a cura di Luca Cabibbo e Walter Didimo

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1 cur di Luc Cio e Wlter Didimo Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 1 espressioni regolri e grmmtiche regolri proprietà decidiili dei linguggi regolri teorem di Myhill-Nerode notzioni sul livello degli esercizi: (*) fcile, (**) non difficile (***) medi complessità, (****) difficile, (*****) qusi impossiile Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 2

2 teorem L è un linguggio regolre L è definiile con un espressione regolre d un espressione regolre per L si ricv un ASFND pplicndo le proprietà di chiusur dei linguggi regolri (dll ASFND si può poi ricvre un grmmtic regolre che gener L) d un grmmtic regolre che gener L si ricv un espressione regolre risolvendo un sistem di equzioni lineri Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 3 il sistem di equzioni lineri si ricv dll grmmtic sostituendo ogni insieme di produzioni del tipo: A 1 B 1 2 B 2... n B n m l modo: A = 1 B B n B n m dl sistem di equzioni lineri si ricv un espressione regolre pplicndo le due tecniche seguenti ripetutmente: sostituzione: si può sostituire un simolo non terminle con un espressione equivlente (es. A = B +, B = ca A = ca + ) eliminzione dell ricursione: si può sostituire l equzione A = α 1 A+ α 2 A α n A+β 1 + β β m con l equzione A = (α 1 + α α n )* (β 1 + β β m ) Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 4

3 Esercizi svolti: d grmmtic espressione regolre Esercizio 1(**) ricvre un espressione regolre per il linguggio generto dll seguente grmmtic regolre: S A A A C cc S C A C C d Soluzione si ricv il seguente sistem: S = A + C A = A + C C = cc + d Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 5 Esercizi svolti: d grmmtic espressione regolre si pplicno le tecniche di sostituzione ed eliminzione dell ricursione: S = A + C S = A + C S= A + c*d A = A + C A = A + C A = A + c*d C = cc + d C = c*d S = A + c*d S = *c*d + c*d A = *c*d dunque risult: *c*d + c*d che semplifict divent: *c*d Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 6

4 Esercizi svolti: d grmmtic espressione regolre Esercizio 2(**) ricvre un espressione regolre per il linguggio generto dll seguente grmmtic regolre: S X X Y Y X Soluzione S = X S = X S = X S = ()* X = Y + X = X + X = ()* Y = X Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 7 Esercizi svolti: d grmmtic espressione regolre Esercizio 3(***) ricvre un espressione regolre per il linguggio generto dll seguente grmmtic regolre: S X X X Y ε Y Y X Soluzione S = X + S = X + S = X + X = X + Y + ε X = X + Y + ε X = X + *X + ε Y = Y + X Y =*X Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 8

5 Esercizi svolti: d grmmtic espressione regolre S = X + S = X + S = (+*)* + X = X + *X + ε X = ( + *)* che può essere semplifict l modo: (+*)* Esercizio 4(***) ricvre un espressione regolre per il linguggio generto dll seguente grmmtic regolre: S X X X X Y Y Y Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 9 Esercizi svolti: d grmmtic espressione regolre Soluzione S = X X = X + X + Y + Y = Y + S = X X = X + X + Y + Y = * S = X S = X X = X + X + * + X = (+)*(* + ) S = (+)*(* + ) che si semplific l modo: (+)** Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 10

6 Esercizi d svolgere: d grmmtic espr. regolre Esercizio 5(***) ricvre un espressione regolre per il linguggio generto d ciscun delle seguenti grmmtiche regolri: 1) S A A A A 2) S X X X X 3) S B C B X X B C cc c Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 11 teorem è possiile decidere se un linguggio regolre L è vuoto, finito o infinito è sufficiente studire un ASF A che riconosce L: se n è il numero di stti di A, llor: L èvuoto se e solo se A non ccett lcun string di lunghezz minore di n L èinfinito se e solo se A ccett qulche string di lunghezz k [n, 2n) ltrimenti L è finito Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 12

7 Esercizio 6(*) dire se i linguggi riconosciuti di seguenti ASF sono vuoti, finiti o infiniti q 1 q 0 c q 2 q 3 q 0 q 4 q 2 q 3 c q 4 c q 5 q 0 q 4 c q 2 q c 3 Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 13 teorem dti due linguggi regolri L 1 ed L 2 è possiile decidere se: L 1 L 2 L 1 =L 2 inftti: L 1 L 2 L 1 -L 2 = (L 1 -L 2 = c(c(l 1 ) L 2 ) L 1 =L 2 L 1 L 2 ed L 2 L 1 osservzione: L 1 =L 2 equivle nche dire che (L 1 c(l 2 )) (L 2 c(l 1 )) = Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 14

8 Esercizio 7(***) dimostrre formlmente che il linguggio L 1 riconosciuto dll ASF A 1 è contenuto nel linguggio L 2 riconosciuto dll ASF A 2. A 1 q C q D q E A 2 q A q B Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 15 Soluzione dimostrimo che A = A 1 -A 2 è un utom che riconosce il linguggio vuoto A 2 c(a 1 ) A 2 q A q B q 0 q F q C, q D q E c(a 1 ) Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 16

9 ASF c(a 1 ) A 2 q BD q AF q 0 q BE q BF q F, q AC quindi, il complementre di questo ASF non vrà stti finli, e dunque riconoscerà il linguggio vuoto. Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 17 teorem si L un linguggio sull lfeto ; si dt l seguente relzione di equivlenz su *: xr L y ( z * xz L yz L) R L h indice finito L è regolre osservzioni: si ricordi che l indice di R L è il numero delle su clssi di equivlenz, cioè il numero di elementi dell insieme quoziente R L / * il terom di Myhill-Nerode fornisce un crtterizzzione dei linguggi regolri, e può quindi essere usto per provre si l regolrità che l non regolrità di un linguggio Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 18

10 Esercizi svolti sul teorem di Myhill-Nerode Esercizio 8(**) determinre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L per il linguggio L = **. Soluzione: esistono tre distinte clssi di equivlenz: C 1 ={ n : n 0} (not: comprende nche ε) C 2 ={ n m : n,m 0} C 3 ={w {,}* : non esiste z tle che wz L} esercizio: mostrre qulche string di C 3 Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 19 Esercizi svolti sul teorem di Myhill-Nerode osservzione: le clssi di equivlenz di R L rispetto d un linguggio regolre L sono ssociili gli stti di un opportuno ASF (minimo) che riconosce L esempio per L = **, q 0 q 1 q 2 C 1 ={ n : n 0} q 0 C 2 ={ n m : n,m 0} q 1 C 3 ={w {,}* : non esiste z tle che wz L} q 2 Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 20

11 Esercizi svolti sul teorem di Myhill-Nerode Esercizio 9(***) determinre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L per il linguggio L riconosciuto dl seguente ASF; qul è l indice di R L? q 1 q 4 q 0 q P q 2 q 3 Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 21 Esercizi svolti sul teorem di Myhill-Nerode Soluzione considerimo l relzione di equivlenz xr M y δ(q 0,x) = δ(q 0,y); sppimo che (vedi dimostrzione del teorem di Myhill-Nerode) se xr M y xr L y, quindi R M h indice mggiore o ugule quello di R L (le clssi di R L sono otteniili per unione di clssi di R M ) le clssi di R M si ottengono fcilmente dll ASF: C 1 ={ε} q 0 C 2 ={} q 1 C 3 ={*} q 2 C 4 ={*} q 3 C 5 ={**} q 4 (not che C 5 =L) C 6 ={w {,}* : non esiste z tle che wz L} q P Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 22

12 Esercizi svolti sul teorem di Myhill-Nerode C 1 ={ε} q 0 C 2 ={} q 1 C 3 ={*} q 2 C 4 ={*} q 3 C 5 ={**} q 4 (not che C 5 =L) C 6 ={w {,}* : non esiste z tle che wz L} q P per ottenere le clssi di equivlenz di R L si osserv che le clssi C 2 e C 4 devono essere unite, in qunto R L ( * ); inoltre risult εr L (*), quindi nche C 1 e C 3 deono essere unite; le clssi di equivlenz di R L sono dunque le seguenti: Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 23 Esercizi svolti sul teorem di Myhill-Nerode C 1 ={*} q 0 (unione di C 1 e C 3 ) C 2 ={*} q 1 (unione di C 2 e C 4 ) C 3 ={**} q 3 (equivle C 5 ) C 4 ={w {,}* : non esiste z tle che wz L} q P (equivle C 6 ) si può in effetti costruire un ASF (minimo) con soli 4 stti che riconosce L q q 0 1 q 3 q P Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 24

13 Esercizio svolti sul teorem di Myhill-Nerode Esercizio 10(***) determinre le clssi di equivlenz dell relzione R L di Myhill-Nerode per il seguente linguggio regolre: L = ( + c)*. Soluzione considerimo un ASF che riconosce L q 0 q P,c,c q 1 q 3 q 2 c Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 25 Esercizio svolti sul teorem di Myhill-Nerode le clssi di R M sono: C 1 ={ε} q 0 C 2 ={} q 1 C 3 ={} q 2 C 4 ={*, c*} q 3 C 5 ={w {,}* : non esiste z tle che wz L} q P d ltro cnto, è fcile osservre che non è possiile unire nessun di queste clssi nell relzione R L (l AFS h il minimo numero di stti); quindi le clssi di R M coincidono con quelle di R L. Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 26

14 Esercizio svolti sul teorem di Myhill-Nerode Esercizio 11(***) dimostrre, utilizzndo il teorem di Myhill-Nerode, che il linguggio L = { n n : n 0} non è regolre; quli sono le clssi di equivlenz dell relzione R L? Soluzione l relzione R L h un clsse di equivlenz { k } distint per ogni nturle k; inftti, comunque scelti k > h, risult che l string k k pprtiene l linguggio, mentre non vi pprtiene l string h k ; dunque, R L h sicurmente un numero infinito di clssi di equivlenz, e pertnto L non è regolre. tutte le clssi di equivlenz di R L sono le seguenti: Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 27 Esercizio svolti sul teorem di Myhill-Nerode {ε} { k } k > 0 { k h } k, h > 0 {w {,}* : non esiste z tle che wz L} Esercizio 12(****) dto il linguggio L = { n m c n+m : n,m 1}, determinre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L. Soluzione osservzioni preliminre: le stringhe,,, pprtengono tutte ll stess clsse di equivlenz; Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 28

15 Esercizi svolti sul teorem di Myhill-Nerode più in generle: per ogni k > 1 le stringhe del tipo x = n m : n,m 1 ed n+m=k pprtengono ll stess clsse di equivlenz, inftti xz L z = h c k+h (h 0); quindi per ogni k > 1 B k = { n m : n,m 1 ed n+m=k } è un clsse di equivlenz distint; rgionndo nlogmente sopr, per ogni k > 0 le stringhe del tipo x = n m c h : (n+m) - h = k ed n,m,h 1, pprtengono ll stess clsse di equivlenz, inftti xz L z = c k ; quindi per ogni k > 0 C k = { n m c h :(n+m) - h = k ed n,m,h 1} è un clsse di equivlenz distint; le ltre clssi di equivlenz sono: A k = { k } per ogni k 0 (notre che A 0 ={ε}) e l clsse D = {w {,,c}* : non esiste z tle che wz L} Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 29 Esercizi d svolgere sul teorem di Myhill-Nerode Esercizio 13(***) dto il linguggio L = *()*, determinre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L. Esercizio 14(***) dimostrre, utilizzndo il teorem di Myhill-Nerode, che il linguggio L = { n m c n : n,m 0} non è regolre; determinre inoltre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L. Esercizio 15(****) dto il linguggio L = { n m c n+m : n,m 0}, determinre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L. (ttenzione: in questo cso possono nche mncre delle o delle } Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 30