4. Problemi e Algoritmi

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1 4. Problemi e Algoritmi Abbiamo detto nel primo capitolo che ci saremmo occupati di descrivere procedimenti risolutivi di problemi, e abbiamo effettivamente mostrato alcuni esempi di tali procedimenti (per esempio, gli algoritmi per riconoscere se una parola è palindroma oppure per indovinare un numero pensato). I procedimenti risolutivi che studieremo sono quelli rappresentabili attraverso un algoritmo, cioè quelli per i quali possiamo elencare un insieme di operazioni che un esecutore è in grado di svolgere. Esistono procedimenti che non è possibile esprimere in questo modo, ad esempio quelli relativi all interpretazione dei tarocchi o dei sogni da parte di esecutori differenti. Prima di approfondire le tecniche di rappresentazione degli algoritmi dobbiamo dire cosa intendiamo con i termini problema e soluzione specificando quali caratteristiche devono avere i problemi che considereremo. Supponete che il vostro amico Raimondo vi chieda se per lui è più conveniente, per la settimana prossima, acquistare un abbonamento settimanale per l autobus oppure acquistare biglietti singoli. Quali domande gli dovete fare per potergli rispondere? Quali informazioni vi deve fornire? Supponete che la stessa domanda ve la facciano successivamente altri dieci amici. Quali informazioni vi devono fornire? Le stesse di Raimondo? Diciamo proprio di sì. Quali sono? E indispensabile sapere: il costo dell abbonamento, il costo del biglietto singolo e il numero di corse che pensano di effettuare la settimana prossima. Vi serve sapere se prenderanno l autobus in compagnia, dopo aver fatto colazione, con l ombrello appresso o se sono tristi? Chiaramente no. Potete notare che tutti gli undici amici vi hanno proposto la stessa domanda ( Mi conviene acquistare l abbonamento o biglietti singoli? ) e vi hanno fornito alcuni dati uguali (i costi dell abbonamento e delle corse singole) e un altro dato diverso da amico ad amico (per esempio, 12, 10, 8, ) che per tutti rappresenta la stessa cosa, cioè il numero di corse che si intendono effettuare la settimana prossima. Siamo di fronte ad un problema che si può esprimere nel seguente modo: Sapendo che il biglietto da una corsa costa 0.80 euro e che l abbonamento settimanale costa 10 euro, e conoscendo il numero di corse che verranno effettuate la settimana prossima, determinare quale possibilità (abbonamento settimanale o corse singole) costa di meno. I casi dei vostri undici amici sono tutti casi particolari di questo problema generale, sono cioè degli esempi, delle istanze o occorrenze del problema. Dopo aver usato un certo procedimento per rispondere a Raimondo, lo avete usato anche per rispondere agli altri amici (se siete furbi). Un problema, per quanto ne sappiamo, consiste quindi nella descrizione di una porzione di realtà - che fornisce un insieme di informazioni - e in un quesito che riguarda la realtà stessa. Nel caso appena visto, la descrizione della porzione di realtà è Il biglietto da una corsa costa 0.80 euro, l abbonamento settimanale costa 10 euro, e conosciamo il numero di corse che verranno effettuate la settimana prossima, mentre il quesito è Quale delle due possibilità costa meno? 1

2 Esaminiamo ora il seguente testo: Una 600 multipla condotta dal fattore di un monastero di suore di clausura di Montecassino, viene messa in moto a strappo alle ore del 19 novembre Il fattore si chiama Giorgio, ha 24 anni e lavora al monastero da 7 mesi. Le ruote dell auto sono tutte dello stesso colore e la loro pressione è pari a 1.8 atmosfere. Dopo aver percorso 27 Km il fattore si ferma al mercato alle ore e vende le patate trasportate a 1.5 euro al Kg. Con una parte dell incasso acquista in seguito due buste di semenze per sedani ed un quotidiano. Determinare la velocità media con la quale l auto ha percorso il tragitto dal monastero al mercato. E possibile riconoscere nel testo le due parti seguenti: la descrizione della realtà: Una 600 multipla condotta dal fattore di un monastero di suore di clausura di Montecassino, viene messa in moto a strappo alle ore del 19 novembre Il fattore si chiama Giorgio, ha 24 anni e lavora al monastero da 7 mesi. Le ruote dell auto sono tutte dello stesso colore e la loro pressione è pari a 1.8 atmosfere. Dopo aver percorso 27 Km il fattore si ferma al mercato alle ore e vende le patate trasportate a 1.5 euro al Kg. Con una parte dell incasso acquista in seguito due buste di semenze per sedani ed un quotidiano. il quesito: Determinare la velocità media con la quale l auto ha percorso il tragitto dal monastero al mercato. Il testo precedente comprende informazioni irrilevanti per il quesito posto; in casi come questi spetta al risolutore analizzarle riconoscendo quelle essenziali per determinare la soluzione. Nel nostro caso Talvolta invece i dati forniti non sono sufficienti per risolvere il problema, ad esempio: Sapendo che l ipotenusa di un triangolo rettangolo scaleno vale 24, determinare il valore dei due cateti In questo caso il risolutore non può formulare la soluzione. Perché diciamo ciò? Cosa manca? In realtà questi ultimi due esempi non sono dei problemi ma quelle che si chiamano istanze o occorenze di un problema. Come abbiamo già detto, per noi un problema deve essere generale, cioè descrivere in un unico testo un insieme di situazioni analoghe, come nell esempio dei biglietti dell autobus oppure come: Trovare l area di un triangolo noti i valori della base e dell altezza 2

3 Possibili istanze di questo problema sono: Trovare l area di un triangolo noti i valori della base=3 e dell altezza=2.73 Trovare l area di un triangolo noti i valori della base= e dell altezza= Quindi un istanza è un caso specifico nel quale sono dati i valori di tutti gli elementi coinvolti nel problema necessari per la risposta al quesito. Per soluzione di un problema intenderemo quindi il procedimento che permette di determinare la risposta al quesito per tutte le sue istanze. Notate bene: a differenza di quanto siete abituati a pensare, dal punto di vista del progettista la soluzione di un problema non è il risultato finale del vostro procedimento, ma è il procedimento stesso. Nell esempio precedente dell area del triangolo, la soluzione è data dalla formula dell area e non dal valore dell area. I problemi che esamineremo sono quelli la cui soluzione è esprimibile mediante un algoritmo; nei prossimi paragrafi studieremo le caratteristiche degli algoritmi e i linguaggi che permettono la loro descrizione. Proprietà degli algoritmi Riprendiamo la definizione di algoritmo data precedentemente: Si chiama algoritmo un elenco finito di istruzioni che siano interpretabili senza ambiguità dal nostro esecutore e la cui esecuzione si arresta per fornire i risultati richiesti dopo un tempo finito. Un algoritmo, per essere tale, deve quindi possedere le seguenti proprietà: Generalità: deve risolvere tutte le istanze del problema posto. Questo significa che eventualmente nella fase di studio del problema può essere necessario riformularlo per specificare meglio le ipotesi di lavoro. Per esempio se il problema fosse formulato nel seguente modo Dati i coefficienti a, b, c di un equazione di secondo grado in forma normale, determinare le sue radici, potremmo decidere di limitarci alle sole soluzioni reali, se questo ha senso nel contesto al quale ci riferiamo. Non ambiguità: il linguaggio nel quale l algoritmo è espresso deve essere interpretabile in un solo modo dall esecutore: lo stesso che il progettista intende. Il fatto che le istruzioni siano interpretabili senza ambiguità esclude dal gruppo degli algoritmi gran parte delle ricette di cucina. Avete idea di quali istruzioni contengono? Ve ne diciamo qualcuna: versare un po di sale (cosa significa un po?), rimescolare finché si ottiene una pasta morbida e omogenea (è chiaro a tutti cosa significa morbida e omogenea?), fare dorare (cosa significa dorare?), e così via. 3

4 Terminazione: ciascuna esecuzione dell algoritmo deve concludersi in un tempo finito, per quanto grande. Osservate che il fatto che ciascuna istruzione duri un tempo finito non implica che l esecuzione di un algoritmo duri un tempo finito; ad esempio, se scrivete GIRA IL FOGLIO su entrambi i lati di un foglio di carta e affidate il foglio ad un esecutore il cui compito sia eseguire gli ordini scritti sul foglio, potete osservare che nonostante l operazione GIRA IL FOGLIO richieda un tempo finito, l esecuzione del procedimento non termina mai. Finitezza: il numero delle istruzioni che costituiscono un algoritmo, per quanto grande, deve essere finito. Non fate confusione fra il numero di istruzioni dell algoritmo ed il numero di operazioni che un esecutore svolge in base ad un algoritmo! Nell esempio precedente il procedimento è costituito da due istruzioni (GIRA IL FOGLIO, GIRA IL FOGLIO) ma l esecuzione comporta l esecuzione di un numero non finito di operazioni. 4

5 ESERCIZI a) Scrivere gli algoritmi che risolvono i seguenti problemi: 1. Dati tre numeri, verificare se l'ultimo e` compreso tra i primi due 2. Visualizzare in ordine crescente tre numeri interi acquisiti dall'esterno 3. Considerando due date in formato numerico giorno mese anno (con 4 cifre) visualizzare la prima in ordine cronologico 4. Un'auto si muove alle velocita` costante di 40 km/h su un lungo rettilineo. Data una certa distanza e un certo numero di ore, dire se riesce a percorrere quella distanza in quel numero di ore 5. Acquisire dall'esterno le coordinate cartesiane di quattro punti e verificare se il quadrilatero che essi formano (presi nell'ordine di acquisizione) è un parallelogramma 5