TERMODINAMICA STATISTICA

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1 ts- TERMODIAMICA STATISTICA S l f dlla Chmca Fsca può ssr dfto com ullo dlla spazo dll caus dl comportamto chmco allora suo fodamt soo: TERMODIAMICA: partcolar, lo studo dll rlazo fra ra, ll su var form l modfcazo chmch l ulbro chmco CIETICA: lo studo dll vloctà dll razo chmch d loro mccasm molcolar MECCAICA QUATISTICA: lo studo dl moto dll partcll costtut l atom l molcol MECCAICA STATISTICA: lo studo dll rlazo co l ual l comportamto macroscopco dll var sostaz può ssr corrlato all proprtà molcolar d costtut I la d prcpo la cooscza dll proprtà fsch a lvllo molcolar ( mcroscopco ) cost d valutar l proprtà macroscopch d sstm sa ulbro ch o ulbro Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

2 ts- E rlatvamt cosuto dfr Trmodamca Statstca ulla part dlla Mccaca Statstca ch, applcata a sstm all ulbro, cost d mttr rlazo l proprtà molcolar co l varabl d stato trmodamch Trmodamca Classca cost d prvdr l comportamto allo ulbro d pù sostaz ua volta ch sao ot l loro sol proprtà comuu l proprtà d cascua sostaza dvoo ssr msurat Trmodamca Statstca Cost d prvdr l comportamto chmco ( l sso trmodamco ) cooscdo com è fatta ua sostaza pr sottolar l coctto s può dr ch è possbl prvdr l comportamto d ua pottca sostaza ( molcola ) pr la ual s coosca o proprtà mcroscopca ma d cu s dspoa, pratca, uattà suffct ad sur msur macroscopch Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

3 ts-3 IOLTRE D alcu proprtà trmodamch com calor spcfc, r lbr, cc., s possoo sur msur, l pù dll volt, camp rstrtt d T P. Vcvrsa, tro crt lmt, la Trm. Statstca cost la valutazo all P T ch s dsdrao I SITESI La Trmodamca Statstca affrota l problma dll rlazo fra l stat d moto ( possbl lvll rtc ) atomc molcolar d ua ualch sostaza l proprtà trmodamch d uattà macroscopch d usta Appartmt l problma, trattados d uattà d matra co umro d atom molcol dll ord d A 6 3, smbra mpossbl da affrotar Ach sza psar alla rsoluzo dll uazo dl moto d u sstma a così tat corp, la sola lcazo dll coordat è u problma E smplcmt al d là dll ostr capactà l cotrollo d 3 varabl Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

4 ts-4 I raltà è la stssa complsstà dl problma ch c forsc la chav dlla soluzo o surmo dttal dl moto d sol corp costtut l ostro sstma I fftt a lvllo macroscopco cò ch s ossrva soo dll md dll carattrstch dl sstma ( pr smpo: Prsso d u as com mda dl umrvol urt dll sol partcll costtut ) L orm umro d partcll ch dobbamo prdr cosdrazo rd assa poco probabl dll varazo sfcatv dll md ( pr smpo: pr u as l fluttuazo d prsso soo molto pccol rsptto alla prsso stssa ) Pochè c propoamo d prvdr lo stato trmodamco d u sstma ota la atura dll partcll costtut ( assut ora, pr smplctà, tutt uual ) dll foz at su d ss dobbamo rsolvr, suza, alcu problm Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

5 ts-5. Prvso dl tpo umro dl stat d moto possbl Problma rsolto, uado possbl, dalla Mccaca Quatstca. Dtrmazo dlla dstrbuzo dll partcll fra l stat d moto costt 3. Calcolo dll proprtà trmodamch Partcll Idpdt Dstubl Cosdramo u sstma d partcll assa dbolmt trat d ra total E fssata ε... ε ε ε3 ε... 3 l r possbl ua possbl popolazo COFIGURAZIOE I ral v soo molt mod d soddsfar l codzo d d E fssat cosdramo, pr smpo, 7 partcll 8 lvll rtc co ra total 7 ε TS TC ε ε ε ε3 ε4... ε s ε ε 3ε 4ε 5ε E U U.B. L ra è smpr dfta a mo d ua costat. Usrmo smpr com zro dlla scala l valor dlla E mma ( stato Fodamtal ) Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

6 ts-6 cofurazo W W/W tot ε ε 3ε 4ε 5ε 6ε 7ε otamo ch:. Il umro d mod ual s può ralzzar ua cofurazo ( PESO dlla Cofurazo ) è forto dall rlazo! W!!... W!!!! W va da u mmo d!! S rfrto al stat uatc ( al stat d moto ) S rfrto a lvll rtc [tutt l partcll l mdsmo lvllo] ad u massmo d! ( )! [tutt su lvll dvrs] Il pso W msura l dsord dlla Cofurazo Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

7 ts-7 Alla cofurazo compt u pso ttamt maor 5 4 W cofurazo 3 Abbamo mplctamt cosdrato ch o stato d moto ( stato uatco ) ha la mdsma probabltà d ralzzars Prcpo dlla EQUIPROBABILITA A PRIORI 4 Stamo usado partcll dstubl o abbamo posto rstrzo al umro d partcll ch possoo ssr assat al mdsmo lvllo rtco Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

8 ts-8 Ism ( Esmbl, Assmbly ) Mcro-caoco Qual è l mma fsca dll smpo prcdt? L partcll hao accsso al 8 stat rtc I u dtrmato prodo d tmpo s scambao l r ( soltato ll collso cosrvado la E total ) oua dll cofurazo vst è ua spcfca dstrbuzo stataa dll partcll fra l stat rtc accssbl S ora volssmo calcolar ua ualch proprtà F dl sstma sarbb tutvo far ua mda psata d valor ch usta assum, l tmpo, pr cascua possbl cofurazo F FJ W W J J Stamo, d uovo, assumdo ch cascu modo d ralzzar dll cofurazo ( cascu mcrostato ) sa vstato co uual probabltà Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

9 ts-9 S azchè co 7 partcll s avss a ch far co u umro d partcll dll ord d 3 far ua sml mda tmporal mplchrbb, ach solo cocttualmt, spcfcar l varabl damch Qusto compto, sostazalmt mpossbl, può ssr vtato co ua vzo dovuta a GIBBS MEDIA su d u ESEMBLE L da è ulla d mmaar u ra umro d rplch dl ostro sstma ( usto caso co, V d E costat ) ESEMBLE, E, V, E, V, E, V, E, V Part RIGIDE d ADIABATICHE La mda v ora fatta su valor ossrvat pr la proprtà F su tutt sstm dll smbl F sm d sstm Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

10 ts- L pots ERGODICA è ulla d assumr ch l du md ( sul tmpo sull sm ) sao uual S assum ch s u sstma passa l % dl tmpo u partcolar stato damco ua fotorafa d u ra umro d sstm ( lo Esmbl, l Ism ) mostrrà l % ullo stato L pots rodca, pr uato possa apparr raovol, è cosdrata o baal molto è stato scrtto al ruardo Possamo cosdrarla uo d postulat fodat dlla Trmodamca Statstca L sm ch abbamo vsto è chamato ISIEME MICROCAOICO Cofurazo Domat S l umro d partcll è rad ( azchè 7 com ll smpo ) c aspttamo ch l rafco mostr u pcco pù proucato pr l ual è utl avr u mtodo d rcrca Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

11 Dobbamo crcar l massmo d W al varar dlla cofurazo ( coè dl ) ts- W è u umro molto rad lla sua sprsso v soo produttor è prfrbl usar la uattà lw Pr rad umr s usa ua approssmazo pr! o l! l + l + lπ l Formula d Strl l! l x [ ( ) ( )... ] l+ l +...l l x l! somma d tutt rttaol l! A + A A A l x dx l [ x l x x] l l+ l + l! A + A l l l! l Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

12 l W l! + l l + ts- dffrzado ( su tutt l ) pr smpo: ( l + l ) ( l + l ) l d + l ( l l ) d d + l d d lw l d l d d + d d Il massmo d l W s ott pr d l W MA l d var d o soo dpdt L varazo dl soo sott a vcol d d cost d E. cost E ε d ε Pr cludr ust codzo lla rcrca dl massmo s usa l mtodo d MOLTIPLICATORI d LAGRAGE Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

13 Mtodo d Moltplcator d Lara ts-3 Illustramolo co u smpo: Z xp x + motaa d uazo [ ( y )] Puto pù alto? l Z x + y d ( l Z ) ( x) dx + ( y) dy x y puto (, ) Puto pù alto luo l cammo x + y 4? mtodo classco y 4 x l Z x d ( l Z ) dx + ( 4 x ) 4x 8 x 8x + 6 x y mtodo d Moltplcator d l Z x dy + y dy. dll codzo dx + dy Posso sommar du uattà par a. sza codzo ( ) x dx + y dy α ( d x + d y) ( x + α ) dx + ( y + α ) dy x + α y + α x α y α α 4 x co, y x + usta. ICLUDE l codzo mpost y 4 Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

14 ts-4 Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl La ostra uova uazo è allora: d ε β α β ε α β ε α + l l Dtrmazo d α β ε β ε α β ε α β ε α uatc stat co rtc lvll co ε ε β ε β ε Abbamo trovato ua partcolar cofurazo Dstrbuzo d Maxwll Boltzma cu compt l W max k Fuzo d rpartzo ( Molcolar )

15 Qusta cofurazo o è soltato la pù probabl ma lo è modo sovrchat ts-5 l W Boltzma cofurazo I fftt s dmostra ch è u massmo ch pr ua mol d partcll ua cofurazo dvrsa pr part su ha pso 434 volt mor W max 434 W D fatto s ha ch W W J J W max Fuzo d Rpartzo Sfcato Probablstco E ullo ch abbamo vsto P ε β P Probabltà ch v sao partcll l lvllo smo Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

16 ts-6 Fuzo Itsva lla ual soo cotut l formazo mcroscopch dl sstma studo Zustadsumm Somma sul stat β ε + + β ε ' β ε + + β ε ' β ε ε ε ε è ua sr ch covr tato pù rapdamt uato pù rad soo l trvall d ra fra lvll ( rsptto a β k ) ' ε ε ε ' trm pratc s può trrompr la sr uado β ε >> s ε è rad ( rsptto a KT ) s molt ε ( pr smpo m ) soo tro KT + +..(. m volt ) m La ttà d ( dlla Somma sul stat ) c fa vdr uato faclmt l partcll s dstrbuscoo ( rpartscoo ) sul stat uatc dspobl Rfltt la accssbltà al stat uatc dll partcll cosdrat Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

17 ts-7 β ε co ε A è ua msura dl umro d partcll ch:o soo llo stato fodamtal ( soo rado d sfur dal fodamtal ) S S A l umro d stat accssbl pr partclla è pccolo poch partcll sarao stat cctat A è rad l partcll sarao molto dstrbut sul stat rtc dl sstma Pttorcamt sol fattor d + β ε ' ' β ε lvllo Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

18 Fuzo d rpartzo Traslazoal ts-8 Trattamo partcll d massa m ( o trat ) lbr d muovrs u cottor d lat a, b c CIOE u sstma modllo d u as dal ( pr s. mooatomco sza struttura tra ) Abbamo vsto ch la mccaca uatstca c por h x y z E + + x, y, z 8m a b c QUIDI h x y xp β + + z 8m x y z a b c la s fattorzza x y z usta fattorzzazo è u rsultato ral ch val o ualvolta ε tot ε +ε +. co ε,ε.dpdt A dov A β h 8m a A è pccolo fatt trm dlla sommatora dmuscoo così ltamt ch la sommatora stssa può ssr sosttuta co u tral Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

19 A A d A B ( π 8m a ) ( π m ) h h β h β h π a luhzza d oda trmca 3 3 ( π m) ( ) ( π m ) a b c V tot β β a Λ ts-9 V tot 3 Λ H H T, P 3 ( V cm ) ( T 4.K ordar al puto d bollzo _ V 3.5 Λ.7 A -4 m 3 o.8 mol o Λ 4. A Era Itra E E ε ε β ε d d β ε β ε pochè ε β d β ε d E d β d β U U d d β V E d l d β V β d d V β ε d l d β è prssoché l uca cofurazo ch cota β ε V ota la s può valutar la Era Itra Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

20 ts- Idtfcazo d β Pr u as dal la tora ctca d as c forsc U-U 3/ R T pr mol U-U 3/ kt pr molcola Gl stat traslazoal soo strmamt umros, l ch è lo stsso, vc ra ALLORA E lcto usar l lmt classco d ualar U U 3 RT co E A d d β d d β V 3 3 ( π m) 3 5 ( π m) 3 V 3 β h β 3 β β 3 3 A A k β β k tot h Il rsultato è ral ach s rcavato pr uo spcfco sstma 3 V β cocluso Fuzo d Dstrbuzo d Maxwll-Boltzma ε k Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

21 ts- L tropa Statstca Il lam co la Etropa è lla rlazo d Botzma S k lw U U U U E + E U + stat ε U f ( ε, ) a V cost l stat uatc o voo varat dal cofrmto d calor al sstma d ε a V cost d u δ Q + δ L L δ Q d U d ε + ε d δ L δ Q d U δ δ Q Q rv ε T d S d k β d S ε d k β ε d ma abbamo crcato l massmo d lw co d E cost. d l W α d β ε d lw α β ε Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

22 β ε lw α ts- d S k lw d k α d d S k d lw dà crdto alla rlazo S k l W ch s può rcavar raoado com su: S W S è addtva W é moltplcatva S A S B W A W B S tot S A +S B W tot W A W B la cosso dv ssr loartmca S k l W +cost pr adattars all utà d msura d S S S k l W ( dal III prcpo ) Qualch ossrvazo su Calor Lavoro δ Q ε d δ L d ε Q L Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

23 ts-3.b. S l procsso è rrvrsbl cambao sa ch ε MA valor d possoo ssr dtrmat soltato ua trasf. rv. l dlla dstrbuzo d Boltzma s applcao a stat d ulbro S l procsso cosst ua sr d stat d ulbro lo stato dl sstma, o stado, è forto dalla dstrbuzo pù probabl Fuzo d Rpartzo Caoca ( Dalla Molcola alla Mol ) Dalla molcolar potrmmo calcolar la ra mda pr molcola E E l β V PERALTRO far usto è lcto soltato s l molcol soo Idpdt ( o o dbolmt trat ) S tratta d ua codzo abbastaza rstrttva Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

24 ts-4 usamo l coctto d ISIEME CAOICO, V, T, V, T, V, T, V, T T è uual pr tutt Q può ssr scambato la E complssva è costat.b. La ra d cascu sstma può varar Ach usto caso possamo parlar d cofurazo ( dstrbuzo d Sstm fra l r possbl ) E 3... E E 3 Er d sstm umro d sstm ch hao ua crta E o E è la somma: ( ) + ε ( ) + ε ( 3) + ε ( 4) ε ( 5) E ε a b a c + c a, b, c... stat molcolar ( uatc,,3.. molcol ( partcll ) ) l raoamto d l calcolo dlla cofurazo pù probabl procdoo com pr l sm MICROCAOICO W ES ES! SIST! Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

25 ts-5 SIST β E SIST Q ES cofurazo domat frazo d Sstm dllo Esmbl ch hao Era E p Q β E Fuzo d Rpartzo CAOICA E E m E ES ES U U E ES ES Sst Sst E ES p E E Q β E Q Q β V l Q β V otamo: l du sprsso. E l β V l Q E β V pr uato sml dffrscoo pr l trm La cluddo mplca ch v sa ua rlazo d scala fra la proprtà d du sstm d dmso dvrsa cò può ssr vro soltato s l partcll soo ffttvamt dpdt Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

26 ts-6 La o clud l fattor prchè l partcll soo à stat cosdrat tutt sm lla sua formulazo Il collamto fra Q S l partcll soo dpdt dovrmmo potr usar sa ch Q E ε + ε + ε 3 + ε 4 + ε ( () ( ) ( ) ( ) ( ) ) a b a c c Q xp [ β E ] sfca a, b, a, c, c.. [ β ( ε () + ε ( ) + ε ( 3)...)] xp + I ouo dl stat dl sstma o partclla (,, 3 ) sarà uo solo d J possbl stat uatc ( molcolar ) ( a, b, c.) ALLORA possamo strarr fattor rlatv a cascua partclla β ε Q J stat uatc J β ε J S tutt l molcol soo uual l possamo dstur Q Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

27 ts-7 Commt sul Ism Abbamo trodotto d usato u smbl CAOICO ch cost alla Era d o sstma d varar Quato è ampa la possbl fluttuazo? S dmostra ch σ E E m O ( ) I raltà la fuzo d dstrbuzo dlla probabltà dll ra è ua fuzo strmamt strtta toro al valor mdo Em pr rad u solo valor d E è mportat Ach s, u sm caoco, u sstma può, la d prcpo, assumr ualsas valor dll ra tuttava l ra dll sm è dstrbuta così uformmt tutto l sm stsso ch v è uas la crtzza d trovar tutt sstm co valor d ra par alla ra mda Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

28 ts-8 s può affrmar ch al lmt d u sstma rad d ulbro u sm caoco dra ad u sm mcrocaoco v soo altr Esmbl ( Ism ) Gra Caoco Isobaro Isotrmo μ,v, P,, smpr al lmt d sstm rad d ulbro s può usar l smbl ch s vuol ( ullo pù comodo ) Dstubltà d Idstubltà Du partcll soo dstubl s soo dvrs soo dtfcabl pr la loro poszo QUIDI GAS Partcll IDISTIGUIBILI LIQUIDI? SOLIDI Partcll DISTIGUIBILI Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

29 ts-9 La rlazo Q val s possamo tchttar ( coè dstur ) l partcll Sarà da usar pr : Sold Mot tr S l partcll occupao stat uatc dstt ( s è rad, vd ITS 7 ) prmutarl fra d loro o cota Du sub cofurazo com ust ε ε a a () εb( ) ( ) ε ( ) soo la stssa cosa b Q dv ssr dvso pr l! prmutazo Q! ch sarà da usar pr: traslazo GAS l cotrbuto ch cofrsc IDISTIGUIBILITA Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

30 Statstch Quatstch ts-3 So ad ora o c samo proccupat dlla atura uatstca dll partcll CIOE d rust d smmtra d atsmmtra Tdo coto l coto dl stat camba: FERMI DIRAC Sott al prcpo d scuso partcll stat BOSE EISTEI ( )...( + ) W ( )!!! ( )! o sott al prcpo d scluso! pr la dstubltà 4 scatol ott ott + sparator "cos" Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

31 ts-3 Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl ( ) ( ) + W!!! PERALTRO sstm dlut >> ( )( ) ( ) ( ) ( )!!! BE W! BE W ( ) ( ) ( )( )!( )!!!!! FD W +! FD W k ε k ε s / è rad lo è ach / QUIDI L statstch uatch ( al lmt classco ) covroo a ulla à vsta pr partcll dstubl IFATTI abbamo crcato l massmo d!! W ( ma! o trv lla dtrmazo dl massmo ) pr la dstubltà

32 ts-3 Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl L spcfch dstrbuzo pù probabl ( sza approssmazo d lmt classco ) soo BOSE EISTEI + k ε α FERMI DIRAC + + k ε α Fuzo Trmodamch Fuzo d Rpartzo Etropa W k S l ( usar W o Wmax è uvalt ) GAS SOLIDI W! W!! + k k k k S l! l l + k T k ε ε l l k k Idm k k T k k S l l ε T U U k S k T U U k S o l l pr trascurabl rsptto ad α k k ε ε α Boltzma

33 ts-33 s s vuol usar la Q pr as Q! l l + l Q l + lq U U k l Q + T S torado alla molcolar pr A AVOGADRO S R l A U + U U + R S R l + T U T Era Itra Abbamo vsto ch ( ITS 5 ) l lq U U U U β V β V pr partcll dpdt ( sa GAS ch SOLIDI ) lq o dpd dalla forma d Q f ( ) β QUIDI l l l U U k + k T β T T V V V l pr ua mol U U RT T V pù ral l Q U U k T T V Q Q /! Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

34 ts-34 Calor Spcfco c V U T V T RT l T V R T l l R T + T T T oppur l Q l Q k T + T T T c V l ( T ) V Fuzo A ( Era lbra d Hmholtz ) ( lavoro massmo ) A U T S A A U U T S pr u as ( mol ) A U RT l U RT A A k T l Q A A RT l RT Pot d Massu Prsso A P RT V T l Q P k T V A T l V Era lbra G ( Era lbra d Gbbs ) T G pr G A + PV u as dal ( mol ) A + RT RT l A Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

35 ts-35 Etalpa H U + pv H U pr mol d as dal HT UT + RT H T l RT RT T + V Ff ( Fr Ery Fuctos ) pr u as dal G T H T U U S ST R l + + R A T U + RT U R l + A T HT H R l + T A Praltro G T H T H T T S T T H H T QUIDI H T S T ff G T H T R l A Dll fuzo trmodamch d uso comu è ulla pù drttamt corrlata alla fuzo d rpartzo ( molcolar ) Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

36 ts-36 D fatto calcol pù comu soo fatt pr as dal S usa sclusvamt la molcolar Rma vro ch l rlazo pù ral collao l fuzo trmodamch alla Q caoca l Q U U k T T V l Q P k T V T Q l Q cv k T k T l + T V T V l Q S k l Q + k T T V l Q lq H H k T + k T V T V V l Q G G k T l Q + k T V V T T Ora samo rado d applcar coctt l rlazo vst a cas smplc ( as dal crstall ) pr ual, oltr, dspoamo d adatt modll uatomccac Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

37 Applcazo a GAS IDEALI ats- L da bas è ch s tratt d atom o molcol assa dbolmt trat Essdo lbr d muovrs l volum assato Q! Possamo usar dffrtmt la Q o la (co l opportu rlazo pr partc.idstubl) usamo la ε kt la sola ε è: ε Era d Traslazo Mot Itr Mot ESATTAMETE SEPARABILI ε ε trs + ε It ε It cotrbut d ε Elttroca ε ε + ε + ε trs al ε mot uclar mot uclar sparabl lla approssmazo d Bor-Opphmr Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

38 ats- ε mot ucl. Cotrbut d vbrazoal ε rotazoal ε sparabl lla approssmazo d Rot. Rdo Osc. Armoco QUIDI ll approssmazo pù drastca ε ε + ε + ε + ε trs trs l l vb vb rot rot Vdrmo cascuo d ust cotrbut dopo avr otato ch uat d cascu tpo d moto soo asa dvrs pr smpo pr l CO ua scatola d cm a 3 K (kt.5kj mol ) Δ ε Δ ε Δ ε Δ ε trs rot vb ltt kj mol λ. a luc 3mm MICROODE 4 μm IR 5 pm UV otamo ach ch l tro aromto dlla dpdza d var mot è dlcato IFATTI abbamo bsoo ch l ulbro sa rauto è cssaro u dbol accoppamto fra mot Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

39 Acora sulla traslazoal trs ( π m k T ) h 3 3 V ats-3 U U RT l trs V RT 3 3 R Il rsultato è ovvo prchè abbamo rprcorso a rtroso l cammo usato pr trovar β l l C V R + R R U U S Sm R l + + R S mm R l A ( π m k T ) h 3 3 A 3 R l + lv + V + 3 l 3 R + R ( m) + l 3 3 R l V + R l + R l M + cost ( π k) h 3 3 A + 5 costat R usado PVRT splctamo la dpdza da P S m 5 3 R l P + R l + R l M + cost I Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

40 Pochè è cosuto tabular l proprtà codzo stadard ( P bar ) ats-4 S m 3 R l + R l M 5 II + cost R l ( P / P ) Qusta così com l. prcdt vao sotto l om d. d Sackur-Ttrod (-Frm ) Soo stat rcavat mprcamt, succssvamt, è stata data ua spazo ( pr l valor dll costat) otamo ch: u aumto d V od M a T costat dmusc la spazatura fra lvll rtc la dstà d stat aumta ( umro d lvll pr utà d ra) l tropa aumta prchè c soo pù mod ual la ra dl sstma può ssr dstrbuta u aumto d T a V d M costat o camba la dstà dl stat pù stat dvoo accssbl prchè aumta la ra trmca ( kt ) l tropa aumta l drvat T d l tr dpdoo da Complssvamt U P dpdoo drttamt da T CV dvta dpdt da T Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

41 Cotrollamo f ch pr as sa applcabl l lmt classco dll statstch uatch ( >> ) ats-5 Ilobado l var costat s ha.6 M 3 P 5 - M pso molcolar cosuto ( mol - ) - T K P bar H a 3 K 3. 5 P bar Ar a3 K 6 H Ar a a 4.75 K. K Statstca d Bos Est lufa prma ch va mo la valdtà dl lmt classco Elttroca Com s è vsto la mccaca uatstca o por ( co l cczo dl atom drood ) ua sprsso aaltca S rcorr alla Somma drtta d trm ot dlla uazo ral l, l ε, l K I molt cas ε ε è rad rsptto a kt cota sszalmt l Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

42 Dal puto d vsta pratco s tratta d ssr rado d trprtar l tabll d lvll rtc d atom molcol D solto l utà d msura usat soo cm - ats-6 ε ε k hν h ~ h cν k h c ~ ω k T.4388 ~ ω cm T K Atom Abbamo vsto ch ll approssmazo d Russl- Saudrs S + L ( S + )( L + ) Tdo coto dll accoppamto sp-orbta S + LJ J + QUIDI pr smpo pr l Carboo (T K ) Russl Saudrs J ε/cm - 3P D S tot tot 9 Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

43 ats-7 Molcol Batomch La dsazo d trm spttroscopc assum,d orma,la forma S + S + L M Λ QUIDI pr smpo pr SO M L M L +,- M L +,- tutt co drazo par a ε Δ Π Π Π 3866 I prsza d accoppamto Sp-Orbta S + ( + Ω, Ω) Λ Ω pr smpo pr O ω cm a T3K Π x Π Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

44 Lvll Elttroc vc al Fodamtal ats-8 S l cctazo lttoca mplca ua ssbl varazo dlla curva d potzal a cu ( smpr ll approssmazo d Bor-Opphmr ) soo sott ucl dl atom S l lvllo cctato v sfcatvamt popolato ALLORA o s può pù scrvr tot trs l ( b rot ) MA s dv usar ua lvllo lttroco o pr cascu vb rot tot trs vb lvll lttroc εl, kt ( ) rot Cotrbut all Fuzo Trmodamch Etropa a T ordar è dtrmata dalla drazo dllo stato fodamtal Calor Spcfco C V o c soo trm ch dpdoo da T Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

45 vbrazoal ats-9 Raramt s opra la somma drtta su lvll vbrazoal ot Quas smpr s adotta la approssmazo d moto armoco ua molcola ha 3-6 (3-5 s lar ) rad d lbrtà vbrazoal 3-6 mod ORMALI ( mot prma approssmazo IDIPEDETI d ARMOICI ) vbrazo luo l coordat ormal pr uato u srv Coordata ormal:combazo d coordat d spostamto d pù d u atomo I u modo ormal l moto dll mass è smplc l sso ch tutt ucl s muovoo fas co la mdsma fruza S val la l d Hook l moto è Armoco Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

46 Il problma s fattorzza ats-... vb v v ll approssmazo armoca: ε ε vb ε k v vb d cascu modo ormal ( + ) hν ( ν + ) hω ( + ) h c ~ ω (rsptto al fodamtal ) h c ~ ω hc ~ ω k h c k ~ ω θ v tmpratura vbrazoal x + x + x... x ( ) vb hc ~ ω k hv k θ v.4388 ~ ω cm K Pr tmpratur rad rsptto allo θ v h v << k θ θ v + v hv k << θ +... v approssmazo d alta Tmpratura Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

47 complssvamt: ats- vb.5..5 θ v Pr smpo pr la CO (3x3-54 vbrazo ) ~ θ v K ω cm hcω ~ k vb 3K K 3K K () tot v v v 3 Da otar com a T ordara: solo la ν ~ω sa dbolmt cctata ( fftt pr molt mod ormal l ~ ω soo tato lvat ch vb la θ vb forsc ua dcazo dlla Tmpratura alla ual dv cctata la rlatva vbrazo Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

48 Cotrbut all fuzo trmodamch ats- Era Itra U U E E RT hν hν k T Etropa hν hν k T l T v RT ch all alt hν k hν k T hν k T hν k hν + k T accordo co l prcpo d upartzo rad d lbrtà / k T k T L uazo da usar è ulla dl rco moto tro U U S R l + 3 S vb al lmt d alta T R U U R ; θ S R l R lθ + R v otamo ch : T aumta l dsord al dmur d θ v aumta la tropa CIOE pccol costat d forza rad mass aumtao la Etropa v θ v Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

49 E ach da otar ch ach s l solo cotrbuto pr modo ormal o è rad ats-3 TUTTAVIA la molttud d mod ormal ( 3-5, 3-6 ) rd l cotrbuto complssvo dll vbrazo all tropa o trascurabl CV pr >>θvb s ha l cotrbuto classco ( upartzo ) C k ( pr molcola ) C R ( pr V V mol ) A tmpratur ordar l vbrazo o soo così cctat da soddsfar la upartzo C V dpd da modo complsso C V R R F E ( u) θv θ v R θ ( v u ) ( ) u u Fuzo d Est Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

50 rotazoal ats-4 Il sstma uatomccaco modllo dlla rotazo d molcol batomch polatomch lar è l ROTATORE RIGIDO pr l ual s è vsto ch ( RR5 ) E J J J h ( J + ) J ( J + ) B J ( J + ) h c ( B cm ) J + I B può ssr rcavato da: Dat sprmtal (spttroscopc) Calcolato cooscdo o stmado l dmso dlla molcola Ach usto caso o è cosa cosuta rcorrr alla somma drtta: rot rot J co J ( ) ( J + J + ) J J ( ) ( J + )Y J + B k B h θ r k I k Y Y è abbastaza pccolo a T3K Y.5 pr H 35 Cl l cu B.6 cm - rot J + J Y J ( ) ( J ) Y J + d J ( j ) d J + + Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

51 pochè ( J + ) d J d ( J + J ) ats-5 rot rot J + J Y [ ( J J ) Y ] xp + Y I k T h d θ h c r ( J + J ) k Y ( B cm ) ax d x a ax usta approssmazo è buoa pr Y. ( l caso d H 35 Cl a T3 rot 9.6 rot 9.9 (pr somma drtta) pr Y.3 s usa Y Y rot Y 3 5 Tpcamt l θ rot soo mor d T ambt I CO CH 4 H θ rot K molt lvll rotazoal sarao popolat otamo ch pr ordar samo codzo classch l E rot RT RT RT Molcol lar rad d lbrtà Rotazoal Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

52 umro d Smmtra ats-6 Accad ch,fatta cczo pr l Batomch trouclar, v sa ua complcazo pr l Batomch omouclar ( pù ral pr tutt l molcol dotat d SIMMETRIA ) o tutt lvll rotazoal soo possbl v soo lmtazo lat alla smmtra molcolar soo stat cotat tropp stat l drvar la rot L or d usta sovrastma è lla Smmtra d Atsmmtra dll fuzo d oda IFATTI o s è ma cosdrato ch sstoo dl stat d moto dll partcll d ucl ( proto,utro ) ach pr ust stat uatc, cosdrat dpdt dal altr, s avrbb ua d rpartzo la spazatura d lvll rtc uclar è così ampa ( MV ; θ K ) ch è l solo lvllo ad ssr popolato è l fodamtal Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

53 Ach la drazo dl fodamtal ( s pr s ) o ha fluza drtta su procss d atura chmca ats-7 o v soo cotrbut d ua vtual uclar ad U, H, C V mtr s auoo trm dl tpo R l RT l ad S G u procsso chmco l umro d ucl covolt o muta ust trm s cacllao TUTTAVIA La drazo dl fodamtal è dovuta alla sstza d momt aolar d Sp d uclo ( I momto aolar total d Sp uclar ) La spcfcazo complta dllo stato molcolar rchd do cludr la fuzo d oda d sp uclar QUIDI la Ψ Ψ ( R) Ψ ( r R) TOT ; coè approssmatvamt Ψ TOT Ψ Ψ vb Ψ rot DIVETA Ψ TOT Ψ Ψvb Ψrot ΨS uclar d Sp Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

54 ats-8 Ψ TOT Ψ Ψ vb Ψ rot Ψ s è usta Ψ tot ch dv soddsfar prcp d SIMMETRIA d ATISIMMETRIA PER SCAMBIO DEI UCLEI ucl co I tro BOSOI Ψ tot SIMMETRICA I smtro FERMIOI Ψ tot ATISIMMETRICA Vdamo ( pr molcol batomch ) var cotrbut Ψ s sp paralll SIM sp appaat ATISIM Ψ rot J par SIM J dspar ATISIM J 4 S 3 A S A S Ψ l + u + u Λ Λ SIM Λ Λ ATISIM Ψ vb smpr SIM dpdtmt dal lvllo Dpd soltato dalla dstaza truclar Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

55 QUIDI ats-9 I fattor ch dobbamo cosdrar soo l Ψ l Ψ rot Ψ s pr ua data Ψ l ( lla maoraza d cas s tratta d stat + smmtrc ) l prodotto Σ ualch caso 6 Ψ rot Ψ s dv rspttar la smmtra 6 C O O (I ) Boso Ψ l SIM C ( I ) Boso τ Ψ SIMMETRICA s Ψ dv ssr SIMMETRICA rot Possoo sstr soltato l stat co J par H I ½ Frmo Du possbltà Ψ s ( SPI appaat )ATISIM: Ψ rot SIM (solo Jpar) Ψ s ( SPI paralll) SIM: Ψrot ATISIM (Jdspar) Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

56 6 O ( I ) ( Boso ) 3 Ψl ATISIM ats- Ψ tot dv ssr SIM ( Ψ ) Ψ dv ssr ATISIM s rot J ( SIM ATISIM ) 5 4 Possoo sstr soltato l stat co J dspar 3 CIOE la mtà dl stat r θ r r σ umro d smmtra σ θ r Pr l caso dll Idroo I I α β β α ATISIM H PARA α α α β + β α SIM H ORTO - β β S dv tr coto dl fatto ch l stat ORTO soo 3 volt PARA Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

57 ats- La rot mda pr molcola s scrv: rot 4 J par J J ( ) ( J + ) B k T J + + ( + ) ( J + J 3 J ) dspar B k T PERALTRO pr cascu tpo d H trm dlla rot hao usto adamto rot J par () + () () J dspar J tutt Molcol Polatomch ( o lar ) Ora s dvoo cosdrar 3 rad d lbrtà rotazoal o v è pù u uco momto d Irza ( I ) ma 3 momt prcpal d Irza ( I A, I B, I C ) ch, ral soo dvrs tra loro Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

58 I raltà co molcol o lar s ha a ch far co u Tsor d momt d Irza D I I I xx xy xz I I I xy yy yz I I I A, I B, I C soo l lmt sulla daoal uado la matrc è daoalzzata I xz yz zz I I xx xy cc. m m ats- ( y + z ) x y Ruotado l ass s possoo rdr ull tutt trm dl tpo I xy, I yz, cc. complssvamt, pr lvat s ha : rot π D σ 8π k T h 3 ( π I I I ) A B σ C 8π k T h 3 oppur rot π σ θ r, A θ r, B θ r, C umro d smmtra umro d ortazo rotazoal ch dffrscoo soltato pr lo scambo d ucl dtc umro dll cofurazo dstubl ll ual la molcola può ssr codotta pr smplc rotazo Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

59 Il umro d smmtra σ s valuta co facltà s è oto l ruppo putual d smmtra al ual appart la molcola ats-3 σ Gruppo Putual C, C s, C, C V C, C v, C h ½ S D, D v, D h T 4 O h D h Cotrbut all fuzo trmodamch Era Itra U U E RT l T Grad d lbrtà Rotazoal Batomch Polatomch lar RT RT Polatomch o lar 3 RT 3 Etropa Batomch Polatomch lar U U 8 I k T S R l R l R R l π + σ h R l I + R l R lσ + cost + OTARE Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

60 ats-4 CalorSpcfco Ach usto caso s ossrva la Saturazo dl cotrbuto pr >θ r C V /R Il Calor Spcfco Total I var cotrbut trao oco rspttv camp d tmpratura Pr ua Molcola BIATOMICA T/θ r Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

61 ats-5 Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl Sstma d Oscllator Armoc Qullo ch s è vsto pr la fuzo d rpartzo vbrazoal è uato srv pr rcordar la tora d Est d calor spcfc d sold Il soldo è mmaato com costtuto da u sm d oscllator armoc tutt dll mdsm carattrstch, ud, tutt oscllat alla mdsma fruza Est drvò l calor spcfco V V V C ota la ra mda, E, d o oscllator k h h E ν ν vd ATS pr 3 oscllator ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u V k h k h k h k h V u R u R C k h k k h h C ν ν ν ν ν ν ν co E k h U θ ν Tmpratura d Est

62 ats-6 Il modllo d Est è stato l prmo co l ual, sulla bas dlla tora d uat, è stata spata la dmuzo dl calor spcfco al dmur dlla tmpratura E ach alla bas dlla comprso dlla fluza d FOOI sull proprtà trmch d sold Il valor dlla tropa d u soldo, trprtato com u sstma d oscllator, td a zro accordo co dat sprmtal U U S R l + hν k S R l hν k + hν hν k ( ) pr T tramb trm tdoo a zro a T S pr u sm d oscllator armoc dtc o trat è ust codzo la spazo dl fomo dlla ETROPIA RESIDUA Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

63 ats-7 Etropa Calormtrca Spttroscopca E oto ch, vrtù dlla Trza l dlla Trmodamca, s può valutar la tropa d u sstma alla tmpratura com: S C Δ p H, d + Tr pr smpo l var traszo ETROPIA CALORIMETRICA ( o d III l ) S + fus Δ H b C b p + ( soldo) Δ H C ( ludo) b C p d + ( as) d fus fus + b fus p d + Praltro, pr uato vsto so ad ora, è possbl calcolar la tropa d ua ualch sostaza cooscdo var tp d lvll rtc sommado cotrbut S S dov S R l U + U R l + RT l V ETROPIA SPETTROSCOPICA trasl,ltt,vb,rot lla maor part d cas s ha ottmo accordo fra du mtod d calcolo dlla Etropa Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

64 ats-8 pr smpo Calormtra Spttroscopa S OCS J K mol ( ) cas, vcvrsa, cu v è ua dffrza S spttroscopca S calormtrca > Etropa Rsdua smpr Etropa Rsdua Pr trodurr l coctto cosdramo u crstallo d CO l ual l molcol possoo ssr ordat oppur o CO CO CO CO OC CO L du ortazo, pr fftto dll dbol trazo dpolar, soo prssochè uvalt dal puto d vsta rtco Il momto d dpolo o è abbastaza rad da ortar tutt l molcol L molcol d CO prstao fruz d vbrazo ( prssochè uual ma dvrs ) Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

65 Al dmur dlla tmpratura la dffrza d ra dll du ortazo dv cofrotabl co K soltato molto al d sotto dlla Tmpratura d fuso d CO ats-9 A bass tmpratur la ra d attvazo pr la covrso da OC a CO rd la stssa covrso molto lta Il crstallo d CO v colato lla stuazo dsordata d alta tmpratura O crstallo ral d CO, vco allo zro assoluto, o è prfttamt ordato I Mtà oscllator hao fruza ν l altra mtà II ν I II E tot E + E pr la, rcordado l sfcato probablstco, I II I II + du vt ν ν s S R l I II ( + ) E S R l + pr tot + E + S R l sprmtal I E II scudoo a vcda ν JK JK I ν II mol mol I II Il Dsord o è prftto Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

66 ats-3 Da uato vsto s capsc com sa possbl valutar la tropa rsdua a OK calcolado l umro dll mutu ortazo molcolar ch soo possbl molcol poszo rtcolar possbl ortazo W S rsdua k lw k l R l vdamo, co usto mtodo, l caso dlla H O Dsposzo Ttradrca atom d H co l.covalt atom d H co l. Idroo pr o molcola luo o drzo O-O la probabltà d trovar u H alla dstaza r è ½ luo du spcfch drzo la mdsma probabltà è: ½ ½ ¼ Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

67 ats-3 o molcola d H O può ssr ortata 6 mod dvrs Il Ttradro ha 6 spol Il umro complssvo d ortazo è: 6 ¼ 3/ QUIDI S 3 3 K l R l 3.37 sprmtal 3.3 J K " " mol Il calcolo dll Costat d Eulbro Abbamo vsto ch, pr ua mol d as dal G RT l G T G a RT l a u c s rfrsc ad mol d partcll; ral c è ua d ua m /m molar Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

68 ll codzo stadard G G o o G U o ssdo o RT l G A RT l o A o A H U PERALTRO, pr ua razo o trasl a P bar ( π m k T ) ( π m k ) h 3 h RT P V P o o m ats-3 o ΔG ΔG ΔG o o o ν Δ H o G o RT ΔU RT R o ν l RT l Π A o ν + Π l A Dalla Trmodamca s ha ΔG o l k RT l k p a o o ΔU + l Π RT RT l k ν o A p ν o Δ E RT k p Π A coè, pr smpo, pr ua Dssocazo d Molcola Batomca è D o D o A ν (pr as dal ) Dffrza fra l r d puto zro d Prodott rat D D Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

69 ats-33 Itrprtazo dlla costat d ulbro E à oto dalla Trmodamca ch ll ulbro ascoo Fattor rtc Fattor tropc ΔG o Δ H o Δ S o l k o T Δ H RT + Δ S R o T Vdamo ua trprtazo mcroscopca ossrvado com fluzao u smplc ulbro A B ( ) ( ) Il fattor rtco Δ E fattor tropc o cosdramo l caso cu > B A h co Δ E prval B ch ha ua maor Dstà d Stat ( Etropa maor ) Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

70 ats-34 co Δ E > A td a prvalr all aumtar d Δ E B può prvalr all aumtar d domar la mscla a causa dll alta dstà d Stat Complssvamt s può schmatzzar com all aumtar d l ulbro va o rma > < B A B A Δ E > va vrso dstra rma a sstra Δ E rma a dstra rma a sstra Δ E < rma a dstra va vrso sstra Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

71 ats-35 C d Smmtra Molcolar La dscusso dlla smmtra chmca rchd la trattazo dlla tora d rupp u vdrmo soltato uato ruarda la smmtra co lo scopo d : rcooscr l lmt d smmtra d ua molcola dfr l appartza ad uo d rupp putual d smmtra Gl lmt l oprazo d smmtra Oprazo d Smmtra Elmto d Smmtra è l oprar su d u otto co ua trasformazo ch lo lasca fscamt dstubl è l puto, la la, od l pao ( la ttà omtrca ) rsptto alla ual è suta la oprazo d smmtra Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

72 ats-36 C occuprmo soltato d ull oprazo d smmtra ch lascao varato almo u puto dll otto ( molcola ) d u v l om d Grupp Putual (o d puto ) [ rupp spazal cosdrao ach la traslazo s usao crstall ] Idttà smbolo: E o molcola possd almo usto lmto Ass d rotazo d ord smbolo : C rotazo d 36 / ( C E ) BF3 ha 3 ass C ass C3 C3 (3> ) è l ass PRICIPALE Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

73 ats-37 pr l BF3 oprazo d smmtra C pr o ass oprado sso oraro d atoraro s rproduc la stssa stuazo oprazo d smmtra C3 rotazo orara d atorara ( oppur rotazo succssv ) Pao d Smmtra smbolo σ ( σ, σ, σ ) v h d σ v ( v rtcal ) paralllo all asss prcpal σ h ( h orzothal ) prpdcolar all ass prcpal d σ ( d dro ) vrtcal a mtà fra du ass C Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

74 ats-38 Ctro d smmtra ( o d Ivrso ) smbolo : è la oprazo mdat la ual o puto, da x, y, z, v codotto x, -y, -z o hao ctro d smmtra hao l ctro d smmtra Ass d Roto-Rflsso d ord smbolo :S la rotazo è d 36 / CH 4 ha 3 ass S4 Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

75 - pr l Etao ats-39 L oprazo d smmtra soo oprator ch spostao l ott llo spazo Il prodotto d du oprator è la applcazo succssva pr smpo pr BF C C C C E o smpr l oprator d smmtra commutao L sm dll oprazo d smmtra d ua molcola formao ua ttà matmatca chamata GRUPPO Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

76 ats-4 Cosuz drtt dlla Smmtra Polartà La drzo dl momto d dpolo o dv ssr mutata da ua oprazo d smmtra ch, pr dfzo, dv lascar la molcola fscamt dstubl QUIDI S c è u ass C l momto d dpolo dv ssr luo usto ass S c soo pù ass d smmtra la molcola o può avr momto d dpolo S c è u pao d smmtra l momto d dpolo dv acr sul pao S c è l ctro d smmtra la molcola o può avr momto d dpolo Attvtà ottca L molcol chral soo ottcamt attv Du atomr hao potr rotatoro d so opposto radzza uual QUIDI S ua molcola è la sua stssa mma spcular o può ssr ottcamt attva Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

77 Il ruppo putual d ua molcola ats-4 Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl

78 ua molcola co u ass S è ottcamt attva IFATTI C σ molcola molcola mma ruotata spcular ruotata S ats-4 Rlvaza chmca Quatstca Accad ch, ll ambto dlla tora d rupp, s dfsca, pr o ruppo putual, ua tablla d carattr sszalmt soo l tracc dll matrc ch rapprstao l oprazo d smmtra L Hamltoao d ua molcola l oprator d Fock soo varat pr tutt l oprazo dl ruppo d puto a cu appart la molcola L autofuzo d H d F, pr fftto dll oprazo d smmtra s trasformao ua comb. lar dll altr Escusvamt ossrvado la tabll d carattr è possbl ( pr smpo) prvdr l drazo prmss al oprator H d F prvdr ual orbtal dao combazo lat d atlat prvdr ual sao l traszo prmss (rol d Slzo) Qual uat sao l vbrazo IR o Rama attv Dpartmto d Chmca Prof. Gudo Gl