Lezione 3 Cenni di meccanica statistica classica e quantistica

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1 Lezoe Ce d meccaca statstca classca e quatstca Fsca dello Stato Soldo Fsca per la boeera Lezoe. Ce d meccaca statstca classca e quatstca- M. Bruzz Laurea mastrale Ieera Elettroca

2 Itroduzoe Volamo estedere cocett trodott meccaca a sstem compost da u umero molto elevato d partcelle, qual ad esempo as deal che a pressoe e temperatura stadard rsultao compost tpcamete da crca 0 0 atom/molecole. Sappamo che la meccaca s foda su alcu prcp eeral, qual la coservazoe dell'eera, della quattà d moto e del mometo aolare, applcabl al moto d ua o pù partcelle teraet. Nella meccaca statstca quest prcp veoo estes a sstem d molte partcelle modo da otteere propretà collettve valde a lvello macroscopco, qual la temperatura e la pressoe, modo che o sa ecessaro cosderare dvdualmete l moto d cascua partcella. Vedremo che, oltre a o essere pratcamete possble, rsulta fatt ache o ecessaro seure l moto d tutte queste partcelle per dervare le propretà macroscopche del sstema. Il puto d parteza dell'aals statstca è l cocetto d probabltà d ua dstrbuzoe, vale a dre la probabltà che le partcelle s trovo ua partcolare dstrbuzoe tra tat possbl stat damc cu esse possoo trovars. Elettroca

3 Cosderamo u sstema composto da u rade umero d partcelle, N. O partcella può assumere u valore d eera ε, ε, ε,.. quest lvell eeretc possoo essere quatzzat, coè multpl d u valore fto, oppure possoo descrvere u domo d valor cotuo. I u state t eerco le partcelle sao dstrbute tra var stat eeretc così che partcelle s trovao ello stato caratterzzato dall'eera ε, quello a eera ε e così va. Il umero totale d partcelle e l'eera totale del sstema s scrvoo : N U t umero totale partcelle ε eera tera totale del sstema Dcamo che l sstema è chuso se l umero d partcelle N è costate el tempo. Ioltre, se l sstema è solato, la sua eera totale è costate el tempo. Elettroca

4 Equlbro statstco E raoevole pesare che per o sstema fsco cosderato, v sa ua partcolare dstrbuzoe delle N partcelle e var ε che sa pù probable delle altre. Quado l sstema s trova ad assumere la dstrbuzoe pù probable dcamo che ha rauto l'equlbro statstco. Ua volta rauta la codzoe d equlbro statstco l sstema fluttuerà toro ad esso seza che s osservo cambamet elle sue propretà macroscopche e se e allotaerà solo seuto all'applcazoe d ua forza estera. Probabltà d ua dstrbuzoe Per determare la probabltà d ua dstrbuzoe d N partcelle el stat ε devo calcolare l umero d cofurazo possbl co cu tale dstrbuzoe s può otteere. Nel seuto assumeremo che la probabltà d otteere ua partcolare partzoe delle partcelle el stat dspobl sa proporzoale alla molteplctà d tale dstrbuzoe. Elettroca 4

5 Caso classco: Dstrbuzoe d Maxwell - Boltzma Per otteere la dstrbuzoe pù probable occorre partre da alcue assuzo plausbl sul sstema da aalzzare: la lee d dstrbuzoe che e derva dpede ovvamete dalle assuzo fatte. Aalzzeremo zalmete la statstca meccaca classca svluppata da Stefa Boltzma ( ), James C. Maxwell (8-879) ad Josa W. Gbbs (89-90) tra la fe del 800 e l z del 900. James Clerk Maxwell Ludw Boltzma Elettroca 5

6 Per otteere la lee d dstrbuzoe d Maxwell-Boltzma cosderamo u sstema composto da u rade umero d partcelle detche e dstubl. Cosderamo ua partcolare partzoe delle N partcelle el stat ε co..s, come fura, dove o lvello eeretco è rappresetato da ua lea ell'orde d eera crescete. ε ε 4 ε ε ε Elettroca 6

7 Molteplctà del lvello Parto co l sermeto d partcelle el lvello ε. Scelo la prma partcella: v soo N mod per farlo. Po predo la secoda, v soo N- mod per scelerla. Per la terza mod soo N-, per l ultma mod soo N- +. Percò mod co cu possoo essere scelte le partcelle dello stato ad eera ε soo: ' W N ( N )( N )...( N + ) N! ( N )! Così abbamo cosderato come dsposzoe dversa o sequeza separata cu le partcelle potrebbero essere scelte. Tuttava a o serve sapere solo qual partcelle scelamo, o che sequeza appaoo. Percò dobbamo dvdere per l umero d sequeze dverse cu oett possoo essere dspost, coè! W N!!( N )! Lezoe. Ce d meccaca statstca classca e quatstca - M. Bruzz Laurea mastrale Ieera Elettroca 7

8 N 5, 4 5 Esempo 5! W 0!! Soo state cosderate detche le dverse sequeze delle stesse partcelle:! 6. Per l caso : Elettroca 8

9 Per l lvello ε : Molteplctà della dstrbuzoe W ( N )!!( N )! Perchè solo N - partcelle rmaoo lbere d essere scelte. Aaloamete per l terzo lvello: W ( N )!!( N )! Il umero d mod d dstrbure le N partcelle el s stat è percò W N! ( N )! ( N... )!... s!( N )!!( N )!!( N... )! s N! W!!!...! s s Elettroca 9

10 Cosderamo ua scatola co paret adabatche che cotea se molecole detche d u as. I qualsas state o molecola può trovars ella metà d destra o quella d sstra della scatola co uuale probabltà. Il umero d possbl cofurazo è 7, cascua co ua molteplctà data dal umero totale de mcrostat possbl che mostrao tale cofurazoe. I base alla lee d Boltzma rcavamo l valore dell etropa d cascua cofurazoe. Utlzzamo la statstca d Maxwell Boltzma per calcolare le molteplctà d cofurazoe: W Esempo N!!!! Molteplctà massma > Cofurazoe pù probable W I 6 0 II 5 6 III 4 5 IV 0 V 4 5 VI 5 6 VII 0 6 Elettroca 0

11 Deeerazoe dello stato -esmo Osservamo che questo calcolo abbamo cosderato che o cofurazoe abba la stessa probabltà trseca d accadere ( o partcella poteva trovars ella metà d sstra o ella metà d destra della scatola co uuale probabltà). Questa codzoe o è sempre verfcata. Per teere coto della possbltà che l stat posseao probabltà trseche dverse s troduce u fattore detto deeerazoe dello stato -esmo. Se è la probabltà d trovare la partcella ello stato -esmo, la probabltà d trovare due el medesmo stato è e la probabltà d trovare è. W MB s N!! Dstrbuzoe d Maxwell Boltzma Elettroca

12 I lvello II lvello III lvello Esempo : u solo stato eeretco che corrspode a tre lvell d stessa eera. I esso posso dstrbure partcelle 7 mod dvers, : 7 N W 7 I lvello II lvello III lvello Elettroca

13 Determazoe della dstrbuzoe pù probable all equlbro All equlbro le partcelle soo dsposte ella cofurazoe d probabltà massma. I queste codzo a pccole varazo d del umero delle partcelle ello stato -esmo deve corrspodere u dfferezale ullo della radezza P: dp 0. Matematcamete, s prefersce mporre: d(lp) 0. l( P MB ) l + l + l +... l(!) l(!) l(!)... Usado la formula d Strl: l( x!) x l( x) x Assumedo che,, sao rad umer, otteamo: l( P MB ) l + l + l +... ( l( ) ) ( l( ) ) ( l( ) ) l( ) l( ) l( )... + ( ) N l( ) Elettroca

14 d Impoamo: l( ) d d l( ( l P) d l( ) 0 ) d l( ) d dn d ( ) d l( Poché l sstema è chuso ed solato, qud è ecessaro mporre: N costate ed U costate : 0 ; Per mporre queste tre codzo cotemporaeamete s utlzza l metodo de moltplcator d Larae: s troducoo due parametr, per ora determat, α e β, tal che vala la relazoe complessva: du ) d ε 0 d Per o. La codzoe d equlbro dvee: α + βε + l( ) d 0 α + βε + l( ) e α βε 0 Elettroca 4

15 ESEMPIO U sstema è composto da N 4000 partcelle che s possoo dsporre e lvell eeretc ε0, εε e ε ε tutt co stessa deeerazoe : Cofrotamo le molteplctà relatve due cas. Nel prmo la partzoe sa caratterzzata da 000; 700 e 00. La secoda è otteuta mmaado d trasferre due partcelle dal lvello termedo ua a quello pù basso e l altra a quello pù alto. W ! 000! 700!00! 00 W ! 00! 698!0! 0 W W 000! 700!00! 00! 698!0! l semplce trasfermeto d due partcelle da uo stato camba la probabltà ad u valore quas cque volte superore! Questo sfca che le due partzo soo lotae dall equlbro. 4.8 Elettroca 5

16 Calcolamo la partzoe d equlbro per la dstrbuzoe. e α βε e e e α α βε α βε Eera totale del sstema: U 000x xε + 600ε 00ε All equlbro deve valere: e α + e ( x + x ε + ε 00 α βε ) ε α + βε e e βε co Ioltre l sstema è chuso qud: e α + e α βε ( + x + x + e ) + + α βε 4000 x N 4000 Elettroca 6

17 ( + x + x ) 4000 ( x + x ) 00 47x + 7x 0 x Cofurazoe d equlbro: Rpetamo ora l eserczo precedete: spostamo due partcelle dal lvello Itermedo e poszoamole ua sul lvello ferore e ua su quello superore: W ' ! 4000! W ' 77! 46!577! 78! 44!578! 578 W W ' ' 77! 46!577! ! 44!578! Le probabltà de due cas soo qud ora essezalmete le stesse: all equlbro fatt pccol cambamet e valor d o portao apprezzabl cambamet ella probabltà. Elettroca 7

18 Parametr fsc assocat a moltplcator d Larae I due term α e β soo leat al sstema fsco cosderato. I partcolare, s può esprmere α fuzoe del umero totale d partcelle N. Poché: N α βε α βε e e e trodotto l terme Z detto fuzoe d partzoe del sstema: Z e βε Rscrvamo: e N Z N Z α e qud: βε e Che è l espressoe della lee d dstrbuzoe d Maxwell-Boltzma all equlbro. Elettroca 8

19 Cosderamo la relazoe tra parametro β ed eera totale del sstema: U N Z βε ε ε e N Z d dβ ( βε ) Allora: U e N Z co dz N dβ Z e βε d l Z dβ Qud U dpede dalla fuzoe d partzoe del sstema Z ed è fuzoe del parametro β, che a sua volta può essere utlzzato per caratterzzare l eera tera del sstema. S prefersce vece defre l parametro T, temperatura assoluta, tale che: K B T Co k B Costate d Boltzma.8x0 - J/K 8.67x0-5 ev/k Tale relazoe costtusce la defzoe statstca d temperatura assoluta β Elettroca 9

20 Notamo che tale defzoe d temperatura è valda solo all equlbro, poché β è stato trodotto durate l calcolo della partzoe pù probable. Otteamo: U N d l Z KNT dβ d dt ( l Z ) Determamo ora la fuzoe d partzoe Z el caso del as deale, dove l eera è solo cetca traslazoale: ε mv Dobbamo prmo luoo determare la deeerazoe del stat eeretc permess. Elettroca 0

21 Calcolo d (ε) per u as deale u recpete chuso d volume V Cosderamo u as composto da u umero N molto rade d partcelle, coteuto u recpete cubco d lato L. L eera d o partcella è: p p x y p ε mv z x + mvy + mvz + + m m m Abbamo vsto che è possble assocare ad o partcella ella scatola u oda, utlzzado la relazoe d de Brole: h La codzoe perchè la partcella sa el recpete è che essa corrspoda ad u oda stazoara e qud che: L λ o ache p L h co tero per x,y,z h x y z ε 8mL ( + + ) L eera rsulta quatzzata Tutt l stat co stesso x + y + z corrspodoo alla stessa eera: ess s dcoo percò STATI DEGENERI. λ p Elettroca

22 Determamo prm lvell eeretc e la rspettva deeerazoe per ua partcella lbera cofata u cubo d lato L: h h x y z + + ε 0 ε + + ( ) 8mL ( ) ε co: 0 x y z 8mL Gl stat d stessa eera e la relatva deeerazoe soo dcat ella tabella: I lvell eeretc permess rsultao dstat tra loro della quattà : h ε 0 8mL Se le partcelle s trovao cofate u recpete molto pccolo l terme ε 0 avrà u valore tale che lvell rsulterao be dstazat tra loro, se vece l recpete è rade, come el caso d u as deale d volume V codzo stadard, l terme ε 0 è molto pccolo ed lvell rsulterao molto vc tra loro. Elettroca

23 prm lvell eeretc d ua partcella lbera cofata u cubo d lato L molto pccolo: Lvell eeretc d ua partcella lbera cofata u cubo d lato L rade: ε 9ε 0 ε 6ε 0 dε ε ε 0 ε 0 I questo secodo caso possamo cosderare che la ε var modo pratcamete cotuo e qud valutare, vece della deeerazoe dell -esmo lvello, la fuzoe (ε) descrvete la deeerazoe tra valor ε ed ε + dε. Z βε e Z 0 ε K B T ( ε ) e dε Elettroca

24 Valutazoe della fuzoe d deeerazoe (ε) z ζ 4 h ε 8 ( x + y + z ml ) Cosderamo lo spazo rappresetatvo delle tere d umer x, y, z ter. Tutt put sulla superfce della sfera d rao: x Esplctado: ζ 8mL ε h ξ x + y + z y L h soo caratterzzat dallo stesso valore d eera: mε h ξ ε 8mL Se cosderamo sol umer postv x, y, z ter s tratta d cosderare ua porzoe d /8 della sfera totale. Elettroca 4

25 Cosdero dapprma l umero d stat permess ella sfera d rao ζ N Porzoe postv 4 π π L ( ε ) π ζ ζ ε h ( m ) / ( m ) / 4πV ε h Volume sfera d rao ζ Numero d stat detro la porzoe d sfera: L ξ mε h π V N ( ε ) 4 ε h π V / V dn( ε ) 4 m ε dε π h h ( m ) / V L Dfferezado: ( ) ( ) ε ε dn( ) 4π V o ache: ε ( ) ε ε h m / d m / d 4π V ( ε ) m h ( ) / ε Numero d valor permess d eera tra ε ed ε + dε Elettroca 5

26 ( 4πV m ) Otteamo la seuete fuzoe d partzoe: S può dmostrare che l terale è: I 0 Z ε e ε / K B T h dε / π 0 ε e ( K T ) B ε / KT dε da cu: U Z 4πV ( ) m / ( ) h l Z l B + KNT d dt ( K T ) C π K B T T ( l Z ) KNT KNT RT Abbamo qud otteuto l espressoe dell eera tera del as deale fuzoe della temperatura assoluta. Elettroca 6

27 Il umero d partcelle che all equlbro hao eera tra ε ed ε + dε per l as deale è qud dato da: d dε N Z e ε KT N Z ε 4πV m h / ( ) ( ) KT ε e ε Z 4πV Utlzzado l espressoe d Z: ( ) ( ) formula d Maxwell per la dstrbuzoe dell eera m h / π K B T L area ombreata mostra l umero d partcelle co eera superore ad E a d dε πn / ( πkt ) e ε KT ε Elettroca 7

28 Passamo alla dstrbuzoe della veloctà co: ε mv / mv KT d d dε d m mv 4πN v e dv dε dv dε πkt Elettroca 8

29 Etropa e Probabltà Dal puto d vsta statstco la defzoe d etropa è: Equazoe dell etropa d Boltzma S K B lw W è la molteplctà delle possbl cofurazo co cu le N partcelle del sstema s dstrbuscoo ella partcolare partzoe (mcrostato) che corrspode allo stato del sstema (macrostato). S e W soo leat da fuzoe loartmca perché, se cosderamo l esempo d due sstem, l etropa totale è la somma delle sole etrope, metre l umero delle cofurazo possbl (probabltà) de due sstem dpedet è par al prodotto delle loro molteplctà. Osservamo che l evoluzoe spotaea d u sstema solato verso stat d maor etropa corrspode alla sua tedeza a portars ello stato che ha maor probabltà termodamca. Il macrostato cu è assocato l maor umero d mcrostat, macrostato pu probable, vee chamato STATO DI EQUILIBRIO. qud l Elettroca 9

30 W Etropa (0 - J/K) I Ua scatola co paret adabatche che cotee se molecole detche d u as. I base alla lee d Boltzma rcavamo l valore dell etropa d cascua cofurazoe. Utlzzamo la statstca d Maxwell Boltzma per calcolare le molteplctà d cofurazoe. II III IV 0 4. V VI VII Rferedos all esempo W S N!!! K B lw Caso pù probable: etropa massma Elettroca 0

31 Pù eerale calcolamo ora l aumeto d etropa d mol d as deale che raddoppao l loro volume durate u espasoe lbera. Utlzzamo sa la termodamca statstca che la defzoe data dal teorema d Clausus e verfchamo che dao stesso rsultato. zo fe Sa N l umero delle molecole del as. Le molteplctà del stat zale e fale soo: W zo N!! N!! N!0! L etropa de due stat è: S zo K lw 0 B N! N! W fe!! N N!! S fe N K B l N! l! Elettroca

32 Rcordado la formula d Strl: l N! N l N l N Otteamo: S K N l Qud : S R l fe Utlzzamo ora la defzoe d etropa data dall terale : B S S B S A B A δq T Utlzzamo ora l espressoe d Clausus. Poché ella trasformazoe le paret soo adabatche o c è scambo d calore co l ambete, oltre o c è lavoro perché o abbamo preseza d paret mobl, ma solo u setto dvsoro tra le due metà del recpete, che vee rmosso al mometo dell espasoe lbera. Per l prmo prcpo della termodamca qud: poché Q 0 e W 0, abbamo U 0 e percò: T zo T fe T. L espasoe lbera è ua trasformazoe rreversble, devo qud cosderare, per l calcolo d S, ua trasformazoe reversble che abba stess stat fale ed zale. Scelo d utlzzare ua trasformazoe co T costate, dove qud Q W. Perveamo al rsultato: B B B δq δw pdv RdV V B S R l R l T T T V V A rev A A B A Elettroca A rev

33 Assuzo: Dstrbuzoe d Ferm Drac. Le partcelle obbedscoo al prcpo d esclusoe d Paul (sp sem-tero, o possoo avere stess umer quatc). Partcelle INDISTINGUIBILI. Dscede dal prcpo d determazoe d Heseber, pochè o possoo essere determate precsamete le loro traettore Determo l umero delle dstrbuzo dstubl d partcelle tra lvell deeer. Elettroca

34 La prma partcella può essere dsposta uo qualuque de stat, la secoda può essere dsposta -, la terza - e così va fo a - +. I questo modo però cosdero dstte le dstrbuzo che s otteoo permutado le partcelle tra loro, cosa che o posso fare se le partcelle soo tra loro dstubl. Così devo dvdere per! ( )( )...( + )! W!!( )! Nel totale: Erco Ferm W FD s!!( )! Dstrbuzoe d Ferm-Drac Paul Adre Maurce Drac Elettroca 4

35 Determazoe della dstrbuzoe pù probable all equlbro Come per la statstca d Maxwell Boltzma assumamo che all equlbro statstco le partcelle sao dsposte ella cofurazoe d probabltà massma ed mpoamo: d(lp) 0. [ l l ( )l( ] l( P ) ) FD ( l( P )) [ l l( )] d 0 d FD Poché l sstema è chuso ed solato: d d dn 0 du 0 Usado moltplcator d Larae: l l( ) e Che dvee: α βε α + βε e + α βε ε Elettroca 5

36 Acora, s può porre: β k B T Metre l parametro α, determato dalla codzoe : N ella dstrbuzoe d Ferm-Drac vee espresso tramte u parametro detto eera d Ferm secodo la relazoe: ε F α k B T Elettroca 6

37 Dstrbuzoe d Ferm Drac all equlbro ( ε ε )/ k T e F B + Adameto della dstrbuzoe d Ferm Drac per vare temperature / T 0 T meda T alta ε F Elettroca 7

38 Assuzo: Dstrbuzoe d Bose Este. No c soo lmt alla popolazoe d cascu lvello. Partcelle INDISTINGUIBILI. Cosdero l lvello ε come ua scatola co + - palle colorate. - palle ere dvdoo la scatola spaz cu possoo essere serte le palle bache. I spaz soo lvell deeer, le palle bache soo le partcelle. Esempo: 6 palle bache coteute 9 lvell deeer otteut seredo - 8 palle ere. Il umero d possbl permutazo d + - oett dstubl è ( + -)! Per partcelle dstubl devo dvdere tale valore per! e ( -)! Elettroca 8

39 Per l lvello : W ( + )!!( )! Nel totale: W BE s ( + )!!( )! Dstrbuzoe d Bose Este Satyedraath N. Bose Albert Este Elettroca 9

40 Determazoe della dstrbuzoe pù probable all equlbro Come per la statstche precedet assumamo che all equlbro le partcelle sao dsposte ella cofurazoe d probabltà massma ed mpoamo: d(lp) 0. l( P BE ) [( + )l( + ) l ( )l( ) ] ( l( P )) [ l( + ) + l ] d 0 d BE Poché l sstema è chuso ed solato: d dn 0 du 0 d Usado moltplcator d Larae: l l( + ) e Che dvee: α βε α + βε e α βε ε Elettroca 40

41 Lee d dstrbuzoe d Bose Este Adameto della dstrbuzoe d Bose Este co la temperatura α + βε e Il parametro α, determato dalla codzoe : ella dstrbuzoe d Bose Este rmae dcata come α. Acora, s può porre: β N k B T α + ε / k T e B Elettroca 4

42 Osservamo fe che le tre statstche possoo essere rscrtte seme co espressoe: α +ε / k + d e B T co d 0 per la M-B, - per la F-D, + per la B-E. Per / <<, coè per sstem molto rarefatt, ad esempo per alte temperature, le due statstche quatstche soo equvalet a quella classca d Maxwell Boltzma. Elettroca 4

43 Boltzma Bose Ferm 6/F06_Chap_Lect_7_8.pdf 4