Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime sinusoidale

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1 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Università degli Studi di ssino e del zio Meridionle sercitzioni di lettrotecnic: circuiti in regime sinusoidle prof ntonio Mffucci mffucci@unicsit er4 - ottore 6

2 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 sercizi introduttivi S sprimere l corrente i ( in termini di fsore nei seguenti tre csi: S 4 - Si consideri il circuito in figur, determinndo tle che l prte immginri dell impedenz vist i cpi dei morsetti risulti mz ) i ( 4sin( t 4) ) i ( sin( t ) c) i ( 8sin( t / ) isultto: ) 4exp( j4) ; ) ; c) 8 j F f khz S lutre (in coordinte crtesine e polri) le impedenze viste i cpi dei morsetti: isultto: ) Z j exp( j / 4) ; ) Z 8 54 j 4 exp( j965) ; c) Z 8 j 5exp( j9) ; S e seguenti coppie di fsori esprimono tensione e corrente reltive d un dto ipolo Dire, nei tre csi, se si trtt di un resistore, un condenstore o un induttore e vlutre il vlore dei prmetri corrispondenti, o ) ) c) 4 ( ) mh rd / s ) v ( 5cos(4t ), i ( sin(4t ) ; ) v ( 8cos(9t / ), i ( sin(9t / ) ; c) v ( cos(5t / ), i ( 5sin(5t 5 / 6) ; j / ) 5e, e osto Z si h che: rg( Z ) rg( ) rg( ) Z j 5 mh j / / / ) j / 6 8e, e e osto Z si h che: j rg( Z ) rg( ) rg( ) Z 8 mf j/ 5/ 6/ ) j / e, 5e 5e osto Z si h che: 8, ( ) 4 mf, rg( Z ) rg( ) rg( ) Z 4 5 mh f 5 Hz, ( c) F, 5 6 mh rd / s 'impedenz totle vist i cpi dei morsetti è quindi st imporre j j Z ( ) /( ) j / ), m Z 9 mh S 5 - qule di queste impedenze corrisponde l fse / 4? : - serie : - serie : - prllelo 4: - serie 5 F mh rd / s mf rd / s F rd / s H so : Z 5( j) tg rd Y / j j 4 S 6 - Dti i seguenti fsori exp( j / 6), exp( j / 6), 5exp( j / ) : ) rppresentre nel pino complesso i fsori,, ; ) clcolre i fsori:,,, ; c) rppresentre nel pino complesso i fsori vlutti l punto ) / s d) rppresentre nel tempo le tensioni corrispondenti i fsori dei punti ) e ), definito l trsformzione fsorile come segue: v( sin( t ) exp( j) M M 4

3 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 quivlenz, sovrpposizione degli effetti, potenz S - on riferimento l seguente circuito, vlutre l'impedenz genertore e l potenz compless S erogt dl genertore ssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: J, Z j /( ) j, Z j j, Z 'impedenz di ingresso vist dl genertore è dt d: Z Z //[ Z // Z Z ] 8 j4 potenz compless erogt d si vlut fcilmente un volt not Z vist i cpi del Z : (8 j4) J J J Z JJ Z J 4 j S - on riferimento l seguente circuito, vlutre l'impedenz genertore e le correnti i ( e i ( Z vist i cpi del isultto: 5 j5 ; i ( 45cos(t ), i ( sin(t Z j ( i ( i ( e ( H 5 F ) sin t mf cos(t ) mh 5 S - pplicndo il teorem di hévenin, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dll induttore ( sin(t 5) rsformimo preliminrmente l rete in un rete di impedenze: j5 J e, Z j, Z j, Z 4, Z 5 j 'impedenz uivlente nel circuito di hévenin si vlut risolvendo l rete seguente: Z Z //( Z Z ) 7 j985 tensione vuoto, invece, si può clcolre prtire dll corrente che circol in Z c, su volt ottenut con un prtitore di corrente: Z Z Z J 69 j4 Z Z Z isolvendo l rete uivlente ottenut, si h che Z Z 89 j57 577e j76 ndmento dell corrente nel tempo è llor dto d: i ( 577 sin(t 76) potenz compless ssorit d srà purmente rettiv: jx 67 j r potenz istntne si può vlutre, in generle, dll conoscenz di corrente e tensione: p ( v ( i ( Si h quindi: j ( Z j986 89e v ( 89 sin(t 986) p ( v ( i i ( 67cos(t 6) Si osservi che in questo cso prticolre (elemento dinmico) l potenz istntne può nche essere clcolt come derivt dell energi: di ( d p ( i ( ) ( ) 67 sin( 5) 67 cos( 6) t i t t t dt dt 4, mh, 5 mh J Z mf, Z Z Z Z Z 6

4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 S 4 - on riferimento l seguente circuito vlutre l corrente i ( j ( t ) j ( t ) i ( mh mf j ( cos t j ( sin t S 6 - on riferimento l seguente circuito vlutre l rettnz d inserire in prllelo l genertore in modo che l'impedenz complessiv vist dl genertore stesso ssor l stess potenz medi di prim m i un fse tle che cos 9 (rifsmento) e ( sin( 4 F, rd/s, 5 mh ssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: J j, J, Z j, Z j j, Z, uest rete può essere risolt con l sovrpposizione degli effetti l contriuto del solo genertore Jsi ottiene dll rete in cui J è stto sostituito con un circuito perto: Z Z Z J, vendo posto Z 4-j 8 Z Z Z Z l contriuto del solo genertore J si ottiene dll rete in cui J è stto sostituito con un circuito perto: Si h, quindi cui corrisponde, nel tempo l corrente Z J j Z Z ( j) 47exp( 78 j) i ( 47sin(t 78) S 5 - pplicndo il teorem di Norton, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dl prllelo - in figur e ( isultto: 9 7 j768 r; p( [ 9 7 7cos(t 7)], 5 sin(t / ) mf mh ssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze:, Z j, Z j, Z 5 'impedenz uivlente vist dl genertore è Z Z Z Z Z Z 9 j8, quindi l potenz compless erogt dllo stesso srà j k j7 kr Z Z l fttore di potenz è pri quindi occorre inserire un'opportun cos cos[ tg ( / )] 6 Z x tr l'impedenz Z ed il genertore in modo che l'impedenz complessiv Z verifichi tle richiest ffinché tle inserzione non lteri l tensione, Z x deve essere post in prllelo l genertore er lscire invrit nche l potenz medi l impedenz deve essere purmente rettiv: Z x jx er stilire il vlore di tle rettnz si può pplicre il principio di conservzione delle potenze, che impone, dopo l'inserzione di Z : potenz rettiv tg, x x x si può quindi vlutre come segue: tg[cos (9)] mponendo l condizione idert su si ottiene un x tg[cos (9)] 77 kr x negtiv, il che signific che Z x è un'impedenz cpcitiv icordndo l'espressione dell potenz rettiv ssorit d un condenstore i cpi del qule si not l tensione si può vlutre il vlore di cpcità necessrio: x x 54 F Z x Z 7 8

5 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 S 7 - on riferimento l seguente circuito, clcolre l potenz ttiv e l potenz rettiv ssorit dll serie S 9 - lutre l corrente che circol nel condenstore e l potenz compless d esso ssorit j ( t ) j ( t ) j ( 4cos j ( cos F 4t 4t H / e ( i ( j ( sin(ft ), cos(f, f 5 Hz, mf, mh ssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: j/ J 4, J e, Z j / 8, Z Z 4 j pplicndo l sovrpposizione degli effetti, vlutimo il contriuti dovuti J ed J ertnto si h Z J j, Z Z Z Z Z J 5 j85 Z Z Z 5 j84 75exp( j5), quindi l potenz compless ssorit d Z srà 4 j j Z 75 6 j6 r Not: si svolg l esercizio utilizzndo l uivlente di hévenin i cpi dell serie considert isultto: i( 5sin(ft ) ; -j58 r S - lutre l potenz istntne e compless ssorit d j ( sin(f, j ( t ) j j ( t ( sin(ft / 4), f 5 Hz ), mf, mh isultto: p( 474[ cos(4ft 8) ; 474 S - on riferimento ll seguente rete in regime sinusoidle, vlutre: ) il circuito uivlente di hévenin i cpi di S 8 - pplicndo il teorem di hévenin, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dl condenstore ) l corrente circolnte in c) l potenz istntne e compless ssorit d j ( cos(t ) H F i sin( t /), sin( t / 4),,, 4 mf, mh rd / s isultto: j49 r; p( 49cos(4t )] isultto: ) Z 5 j97; 9 i76 ) i( 7sin(t 8) c) 8 ; p( 8[ cos(t 5)] 9

6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Sistemi trifse S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, di vlore efficce, ) vlutre l indiczione dell mperometro; ) rifsre cos 9 ll sezione -- ) indiczione dell mperometro fornisce il vlore efficce dell corrente di line er vlutre tle vlore si può preliminrmente vlutre l potenz compless totle ssorit ll sezione -- l crico vlle dei resistori ssore l potenz compless k, tg tg[sin (554)] 799 kr er vlutre l potenz compless ssorit dll stell di resistori, st osservre che tle crico è posto in prllelo rispetto l precedente e che l tensione su ciscun resistore è proprio l tensione stellt dei genertori Si h, llor: 9 k, pplicndo l conservzione delle potenze, possimo ffermre che l potenz compless totle ssorit ll sezione -- è dt d: cioè: 49 k, 799 kr, j icordndo l espressione dell potenz pprente: si h immeditmente che ( 49 j799) sin, 5 k sin 554 f 5 Hz ) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cos cos[ tg 56 / ] 88 quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre l rifsmento porterà d vere un potenz rettiv totle idert pri tg tg[cos (9)] 7 kr quindi il nco di condenstori dovrà ssorire un potenz rettiv totle pri 77 kr c nserendo i condenstori stell, come in figur, l tensione che gisce su ciscuno di essi è quell stellt dei genertori, quindi: c 6fY X Y c 6f 68 μf Se, invece, i condenstori vengono inseriti tringolo, l tensione è l conctent, quindi: c 6f Osservimo che 56μF Y S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni: ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione --; ) rifsre cos 9 ll sezione --, cos isultto: ) 66 k j666 kr, ) 45 F X X X X 8 5kr cos sin

7 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni (con vlore efficce dell tensione conctent pri ): ) vlutre l indiczione dell mperometro; ) vlutre le indiczioni dei wttmetri; c) rifsre cos 9 ll sezione --, 8 k 7 kr k f 5 Hz S 4 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si 7 ) vlutre l indiczione del voltmetro; ) vlutre le indiczioni dei wttmetri; c) rifsre cos 9 ll sezione -- Z Z Z S p sinp jx jx jx ) indiczione dell mperometro fornisce il vlore efficce dell corrente di line ll sezione -- er clcolrl si può vlutre l potenz compless totle ssorit tle sezione, sommndo i contriuti di tutti i crichi resistori ssorono l potenz compless 4 k,, quindi ll sezione -- si h: j ( ) ) 4 k j Kr 7 lettur dell mperometro srà, quindi: 99 ) er il teorem di ON, essendo il sistem uilirto, si h: 4 4 c) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cos cos[ tg ( / )] 8, 7 quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre Dopo il rifsmento si vrà tg quindi, montndo tre condenstori tringolo: tg[cos (9)] 55 kr c c 95 kr 4 μf 6f Dti: Z j, k, X k, p k,sin p 77, f 5Hz ) Detto 7 il vlore efficce dell corrente lett dll mperometro, l potenz compless totle ssorit dlle impedenze - srà ( jx ) 47 k j94 kr tensione stellt che insiste su quest stell di impedenze e sul crico posto in prllelo srà 57 k potenz compless ssorit dl crico prllelo srà cos jsin 849 k j849 kr, p p quindi l potenz compless totle ssorit ll sezione S indict in figur srà p 995 k j4 kr corrente che ttrvers tle sezione srà dt d: s p s quindi l potenz ssorit dl crico in serie Z srà Z 6 k kr j ll sezione -- di ingresso, quindi, si h: s j k j 46 Kr 4

8 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 per cui l lettur del voltmetro srà: jx jx jx jx jx jx 7 k ) er il teorem di ON, essendo il sistem uilirto, si h: 66 c) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cos cos[ tg ( / )] 66, 7 8 quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre Dopo il rifsmento si vrà tg quindi, montndo tre condenstori tringolo tg[cos (9)] 485 kr c c 66 kr 94 μf 6f S 5 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si 5 ) vlutre l tensione stellt dei genertori ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione --; k X X 9 S 6 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione --; ) rifsre cos 9 ll sezione -- jx jx jx jx c Z isultto: ) 6 k j45 kr; ) 94 F Z Z jx c jx c k, cos, X 5, Z j, 8, f 5Hz X 77, S 7 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si ) vlutre il fttore di potenz del crico M; ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione --; c) vlutre il fttore di potenz ll sezione --; M, cos k 4 k k isultto: ) 56 ; ) 8 k j8 kr isultto: ) cos 8; ) k j8 kr; c) cos 89; M 5 6

9 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver Genertori pilotti, regime periodico S 4 -on riferimento l seguente circuito, vlutre l potenz medi ssorit dl resistore e verificre che è possiile sovrpporre le potenze medie oiché i genertori non sono isofruenzili, cioè, il circuito non mmette un regime sinusoidle m un regime periodico e quindi non è possiile trsformre l rete in un rete di impedenze uttvi, essendo l rete linere, si può pplicre l sovrpposizione degli effetti e ricvre l corrente che circol in come i i i, dove i si ricv dl circuito usilirio e i dl circuito usilirio i iscun di queste due reti può essere rppresentt d un rete di impedenze: pplicndo i prtitori di corrente: rete : J, Z j, Z j, Z rete : J, Z 5 j, Z j, Z Z j J e i( cos(t ) m Z Z Z Z j J e i( sin(t ) Z Z Z uindi l corrente che circol in srà i( i( i( cos(t ) sin(t ) Not l corrente si può clcolre l potenz istntne ssorit d e quindi l potenz medi: j ( ) t p( dt i ( dt i ( dt i ( dt i( i ( dt mx, primi due contriuti rppresentno le potenze medie dissipte nei circuiti e, quindi sono: i i ( dt 5 j ( ) 6, t j ( cos(t ) j ( sin( mf mh j ( ) i t dt ( ) 5 t 7 'ultimo contriuto è nullo perché per si h: cos( t ) sin( t ) dt, n definitiv se è possiile sovrpporre le potenze medie: 5 S 4 -on riferimento l seguente circuito, vlutre l corrente i( corrente i ( si può clcolre con l sovrpposizione degli effetti nel dominio del tempo: i i i ( ) ( t l contriuto i è dovuto l solo genertore di tensione e si ottiene tenendo conto che, in regime stzionrio, l'induttore si riduce d un corto-circuito ed il condenstore d un circuito perto: i / / l contriuto i ( è dovuto l solo genertore e si ottiene risolvendo l rete in regime sinusoidle: osto Z Z // Z Z, l corrente J, Z, j, Z j Z si ottiene con un semplice prtitore di corrente: Z 6 j / J j j e i ( sin( Z Z S 4 -on riferimento l seguente circuito, vlutre l potenz medi ssorit dl resistore e verificre che è possiile sovrpporre le potenze medie isultto: 4 k e ( i ( j ( J J m, m cost rd / s, mh, mf 4 cos( H 6 mf 8

10 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver 4-6 S 44 -lutre l'uivlente di hévenin i cpi dei morsetti -' i( ri ( sin( t / 6) r X 4 X ssndo ll rete di impedenze si vrà: e j/ 6, Z j, Z 4 j, Z er clcolre st pplicre l K ll mgli di sinistr dell rete Z r 68 j57 Z r pplicndo un prtitore di tensione si h, quindi: Z r 7 j64 7e Z Z j 6 er clcolre Z occorre spegnere tutti (e soli) i genertori indipendenti, cioè pplicndo ncor l l K ll mgli di sinistr dell rete: Z r quindi nell rete per il clcolo di Z risult spento nche il genertore controllto, visto che l su vriile di controllo è null, per cui in definitiv: Z Z Z 4( j) Z Z S 45 - l circuito seguente riproduce lo schem uivlente di un mplifictore trnsistor per lt fruenz Determinre l tensione i cpi del resistore U ( v S S v in i o ( gv in U v U v ( cos( 8 rd / s S S o ph g, nf 5 i U isultto: v U ( 959cos( t 6) k 9