PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER COMPETENZE CURRICOLO DI MATEMATICA - 3 anno

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1 PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER COMPETENZE CURRICOLO DI MATEMATICA - 3 anno ARITMETICA E ALGEBRA COMPETENZE CONOSCENZE ABILITA del calcolo algebrico Complementi su equazioni e disequazioni - Numeri reali; - Classificazione di equazioni e disequazioni; - Metodi risolutivi di equazioni e disequazioni; - Definizione di x ; - Dominio di funzioni fratte e irrazionali; - Rappresentazione grafica e algebrica di soluzioni. GEOMETRIA Risolvere equazioni, disequazioni e sistemi: - di 1 o 2 grado o ad essi riducibili; - fratte; - con valore assoluto e irrazionali; - interpretare graficamente le soluzioni di equazioni, disequazioni e sistemi. COMPETENZE CONOSCENZE ABILITA della geometria analitica Circonferenza - Equazione della circonferenza; - Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza; - Posizioni reciproche tra circonferenze; - Fasci di circonferenze. - Scrivere l'equazione della circonferenza di centro e raggio assegnati; - riconoscere l equazione di una circonferenza; - determinare centro e raggio data l equazione di una circonferenza; - tracciare il grafico di una circonferenza di data equazione; - determinare l equazione di una circonferenza dati alcuni elementi; - stabilire la posizione reciproca tra circonferenza e retta o tra due circonferenze, e determinare gli eventuali punti di intersezione; - trovare le rette tangenti ad una circonferenza; - scrivere e riconoscere l'equazione di un fascio di circonferenze e sapervi operare; - risolvere problemi e dimostrare proprietà riguardanti la circonferenza con l'applicazione di metodi algebrici e di teoremi geometrici.

2 della geometria analitica Parabola - Parabola come luogo geometrico; - Fuoco, direttrice, vertice e asse di una parabola; - Equazione della parabola con asse parallelo a uno degli assi cartesiani; - Significato dei parametri presenti nell'equazione di una parabola; - Posizioni di una retta rispetto a una parabola; - Fasci di parabole. Ellisse ed iperbole - Ellisse ed iperbole come luoghi geometrici; - Fuochi, vertici e assi; - Equazioni canoniche dell'ellisse e dell'iperbole; - Posizioni di una retta rispetto a un'ellisse o un'iperbole; - Asintoti di un'iperbole; - Iperbole equilatera. - Tracciare il grafico di una parabola data la sua equazione; - determinare fuoco, direttrice, vertice e asse di una parabola di data equazione; - determinare l equazione di una parabola dati alcuni elementi; - stabilire la posizione reciproca di rette e parabole, e determinare gli eventuali punti d'intersezione; - determinare gli eventuali punti di intersezione tra due parabole aventi gli assi paralleli; - trovare le rette tangenti a una parabola; - scrivere l'equazione di un fascio di parabole e sapervi operare. - Tracciare la rappresentazione grafica di un'ellisse o un'iperbole, conoscendo la sua equazione; - determinare fuochi e vertici di un'ellisse o un'iperbole, conoscendo la sua equazione; - determinare l equazione di un'ellisse o un'iperbole dati alcuni elementi; - stabilire la posizione di una retta rispetto ad un'ellisse o un'iperbole, e determinare gli eventuali punti d'intersezione; - trovare le rette tangenti a un'ellisse o un'iperbole; - determinare gli asintoti di un'iperbole.

3 della geometria analitica della geometria analitica Coniche in generale - Sezioni coniche; - Equazione generale di una conica; - Fuochi, direttrici, eccentricità di una conica. Le trasformazioni geometriche - Trasformazioni geometriche e loro invarianti - La nozione di isometria - Simmetrie centrali e assiali, traslazioni - Omotetie - Classificare e studiare coniche di equazione qualsiasi; - determinare le trasformazioni di una conica per effetto di traslazioni, dilatazioni o rotazioni, e saperne trovare la rappresentazione grafica; - interpretare geometricamente la risoluzione di sistemi di equazioni o disequazioni, anche con parametri, attraverso una conica o archi di conica; - risolvere problemi geometrici con l utilizzo delle coniche; - affrontare problemi e dimostrare proprietà riguardanti le sezioni coniche con l'applicazione di metodi algebrici e di teoremi geometrici; - determinare le equazioni di luoghi geometrici significativi. - Scrivere le equazioni di una trasformazione geometrica - Saper operare una trasformazione sull equazione di una retta o di una curva - Saper determinare gli elementi uniti di una trasformazione - Saper operare con simmetrie cetrali e assiali, traslazioni, omotetie

4 RELAZIONI E FUNZIONI COMPETENZE CONOSCENZE ABILITA Funzioni in generale concetti e metodi per l'analisi delle funzioni e per la costruzione di modelli matematici - Concetto di funzione; - grafico di una funzione; - iniettività, suriettività, biiettività; - composizione di funzioni; - funzione inversa di una funzione; - funzioni pari e dispari; - successioni; - progressioni aritmetiche e geometriche; - induzione. - Determinare il dominio di una funzione; - determinare gli zeri e il segno di una funzione; - tracciare il grafico di una funzione per punti; - determinare la composizione di due funzioni; - verificare iniettività, suriettività e biiettività di una funzione; - verificare parità e disparità di una funzione; - dato il grafico di una funzione, riconoscere se essa è iniettiva, suriettiva o biiettiva, se è pari o dispari, in quali intervalli è crescente o decrescente, quali sono i massimi e i minimi; - dato il grafico di una funzione biiettiva, tracciare il grafico della sua inversa; - calcolare i termini di una successione definita da una formula o da una relazione ricorsiva e verificare determinate proprietà della successione; - in una progressione aritmetica o geometrica, calcolare il valore dei termini, la somma dei termini, o altri valori significativi; - applicare il principio di induzione per dimostrare proprietà delle successioni o altre proposizioni. concetti e metodi per l'analisi delle funzioni e per la costruzione di modelli matematici Esponenziali e logaritmi - Definizione delle potenze ad esponente reale - Funzione esponenziale e suo andamento grafico - Equazioni e disequazioni esponenziali - Definizione di logaritmo - Funzione logaritmica e suo andamento grafico - Proprietà dei logaritmi - Equazioni e disequazioni logaritmiche - Applicare le proprietà delle potenze a esponente reale e dei logaritmi - Rappresentare grafici di funzioni esponenziali o logaritmiche - Sottoporre a trasformazioni geometriche grafici di funzioni esponenziali o logaritmiche - Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali o logaritmiche

5 DATI E PREVISIONI COMPETENZE CONOSCENZE ABILITA concetti e metodi del calcolo delle probabilità e dell'analisi statistica per interpretare dati, effettuare previsioni e valutarne l'attendibilità Distribuzioni di dati - Tabelle di dati e loro rappresentazione grafica; - Indici di posizione centrale (valore medio, moda e mediana) di una distribuzione di dati; - indici di variabilità (deviazione standard) di una distribuzione di dati; - - La dipendenza tra variabili statistiche (regressione lineare e correlazione). - Rappresentare graficamente una distribuzione di dati e determinarne indicatori significativi (valore medio, moda, mediana, deviazione standard); - calcolare vari tipi di medie e saper riconoscere e applicare le rispettive proprietà e relazioni; - determinare le frequenze relative e le frequenze cumulate di una distribuzione di dati; - determinare la retta di regressione e l'indice di correlazione di una distribuzione bivariata. 1. le parti scritte in blu corsivo vanno intese come facoltative; in particolare il tema "Piano cartesiano e retta" potrà essere svolto al 2 oppure al 3 anno, mentre il tema "Esponenziali e logaritmi" potrà essere svolto al 3 oppure al 4 anno. 2. eventuali argomenti non svolti l anno precedente potranno essere trattati durante l anno in corso con tempi e modalità opportuni NOTA BENE: le programmazioni potranno essere suscettibili di eventuali modifiche da parte del Dipartimento o del singolo docente, anche nel corso dell anno scolastico se, alla luce dell esperienza nelle classi, lo si riterrà opportuno.

6 PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER COMPETENZE CURRICOLO DI MATEMATICA - 4 anno RELAZIONI E FUNZIONI GEOMETRIA COMPETENZE CONOSCENZE ABILITA Le funzioni goniometriche per l'analisi delle funzioni e per la costruzione di modelli matematici per l'analisi delle funzioni e per la costruzione di modelli matematici - La misura degli angoli - Le funzioni goniometriche - Le funzioni goniometriche di angoli particolari - Le funzioni goniometriche inverse - Le funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche Le formule goniometriche - Gli angoli associati - Le formule di addizione e sottrazione - Le formule di duplicazione - Le formule di bisezione - Le fomule parametriche - Le formule di prostaferesi e di Werner - Saper rappresentare graficamente le funzioni goniometriche e le funzioni goniometriche inverse - Saper determinare le caratteristiche delle funzioni goniometriche - Saper calcolare le funzioni goniometriche di angoli particolari - Saper disegnare un angolo a partire dal valore di una funzione goniometrica - Saper tracciare il grafico di una funzione goniometrica utilizzando le trasformazioni geometriche - Saper calcolare le funzioni goniometriche di angoli associati - Saper applicare le formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi, Werner

7 per l'analisi delle funzioni e per la costruzione di modelli matematici per l'analisi delle funzioni e per la costruzione di modelli matematici Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi. Le equazioni e le disequazioni goniometriche - Le equazioni goniometriche elementari - Le equazioni lineari in seno e coseno - Le equazioni omogenee in seno e coseno - I sistemi di equazioni goniometriche - Le disequazioni goniometriche - Le equazioni goniometriche parametriche La trigonometria - Le relazioni fra lati e angoli di un triangolo rettangolo - I teoremi sui triangoli rettangoli - I triangoli qualunque - Saper risolvere equazioni goniometriche elementari - Saper risolvere equazioni lineari in seno e coseno - Saper risolvere equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno - Saper risolvere sistemi di equazioni goniometriche - Saper risolvere disequazioni goniometriche - Saper risolvere sistemi di disequazioni goniometriche - Saper determinare il dominio di una funzione trascendente - Saper risolvere equazioni goniometriche parametriche - Saper utilizzare il primo e il secondo teorema sui triangoli rettangoli - Saper risolvere un triangolo rettangolo - Saper costruire un triangolo rettangolo - Saper calcolare l area di un triangolo e il raggio della circonferenza circoscritta - Saper utilizzare il teorema della corda - Saper utilizzare il teorema dei seni - Saper utilizzare il teorema del coseno - Saper utilizzare la trigonometria per risolvere problemi

8 GEOMETRIA COMPETENZE CONOSCENZE ABILITA Le trasformazioni geometriche della geometria analitica concetti e metodi della geometria dello spazio - Trasformazioni geometriche e loro invarianti - La nozione di isometria - Simmetrie centrali e assiali, traslazioni, rotazioni - Omotetie - Similitudini - Affinità Geometria solida - Rette e piani nello spazio - Teoremi di Pitagora e di Talete nello spazio - Poliedri - Relazione di Eulero per i poliedri - Solidi di rotazione - Equivalenza dei solidi (principio di Cavalieri) - Aree e volumi di solidi notevoli (parallelepipedi, piramidi, cilindri, coni, sfere, etc.) - Poliedri regolari - Scrivere le equazioni di una trasformazione geometrica - Saper operare una trasformazione sull equazione di una retta o di una curva - Saper determinare gli elementi uniti di una trasformazione - Saper operare con simmetrie cetrali e assiali, traslazioni, rotazioni omotetie - Saper riconoscere e studiare una similitudine - Saper riconoscere e studiare una affinità - Valutare la posizione reciproca di punti, rette e piani nello spazio - Calcolare distanze tra punti nello spazio - Applicare la similitudine tra elementi nello spazio - Individuare i principali luoghi geometrici nello spazio - Applicare il principio di Cavalieri per ricavare volumi di solidi - Calcolare lunghezze, aree e volumi in solidi notevoli

9 ARITMETICA E ALGEBRA COMPETENZE CONOSCENZE ABILITA I numeri complessi per il calcolo algebrico e per la costruzione di modelli - Forma algebrica dei numeri complessi - Operazioni algebriche - Rappersentazione geometrica dei numeri complessi - Forma trigonometrica (modulo e argomento) - Interpretazione geometrica delle operazioni - Formula di De Moivre - Radici n-esime di un numero complesso - Forma esponenziale, formula di Eulero - Saper operare con i numeri complessi nelle varie forme di rappresentazione - Saper rappresentare nel piano di Gauss i numeri complessi - Saper operare con i numeri complessi in forma algebrica - Saper interpretare i numeri complessi come vettori - Interpretare geometricamente le operazioni sui numeri complessi - Saper descrivere le curve del piano con le coordinate polari - Saper operare con i numeri complessi in forma trigonometrica - Saper calcolare le radici n-esima di un numero complesso - Saper operare con i numeri complessi in forma esponenziale DATI E PREVISIONI Competenze Conoscenze Abilità Calcolo combinatorio concetti e metodi del calcolo delle probabilità e dell'analisi statistica per interpretare dati, effettuare previsioni e valutarne l'attendibilità Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi - Disposizioni - Permutazioni - Combinazioni - Coefficienti binomiali Calcolo delle probabilità - Definizioni di probabilità - Esiti ed eventi - Algebra degli eventi e rispettive probabilità - Probabilità condizionata - Teorema di Bayes - Calcolare il numero di disposizioni semplici e con ripetizione - Calcolare il numero di permutazioni semplici e con ripetizione - Operare con la funzione fattoriale - Calcolare il numero di combinazioni semplici e con ripetizione - Operare con i coefficienti binomiali - Eseguire conteggi in problemi combinatori - Calcolare la probabilità di un evento tramite conteggio degli esiti favorevoli e degli esiti possibili, anche con il calcolo combinatorio - Calcolare la probabilità di eventi esprimibili in funzione di altri eventi - Calcolare probabilità condizionate - Applicare il teorema di Bayes per inferire la probabilità di un evento

10 1 le parti scritte in blu corsivo vanno intese come facoltative; in particolare, il tema "Esponenziali e logaritmi" potrà essere sviluppato al 3 oppure al 4 anno, i temi "Geometria solida", "Calcolo combinatorio", "Calcolo delle probabilità" potranno essere sviluppati al 4 oppure al 5 anno, mentre il tema "I numeri complessi" è da ritenersi opzionale 2 eventuali argomenti non svolti l anno precedente potranno essere trattati durante l anno in corso con tempi e modalità opportuni NOTA BENE: le programmazioni potranno essere suscettibili di eventuali modifiche da parte del Dipartimento o del singolo docente, anche nel corso dell anno scolastico se, alla luce dell esperienza nelle classi, lo si riterrà opportuno.

11 PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER COMPETENZE CURRICOLO DI MATEMATICA - 5 anno RELAZIONI E FUNZIONI Competenze Conoscenze Abilità Funzioni e loro proprietà Utilizzare, rappresentare, studiare funzioni reali per descrivere e risolvere problemi di varia natura. - Dominio e grafico di una funzione - Iniettività, suriettività, biiettività - Simmetrie del grafico di una funzione, funzioni pari o dispari - Funzioni periodiche - Crescenza e decrescenza - Composizione di funzioni - Funzioni inverse - Trasformazioni geometriche su grafici di funzioni - Stabilire l'insieme di definizione di una funzione - Riconoscere funzioni iniettive, suriettive, biiettive, anche dall'andamento dei loro grafici - Individuare le principali simmetrie (ad esempio parità o disparità) del grafico di una funzione - Riconoscere la periodicità di una funzione - Stabilire i valori del dominio per i quali una funzione assume determinati valori (ad esempio un valore fissato, oppure valori positivi o negativi, etc.) - Riconoscere crescenza o decrescenza di una funzione - Esprimere la funzione composta di due o più funzioni - Esprimere (se esiste) la funzione inversa di una funzione data e tracciare il suo grafico a partire dal grafico della funzione data - Operare trasformazioni geometriche su grafici di funzioni

12 Successioni e serie Utilizzare, rappresentare, studiare funzioni reali per descrivere e risolvere problemi di varia natura. - Successioni e serie numeriche - Rappresentazione grafica di una successione - Carattere di una successione e di una serie - Limite di una successione e somma di una serie - Progressioni aritmetiche e geometriche - Successioni definite per ricorrenza - Somma di una serie geometrica - Stabilire, in casi semplici, il carattere di una successione o una serie - Calcolare, in casi semplici, il limite di una successione - Calcolare la somma di una serie geometrica Utilizzare, rappresentare, studiare funzioni reali per descrivere e risolvere problemi di varia natura. Limiti di funzioni e continuità - Topologia della retta - Definizioni di limite di funzione nei vari casi - Principali teoremi ed operazioni sui limiti - Definizione di funzione continua - Principali teoremi sulle funzioni continue - Forme indeterminate e limiti notevoli - Asintoti di una funzione - Utilizzare concetti e classificazioni topologiche in riferimento alla retta: intervalli aperti e chiusi, intervalli limitati e illimitati, intorno di un punto, punti isolati, punti di accumulazione, estremi di un insieme, etc. - Verificare limiti o continuità delle funzioni mediante la definizione - Applicare i principali teoremi sui limiti (unicità, permanenza del segno, confronto) e sulle funzioni continue (valori intermedi, Weierstrass, etc.) - Calcolare limiti di funzioni, anche utilizzando l'algebra dei limiti, la continuità delle funzioni ed i teoremi sui limiti - Calcolare limiti di funzioni che si presentano in forma indeterminata, anche servendosi di limiti notevoli - Confrontare infinitesimi e infiniti - Studiare la continuità o discontinuità di una funzione - Stabilire gli asintoti di una funzione - Tracciare il grafico qualitativo di una funzione sulla base dei suoi valori limite e delle sue principali proprietà

13 Calcolo differenziale Utilizzare, rappresentare, studiare funzioni reali per descrivere e risolvere problemi di varia natura. - Derivata di una funzione - Retta tangente al grafico di una funzione e nozione intuitiva di differenziale - Relazione tra continuità e derivabilità - Derivate delle principali funzioni - Principali teoremi sulla derivazione (algebra delle derivate, derivata di una funzione composta, derivata dell'inversa di una funzione, etc.) - Derivate successive - Principali teoremi sulle funzioni derivabili (Rolle, Lagrange, Cauchy, De L Hospital) - Stabilire la derivata di una funzione mediante la definizione - Studiare la derivabilità di una funzione - Determinare la retta tangente al grafico di una funzione - Stabilire la derivata di una funzione mediante le derivate fondamentali e le regole di derivazione - Calcolare le derivate di ordine superiore - Saper applicare i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy - Applicare il teorema di De L Hospital per calcolare il valore di limiti di funzioni - Utilizzare le derivate in problemi geometrici - Utilizzare le derivate in concetti e problemi fisici Studio di funzioni Utilizzare, rappresentare, studiare funzioni reali per descrivere e risolvere problemi di varia natura. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi. - Relazioni tra l'andamento di una funzione e quello delle sue derivate - Legami tra crescenza o decrescenza, punti di massimo o di minimo, e derivate - Legami tra concavità, punti di flesso e derivate - Problemi di massimo e di minimo - Risoluzione approssimata di equazioni - Stabilire gli intervalli di crescenza e di decrescenza di una funzione - Determinare massimi e minimi di una funzione - Studiare la concavità di una funzione e determinare i suoi flessi - Studiare una funzione e tracciare il suo grafico, a partire dalla sua espressione analitica - A partire dal grafico di una funzione, tracciare il grafico della sua derivata (e viceversa) - Esaminare il comportamento di funzioni al variare di un parametro - Impostare e risolvere problemi di massimo e di minimo, di carattere geometrico o applicativo - Applicare lo studio di funzioni per valutare la solubilità o insolubilità di equazioni e disequazioni, anche per via grafica - Applicare metodi per la risoluzione approssimata di un'equazione, stimando opportunamente i risultati - Affrontare problemi riguardanti le funzioni - Costruire ed analizzare modelli per descrivere processi o fenomeni di vario genere e per risolvere problemi di ottimizzazione

14 Utilizzare, rappresentare, studiare funzioni reali per descrivere e risolvere problemi di varia natura. Calcolo integrale - Integrale definito e funzione integrale di una funzione continua - Proprietà degli integrali definiti - Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale - Primitive di una funzione - Metodi per la determinazione delle primitive di una funzione - Calcolo di aree - Calcolo di volumi - Integrazione approssimata - Integrali impropri - Stabilire le primitive delle abituali funzioni elementari - Stabilire le primitive di una funzione applicando le proprietà di linearità - Trovare la primitiva di una funzione con il metodo di sostituzione e per parti - Trovare le primitive delle funzioni razionali fratte - Calcolare integrali definiti applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale - Calcolare il valor medio di una funzione - Operare con la funzione integrale e la sua derivata - A partire dal grafico di una funzione, tracciare il grafico della sua funzione integrale (e viceversa) - Calcolare aree e volumi mediante integrali (in particolare, volumi di solidi di rotazione e di solidi di cui si conoscono le sezioni lungo un asse) - Calcolare il valore approssimato di un integrale definito - Calcolare il valore di integrali impropri - Applicare il calcolo integrale a problemi fisici Equazioni differenziali Utilizzare, rappresentare, studiare funzioni reali per descrivere e risolvere problemi di varia natura. - Concetto di equazione differenziale e di problema di Cauchy - Esempi di equazioni differenziali del primo ordine (equazioni del tipo y = f(x), a variabili separabili, lineari) - Verificare una soluzione di un'equazioni differenziale o di un problema di Cauchy - Risolvere alcune semplici tipologie di equazioni differenziali ed associati problemi di Cauchy del primo ordine (ad esempio equazioni del tipo y = f(x), a variabili separabili, lineari) - Applicare le equazioni differenziali a problemi fisici (meccanica, elettromagnetismo, etc.)

15 GEOMETRIA Competenze Conoscenze Abilità della geometria dello spazio Geometria analitica dello spazio - Coordinate cartesiane nello spazio - Distanza tra due punti - Equazioni di rette, piani, superfici sferiche - Distanza punto-piano - Calcolare distanze tra due punti o tra punto e retta o tra punto e piano - Utilizzare i vettori nella geometria dello spazio - Stabilire equazioni di rette, piani, superfici sferiche - Stabilire la posizione reciproca tra un piano e una sfera o tra due sfere - Utilizzare le coordinate tridimensionali per calcolare aree e volumi DATI E PREVISIONI Competenze Conoscenze Abilità concetti e metodi del calcolo delle probabilità e dell'analisi statistica per interpretare dati, effettuare previsioni e valutarne l'attendibilità Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi Distribuzioni di probabilità - Variabili casuali discrete (uniforme, binomiale, Poisson) - Variabili casuali continue (uniforme, normale) - Principali valori caratterizzanti di una variabile casuale (media, deviazione standard, varianza) - Determinare la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta, valutandone media e dev. standard - Studiare variabili casuali discrete con distribuzione uniforme, binomiale o di Poisson - Saper standardizzare una variabile casuale - Studiare variabili casuali continue con distribuzione uniforme o normale - Operare con le principali distribuzioni discrete o continue - Affrontare problemi concreti mediante le distribuzioni di probabilità di variabili casuali, individuando i legami tra esse esistenti

16 1 le parti scritte in blu corsivo vanno intese come facoltative; in particolare, i temi "Geometria solida", "Calcolo combinatorio", "Calcolo delle probabilità" potranno essere sviluppati al 4 oppure al 5 anno, mentre il tema "Successioni e serie" è da ritenersi opzionale 2 eventuali argomenti non svolti l anno precedente potranno essere trattati durante l anno in corso con tempi e modalità opportuni NOTA BENE: le programmazioni potranno essere suscettibili di eventuali modifiche da parte del Dipartimento o del singolo docente, anche nel corso dell anno scolastico se, alla luce dell esperienza nelle classi, lo si riterrà opportuno.