Basi metodologiche della ricerca in ambito sportivo. Concetti statistici di base: Misure di tendenza centrale e dispersione

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1 Università degli Studi di Roma «Tor Vergata» Facoltà di Medicina e Chirurgia Laurea Magistrale in Scienze e Tecniche dello Sport Insegnamento Professore Argomento Basi metodologiche della ricerca in ambito sportivo BRUNO RUSCELLO, PhD Concetti statistici di base:

2 Alcune delle formule statistiche e matematiche più semplici sono i calcoli della tendenza centrale e della dispersione dei dati raccolti che forniscono una serie di indici di sintesi in grado di rappresentare efficacemente una moltitudine di dati. Gli indici più usati per esprimere la misura della tendenza centrale sono: La Media La Mediana La Moda Ovviamente tali indici tendono a rappresentare un valore ipotetico intorno a cui si addensano i valori registrati, ma non danno una idea della variabilità (dispersione) interna al gruppo di misure prese in considerazione. Gli indici più usati per esprimere la misura della dispersione sono: La Varianza La Deviazione Standard 2di 41

3 Misure di tendenza centrale limiti operativi Un piccolo esempio Prendiamo le misure di altezza degli studenti di due classi di un liceo e calcoliamo la media (aritmetica semplice), applicando la formula : M = X/N Dove: M = media = sommatoria X = misura N = numero delle misure N CLASSE 1A (cm) CLASSE 1 B (cm) MEDIA di 41

4 La Media aritmetica semplice È un quindi un Indice di posizione che restituisce l ordine di grandezza del fenomeno e nella maggior parte dei casi tende a cadere centralmente all interno dell insieme ordinato di dati. Siano x 1, x 2,, x n i dati di una statistica. Prende il nome di media semplice la media aritmetica: 4di 41

5 La Media aritmetica semplice secondo Trilussa Sai che d'è la statistica? È 'na cosa che serve pe' fa' un conto in generale de la gente che nasce, che sta male, che more, che va in carcere e che spósa. Ma pe' me la statistica curiosa è dove c'entra la percentuale, pe' via che, lì, la media è sempre eguale puro co' la persona bisognosa. Me spiego: da li conti che se fanno seconno le statistiche d'adesso risurta che te tocca un pollo all'anno: e, se nun entra nelle spese tue, t'entra ne la statistica lo stesso perch'è c'è un antro che ne magna due. 5di 41

6 La Media aritmetica ponderata La media aritmetica ponderata si applica alle distribuzioni di frequenza, quando alle diverse intensità osservate sono associate le rispettive frequenze. A ogni valore x i, si associa un peso f i in genere rappresentato dalla frequenza o dall importanza di quel valore nella distribuzione. Prende il nome di media ponderata: 6di 41

7 La Media aritmetica ponderata Per capire come si arriva alla media ponderata (ovvero pesata con le frequenze) partiamo da una serie di dati grezzi, ad esempio le età di un gruppo di 10 studenti: Per calcolare la media, applicando la formula della media aritmetica semplice, dovremmo procedere sommando le età e dividendo il risultato per il numero di osservazioni, ovvero: L età media è di 23 anni. 7di 41

8 La Media aritmetica ponderata Per semplificare l operazione, potremmo raggruppare le età in ordine crescente, ottenendo la seguente serie: 21, 21, 21, 23, 23, 23, 24, 24, 25, 25 e per calcolare la media considereremo le singole età moltiplicate per il numero di volte che compaiono, nel seguente modo: 8di 41

9 La Media aritmetica ponderata Di fatto, l operazione di raggruppamento la utilizziamo per costruire la distribuzione di frequenze dell età: Esempio: Età di un campione di studenti: In termini formali la media aritmetica ponderata sarà data da: Al numeratore troviamo la sommatoria per i che va da 1 a c delle intensità x i assunte dalla variabile per le rispettive frequenze f i, al denominatore troviamo la somma delle frequenze che è pari al totale delle frequenze osservate n. 9di 41

10 La Media aritmetica ponderata Un ulteriore modo per calcolare la media prevede di utilizzare le frequenze relative al posto delle frequenze semplici. In questo caso la formula sarà: e, nel nostro esempio, l età media sarà data da: 10di 41

11 La Mediana In una distribuzione di n valori x i, ordinati in modo crescente o decrescente, la mediana è il valore che si colloca a metà della sequenza (indice di posizione): se n è dispari, essa è il dato centrale di x; se n è pari, è la media dei due valori che separano gli n valori in due parti uguali. Posizione mediana = n+1 2 La Mediana bipartisce la distribuzione in due sottodistribuzioni, ed è più stabile rispetto ai valori estremi di una distribuzione. 11di 41

12 La Mediana N CLASSE 1A (cm) CLASSE 1 B (cm) MEDIA Posizione Mediana = n+1 2 Posizione Mediana = 11+1 = 6 2 Il valore mediano è quindi 175 cm in entrambe le classi. N.B. Se N è dispari, la mediana corrisponde ad un numero reale, come nel caso riportato. Se N è pari, la mediana rappresenta il valore medio fra le due posizioni centrali. 12di 41

13 La Mediana N CLASSE 1 B (cm) N.B. Se N è dispari, la mediana corrisponde ad un numero reale, come nel caso riportato precedentemente. Se N è pari, la mediana rappresenta il valore medio fra le due posizioni centrali. Posizione Mediana = n+1 2 Posizione Mediana = = 5,5 Il valore mediano è quindi dato dal calcolo della media dei valori in posizione 5 e 6: classi = 172, 5 cm 13di 41

14 La moda o norma La moda o norma di una distribuzione di frequenza è la modalità di massima frequenza, ovvero è il valore che compare più frequentemente nella distribuzione e viene indicato con v 0. La distribuzione si dice unimodale se ammette un solo valore modale, bimodale se ne ammette due, trimodale se ne ha tre, etc. 14di 41

15 La moda o norma N CLASSE 1A (cm) MEDIA 175 MEDIANA 175 Moda = 175 Distribuzione Unimodale 15di 41

16 Esercitazione in Excel per Windows Calcolare la media, la mediana e la moda con Excel per Windows 16di 41

17 Misure di Dispersione Come abbiamo già notato precedentemente (diapositiva n. 3 - Misure di tendenza centrale limiti operativi), un indice efficace per stabilire somiglianze o differenze fra gruppi di misure deve poterci dare informazioni anche su come i valori variano intorno ai valori centrali. I valori infatti possono essere più o meno dispersi attorno alla media, e tale dispersione, come abbiamo visto, è un aspetto che non possiamo ignorare quando andiamo ad interpretare i risultati. 17di 41

18 Misure di Dispersione Gli indici di dispersione più utilizzati sono: 1. Devianza 2. Varianza 3. Scarto Quadratico Medio (o Deviazione Standard) 4. Coefficiente di Variazione 18di 41

19 La Devianza È il primo indice di dispersione definito a partire dal concetto di scarto. Viene considerato la base delle misure di dispersione per le variabili quantitative 19di 41

20 Proprietà della Devianza Calcolare la devianza in base alla definizione può essere piuttosto gravoso Si osservi che la differenza al secondo membro è sempre positiva 20di 41

21 Calcolo della Devianza esempio 1 21di 41

24 La Varianza La varianza permette di comparare la devianza osservata in diversi gruppi, normalizzandola al numero delle osservazioni. N.B. Esiste una Varianza nella Popolazione 2 (sigma quadro) ed una Varianza nel Campione o Campionaria s 2. Come si potrà notare cambia il denominatore (N o n-1) 24di 41

25 La Varianza - calcolo N CLASSE 1 B (cm) Scarto (x - X) Scarto Quadratico (x -X) = -15 ( ) 2 = = -15 ( ) 2 = = -10 ( ) 2 = = -10 ( ) 2 = = -5 ( ) 2 = = 0 ( ) 2 = = 5 ( ) 2 = = 10 ( ) 2 = = 10 ( ) 2 = = 15 ( ) 2 = = 15 ( ) 2 = 225 Media 175 = 0 = 1350 Devianza Varianza nella popolazione = 2 = devianza N = = 122,73 Varianza nel campione = s 2 = devianza n 1 = = 135,00 25di 41

26 La Varianza e la Media La Varianza si ottiene elevando gli scarti dalla media al quadrato, per cui è incommensurabile con la Media, che invece è una misura a potenza uno. In altri termini se volessimo confrontarle sarebbe un po come cercare di confrontare l area di un quadrato (in questo caso la Varianza) con il lato di un altro quadrato (in questo caso la Media). Per riportare le due misure alla stessa potenza, viene estratta la radice quadrata della Varianza, in modo da ottenere la Deviazione Standard, o Scarto Quadratico Medio, che si indica con s nel campione e nella popolazione. Si noti che la Deviazione Standard utilizza in questo modo la stessa unità di misura utilizzata per descriver la media (Kg, m, min, ecc.) 26di 41

27 La Deviazione Standard La Deviazione Standard è la misura principe della dispersione dei valori attorno alla media ed è un altro degli indici statistici alla base delle tecniche di analisi più avanzate. Come per la Varianza, si calcola una Deviazione Standard nella Popolazione ed una Deviazione Standard Campionaria. Di solito viene riportata insieme alla media per descrivere un insieme di dati nella notazione seguente: ± nella popolazione M ± s nel campione 27di 41

28 La Deviazione Standard - Calcolo N CLASSE 1 B (cm) Scarto (x - X) Scarto Quadratico (x -X) = -15 ( ) 2 = = -15 ( ) 2 = = -10 ( ) 2 = = -10 ( ) 2 = = -5 ( ) 2 = = 0 ( ) 2 = = 5 ( ) 2 = = 10 ( ) 2 = = 10 ( ) 2 = = 15 ( ) 2 = = 15 ( ) 2 = 225 La Deviazione Standard è la Radice Quadrata della Varianza Media 175 = 0 = 1350 Devianza Varianza nella popolazione = 2 = devianza N = = 122,73; Deviazione Standard pop. = Varianza nella popolazione = 122, 73 = 11,08 Varianza nel campione = s 2 = devianza n 1 = = 135,00; Deviazione Standard camp. = Varianza nel campione = 135, 00 = 11,61 28di 41

29 La Deviazione Standard La Media e la Deviazione Standard insieme costituiscono una descrizione soddisfacente di un gruppo di misure, a patto che la Deviazione Standard non diventi troppo grande rispetto alla Media, che quindi perderebbe la capacità di essere rappresentativa dell intero gruppo di dati raccolti. Come si evince dalla figura di una distribuzione «normale» o gaussiana, il 68% circa di un gruppo di risultati, ricade nell intervallo Media ± 1 Deviazione Standard, il 95% circa nell intervallo Media ± 2 Deviazione Standard ed il 99% circa nell intervallo Media ± 3 Deviazione Standard. Distribuzione «Normale» di una popolazione 29di 41

30 Il Range delle Misure Talvolta, l intervallo delle misure (la più alta e la più bassa) può essere riportato perché particolarmente rappresentativo, specie quando si utilizza la mediana anziché la media. La mediana e la media possono essere usate insieme. N CLASSE 1 B (cm) RANGE = (Valore Massimo Valore Minimo) = ( ) = 30 cm. 30di 41

31 Il Coefficiente di Variazione Il coefficiente di variazione o deviazione standard relativa, indicato con σ*, è un indice di dispersione che permette di confrontare misure di fenomeni riferite a unità di misura differenti, in quanto si tratta di un numero adimensionale (ovvero non riferito ad alcuna unità di misura). È un indice della precisione di una misura. Viene definito, per un dato campione, come il rapporto tra la sua deviazione standard (σ) e il valore assoluto della sua media aritmetica (μ) Viene di norma espresso come valore percentuale ESERCITAZIONE EXCEL Gruppo A Gruppo B Media 178,53 175,53 Mediana Range 3 33 Varianza 0,84 96,12 Dev. Standard 0,92 9,80 Coefficiente Var. % 0,51% 5,59% 31di 41

32 Intervalli di Confidenza Gli intervalli di confidenza (IC) rappresentano una tecnica molto efficace utilizzata per interpretare i valori della media, della mediana e delle correlazioni. Vengono utilizzati anche per testare delle ipotesi (p.es. differenze o associazioni fra gruppi). Un intervallo di confidenza fornisce il limite superiore ed il limite inferiore attesi in una statistica ad un determinato livello di probabilità, solitamente 95% o 99%. Nota bene: la dimensione o la lunghezza di un intervallo di confidenza è influenzata dalla dimensione del campione (sample size) dalla omogeneità dei valori all interno del campione (varianza/deviazione standard) dal livello di confidenza selezionato dal ricercatore (95%, 99%, 99,9%, ecc.). 32di 41

33 Intervalli di Confidenza Gli intervalli di confidenza (IC) sono basati sul fatto che ogni statistica possiede intrinseci errori di campionamento. Questi errori sono legati a quanto la statistica sia rappresentativa del target della popolazione. Quando calcoliamo la media per un campione ad esempio, facciamo una stima della media vera di un target di popolazione. Un intervallo di confidenza fornisce una gamma di valori anziché un singolo valore numerico, in cui è probabile che si trovi il valore medio. 33di 41

34 Intervalli di Confidenza Per calcolare un intervallo di confidenza di una statistica come la media dovremo prendere le seguenti informazioni: CI = statistica presa in esame (media) ± (errore standard x valore dello specifico livello di confidenza) Per esempio calcoliamo l IC per la media di un campione con le seguenti caratteristiche: Numerosità campionaria (n) = 30 Media (M) = 40 Deviazione Standard (ds) = 8 34di 41

35 Intervalli di Confidenza L errore standard (s) rappresenta la variabilità della distribuzione del campione in una statistica. Per calcolarla applichiamo una formula molto semplice: s M = ds n = 8 30 = 1,46 Dove ds = deviazione standard n = numerosità campionaria 35di 41

36 Intervalli di Confidenza Un altro elemento necessario per il calcolo dell I.C. è dato dal valore per il livello di confidenza richiesto (95% o 99%). Semplicemente troviamo questo valore da una tabella che descrive la CURVA STANDARD NORMALE per il livello di confidenza richiesto, che tenga presente 2 o 3 deviazioni standard dalla media. Nel nostro caso prenderemo un valore di 1,96 (95%, p<0,05) o di 2,576 (99%, p>0,01). 36di 41

37 Intervalli di Confidenza Laddove, come molto frequentemente avviene negli studi condotti in ambito delle scienze motorie, il campione di studio è piuttosto piccolo (n>30) è opportuno considerare una tabella che faccia riferimento alla dimensione del campione (vedi tabella di distribuzione di t nella diapositiva seguente), non potendo essere certi della normalità della distribuzione considerata. In questo caso dovremo ricorrere al concetto di Gradi di Libertà (o Degree of Freedom o DF). In generale definiamo il numero di gradi di libertà nell'ambito di un calcolo statistico come il numero di misure indipendenti meno il numero di parametri calcolati da queste misure. In pratica, nella statistica basata sullo studio di campioni, si procede allo studio del campione adottando DF= n 1. 37di 41

38 Valori Critici di t Intervalli di Confidenza 2 code DF DF DF DF DF di 41

39 Intervalli di Confidenza Applicando la formula descritta otterremo quindi: IC 95% (per la media) = 40 ± (1,46 x 2,045) = 40 ± 2,99 I.C. = [37,01 42,99] media errore valore tabellare campionaria standard DF 29 con P= 0,05 Quindi possiamo dire che relativamente alla media M calcolata nel campione, la vera media nella popolazione di riferimento ( ) sarà compresa nell intervallo 37,01 (limite inferiore) e 42,99 (limite superiore), con una probabilità del 95% (p 0,05). 39di 41

40 Intervalli di Confidenza Applicando la stessa formula descritta per ottenere un I.C. della media al 99%, dovremmo sostituire il valore tabellare 2,045 (95%), con quanto riportato in tabella per 29 DF con p=0,05, vale a dire 2,756 IC 95% (per la media) = 40 ± (1,46 x 2,756) = 40 ± 4,02 I.C. = [35,98 44,02] media errore valore tabellare campionaria standard DF 29 con P= 0,05 Quindi possiamo dire che relativamente alla media M calcolata nel campione, la vera media nella popolazione di riferimento ( ) sarà compresa nell intervallo 35,98 (limite inferiore) e 44,02 (limite superiore), con una probabilità del 99% (p 0,01). 40di 41

41 Intervalli di Confidenza Bruno RUSCELLO Gruppo A Gruppo B ESERCITAZIONE EXCEL Media 178,53 175,53 Mediana Range 3 33 Varianza 0,84 96,12 Dev. Standard 0,92 9,80 Coefficiente Var. % 0,51% 5,59% Intervallo Conf. 95% 0,51 5,43 lower bound 178,03 170,10 upper bound 179,04 180,96 41di 41

42 Fine Lezione 2 42di 41