DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA

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1 DIETRO LE QUINTE DELLA MATEMATICA TEKNOTRE Anno Accademico Lezione n. 11 ( ) PERUCCO Pieraldo

2 Pensieri in libertà Non abbiamo alcun uso pratico per una misura del che vada oltre i quindici o venti decimali. Perché dunque i matematici continuano a dedicare la loro vita alla ricerca di altre cifre e ai modi per calcolarle? Cerchi e quadrati, circonferenze e perimetri: possiamo relazionarli? Qual è la forma perfetta per la Natura? I quadrati sono figli dei cerchi I cerchi evocano l infinito, i quadrati il finito

3 : un semplice numero? Nel tentare di capire la relazione tra quadrati e cerchi ci siamo imbattuti in un rompicapo che ha travalicato l ambito strettamente matematico ha unito aritmetica e geometria, trigonometria e analisi e determinato relazioni matematiche inimmaginabili nei settori più disparati e distanti dall ambito matematico. Probabilmente nessun simbolo in matematica ha evocato tanto mistero e romanticismo, e ha suscitato tanti errori e interesse umano quanto il numero pi greco ( ). William L. Schaaf 3,

4 Interrogativi Il rapporto della circonferenza al diametro è costante per ogni cerchio? Misurare la circonferenza e determinare il diametro o viceversa? A quale precisione ci dobbiamo spingere? Le diverse esigenze degli agrimensori, degli ingegneri, dei fisici e dei matematici Perché è valsa la pena di indagare

5 La sfida, gli insegnamenti La ricerca di è radicata profondamente nello spirito umano, nel desiderio di esplorazione e nel nostro desiderio insopprimibile di mettere alla prova i nostri limiti. La storia di ci offre preziosi insegnamenti sui limiti della nostra comprensione, segnando chiaramente il confine fra finito e infinito. non è solo il rapporto del cerchio al diametro, ma ricorre anche in fisica, statistica, ingegneria, architettura, biologia, astronomia,

6 La natura del Se noi comprendessimo meglio questo numero capiremmo in modo più approfondito la matematica e la fisica del nostro universo. Il fascino di questo numero, che ha conquistato un posto centrale negli annali della matematica, è stato sancito anche dall interesse dei massimi scienziati di tutti i tempi nel tentativo di rappresentarlo La soluzione dell antico problema della «quadratura del cerchio» passa per la comprensione della natura di.

7 Storia Antica dal 2000 al 500 a.c. La cordicella avvolta attorno alla periferia era 3 volte... e qualcosa il diametro In Babilonia, l area del cerchio valeva A = c 2 /12, dove c indica la circonferenza. Questo equivale ad usare per il valore 3 Gli antichi egizi assegnavano a un valore approssimato per eccesso. Per loro l area del cerchio era A=(8/9 d) 2. In questo caso assume il valore 256/81 (circa 3,1605). (Dal Papiro Rhind dello scriba egizio Ahmes a.c.)

8 I GRECI: dal 500 a.c. al 200 d.c. (1) I cerchi stanno fra loro come i quadrati dei loro diametri. Euclide, Elementi, XII, proprietà 2. Il metodo di Esaustione calcola le aree di due poligoni, uno inscritto nel cerchio e l altro ad esso circoscritto. L area del cerchio doveva essere compresa fra le aree dei due poligoni. E la prima volta che si determina un risultato usando limiti inferiori e superiori.

9 I GRECI: dal 500 a.c. al 200 d.c. (2) Archimede si pone il problema della rettificazione della circonferenza π è maggiore di 3 ma minore di 4 raddoppia ogni volta il numero dei poligoni inscritti e circoscritti sino a giungere a 96 lati La circonferenza è uguale al triplo del diametro più una certa porzione del diametro stesso che è più piccola dei 10/70 del diametro e più grande dei 10/71 del diametro stesso

10 Dal 1600 al 1900 : dalla pazienza Si continua con la moltiplicazioni dei lati del poligono inscritto. Viète esprime usando un prodotto infinito Ludolph van Ceulen : i suoi poligoni avevano più di 32 miliardi di lati ciascuno. Arriva alla precisione di 35 decimali.

11 Dal 1600 al 1900 : all intelligenza Snell e Huygens : aumenta l efficienza, si riduce il numero dei lati e si raggiunge la precisione fino alla nona cifra decimale Wallis : prodotti infiniti (semplificato rispetto a Viète) Gregory e le serie di arcotangenti arctg x = x (x 3 /3) + (x 5 /5) (x 7 /7) + (x 9 /9) (x 11 /11) +

12 NEWTON, SHARP, EULERO, Trovare equazioni che convergono rapidamente su π Newton L angolo giro vale 2 radianti Sharp

13 EULERO Stirling 2 n lim! n n n e n n 355/113 = 3,

14 La quadratura del cerchio La quadratura del cerchio, anche nel linguaggio comune, è diventato sinonimo di un progetto condannato al fallimento. In matematica, quadrare il cerchio significa costruire, con tecniche geometriche o numeriche, un quadrato che abbia esattamente la stessa area di un cerchio. L area del cerchio è pi greco volte l area del quadrato costruito sul suo raggio.

15 E un problema che ha soluzione? La quadratrice di Ippìa di Elide che quadra il cerchio con un numero infinito di passi. Solo nel 500 il problema fu accantonato e nell 800 dimostrato come irrisolvibile

16 La trascendenza di Trascendente (significa che non può essere ottenuto come soluzione di un equazione algebrica a coefficienti razionali). Lindemann dimostra che è un numero trascendente (e che pertanto, non è possibile la quadratura del cerchio solo con riga e compasso) Dimostrazione : dalla trascendenza (già dimostrata da Hermite) del numero e, Lindemann afferma che, se è un numero algebrico non nullo, allora e è trascendente Partendo dalla famosa formula di Eulero e i + 1 = 0, visto che i è algebrico (i 2 = -1), se ne deduce che i non è algebrico. non può essere un numero algebrico, e perciò è trascendente.

17 CONCLUSIONI Il calcolo di è praticamente l unico argomento della parte più antica della matematica che presenti ancora un serio interesse per la ricerca matematica moderna. Sono occorsi quasi due millenni per passare da una a tre cifre esatte di. E pochi decenni per andare oltre il centinaio di cifre. Ormai non ci sono più limiti; il solo limite è imposto dall illimitatezza di questo numero affascinante. Non basterà invece il tempo passato e futuro dell umanità per trovare tutte le altre cifre. E da ricordare che con sole dieci cifre decimali si trova la misura della circonferenza della Terra con un errore inferiore al centimetro.