matematica & dintorni matematica & dintorni elio giroletti Elio GIROLETTI - Università di Pavia, Dip. Fisica nucleare e teorica

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA dip. fisica nucleare e teorica via Bassi 6, 700 Pavia, Ital - tel elio.giroletti@unipv.it - elio giroletti matematica & dintorni MATEMATICA & FISICA - elio giroletti Classe Lauree di INFERMIERISTICA e OSTETRICIA corso propedeutico di MATEMATICA E FISICA matematica & dintorni MATEMATICA & FISICA - elio giroletti Introduzione Simboli e linguaggio matematico Proporzioni, potenze e notazione scientifica Logaritmi Equazioni di I e II grado Sistemi di riferimento Angoli, superfici e volumi Percentuali Funzioni lineari, esponenziali, trigonometriche Lucidi di D. SCANNICCHIO e P. MONTAGNA, rivisti da E. GIROLETTI

2 TESTO CONSIGLIATO PER IL CORSO PROPEDEUTICO Montagna P, Panzarasa A, Dalla matematica alla fisica: richiami di matematica e semplici esercizi di fisica tra scuola superiore e università, ed. CLU, Pavia, 003 Fisica e Medicina Perchè la fisica in ambito medico? Scienza = disciplina basata su fatti sperimentali Scienza esatta = scienza in grado di associare un errore alle proprie previsioni FISICA MEDICINA ASTROLOGIA SCIENZA SI SI NO SCIENZA ESATTA SI NO NO Fisica = dalla stessa causa discende stesso effetto Medicina = stessa causa può produrre diversi effetti Il ponte tra le due scienze è dato dalla statistica. E impossibile prevedere la durata della vita (effetto) di un paziente affetto da tumore (causa) E possibile stabilirne la probabilità di sopravvivenza sulla base dell analisi statistica di molti altri pazienti con lo stesso tumore. Metodo scientifico Metodo scientifico (sperimentale - galileiano) Esperimento riproducibile in ogni tempo e in ogni luogo Valutazione dell errore Elaborazione della teoria Uso della matematica Analisi statistica dei dati

3 Matematica linguaggio della Scienza 3 [Il libro della natura] non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscere i caratteri, ne quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli ngoli,, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. Galileo Galilei Matematica linguaggio della Scienza Metodo scientifico = Esperimento + Teoria Elaborazione e verifica quantitativa di leggi fisiche relazione tra grandezze fisiche Osservazione e descrizione quantitativa dei fenomeni naturali Misura di grandezze fisiche unità di misura, equivalenze, notazione scientifica (potenze di 0) operazioni algebriche, potenze e loro proprietà,equazioni Simboli matematici a modulo di a + - :,/.,.3,3 _ a media di a = uguale circa uguale identità non uguale proporzionale zero ordine di grandezza infinito > maggiore < minore» molto maggiore «moltominore maggiore o uguale minore o uguale

4 Simboli matematici 4 radice quadrata n radice ennesima δ,! fattoriale 3! = 3 3 =6 0!= variazione di: = - δ = - sommatoria: produttorio:. 3 4 = i = i = i i= f ( ) d integrale π = 3,4... n. nepero e = = + =,78... n= 3 n! n! Simboli matematici relazioni, formule, leggi Uguaglianze tra grandezze fisiche espresse tramite simboli letterari m m F = G r Ogni lettera assume un valore numerico che permette di calcolare una qualsiasi grandezza incognita m m F = G r oppure r F m = G m Simboli matematici variazione: differenza: a=a -a - a=a -a variazione pressione alle estremità di un vaso p p =(80 = 0) mm Hg = - 40 mmhg p =0 mmhg Q p > p p =80 mmhg

5 Simboli matematici 5 m m F = G r proporzionale a a inverso di r : r F m F r F è inversamente proporzionale a r Proporzioni a:b = c:d ad = bc prodotto dei medi = prodotto degli estremi Nulla di magico: sono solo normali equazioni! a:b = c:d a = bc/d c = ad/b b = ad/c d = bc/a Applicazione quotidiana : conversione di unità di misura Proporzioni economiche a : b = c : d ad = bc esempio: lire euro dati: euro = 936,7 lire X lire : Y euro = 936,7 lire : euro Yeuro 936,7lire Xlire = euro Xlire euro Yeuro = 936,7lire

6 Proporzioni in fisica a : b = c : d ad = bc 6 esempio: mmhg barie dati: atmosfera = 760 mmhg =0 6 barie = 0 6 Pa X mm Hg : Y barie = 760 mmhg : 0 6 barie Ybarie 760mmHg XmmHg = 6 0 barie XmmHg 0 6 barie Ybarie = 760mmHg Percentuale Metodo comodo per esprimere variazioni (aumenti o diminuzioni) rispetto a una situazione nota % = /00 = 0 - = 0,0 n % = n/00 = 0 - n = 0,0 n 3% di 50 = 3 50/00 = = 3.5 = 4.5 0% di = 0, = % di 0,003 = 0,0 0,003 = = = 0, % di 000 =.000 =.000 (raddoppiare = aumentare del 00% = passare al 00 %) La percentuale e relativa alla grandezza a cui si riferisce. 3% di 50 = 4.5 (adimensionale) 0% di 000 = 00 Soluzione di una sostanza in acqua al 5% = in volume: in litro di soluz., 950 cm 3 d acqua e 50 cm 3 di soluto in peso: in kg di soluz., 950 g d acqua e 50 g di soluto Per mille : = 0.% Parte per milione: ppm = 0.00 Uso del calcolo percentuale In laboratorio: errore relativo o percentuale Misura: a ± a Errore relativo: err = a/a Errore percentuale: err% = ( a/a) 00 Nella vita quotidiana: i conti in tasca (tasse, IVA, ) Errore sulla misura di lunghezza: lungh = (63,0 ± 0,5) cm err = (0,5 cm)/(63,0 cm) = 0,0079 err% = err 00 = 0,79 % Prezzo netto (IVA escl.): N = 00 euro Prezzo lordo (IVA compr.): L = 00 euro Prezzo lordo: L = N + 0,0 N Prezzo netto: L = N N =.0 N = (+0,0) N =,0 N = 0 euro N = L /.0 = 0,8333 L = 83,33 euro e non N = 0,80 L = 80 euro

7 Conversione di unità di misura 7 Fattore di conversione = rapporto tra due unità di misura Velocità km/h m/s km/h =000 m /3600 s =0,8 m/s m/s =0,00 km /(/3600) h =3,6 km/h n km/h = n * 0,8 m/s m/s km/h n m/s = n * 3,6 km/h Velocità di atleta (dei 00 m): 0 m/s = 0*3,6 km/h = 36 km/h automobile: 0 km/h = 0*0,8 m/s = 33,6 m/s luce: km/s = 3*0 8 m/s = 3*0 8 *3,6 km/h =,08*0 9 km/h POTENZE n due definizioni a = a 0 = n n a a a a n m m = a n r n r ( a ) = a n m a = = a n a b m n m a n a = b n n n+ m = a b n n a es.: potenze di = + = = = ( ) = = = = 4 3 = = 3 = 3 = 3 3 = 0,5 8 =, = = 3 = = 0,96 Potenze di dieci Per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli si usa: 0 6 si legge 'dieci alla sesta' è uguale a moltiplicato per 0 6 : = è uguale a,0 spostando la virgola a destra di 6 posti es. 3,5 0 6 = si legge 'dieci alla meno 6' è uguale a diviso per 0 6 : / = 0,00000 è uguale a,0 spostando la virgola a sinistra di 6 posti es. 3,5 0-6 = 0, numero di Avogadro N A = 6,0 0 3 = massa elettrone m e = 9, 0-3 kg = 0, kg

8 Notazione scientifica 8 Neicalcoliscientificisiscrivenumerigrandie piccolicome una cifra (da a 9) seguitaeventualmentedapunto decimale e cifre successive, per la potenza di dieci 500 = 5 0 0,05 = = 3, , = 3, = 0 4 0,000 = 0-4 Vantaggio: le potenze di 0 sono potenze! Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operazioni complicate, con risultati ben approssimati! = =, (esatto) = (, ) (7, ) =,897 7,544 ( ) (3 0 3 ) (7 0 4 ) = = 0 7 = =, 0 8 (appr.) Esponenziale e logaritmo n =Y n =log (Y) Logaritmo in base di Y è l esponente a cui bisogna elevare la base per ottenere come risultato il numero dato Y. 0 3 = 000 log 0 (000) = 3 logaritmo= funzione inversa dell esponenziale log 0 (0 ) = log 3 (9) = perché 3 = 9 log (64) = 6 perché 6 = 64 log e (e) = perché e = e e =,78... numero di Nepero log e = ln logaritmi in base e log 0 = Log logaritmi in base 0 LOGARITMI def. 0 n = N n = log 0 (N) - logaritmi in base 0 : log 0 N= LogN - logaritmi in base e : log e N= lnn n. nepero e = = + =,78... n= 3 n! n! Log 3,4 =,507 ln 3,4 =5,77 ln a = ln 0 Log a =,305 Log a Log a = Log e ln a = 0,434 ln a

9 Proprietà dei logaritmi 9 Direttamente dalla definizione e dalle proprietà delle potenze: def. 0 n = N n = log 0 (N) log(n M) = log(n) + log(m) log(n/m) = log(n) - log(m) log(000 0) = log(0000) = 4 = 3+ log(000/0) = log(00) = = 3- log(n a ) = a log(n) Ma: log(n±m) log(m) ± log(n) log(000 ) = log(000000) = 6 = 3 = log(000) log(000+0) = log(00) = 3, = 3+ Valori notevoli dei logaritmi Per semplicità utilizziamo i logaritmi in base 0. Ma tutte le proprietà valgono per i logaritmi a qualunque base. Def. 0 n = N n = log 0 (N)... log 0 (00) = perché 0 = 00 log 0 (0) = perché 0 = 0 log 0 () = 0 perché 0 0 = log 0 (0,) = - perché 0 - = /0 = 0, log 0 (0,0) = - perché 0 - = /00 = 0,0... log 0 (0) non esiste perché 0 n non può dare 0 log 0 (-) non esiste perché 0 n non può essere negativo Il logaritmo è definito solo per numeri positivi. E positivo per numeri >, negativo per numeri <, nullo per numeri =. log e (5) =,6094 perché e,6094 = 5 log 0 (64) =,806 perché 0,806 = 64 LOGARITMI esempi ph = Log [H + ] [H + ] = 0-7 ph = -7 [H + ] = 0-5 ph = -5 I σ ( decibel ) = 0Log I 0 I I 0 5 = 0 0 = σ ( decibel) = 0Log 0 = 0( Log + Log0 ) = 0(0,3 + 7) = 73dB

10 LOGARITMI 0 V m = RT ZF esempi ln {} s e {} s i V m(cl ) = = RT ZF ln = 6 0 {} s e 8, = ln = 6 0 ln {} s i 3 ln 0 4 = ln 0,033 =?? 30?? 0 = ( 3,4) = 90 0 V = 90mV Equazioni: cosa sono Relazioni di uguaglianza tra due membri tutto ciò cheèa o membro (numeri, dimensioni, unità di misura) deve essere uguale a tutto ciò cheèa o membro Area di un rettangolo: A = ab= (50 cm) ( m) = 50 cm m (da evitare!) = 50 cm 00 cm = 5000 cm = 5000 cm = 0,5 m m = 0,5 m = 0,5 m NO! NO! Equivalenze + controllo dimensionale a b A a = 50 cm, b = m Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri verificata per particolari valori di una variabile incognita a + b = 0 = -b/a EQUAZIONI e soluzioni I grado a + b = 0 ammette una soluzione b = a II grado a + b + c = 0 b + = ammette due soluzioni determinante = =b 4ac 0 b = b 4ac a b 4ac a

11 Proprietà: Equazioni: come si risolvono Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membri Moltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri il risultato non cambia = 6 =3 + 4 = = 0 =3 5= = 30 =3 Metodo di risoluzione: Equazione: a+b =0 a + b = 0 a + b b= 0 b a = -b a/a = -b/a = -b/a e da qui deriva il metodo di risoluzione: - 6 = = 0+6 = 6 / = 6/ = 3 /3 + /4 = 0 /3 + ¼-¼= 0 ¼ /3 = - ¼ /3 3= (- ¼) 3 = -3/4 SISTEMI di EQUAZIONI LINEARE esempi a + b + k = 0 c + d + h = 0 soluzione analitica NON LINEARE (funzioni di grado superiore al ) f (, ) = 0 g(, ) = 0 soluzione grafica (vedi rappresentazione grafica delle funzioni) Sistemi di riferimento Criterio generale: semplicità (= minor complicazione possibile!) Sistemi cartesiani: : assi,,z tra loro perpendicolari cartesiano Quale sistema di riferimento usare? Dipende dalle caratteristiche geometriche e di simmetria del problema. non cartesiano (inutile?...) automobile, bicicletta peso che cade scatola cubica fascio raggi X... ruota, palla giostra Terra, Sole, pianeti onde elettromagnetiche atomi, cellule... tubi, impianti idraulici condotti elettrici vasi sanguigni bottiglie, bombole siringhe, fiale, flebo } } } coord. cartesiane coord. sferiche coord. cilindriche

12 Sistemi di riferimento -dimensioni r P(, ) r = + O θ = r cosθ = r sinθ Ogni punto è univocamente determinato da: coordinate: P(,) - P(r,θ) Sistemi di riferimento 3-dimensioni P(,,z ) r O φ z θ z Ogni punto è univocamente determinato da: 3 coordinate: P(,,z) - P(r,θ,φ) Misura degli angoli Lunghezza di una circonferenza: c = π r Lunghezza di un arco di circonferenza: a = α r Rapporto arco/circonferenza= a/c = αr/πr = α/π α = arco/raggio = misura dell angolo in radianti c π r α a

13 QUANTO VALE RADIANTE? 3 angolo giro = 360 = π radianti radiante : gradi = π : = = 57,9578 = 57 7'44,8" π 0,9578 : Y = : 60 Y=7, ,74680 : Z = : 60 Z=44,8 Funzione Funzione = relazione univoca tra due variabili =f( f() =f() la grandezza dipende dalla grandezza : come? definire la funzione =f() significa stabilire come varia la variabile dipendente al variare della variabile indipend.. Rappresentazione delle funzioni sistemi di riferimento Funzione Una relazione di dipendenza e una funzione, f(), se per ogni valore della variabile indipendente esiste uno e un solo valore della variabile dipendente?? SI NO Una funzione e invertibile se a ogni valore della variabile dipendente corrisponde uno e un solo valore della variabile indipendente. In pratica, se e sempre crescente o decrescente. persona data di nascita SI NO persona targa auto NO SI = n = n SI, invertibile = n = n SI, non invertibile = n = n NO

14 Quale funzione? 4 Problema operativo: interpretare e generalizzare un dato sperimentale Metodo: ) Effettuare una serie di misure di laboratorio ) Disporle in grafico (=var.indip., =var.dip.) 3) Cercare la funzione che meglio descrive la relazione tra e 4) Determinare i parametri di tale funzione nella particolare situazione in esame Tutto questo normalmente lo fa un computer, ma solo se correttamente impostato. Quale funzione? NO (dipende ) Per determinare una funzione e i suoi parametri bisogna rispettare i vincoli dei dati sperimentali (es. limiti a valori grandi o piccoli, punti o regioni non fisiche, zeri o valori particolari) utilizzando tutte le informazioni disponibili Attenzione: impostazioni e approssimazioni diverse portano a funzioni diverse per un unica legge fisica. Bisogna quindi tener presenti i limiti di validita del procedimento. Principali funzioni di uso comune in laboratorio : polinomi = a n n +a n- n- + +a +a +a 0 esponenziali = ae b trigonometriche = asin(b), acos(b) Funzioni dipendenti dal tempo vasta classe di fenomeni fisici (e della vita quotidiana) Tempo = variabile indipendente parametro del moto Moti: s=s(t), v=v(t), a=a(t) Oscillazioni: s(t) = A sin(ωt) Decadimenti: n(t) = n 0 e -λt polinomi f.trigonometriche f.esponenziale

15 Proporzionalità diretta e inversa 5 Retta proporz.diretta o grado Iperbole proporz.inversa raddoppia al raddoppiare di si dimezza = K / = K = cost = K/ = K = cost In fisica: s = v t PV=k P=k/V λ = c T λν = c λ = c/ν F = m a V = R I Funzione lineare: : la RETTA = a + b =0 =b =0 =-b/a -b/a 0 b = a (passa per origine) = a+b dove b<0 Funzione lineare: : la RETTA = a 3 = a a 3 = a a a 0 θ a < a < a 3 θ=arctg a = a = coefficiente angolare

16 Proporzionalità quadratica 6 Parabola o grado Iperbole quadr. proporz.diretta proporz.inversa quadruplica al raddoppiare di si riduce a un quarto = K / = K = cost = K/ = K = cost In fisica: s = ½ a t F g = - G m m / r T = ½ m v F e = K q q / r Funzione ESPONENZIALE a > = a 0 0 < a < funzione esponenziale con base a Funzione ESPONENZIALE B > 0 = Ae B e =,78 0 B < 0 funzione esponenziale con base e

17 Funzione esponenziale = definita per ogni valore di sempre positiva = per =0 sale velocissima per >0 scende lentissima per <0 0.. = 0 = = Utile in tanti processi in cui si devono considerare grandezze positive fortemente variabili. Rappresentazione semilogaritmica: un intervallo = es = -0 un ordine di grandezza (potenza di 0) = = Funzione logaritmica = log 0 definita solo per >0 >0 per > =0 per = <0 per < sale lentissima per > scende velocissima per < = log =0 = =log 0 Funzione inversa ( specchiata lungo la retta =) dell esponenziale: = log 0 = il decibel, db db = 0log Scala logaritmica, il bel Aleander Bell (co-inventore del telefono) Decibel, db: 0,0 bel usato non solo per il suono Proprietà del db: 0 = livello di riferimento (definito sempre) se = 0 db=0 se = 0 0 db=0 se = 00 0 db=0 db = 0log = se = 0 db=3 0 Log (a/b) = log(a) - log(b) 0 0log 0

18 8 - r 0 r α r - FUNZIONI TRIGONOMETRICHE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Circonferenza centrata nell origine con raggio r= (Se r, tutto vale ugualmente normalizzando a r=) Teorema di Pitagora: r + r = r - r 0 r α r sen(α) ) = r /r cos(α) ) = r /r ordinata ascissa - Seno e coseno sono due numeri compresi tra e, funzioni di un angolo, tali per cui: sen (α)) + cos (α)) = Valori notevoli di seno e coseno Muovendosi sulla circonferenza unitaria in senso antiorario partendo dal semiasse positivo: α α sen(α) cos(α) π/ 90 0 π π/ 70-0 π sen(α) r α 0 cos(α) - Quanto valgono il seno e il coseno dell angolo di 45 (= π/4)? Sono evidentemente uguali: sen(π/4)=cos(π/4), per cui: sen (π/4) + cos (π/4) = sen (π/4) = sen (π/4) = ½ sen(π/4) = /

19 Funzioni trigonometriche 9 + ο = sen α α π/ π 3π/ π 5π/ 3π radianti = cos α sen(α) r α - 0 cos(α) - = sen = cos periodiche di periodo π definite per ogni valore di limitate tra e FUNZIONI TRIGONOMETRICHE a = c sen α = c cos β b = c cos α = c sen β tg α = a/b = sen α /cos α tg β = b/a = sen β /cos β a + b = c A applicazioni c b β α 90 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Applicazioni: RELAZIONI UTILI sen α + cos α = cos (-α)( ) = cos α sen (-α)( ) = -sen α tg (-α)) = -tg α /tg α = cotg α se α è MOLTO PICCOLO /sen α = cosec α cos α /cos α = sec α sen α α tg α α B a C

20 Periodo e frequenza 0 Quando un fenomeno si ripete periodicamente nel tempo = A sen ωt α +A ο A T t ωt π/ π 3π/ π 5π/ radianti ω = pulsazione T= periodo ω(t+t) ωt = π ωt = π ω = π T = π ν ν = frequenza T = matematica & dintorni MATEMATICA & FISICA - elio giroletti dispense su internet webgiro elio giroletti. Università degli Studi di Pavia dip. fisica nucleare e teorica girolett@unipv.it