Lezione 3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica

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1 Lzo 3 C d mccaca statstca classca quatstca Fsca dllo Stato Soldo Elttroca a.a

2 Itroduzo Voglamo stdr coctt trodott mccaca a sstm compost da u umro molto lvato d partcll, qual ad smpo gas dal ch a prsso tmpratura stadard rsultao compost tpcamt da crca 10 0 atom/molcol. Sappamo ch la mccaca s foda su alcu prcp gral, qual la cosrvazo dll'rga, dlla quattà d moto dl momto agolar, applcabl al moto d ua o pù partcll tragt. Nlla mccaca statstca qust prcp vgoo sts a sstm d molt partcll modo da ottr proprtà collttv vald a lvllo macroscopco, qual la tmpratura la prsso, modo ch o sa cssaro cosdrar dvdualmt l moto d cascua partclla. Vdrmo ch, oltr a o ssr pratcamt possbl, rsulta fatt ach o cssaro sgur l moto d tutt qust partcll pr drvar l proprtà macroscopch dl sstma. Il puto d partza dll'aals statstca è l coctto d probabltà d ua dstrbuzo, val a dr la probabltà ch l partcll s trovo ua partcolar dstrbuzo tra tat possbl stat damc cu ss possoo trovars. Elttroca a.a

3 Cosdramo u sstma composto da u grad umro d partcll, N. Og partclla può assumr u valor d rga 1,, 3,.. qust lvll rgtc possoo ssr quatzzat, coè multpl d u valor fto, oppur possoo dscrvr u domo d valor cotuo. I u stat t grco l partcll sao dstrbut tra var stat rgtc così ch 1 partcll s trovao llo stato carattrzzato dall'rga 1, qullo a rga così va. Il umro total d partcll l'rga total dl sstma s scrvoo : N U t = umro total partcll = rga tra total dl sstma Dcamo ch l sstma è chuso s l umro d partcll N è costat l tmpo. Ioltr, s l sstma è solato, la sua rga total è costat l tmpo. Elttroca a.a

4 Equlbro statstco E ragovol psar ch pr og sstma fsco cosdrato, v sa ua partcolar dstrbuzo dll N partcll var ch sa pù probabl dll altr. Quado l sstma s trova ad assumr la dstrbuzo pù probabl dcamo ch ha ragguto l'qulbro statstco. Ua volta ragguta la codzo d qulbro statstco l sstma flutturà toro ad sso sza ch s ossrvo cambamt ll su proprtà macroscopch s allotarà solo sguto all'applcazo d ua forza stra. Probabltà d ua dstrbuzo Pr dtrmar la probabltà d ua dstrbuzo d N partcll gl stat dvo calcolar l umro d cofgurazo possbl co cu tal dstrbuzo s può ottr. Nl sguto assumrmo ch la probabltà d ottr ua partcolar partzo dll partcll gl stat dspobl sa proporzoal alla moltplctà d tal dstrbuzo. Elttroca a.a

5 Partcll dstgubl dstgubl Classcamt du partcll dtch soo cosdrat tra loro dstgubl. La atura odulatora dll partcll o prmtt prò la d prcpo ch ss sao dstgubl l ua dall altra. Ifatt, s u vto du partcll dtch 1 s trovao a passar pr ua rgo d spazo mor dll ord dlla loro lughzza d oda d d Brogl o potrmo dr pr l partcll mrgt qual dll du sa la partclla 1 qual la partclla. Du partcll dtch soo dstgubl s la lughzza d d Brogl rsulta molto pù pccola dlla dstaza tra du pacchtt d oda ch rapprstao l du partcll: l << sparazo I gral qusto avv ffttvamt pr l molcol d u gas rarfatto. Elttroca a.a

6 IDENTITA INDISTINGUIBILITA Cosdramo l caso d u sstma d du partcll dtch o tragt, ua s trova llo stato, l altro llo stato m. C soo du possbl soluzo dll quazo d Schrodgr (1 rapprstao l coordat spazal dll du partcll): La probabltà ch sao l ua dx 1 l altra dx è: dp = f(1,) dx 1 dx. S soo IDENTICHE dv ssr la stssa s ss s scambao tra dx 1 dx f(,1) = f(1,) qud: f(,1) = + f(1,) f(,1) = - f(1,) fuzo d oda smmtrca fuzo d oda atsmmtrca S l du partcll soo ach INDISTINGUIBILI l soluzo dvoo ssr combazo lar tra du stat f m (,1) f m (1,): co 1/ fattor d ormalzzazo. smmtrca atsmmtrca Elttroca a.a

7 Prcpo d scluso d Paul C ua dffrza mportat tra la combazo smmtrca qulla atsmmtrca. Ifatt pr = m la fuzo d oda atsmmtrca è zro pr tutt valor d x 1 d x, mtr la fuzo smmtrca o lo è. FERMIONI Gl lttro, proto utro possoo avr solo fuzo d oda atsmmtrch y A. Prcò l fuzo d oda f f m pr tal partcll o possoo avr gl stss umr quatc (vd trasparz sgut) ss sguoo l PRINCIPIO DI ESCLUSIONE d PAULI. Tal partcll soo dtt FERMIONI. Pr gl lttro u atomo, lo stato d cascu lttro è dscrtto da quattro umr quatc, uo pr og coordata spazal uo assocato allo sp. Il prcpo d scluso d Paul dc ch gl lttro ll atomo dvoo avr quatr d umr quatc, l, m l, s dvrs tra loro. BOSONI Partcll com l a, foto, mso hao vc fuzo d oda smmtrch y S. Ess o obbdscoo al prcpo d scluso d Paul. Tal partcll soo dtt BOSONI. Elttroca a.a

8 Probabltà d trovar du partcll llo stsso stato Partcll dstgubl (caso classco): φ B = φ,1 = φ 1, = φ 1 φ = φ φ 1 dp B dv = φ B φ B = φ 1 φ φ 1 φ Partcll dstgubl (Boso): φ BE = 1 φ 1 φ + φ φ 1 = φ 1 φ dp BE dv = φ BE φ BE = φ 1 φ φ 1 φ = dp B dv Prcò la probabltà d trovar du boso llo stsso stato u sprmto è DUE VOLTE la probabltà d trovar llo stsso stato du partcll classch. Elttroca a.a

9 Ivc, s l du partcll dstgubl soo frmo: qud la dstà d probabltà ch s trovo llo stsso stato quatstco è NULLA. Gralzzado ad u sstma d molt partcll possamo dr ch: La prsza d u frmo u partcolar stato quatstco prv og altro frmo dtco dall occupar tal stato. La prsza d u boso u partcolar stato quatstco aumta la probabltà ch altr boso dtc vgao trovat tal stato ( lasr soo u smpo d qusto fomo ). Elttroca a.a

10 Caso classco: Dstrbuzo d Maxwll - Boltzma Pr ottr la dstrbuzo pù probabl occorr partr da alcu assuzo plausbl sul sstma da aalzzar: la lgg d dstrbuzo ch drva dpd ovvamt dall assuzo fatt. Aalzzrmo zalmt la statstca mccaca classca svluppata da Stfa Boltzma ( ), Jams C. Maxwll ( ) ad Josa W. Gbbs ( ) tra la f dl 1800 gl z dl Jams Clrk Maxwll Ludwg Boltzma Elttroca a.a

11 Pr ottr la lgg d dstrbuzo d Maxwll-Boltzma cosdramo u sstma composto da u grad umro d partcll dtch dstgubl. Cosdramo ua partcolar partzo dll N partcll gl stat co = 1..s, com fgura, dov og lvllo rgtco è rapprstato da ua la ll'ord d rga crsct Elttroca a.a

12 Moltplctà dl lvllo 1 Parto co l srmto d 1 partcll l lvllo 1. Sclgo la prma partclla: v soo N mod pr farlo. Po prdo la scoda, v soo N-1 mod pr scglrla. Pr la trza mod soo N-, pr l ultma mod soo N Prcò mod co cu possoo ssr sclt l partcll dllo stato ad rga 1 soo: ' 1 1 W N( N 1)( N )...( N 1) N! ( N )! 1 Così abbamo cosdrato com dsposzo dvrsa og squza sparata cu l 1 partcll potrbbro ssr sclt. Tuttava a o srv sapr solo qual 1 partcll scglamo, o ch squza appaoo. Prcò dobbamo dvdr pr l umro d squz dvrs cu 1 oggtt possoo ssr dspost, coè 1! N!!( )! W 1 N 1 1 Elttroca a.a

13 N = 5, 1 = Esmpo 1 W 1 5! 10 3!! Soo stat cosdrat dtch l dvrs squz dll stss partcll: 1! = 6. Pr l caso 1 3: Elttroca a.a

14 Pr l lvllo : Moltplctà dlla dstrbuzo ( N )!!( )! W 1 N 1 Prchè solo N - 1 partcll rmagoo lbr d ssr sclt. Aalogamt pr l trzo lvllo: ( N )!!( )! W N 1 3 Il umro d mod d dstrbur l N partcll gl s stat è prcò N! ( N 1 )! ( N )! W... s!( N )!!( N )!!( N... )! s 1 N! W!!!...! 1 3 s s Elttroca a.a

15 W Esmpo Cosdramo ua scatola co part adabatch ch cotga s molcol dtch d u gas. I qualsas stat og molcola può trovars lla mtà d dstra o qulla d sstra dlla scatola co ugual probabltà. Il umro d possbl cofgurazo è 7, cascua co ua moltplctà data dal umro total d mcrostat possbl ch mostrao tal cofgurazo. I bas alla lgg d Boltzma rcavamo l valor dll tropa d cascua cofgurazo. Utlzzamo la statstca d Maxwll Boltzma pr calcolar l moltplctà d cofgurazo: N! 1!! Moltplctà massma => Cofgurazo pù probabl 1 W I II III 4 15 IV V 4 15 VI VII Elttroca a.a

16 Dgrazo g dllo stato -smo Ossrvamo ch qusto calcolo abbamo cosdrato ch og cofgurazo abba la stssa probabltà trsca d accadr ( og partclla potva trovars lla mtà d sstra o lla mtà d dstra dlla scatola co ugual probabltà). Qusta codzo o è smpr vrfcata. Pr tr coto dlla possbltà ch gl stat possggao probabltà trsch dvrs s troduc u fattor g dtto dgrazo dllo stato -smo. S g è la probabltà d trovar la partclla llo stato -smo, la probabltà d trovar du l mdsmo stato è g la probabltà d trovar è g. W MB N! s 1 g! Elttroca a.a

17 I lvllo II lvllo III lvllo Esmpo 3: u solo stato rgtco ch corrspod a tr lvll d stssa rga. I sso posso dstrbur 3 partcll 7 mod dvrs g 1 =3, 1 = 3: g 1 1 = 7 N = 1 W = 7 I lvllo II lvllo III lvllo Elttroca a.a

18 Dtrmazo dlla dstrbuzo pù probabl all qulbro All qulbro l partcll soo dspost lla cofgurazo d probabltà massma. I qust codzo a pccol varazo d dl umro dll partcll llo stato -smo dv corrspodr u dffrzal ullo dlla gradzza P: dp = 0. Matmatcamt, s prfrsc mporr: d(lp) = 0. l( P MB ) l g1 l g 3 l g3... l( 1!) l(!) l( 3!) 1... Usado la formula d Strlg: l( x!) xl( x) x Assumdo ch 1,, 3 sao grad umr, ottamo: l( P MB ) 1 l g1 l g 3 l g3... ( 1 l( 1 ) 1 ) ( l( ) ) ( 3 l( 3) 3) l( ) l( ) 3 l( )... ( 1 3 g g g ) N l( g ) Elttroca a.a

19 d Impoamo: l( g ) d d l( g ( l P) d l( ) 0 ) d l( g a l( g Pr og. La codzo d qulbro dv: g ) d ( ) d l( g Poché l sstma è chuso d solato, qud è cssaro mporr: N = costat d U = costat : d dn 0 ; du Pr mporr qust tr codzo cotmporaamt s utlzza l mtodo d moltplcator d Lagrag: s troducoo du paramtr, pr ora dtrmat, a, tal ch valga la rlazo complssva: g a ) d 0 a l( ) 0 g ) d 0 d Elttroca a.a

20 ESEMPIO 4 U sstma è composto da N = 4000 partcll ch s possoo dsporr lvll rgtc =0, 1 = 1 tutt co stssa dgrazo g: Cofrotamo l moltplctà rlatv du cas. Nl prmo la partzo sa carattrzzata da 1 = 000; = = 300. La scoda è ottuta mmagado d trasfrr du partcll dal lvllo trmdo ua a qullo pù basso l altra a qullo pù alto. W ! g g g 000! 1700!300! 300 W ! g g g 001! 1698!301! 301 W W 1 000! 1700!300! ! 1698!301! l smplc trasfrmto d du partcll da uo stato camba la probabltà ad u valor quas cqu volt supror! Qusto sgfca ch l du partzo soo lota dall qulbro. 4.8 Elttroca a.a

21 Calcolamo la partzo d qulbro pr la dstrbuzo. g a 1 3 g g g a a a Erga total dl sstma: U = 000x x = All qulbro dv valr: g a a 1 g 1 ( x x ) 300 Ioltr l sstma è chuso qud: g a g a g 1 1 a 1 (1 x x ) co x 1 3 N Elttroca a.a

22 1 (1 x x ) ( x x ) x 17x 3 0 x = Cofgurazo d qulbro: 1 = 77 = = 577 Rptamo ora l srczo prcdt: spostamo du partcll dal lvllo Itrmdo poszoamol ua sul lvllo fror ua su qullo supror: W ' ! g g g 77! 1146!577! 577 W ' ! g g g 78! 1144!578! 578 W W ' ' 1 77! 1146!577! ! 1144!578! L probabltà d du cas soo qud ora sszalmt l stss: all qulbro fatt pccol cambamt valor d o portao apprzzabl cambamt lla probabltà. Elttroca a.a

23 Paramtr fsc assocat a moltplcator d Lagrag I du trm a soo lgat al sstma fsco cosdrato. I partcolar, s può sprmr a fuzo dl umro total d partcll N. Poché: N g a a g trodotto l trm Z dtto fuzo d partzo dl sstma: Z g Rscrvamo: N Z N Z g a qud: Ch è l sprsso dlla lgg d dstrbuzo d Maxwll-Boltzma all qulbro. Elttroca a.a

24 Cosdramo la rlazo tra paramtro d rga total dl sstma: U N Z N Z ( ) Allora: U g g co Z g d d N Z dz N d d l Z d Qud U dpd dalla fuzo d partzo dl sstma Z d è fuzo dl paramtro, ch a sua volta può ssr utlzzato pr carattrzzar l rga tra dl sstma. S prfrsc vc dfr l paramtro T, tmpratura assoluta, tal ch: K B T Co k B = Costat d Boltzma = 1.38x10-3 J/K = 8.617x10-5 V/K Tal rlazo costtusc la dfzo statstca d tmpratura assoluta 1 Elttroca a.a

25 Notamo ch tal dfzo d tmpratura è valda solo all qulbro, poché è stato trodotto durat l calcolo dlla partzo pù probabl. Ottamo: U N d l Z KNT d d dt ( l Z ) Dtrmamo ora la fuzo d partzo Z l caso dl gas dal, dov l rga è solo ctca traslazoal: 1 mv Dobbamo prmo luogo dtrmar la dgrazo g dgl stat rgtc prmss. Elttroca a.a

26 Calcolo d g() pr u gas dal u rcpt chuso d volum V Cosdramo u gas composto da u umro N molto grad d partcll, cotuto u rcpt cubco d lato L. L rga d og partclla è: p p x y p mv z x mvy mvz m m m Abbamo vsto ch è possbl assocar ad og partclla lla scatola u oda, utlzzado la rlazo d d Brogl: h La codzo prchè la partclla sa l rcpt è ch ssa corrspoda ad u oda stazoara qud ch: L l o ach p L = h co tro pr = x,y,z h x y z 8mL ( ) L rga rsulta quatzzata Tutt gl stat co stsso x + y + z corrspodoo alla stssa rga: ss s dcoo prcò STATI DEGENERI. l p Elttroca a.a

27 Dtrmamo prm lvll rgtc la rspttva dgrazo pr ua partclla lbra cofata u cubo d lato L: h h x y z 0 ( ) 8mL ( ) co: 0 x y z 8mL Gl stat d stssa rga la rlatva dgrazo soo dcat lla tablla: I lvll rgtc prmss rsultao dstat tra loro dlla quattà : h 0 8mL S l partcll s trovao cofat u rcpt molto pccolo l trm 0 avrà u valor tal ch lvll rsultrao b dstazat tra loro, s vc l rcpt è grad, com l caso d u gas dal d volum V codzo stadard, l trm 0 è molto pccolo d lvll rsultrao molto vc tra loro. Elttroca a.a

28 prm lvll rgtc d ua partclla lbra cofata u cubo d lato L molto pccolo: Lvll rgtc d ua partclla lbra cofata u cubo d lato L grad: = 9 0 = 6 0 d = 3 0 = 0 I qusto scodo caso possamo cosdrar ch la var modo pratcamt cotuo qud valutar, vc dlla dgrazo g dll -smo lvllo, la fuzo g() dscrvt la dgrazo tra valor d + d. Z g Z 0 K B T g( ) d Elttroca a.a

29 Valutazo dlla fuzo d dgrazo g() z z h 8 ( x y z ml ) Cosdramo lo spazo rapprstatvo dll tr d umr x, y, z tr. Tutt put sulla suprfc dlla sfra d raggo: x Esplctado: z 8mL h x y z y L h soo carattrzzat dallo stsso valor d rga: m h 8mL S cosdramo sol umr postv x, y, z tr s tratta d cosdrar ua porzo d 1/8 dlla sfra total. Elttroca a.a

30 Cosdro dapprma l umro d stat prmss lla sfra d raggo z N Porzo postv L ( ) z z h ( m ) 3/ ( m ) 3/ 4V 3 3h Volum sfra d raggo z Numro d stat dtro la porzo d sfra: L m h V N( ) h V 3/ 3 V dn( ) 4 m d 3 3 h h ( m ) 3/ Dffrzado: ( ) ( m) d 3 4 V 3 o ach: dn( ) ( m ) d h 3 1/ 3 V L 3/ 4 V g( ) m 3 h 3 ( ) 1/ Numro d valor prmss d rga tra d + d Elttroca a.a

31 Ottamo la sgut fuzo d partzo: S può dmostrar ch l tgral è: I 0 Z / 4V K B T ( 3 m ) h 3 d 1 1/ 0 ( K T ) 3 B / KT d da cu: U Z 4V ( 3) m 1/ 1 ( ) 3 h 3 l Z l B KNT d dt 3 ( K T ) C K B 3 1 T T ( l Z ) KNT KNT RT 3 3 Abbamo qud ottuto l sprsso dll rga tra dl gas dal fuzo dlla tmpratura assoluta. Elttroca a.a

32 Il umro d partcll ch all qulbro hao rga tra d + d pr l gas dal è qud dato da: d d N Z KT g N Z 4V m 3 h 1/ ( ) ( ) KT Z 4V Utlzzado l sprsso d Z: ( ) ( ) 3 3 m 3 h 3 1/ 1 K B T formula d Maxwll pr la dstrbuzo dll rga L ara ombrggata mostra l umro d partcll co rga supror ad E a d d N 3/ ( KT ) KT Elttroca a.a

33 Passamo alla dstrbuzo dlla vloctà co: 1 mv 3/ mv KT d d d d m mv 4N v dv d dv d KT Elttroca a.a

34 OSSERVAZIONE: Etropa Probabltà Dal puto d vsta statstco la dfzo d tropa è : Equazo dll tropa d Boltzma S KB lw W è la moltplctà dll possbl cofgurazo co cu l N partcll dl sstma s dstrbuscoo lla partcolar partzo (mcrostato) ch corrspod allo stato dl sstma (macrostato). S W soo lgat da fuzo logartmca prché, s cosdramo l smpo d du sstm, l tropa total è la somma dll sgol trop, mtr l umro dll cofgurazo possbl (probabltà) d du sstm dpdt è par al prodotto dll loro moltplctà. Ossrvamo ch l voluzo spotaa d u sstma solato vrso stat d maggor tropa corrspod alla sua tdza a portars llo stato ch ha maggor probabltà trmodamca. Il macrostato cu è assocato l maggor umro d mcrostat, macrostato pu probabl, v chamato STATO DI EQUILIBRIO. qud l Elttroca a.a

35 1 W Etropa (10-3 J/K) I II III IV V VI VII Rfrdos all smpo 1 Ua scatola co part adabatch ch cot s molcol dtch d u gas. I bas alla lgg d Boltzma rcavamo l valor dll tropa d cascua cofgurazo. Utlzzamo la statstca d Maxwll Boltzma pr calcolar l moltplctà d cofgurazo. W S N! 1!! KB lw Caso pù probabl: tropa massma Elttroca a.a

36 Pù gral calcolamo ora l aumto d tropa d mol d gas dal ch raddoppao l loro volum durat u spaso lbra. Utlzzamo sa la trmodamca statstca ch la dfzo data dal torma d Clausus vrfchamo ch dao stsso rsultato. zo f Sa N l umro dll molcol dl gas. L moltplctà dgl stat zal fal soo: W zo N!! 1 N! 1! N!0! L tropa d du stat è: S zo K B lw 1 0 W f S f N! N! 1!! N N!! N KBl N! l! Elttroca a.a

37 Rcordado la formula d Strlg: l N! N l N l N Ottamo: S K N l Qud : S Rl f Utlzzamo ora la dfzo d tropa data dall tgral : B S S B S A B A Q T Nlla trasformazo l part soo adabatch o c è scambo d calor co l ambt, oltr o c è lavoro prché o abbamo prsza d part mobl, ma solo u stto dvsoro tra l du mtà dl rcpt, ch v rmosso al momto dll spaso lbra. Pr l prmo prcpo dlla trmodamca: Q = 0; W = 0 U = 0 T zo = T f = T. L spaso lbra è ua trasformazo rrvrsbl, dvo qud cosdrar, pr l calcolo d S, ua trasformazo rvrsbl ch abba stss stat fal d zal. Sclgo d utlzzar ua trasformazo co T = costat, dov qud Q = W. Prvamo al rsultato: B B B Q W pdv RdV V B S R l R l T T T V V A rv A A B A Elttroca a.a A rv

38 Assuzo: Dstrbuzo d Frm Drac 1. Partcll dtch INDISTINGUIBILI. L partcll obbdscoo al prcpo d scluso d Paul (o possoo avr stss umr quatc) Dtrmo l umro dll dstrbuzo dstgubl d partcll tra lvll dgr g. Erco Frm Paul Adr Maurc Drac Elttroca a.a

39 Moltplctà dlla dstrbuzo La prma partclla può ssr dsposta uo qualuqu d g stat, la scoda può ssr dsposta g -1, la trza g - così va fo a g I qusto modo prò cosdro dstt l dstrbuzo ch s ottgoo prmutado l partcll tra loro, cosa ch o posso far s l partcll soo tra loro dstgubl. Così dvo dvdr pr 1! g1( g1 1)( g1 )...( g1 1 1) g1! W1 1! 1!( g1 1 )! Nl total: W FD s 1 g!!( g )! Dstrbuzo d Frm-Drac Elttroca a.a

40 Dtrmazo dlla dstrbuzo pù probabl all qulbro Com pr la statstca d Maxwll Boltzma assumamo ch all qulbro statstco l partcll sao dspost lla cofgurazo d probabltà massma d mpoamo: d(lp) = 0. l( P ) g l g l ( g )l( g ) FD ( l( P )) l l( g ) d 0 d FD Poché l sstma è chuso d solato: d dn 0 du d 0 Usado moltplcator d Lagrag: g Ch dv: a l l( g a g ) a 1 0 Elttroca a.a

41 Acora, s può porr: k B 1T Mtr l paramtro a, dtrmato dalla codzo : N lla dstrbuzo d Frm-Drac v sprsso tramt u paramtro dtto rga d Frm scodo la rlazo: F a k B T Elttroca a.a

42 Dstrbuzo d Frm Drac all qulbro ( )/ k T F g B 1 Adamto dlla dstrbuzo d Frm Drac pr var tmpratur /g T =0 T mda T alta F Elttroca a.a

43 Erga d Frm F, potzal chmco potzal lttrochmco L rga d Frm F è l rga pr la qual, alla tmpratura dllo zro assoluto (T = 0 ) s ha l grado dlla dstrbuzo, è l valor d sparazo tra gl stat occupat gl stat lbr. F = 1 < F F = 0 > F F 1 0 T 0 F Pr tmpratur o ull, s utlzza l coctto d potzal chmco, rga alla qual la probabltà d occupazo dllo stato è par a ½: F() = ½ 1 F( ) ( ) / T Pr T = 0 cocd co l lvllo d Frm. Pr T 0 l μ = ε F [1 π potzal chmco è fuzo dlla tmpratura: 1 ε F I gral, prma approssmazo s può trascurar la dffrza tra F. Ioltr, spsso s può trascurar l + 1 a domator ( sstma rarfatto ()/g() << 1 ) pr smpo l caso dgl lttro al mmo dlla bada d coduzo c pr smcoduttor o dgr. Allora l sprsso è: N c (T)= dstà ffttva dgl stat al mmo dlla bada d coduzo N c ( T ) k B KT ( ) / k B 1 T ] Elttroca a.a

44 Matral dvrs* a cotatto tra loro all qulbro trmco Nl caso d sstma aprto la rlazo trmodamca : TdS = du + pdv s std alla: TdS = du + pdv gdn dov gdn rapprsta l lavoro chmco computo pr varar l umro d partcll dl sstma d dn, g = potzal chmco. I matral sold all qulbro trmco soo carattrzzat da T V costat. I tal caso è utl cosdrar la fuzo d stato Hlmoltz: F = U - TS. Ifatt pr T V costat la varazo ftsma df è drttamt porporzoal a dn: df = du dts TdS = - SdT pdv + dn = dn. S l sstma è chuso ma è composto da du sottosstm ch s scambao partcll ( pr smpo ch fluscoo da l uo all altro dn = - dn 1 ): df = 1 dn 1 + dn = ( 1 )dn df All qulbro: = 0 dn 1 potzal chmco. prcò du matral a cotatto hao stsso Elttroca a.a

45 Altr smp d sstma all qulbro composto da pù matral a cotatto ch tra loro scambao partcll Tpo p Tpo x c. Itrfacca mtallo / smcoduttor (barrra Schottky cotatto ohmco) v 3. trasstor p, pp Mara Bruzz Lzo Fsca dllo Stato Soldo Laura Magstral Iggra Elttroca a.a.15-16

46 Cosdramo u sstma chuso composto da pu matral a cotatto ch tra loro scambao partcll (.g. lttro d coduzo) prsza d u gradt d potzal lttrco (.g. l potzal d bult- lla guzo p ). La rlazo ch sprm prmo scodo prcpo dlla trmodamca: TdS = du + pdv pr sstm chus pr uo d matral a cotatto: TdS = du + pdv dn fdq co: = potzal chmco; dn = lavoro computo pr varar d dn l umro d partcll dl sstma; f = potzal lttrostatco; dq = varazo ftsma d carca lttrca, (.g. pr coduzo d lttro dq = -dn); fdq = lavoro computo pr varar d dq la carca dl sstma; I matral sold all qulbro trmco soo carattrzzat da T V costat. I tal caso è utl cosdrar la fuzo d stato Hlmoltz: F = U - TS. Ifatt pr T V costat la varazo ftsma df è drttamt porporzoal a dn: = potzal lttrochmco. Il potzal lttrochmco df = du dts TdS = - SdT pdv + ( f) dn = dn. Elttroca a.a

47 Cosdramo pr smpo ua guzo p. Il sstma d du smcoduttor dvrsamt drogat s può vdr com composto da du sottosstm ch s scambao partcll modo ch ss fluscao da l uo all altro: dn = - dn 1. All qulbro è prst u potzal lttrostatco d bult- f ch vara lugo x. Poché : df = 1 dn 1 + dn = ( 1 )dn I codzo d qulbro: df dn = 0 1 qud du matral a cotatt all qulbro hao lo stsso potzal lttrochmco Tpo p Tpo c x La coctrazo d lttro bada d coduzo c vara sgudo l proflo dl potzal lugo l dspostvo, ssdo sprssa da: ( ) c N c ( T ) ( ) / k c B T N c ( T ) ( f ) / k c B T v Attzo: l sguto utlzzrmo l trm Erga d Frm F com somo d potzal chmco potzal lttrochmco, com lla maggor part d tst ch trattao dspostv a smcoduttor. Elttroca a.a

48 Dstrbuzo d Bos Est Assuzo: 1. Partcll dtch INDISTINGUIBILI.. No c soo lmt alla popolazo d cascu lvllo Satydraath N. Bos Albrt Est Elttroca a.a

49 Moltplctà dlla dstrbuzo Cosdro l lvllo com ua scatola co g pall colorat. g -1 pall r dvdoo la scatola g spaz cu possoo ssr srt l pall bach. I g spaz soo lvll dgr, l pall bach soo l partcll. Esmpo: = 16 pall bach cotut g = 9 lvll dgr ottut srdo g -1 = 8 pall r. Il umro d possbl prmutazo d +g -1 oggtt dstgubl è ( +g -1)! Pr partcll dstgubl dvo dvdr tal valor pr! (g -1)! Elttroca a.a

50 Pr l lvllo 1: Nl total: ( g 1)!!( 1)! W g 1 W BE s 1 ( g 1)!!( g 1)! Dstrbuzo d Bos Est Elttroca a.a

51 Dtrmazo dlla dstrbuzo pù probabl all qulbro Com pr la statstch prcdt assumamo ch all qulbro l partcll sao dspost lla cofgurazo d probabltà massma d mpoamo: d(lp) = 0. l( P BE ) ( g 1)l( g 1) l ( g 1)l( g ( l( P )) l( g 1) l d 0 d BE Poché l sstma è chuso d solato: d dn 0 du 1) d 0 Usado moltplcator d Lagrag: g Ch dv: a l l( g a g 1) a 1 0 Elttroca a.a

52 Lgg d dstrbuzo d Bos Est Adamto dlla dstrbuzo d Bos Est co la tmpratura a g 1 Il paramtro a, dtrmato dalla codzo : N lla dstrbuzo d Bos Est rma dcata com a. Acora, s può porr: k B 1T a / k T g B 1 Elttroca a.a

53 Esmpo: lgg dlla radazo d corpo ro d Plack La radazo d corpo ro può ssr dscrtta com u gas d foto ch o tragscoo tra loro ma solo co l part dlla cavtà. S tratta d boso (partcll dstgubl ch o obbdscoo al prcpo d scluso d Paul) qud da dscrvr co la statstca d Bos Est. Il umro d foto qusto caso o è costat, dato ch ss possoo ssr assorbt o mss dall part dlla cavtà, prcò la codzo dn = 0 dv ssr rmossa. Qusto sgfca ch l paramtro a o è cssaro a = 0. Trattamo com u cotuo l rga d foto lla cavtà, podo co = h: d g( ) d h / kbt 1 8V 3 c d / kbt 1 h g() = mod d oscllazo pr od l volum V co frquza l rag d ( pr l calcolo vdr ad smpo Aloso-F, vol. III, pag. 71 ) Elttroca a.a

54 ottamo qud lo spttro dlla radazo d corpo ro com dstà d rga pr utà d frquza dl gas d foto all qulbro trmco 3 h d 8h E( ) 3 / k h B V d c T 1 Elttroca a.a

55 Cofroto tra l tr dstrbuzo Boltzma Bos Frm Elttroca a.a

56 Cofroto dll tr statstch l rag 0-5kT (a = 0). - Pr stssa rga f BE ( boso ) > f B ( classca ) l ch rfltt la maggor probabltà dscussa sld 8, f FD è mor sa d f B ch f BE com cosguza dl prcpo d scluso. - Pr E >>KT (probabltà ch ua partclla occup uo stato d rga E >> KT molto mor d 1) l f BE f FD soo molto sml alla f B. Elttroca a.a

57 Ossrvamo f ch l tr statstch possoo ssr rscrtt sm co sprsso: g a / k d B T co d = 0 pr la M-B, -1 pr la F-D, +1 pr la B-E. Pr /g <<1, coè pr sstm molto rarfatt, ad smpo pr alt tmpratur, l du statstch quatstch soo quvalt a qulla classca d Maxwll Boltzma. Elttroca a.a