5 W, diretto verso il Sole, per allontanarsi dal Sistema Solare. Calcolare a che distanza dal Sole dovrebbe trovarsi la navicella affinché la spinta che riceve dall emissione del fascio laser sia di modulo uguale alla forza di attrazione gravitazionale del Sole. Massa del Sole: M = kg. d = F r = dp dt = c de dt = Π c (0.4) F g = G M M d 2 (0.5) cgm M π = m (0.6) 4. La superficie di separazione tra due mezzi materiali porta una corrente libera superficiale j S. Determinare la condizione di discontinuità, al passaggio attraverso la superficie, della componente tangenziale del vettore H. 5. Derivare l equazione delle onde meccaniche longitudinali su una sbarra elastica uniforme di sezione costante. 6. Si consideri un mezzo conduttore lineare, omogeneo e isotropo, con conducibilità σ e permeabilità elettrica relativa κ E. Si supponga che ad un certo istante in una piccola zona interna al conduttore ci sia una densità di carica libera ρ 0 0, mentre nel resto del materiale la densità di carica libera iniziale è nulla. Ricavare l andamento della carica libera nei punti interni al conduttore in funzione del tempo e discutere il risultato spiegando perché, a tempi molto lunghi, la carica libera si trova solo sulla superficie del conduttore. 2

3 Problema Un condensatore, formato da due dischi circolari di raggio R = 3 cm e separazione tra le armature d = 0. mm, è riempito di un materiale dielettrico di costante dielettrica relativa ε r = 2. Le due armature sono collegate ad un generatore di f.e.m. di valore V = V 0 cos [ωt] con V 0 = 3 V e ω = 50 Hz. d e z R Determinare modulo e direzione del campo elettrico e la densità di cariche libere sulla superficie delle armature del condensatore. Calcolare il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie laterale del condensatore. Siccome d R il campo elettrico all interno del condensatore vale E = (V 0 /d) cos(ωt) ed ha direzione normale alle armature del condensatore. Sia σ la densità di carica libera superficiale su una delle armature del condensatore. Si ha allora: σ = ±ε 0 ε r (V 0 /d) cos(ωt) Per calcolare il flusso del vettore di Poynting è necessario calcolare il campo magnetico all interno del condensatore. Questo è per ragioni di simmetria orientato tangenzialmente e dipende dalla sola coordinata radiale. La legge di Ampère Maxwell B dl = D t ds applicata ad una superficie circolare di raggio r < R all interno del condensatore avente centro sulla congiungente dei due centri delle armature fornisce (in modulo): e quindi: Il vettore di Poynting P vale quindi 2πrB(r) = ε 0 ε r πr 2 V 0ω d sin(ωt) B(r) = ε 0 ε r V 0 ω r sin(ωt) 2d P = (E(R, t) B(R, t)) Il suo modulo è (E e B sono ortogonali): P = ε 0 ε r ωv0 2 R/(2d 2 ) sin(ωt) cos(ωt) e la sua direzione è radiale. Il flusso è quindi dato da: φ = 2πRdP = πε 0ε r ωv0 2 R 2 sin(2ωt) 2d 3

4 Problema 2 L apparato mostrato in figura può essere utilizzato per misurare la suscettività magnetica di un materiale paramagnetico o debolmente ferromagnetico misurando, per mezzo di una bilancia, la forza di attrazione tra una sferetta del materiale considerato e un elettromagnete. Il campo magnetico dell elettromagnete lungo l asse z vale B[z] = B 0 exp [ z 2 /a 2] con B 0 =.5 T e a = 0. m (si considerino trascurabili le componenti B x e B y ). Una sferetta di materiale magnetico (inizialmente non magnetizzata) viene inserita nel campo dell elettromagnete ed attaccata alla bilancia. Si supponga che la sferetta abbia dimensioni tali per cui il campo magnetico dell elettromagnete possa essere considerato costante nel volume occupato dalla sferetta e si trascuri la forza di gravità. z. Calcolare i campi B ed M all interno della sferetta in funzione di, χ m e B[z]. Valutare le stesse grandezze nei limiti χ m (paramagnete) e χ m (ferromagnete). Si ricordi che all interno di una sfera magnetizzata nel vuoto B = 2/3 M. 2. Calcolare il valore della suscettività magnetica del materiale nel caso in cui la sferetta abbia volume V = 4 mm 3 sia composta di materiale paramagnetico e, all altezza z = a/2, sia sottoposta alla forza F = 60 µn.. Indicando con il suffisso sf e le grandezze relative alla sferetta magnetizzata in assenza di campo esterno e senza alcun suffisso quelle relative alla sferetta magnetizzata nel campo costante B[z] si ha: H = H sfe + H[z] B = B sfe + B[z] Inoltre B sfe = 2 3 M H sfe = B sfe M = 3 M e se il mezzo è lineare omogeneo e isotropo M = χh Quindi, dall equazione per H, M χ = 3 M + B[z] da cui si ottiene M = 3χ B[z] (χ + ), B = 3 (χ + 3) (χ + 3) B[z] Metodo alternativo (più complicato): Il campo esterno B[z] induce una magnetizzazione M 0 M 0 = χh[z] = χ ( + χ) B[z] 4

5 ma a sua volta il campo M 0 darà un campo B addizionale e, di conseguenza, un campo M addizionale e così via.. «2 χ B = B[z] M = ««χ 2 χ B[z] 3 + χ + χ 3 + χ «2 χ 2 B 2 = B[z] M 2 = ««χ 2 χ 2 B[z] etc χ + χ 3 + χ Quindi, sommando tutti i contributi: X X B = B n M = M n n=0 n=0 si riottengono i risultati precedenti Limiti per χ Limiti per χ 2. La forza a cui è sottoposta la sferetta è data da: e ricordando che M = χ B[z], B = B[z] M = 3 B[z], B = 3B[z] X x n = x n=0 2 F z = m B[z] z = MV B[z] z = B[z]V χ B[z] z calcolata per z = a/2 F z = B 0e z2 /a 2 V χ ( 2z a 2 ) B 0e z 2 /a 2 F z = B 0 e /4 V χ B 0 e /4 a la forza è attrattiva poiché χ > 0: da cui si ricava χ: F z = χ a e B2 0V χ = F z a e B 2 0 V = Problema 3 Una piccola spira circolare piana, di raggio r = cm e resistenza R = kω, viene investita da un onda Elettro- Magnetica piana in un ambiente vuoto. Si introduca un sistema di coordinate tale che la spira giaccia nel piano xy con centro nell origine. L onda ElettroMagnetica piana viaggia nella direzione dell asse x, diretta concordemente all asse x, e il suo campo elettrrico vale E[x, t] = E 0 cos [kx ωt] j, con frequenza ν = 0 MHz. Sulla spira si misura una corrente I[t] = I 0 sin ωt, con I 0 = 0.67 µa.. Determinare la lunghezza d onda e il valore dell ampiezza del campo elettrico dell onda, E 0. Spiegare perché l effetto del campo elettrico dell onda non è significativo. 2. Calcolare la densità di energia ElettroMagnetica media associata all onda e la densità media di energia del campo magnetico prodotto dalla spira al centro della spira. Confrontare i due valori (o le due espressioni) dimostrando che il campo magnetico prodotto dalla spira ha effetto trascurabile sul campo ElettroMagnetico dell onda. 5

6 . Il campo elettrico e magnetico dell onda sono: E[x, t] = E 0 j cos [kx ωt] (0.7) B[x, t] = (E 0 /c) k cos [kx ωt]. (0.8) La lunghezza d onda vale: λ = (c/ν) = 30 m, ed è quindi molto maggiore delle dimensioni della spira, per cui si può considerare il campo magnetico uniforme sulla spira e di valore uguale al valore al centro. Inoltre B è perpendicolare alla spira. Il flusso del campo magnetico concatenato alla spira vale: La corrente indotta sulla spira vale dunque: Ne segue: φ B [t] = πr 2 B z [0, t] = πr2 E 0 c I[t] = E R = R E 0 = dφ B dt = πr2 ωe 0 cr cos [ωt]. (0.9) sin [ωt]. (0.0) cr πr 2 ω I 0 = 0 V/m. (0.) Si noti che l espressione data della corrente, in fase con la forza ElettroMotrice indotta, implica che l induttanza della spira è trascurabile rispetto alla resistenza. L induttanza di una spira circolare, con raggio r, raggio del filo a ed N spire, vale: L = N 2 r (µ E ( ln 8r a 2 ) + µ F 4 ) = 0.03 µh, (0.2) in termini della permeabilità magnetica del filo, µ F, e del mezzo esterno, µ E. Una stima dell ordine di grandezza dell induttanza può essere ottenuta usando il campo al centro della spira: L N 2 πr µh. (0.3) Alle frequenze dell onda l impedenza reattiva della spira, ωl, è molto minore della resistenza, ed è quindi lecito trascurarla. 2. Densità di energia ElettroMagnetica media associata all onda piana: u = ε 0 2 E2 + B 2 = 2 c 2 E2 = E2 0 2 c 2 = J/m 3. (0.4) Il campo magnetico prodotto dalla spira al suo centro è diretto come l asse z e la sua componente z vale: B s = I 2r. (0.5) Di conseguenza la densità media di energia del campo magnetico prodotto dalla spira vale: u s = 2 B 2 s = I 2 0 8r 2 sin2 [ωt] = I 2 0 6r 2 = E 2 0π 4 r 2 ω 2 6c 2 R 2 = J/m 3. (0.6) Il confronto può anche essere fatto sulle espressioni analitiche. Ovviamente il campo magnetico variabile prodotto dalla spira genera un campo elettrrico variabile che a sua volta genera un ulteriore campo magnetico variabile e cosí via. Tali campi hanno però energie associate via via decrescenti. 6