ESERCIZI DI MECCANICA QUANTISTICA

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1 SRCIZI DI MCCANICA QUANISICA B.Buoaura : ISIS ALBRINI NOLA (NA) & GSF-AIF srzo 6 ( Prpo d Corrspodza: Rgh Spttral) Sodo M. Jammr << C è stata raramt lla stora dlla Fsa ua tora h abba dovuto tato ad u prpo quato la Maa Quatsta ha dovuto al Prpo d Corrspodza >>. Cò è ofrmato ah da Bohr << L tro apparato dlla MQ può ssr osdrato ua formulazo prsa d quato potzalmt è otuto l Prpo d Corrspodza >>, da Hsbrg h srv << Pr la drvazo dllo shma matmato dlla tora quatsta soo dspobl du fot: fatt sprmtal d l prpo d orrspodza h postula ua dttaglata aaloga fra tora quatsta la tora lassa. >>, f da Bor l qual affrma << Jorda d o vdvamo lla MQ ostra d Dra u applazo dl Prpo d Corrspodza >>. U modo d uar l Prpo d Corrspodza ( PdC) è l sgut: l rsultato d ua tora quatsta s avva tato pù al rsultato lasso quato pù grad è l umro quato. Nl problma 0 abbamo mostrato propro u smpo dl PDC, rlatvamt all atomo d Bohr, h utlzzava l prdt uato; tuttava l mglor modo d rdrs oto osa sa l PDC vdrlo applato. Ch osa sa sattamt l PdC lo s s aprà mglo sgudo prossm srz, tuttava, l PdC è trato sul rapporto fra la vha tora (maa d lttromagtsmo lasso), adguata da suprar, la uova tora ostruzo (maa quatsta). I qusto srzo s prdrà osdrazo l tstà dll rgh spttral mss a sguto d ua traszo fra lvll rgt. I qusto aso, o sst ua formula mpra pr l tstà, tpo qulla d Balmr pr l frquz, h possa suggrr postulat su u basar la part maat dlla tora. Il puto d partza è smpr la fsa lassa. Sa xt è la poszo dlla ara osllat, l tstà I dlla radazo mssa è proporzoal al quadrato dll alrazo a d x t (approssmazo d dpolo, orrtta quado, om l aso dlla lu dt vsbl, la lughzza d oda 0-5 m è molto maggor dl raggo atomo r a 0-8 m): I 3 a 3. o a a dt valor mdo tmporal dll alrazo dlla ara. 0 è lo svluppo sr d Fourr dlla poszo dlla ara k k0 a) S xt C oskvt a la frquza d osllazo, dmostrar h l tstà I dlla radazo mssa è: I 3 k C 3 k 4 4 k b) Argomtar om, utlzzado l PdC ( propro qusto f Bohr), s può srvr l tstà dlla radazo mssa lla traszo dal lvllo al lvllo m.

2 Rsoluzo Lo studo dll frquz mss o bastava a Bohr. Ifatt, gl h rava, sulla bas dl PdC, ua tora omplta h foss ua atural gralzzazo dlla tora lassa. gl volva qud rsolvr l problma dll tstà dll rgh spttral, problma tutt altro h smpl; s ps h o sst ua formula mpra pr l tstà, tpo qulla d Balmr pr l frquz, h suggrsa ort postulat su u basar la part maat dlla tora. a) Rordamo h og atomo d Bohr mttva ua sola frquza, qud l sm d u gra umro d atom dvrs lvll d tazo, s omporta om u osllator aarmoo (osllator h omp u moto prodo (ma o susodal) d frquza ν b dfta ha poszo svluppabl sr d Fourr) h mtt tutt l frquz otmporaamt. S xt C oskvt a k k0 è la poszo d u osllator aarmoo o ara h omp u moto prodo d frquza ( qud d prodo = /), la sua alrazo è data da: d x t os a k C k t a k dt k la sommatora part da, mtr partva da 0 lla sprsso d x(t), qusto è u fftto dll oprazo d drvazo. Ora l quadrato dll alrazo dlla ara osllat rsulta ssr: 4 4 os os k k k k k k k C os k t a k ' C os ' k ' t a k k k k ' a k C k t a k C k t a ' ' k k kk Calolado l valor mdo l tmpo d a trovamo: Ora: 4 4 a a dt k C os k k t akdt 0 k k C C os ' k t a os k ' t a k k k k ' dt k k' 0 kk' os kt ak dt pr k 0 os os ' 0 k t ak k t ak ' dt pr kn ; k 0 k a k C 4 4 k k prtato l tstà dlla radazo mssa dall osllator aarmoo su tutt l frquz k è data da: I a k C k k

3 b) Dal rsultato ottuto s v h l otrbuto dlla radazo d frquza k all tstà I è ovvamt: I kv kv C k da u s vd h lassamt l quadrato dl offt C k dllo svluppo sr dlla poszo dlla ara osllat dtrma l'tstà dlla radazo mssa. S assumamo h la fsa lassa dtrma l orrtto omportamto dll proprtà dlla radazo l lmt d grad umr m k allora v è osso fra l ampzz dll vbrazo armoh C l probabltà d traszo fra stat o m k, h qusta osso sa d atura gral; prtato ah pr pol valor d, C è ua msura dlla probabltà d traszo. Qud, l tstà dll rgh mss è data da: I m v C m 3 m pr valor arbtrar (qud ah pol d d m ): << sbb qusta stma dvta tato pù rta quato pù pol soo valor d umr quat >>(Bohr). Bohr, fatt, ra osapvol dl fatto h qusta pots, sodo la qual la fsa lassa possa ssr usata pr l alolo dll tstà ah pr bass umr quat, o è lta prhé porta a rsultat rrat pr l frquz (vdr l oluso pr l atomo d drogo). u ttatvo fatto maaza d mglo! N.B. Aora ua volta, mtr è ammssa la valdtà dll lgg lassh dlla maa pr gl stat stazoar, o ammssa la valdtà dll lttrodama lassa. Ifatt, s foss valda l lttrodama lassa, ua ara lassa h s muov prodamt mttrbb u sstma d rgh o frquza lass k, tuttava l frquz ossrvat soo: m, J ' ( J ) h dov (J ) d (J) soo l rg d du lvll fra qual avv la traszo su qual paramtr azo (ar rahus dll trattor llo spazo dll fas dlla ara osllat) J J valgoo: J = h J =mh, o > m. S d m soo lvll molto v ( molto grad: m <0) rsulta: ( ) ( J ') ( J) ( J ' J) d J dj I gral (om vsto pr l atomo d Bohr, pr l osllator armoo,.): qud: d( J ) dj ( J ') ( J) ( m) h 3

4 qust ultmo rsultato srto l prdt dll frquz ossrvat prmtt d oludr:, m m I qusto lmt è osì rprodotta la stuazo lassa prhé v mssa la frquza fodamtal dl movmto mao d suo multpl tr ( m =k è postvo). Brv Bblografa: F. Sllr: Dsps d ISIUZIONI DI FISICA ORICA, Uvrstà d Bar, Laura Fsa, a.a. 00/00 4

5 SRCIZI DI MCCANICA QUANISICA B.Buoaura : ISIS ALBRINI NOLA (NA) & GSF-AIF srzo 7 ( Prpo d Corrspodza: st l probabltà d traszo) Qusto srzo mostra om utlzza st l Prpo d Corrspodza (PdC) pr ottr ua uova drvazo dlla formula dl Corpo Nro d Plak. Sa u gas a tmpratura osttuto da atom h possoo sstr gl stat stazoar rg rspttv,,...,.... L abbodaza dgl atom uo dgl stat, ad smpo S, è data da: W C S, S,... S,... o l o C ostat d ormalzzazo umro dgl stat o la stssa rga (dgrazo). La formula d W l può ssr drvata dal prpo d Boltzma oppur pr va puramt trmodama, ssa è l sprsso dlla gralzzazo pù omplta dlla lgg dlla dstrbuzo dll vlotà d Maxwll. st assum h la rlazo pr W l sa valda ah maa quatsta. Sao du stat gr S S, o rg. Og atomo è apa d ffttuar l traszo: S S o msso d rga S S o assorbmto d rga S assuma, o st, h: u,. La probabltà h qusto vto aada ll trvallo d tmpo dt è dw B uv, dt S : assorbmto d rga sotto l azo d ua radazo d dstà v S B 0. S S : msso d rga stmolata dall azo dlla radazo d dstà v o u,. La probabltà h qusto vto aada ll trvallo d tmpo dt è dw B uv, dt B 0. S S: msso spotaa d rga. La probabltà h qusto vto aada ll trvallo d tmpo dt è o A. dw' A dt o 0 Ifatt, Hrtz avva dmostrato h u osllator aro mtt rga, h sa solltato oppur o da u ampo stro (msso spotaa). S po l osllator è sottoposto all azo d u ampo stro prodo avt la stssa frquza (oda lttromagta), l moto dll osllator è amplfato, o msso d rga ( msso stmolata), oppur smorzato, o assorbmto d rga, dpddo ò dalla fas rlatva d movmt prod ampo. Aora ua volta v mo la valdtà dll lttrodama lassa, fatt, qust assuzo o soo ddubl matmatamt dall quazo d Maxwll, tuttava sprmoo trm probablst tr tp d trazo d Hrtz fra osllator lasso ampo lttromagto. Mostrar h la partolar fuzo v S S S S, è qulla d Plak: u, h lasa altrata la dstrbuzo W l,ah prsza d traszo 8 3 u, h 3 h 5

6 Rsoluzo Sa N tot l umro total d atom, s dn N W dw tot è l umro d atom h ompoo la traszo S S (assorbmto d rga sotto l azo d ua radazo d dstà v N W dw dw' rga stmolata dall azo dlla radazo d dstà v u, ) l tmpo dt S dn tot è l umro d atom h ompoo la traszo (msso d allora odzo d qulbro stazoaro: Prtato, lmado fattor N tot dt: p B u S u, msso spotaa d rga) l tmpo dt dn dn. v p A B uv,, Pohé l rga td ad qupartrs su var grad d lbrtà, s td all'fto l rga ta dgl atom (rga trma) ua frazo ostat d qusta rga s trasformrà radazo lttromagta qud ah v u, oè: prtato: qud possamo ravar: lm p B u v, lm p A B u v, p B p B u v, A B Usado uovamt l PdC s può assumr (o st) h la lgg d W (ottuta ombado l lttrodama lassa o la trmodama) sa applabl maa quatsta. Qud: ottdo: u v 3 v, v f A B v 3 hv o ostat. 6

7 If, smpr usado l Prpo d orrspodza, assumamo (o st) h pr 0 valga la lgg d Raylgh Jas qud u v, kv v v / 0 Cò prmtt falmt d srvr la formula d Plak: purhé h sa dtfata o la ostat d Plak. h u, h 3 h Qusto fodamtal rsultato d st (97) fu dsvo l gttar l bas dlla uova fsa quatsta, soprattutto prhé osdrazo strttamt probablsth vvao orgaamt trodott pr la prma volta lla fsa atoma. v Brv Bblografa: F. Sllr: Dsps d ISIUZIONI DI FISICA ORICA, Uvrstà d Bar, Laura Fsa, a.a. 00/00 7

8 SRCIZI DI MCCANICA QUANISICA B.Buoaura : ISIS ALBRINI NOLA (NA) & GSF-AIF srzo 8 (st d l alor spfo d sold) Nl 89 Dulog Ptt ossrvaroo sprmtalmt h alor spf tutt sold smpl (Cu, F, Al, S, ) avvao la stssa sprsso ugual a: d aalogamt pr ompost ( NaCl, AgCl, F, O 3 ) 3R 6alor/grad mol P V 3R P dov umro d atom dlla molola dl soldo d R =.987 alor/grad mol ostat uvrsal d gas. V Qusta lgg mpra trovò ua gustfazo tora solo l 87 graz all trprtazo statsta d Boltzma. a) U soldo, fatt, può ssr psato om osttuto da u sm d atom h osllao attoro alla loro poszo d qulbro. Utlzzado l torma lasso d qupartzo gustfar la lgg d Dulog Ptt. uttava, vrso la f dll'800 furoo dspobl strumt mzz t pr sprmtar a bassa tmpratura, s soprì h alor spf d tutt l sostaz msurat assumvao al dmur dlla tmpratura valor mor d qull rhst dalla rgola d Dulog Ptt, stablta a tmpratura ambt. Prtato, l problma dll zo alla rgola d Dulog Ptt su alor spf d sold assus u arattr toro pohé ra ollgato alla valdtà gral dl prpo d qupartzo dll'rga. st psò d utlzzar pr l'rga mda d u atomo l'sprsso quatsta d Plak ( srzo 4), v d qulla data dal prpo d qupartzo dll'rga. b) Nl modllo d st asu atomo dl soldo può ssr osdrato om u osllator armoo smpl h oslla attoro alla poszo d qulbro dov la sua rga potzal ha u mmo. utt gl atom dl soldo osllao o la stssa frquza. Ioltr asu atomo può vbrar ll 3 drzo spazal, qud l soldo, ott u umro total N d atom, è psato om u sm d 3N osllator armo. rovar l rga tra U dl soldo fuzo dlla sua tmpratura assoluta. ) rovar l sprsso pr l alor spfo dl soldo dado u sprsso pr l alt bass V tmpratur. d) rovar l sprsso pr l tropa dl soldo dado u sprsso pr l alt o l bass tmpratur. ) Mostrar h l frquz d osllazo tph pr u soldo soo: 0 Hz, prtato l modllo d soldo adottato è sgfatvo pr ua tmpratura 0 80 K Rsoluzo a) Nl aso d u osllator armoo udmsoal d massa m frquza ( prtato d pulsazo = ), l rga dll osllator, sprssa fuzo dll varabl q p = mdq/dt dllo spazo dll fas, è data da: ( q, p) p m q m 8

9 d ha ua dpdza quadrata dall oordat. Il torma d qupartzo dll rga (Ad og trm dll Hamltoaa d sgola ompot quadrato rsptto all oordat gralzzat ompt u rga mda par a / ) prmtt d srvr h l rga mda d og osllator a tmpratura : qud assmlado l soldo ad u sm d osllator armo trdmsoal, avrmo u'rga tra d ua mol dl soldo data da: U N N R o N A umro d Avogadro, k ostat d Boltzma, R = N A k ostat uvrsal d gas. Il alor spfo molar a volum ostat V è dato da: A A V U V 3R h è propro la lgg d Dulog Ptt. b) st psò d utlzzar pr l'rga mda d u atomo l'sprsso quatsta d Plak, v d qulla data dal prpo d qupartzo dll'rga prhé ovto h la lgg pr l'rga mda dll'osllator matral sa ua osguza dlla lgg d Plak dovuta all'qulbro damo h s staura tra radazo lttromagta rsoator matral. st ra ovto h ssta qusto qulbro damo tra ampo rsoator qud h ah portator d alor" dl soldo dbbao sgur l'aaloga dlla lgg dl orpo ro, qud prstar u alor spfo orrspodt. I prata s tutt gl atom dl soldo sambao rga pr quat allora st propos d sosttur ad l'sprsso ottuta da Plak: avdo osì: S ot h pr alt tmpratur h h h U 3N 3N A A h h rsulta al ord: h 3 h U N 3N 3 N ( h ) A h A A Da otar h lo svluppo dl prmo ord è stato omputo sulla rsrttura dll rga mda dll osllator l modo sgut: 9

10 h h h h h è u valor o orrspodt a qullo lasso, h prvd la sottrazo al valor aspttato dlla quattà hν/. Pohé l valor mdo dll rga dll osllator è prso dalla tora dl orpo ro d Plak, propro la omparsa dlla quattà, aspttata, hν/ ra stata rtata da Lortz. ato è vro, h pr rspodr all rth d Lortz, Plak (93) srss la ora dlla radazo trma lla qual ora l rga mda ra posta ugual a: h h h ò sgfava l osllator quatsto d Plak avva lvll rgt spostat tutt d ua quattà hν/. Qusto rsultato omportava h l rga sambata tra l osllator dlla avtà l ampo lttromagto lla avtà o è pù h, bsì: h ò vuol dr l lvllo rgto pù basso pr u osllator ha rga par a hν/. Cò o ra sfuggto ad st l sstza d qusta quattà addtva v da lu trprtata om l sgal dll'sstza d ua sorta d agtazo trma dtrmata quado la tmpratura td a zro.(n.b.: Il prpo d dtrmazo d Hsbrg fu stablto l 94, mtr l lavoro sa d Plak h qullo d st soo dl 93). Qud pr l rga tra total ora rsulta: h U 3N h A h L troduzo h/ ll sprsso dll rga mda dll osllator, omporta ora l aordo dll rga tra dl soldo o ò h s asptta lassamt ad alt tmpratur (da 300K), oè pr h : U N N R om ddotto a) fado uso dl lasso torma d qupartzo dll rga. h s ha: A bass tmpratur pr u: A h A h U 3N 3N h A A h La quattà h/ è ogg hamata rga d puto zro dll osllator. L troduzo d qusta quattà omporta ua rvso dll trprtazo dgl samb rgt d u osllator. Pohé h =, dmur sgfa dmur l umro d quat sambat, qud, prata, l rga dll osllator. uttava, a = 0K, l rga dll osllator, propro a ausa dl trm h/, o è ulla, é può ssr sambata dall osllator o l stro, prhé è ua utà frazoara d rga h, o tra. 0

11 qud: 0 lmu Allo zro assoluto l rga total dl soldo o è ulla!!!! 3 N h A =h/k. ) Il alor spfo molar a volum ostat V è dato da: U h h 3N h 3R V A h h V V s ot h l trm d rga d puto zro o flus su alolo d V prhé è u trm ostat ll oprazo d drvazo sompar. Ad alt tmpratur h è la lgg d Dulog Ptt. A bass tmpratur allo zro assoluto: h ( 300K) rsulta al ord: 3R h s ha: V 0 0 V h 3R V h h h lm lm 3R 0 st s lmtò a osdrar l aso d u'ua frquza d osllazo, qusto omportò ua otvol approssmazo la urva tora o fttava b dat sprmtal. h

12 Rusì v, oltr ad attrarr l'attzo d mot fs a qusto problma mostrado h, ad ua dtrmata tmpratura, var osllazo possoo o dar otrbut rsultar attv al f d dar otrbut al alor spfo h, omuqu, dovrbb tdr a zro allo zro assoluto. d) Pr rspodr al prst qusto, è ssaro prmttr alu ozo dfzo. Partll dth: partll h hao la stssa struttura omposzo. Partll dstgubl: partll, h pur ssdo dth, possoo ssr dstt pr mzzo d qualh spdt: partll o poszo spazal dvrsa; partll o vlotà dvrsa;. Marostato d u sstma: è dfto da u umro soltamt molto polo d paramtr trmodam, ad s. prsso, tmpratura, volum spfo, rga tra,. mrostato d u sstma (ompatbl o u marostato): stato dl sstma dsrtto spfado lo stato, partolar l lvllo rgto, d og ompot dl sstma. Ipots d dbol trazo: l ompot dl sstma tragsao dbolmt tra loro, modo da potr approssmar l rga total dl sstma o la somma dll rg dll ompot. S ot h qusta trazo dv omuqu sstr prhé s o foss trazo tra l ompot l sstma è solato (om s supporrà spsso), l rga dll var ompot o potrbb ma varar. Stato d qulbro statsto: lo stato dl sstma u umr d oupazo d og lvllo d rga, oè l umro d ompot h hao ua dtrmata rga, sao dpdt dal tmpo, o al lmt fluttuat toro a d valor md ostat l tmpo. S postula h la dstrbuzo all qulbro è qulla o la massma probabltà d ralzzazo. Fuzo d dstrbuzo all qulbro: dsrv umr d oupazo d var stat dl sstma fuzo dll rga dgl stat. Assuzo fodamtal dlla Maa Statsta: u sstma solato tutt gl stat mrosop hao la stssa probabltà d vr ralzzat, oè tutt mrostat orrspodt alla stssa rga total soo quprobabl. Ora osdramo u sstma solato d N partll (ostat) l qual og partlla ha a dsposzo dvrs lvll rgt, o ssaramt quatzzat. I u dato stat l partll soo dstrbut var lvll rgt dspobl. Sa l umro d partll sull -smo lvllo, allora: N oltr l rga total dl sstma (osrvata prhé l sstma è solato): I raltà qusta pots o è orrtta. No è vro fatt h l qulbro sa arattrzzato dalla sola spfazo dll rga. sstoo dgl ultror vol (altr lgg d osrvazo) h fao s h alu mrostat o la stssa rga total o sao prmss, o omuqu sao mo probabl. uttava, qust stat o probabl soo umro osì rdotto h s s osdrao quprobabl agl altr l rror ommsso è trasurabl.

13 dov s è tuto oto dll pots d dbol trazo. U modo pr tr oto qualh mara dll trazo osst l osdrar u ampo potzal mdo pr og partlla, dpdt slusvamt dall oordat dll stssa. I tal aso s ha: k, p, o k, rga ta partlla -sma p, rga potzal partlla -sma. Pr l assuzo fodamtal dlla Maa Statsta: la probabltà d u partolar mrostato ( h od o ua partolar partzo dll sm dll N partll) è proporzoal al umro d mod dffrt u possbl dstrbur l partll var stat rgt pr produrr l mrostato. Dall pots d partll dstgubl 3, osgu h u mrostato lla qual la partlla a sta la partlla p sta è osdrato dvrso da u mrostato lla qual p sta a. S s rmp l lvllo soo N mod dvrs d sglr la prma partlla (ua dll N partll). La soda partlla può v ssr slta (N-) mod dffrt pohé tal è l umro d partll rmasto a dsposzo. Ua trza partlla potrà ssr slta (N-) mod dffrt osì va. Qud l umro total d mod dffrt pr olloar tr partll sul prmo lvllo (vd fgura prdt) è dato da: N( N )( N ) N! N 3! S ot h u mrostato è dtrmato solamt dal umro dal tpo d partll prst og stato dpdtmt dall ord u qust partll soo stat mss. Qud s tratta d dvdr pr l umro dll prmutazo d 3 oggtt dstt: 3! Prtato l umro d mod dvrs d poszoar tr partll sul prmo lvllo rgto è raltà dato da: N! N 3! N 3! 3 I gral, l umro d mod dvrs d poszoar partll sul prmo lvllo rgto è dato da: N! N! N! ò od o l umro d ombazo d N oggtt prs a a. Il umro d partll a dsposzo ora pr l sodo lvllo rgto è N. Il umro d mod dvrs d poszoar partll sul sodo lvllo rgto è dato da: N! N N!! Il prodmto può otuar fhé soo stat osdrat tutt lvll rgt. Il umro total d mod dvrs pr ottr l mrostato,, 3 è dato dalla moltplazo : 3 Gl atom l modllo dl soldo d st soo partll dstgubl. 3

14 N! N! N! N!! N!! N!! N!!!...! Qusta quattà è proporzoal alla probabltà pr ottr l mrostato,, 3 a mo d ua ostat d ormalzzazo, oltr, possbl h v sa dgrazo d lvll rgt, oè lvll rgt hao probabltà dffrt d ssr oupat (otraramt all Assuzo fodamtal dlla Maa Statsta). Ad smpo u rto lvllo rgto può ssr pù ompatbl d altr lvll o pù dffrt valor d momto agolar, prtato è pù falmt oupato. Sao: g g g probab.d oupazo lvllo probab.d oupazo lvllo probab.d oupazo lvllo g probab.d oupazo lvllo s g è la probabltà d trovar ua partlla l lvllo rgto, la probabltà d trovar du partll l lvllo rgto sarà (ssdo vt dpdt ) g, allora la probabltà d trovar partll sarà: g qud la probabltà pr ottr l mrostato,, 3 è dato dalla: 4 g N!! Oltr ad avr rmosso l assuzo fodamtal dlla Maa Statsta, possamo, voldo, rmuovr ah l assuzo d dstgubltà dll partll. S l partll soo dstgubl sgfa h o s può otar ua dffrza s l partll p d a lla prdt fgura (ad smpo) soo sambat tra loro. Qud tutt l N! prmutazo tra partll h oupao stat dffrt dao org alla stsso dto mrostato. Prtato l prdt rsultato va dvso pr N!, ottdo prò: g! abbamo ommsso u abuso d otazo dado o la stssa lttra probabltà dffrt. Qusta è l sprsso dlla probabltà d ua dstrbuzo lla statsta d Maxwll-Boltzma. Pr ottr lo stato d qulbro rhamo duqu l massmo dlla fuzo ( ) ompatblmt o l odzo: N ; Pr trovar l massmo d ( ),trovamo quvaltmt l massmo d l[( )] ssdo l logartmo ua fuzo strttamt rst. S ha: Utlzzado la formula d Strlg pr grad umr: possamo srvr: g l l l! l( x!) xl x x

15 l l l l g N g Ovvamt s rhamo l massmo d l[( )] dobbamo mporr: sm a: d(l ) 0 dn d d 0 d 0 prhé sa N h soo ostat. D osguza qusto è u problma d rra d u puto stazoaro pr l[( )], volato dall du odzo, N = ostat d = ostat. Dal puto d vsta matmato s affrota o l mtodo d moltplator d Lagrag: tat quat soo l odzo volo. Prtato ssdo: s può srvr: oè: d(l ) l d 0 g l N 0 l 0 g la qual omporta h la dstrbuzo d qulbro è ottuta s: h rsolta rsptto ad fors: α β soo lgat all proprtà fsh dl sstma. Da: s può srvr: l 0 g g N N g g Z dov s è trodotta la fuzo d partzo Z (zustadsumm): 5

16 I qusto modo possamo srvr: Z g N g Z Qusta sprsso osttus la lgg d dstrbuzo d Maxwll-Boltzma. La probabltà d oupazo d uo stato è data da: N g l valor mdo d ua rt gradzza fsa G() ua msla d stat data da qusta dstrbuzo è dato da: Rsulta pur: Rordamo h l tropa S dl sstma è dfta da: la tmpratura dl sstma è dfta da: Ora: G G g G N Z N d l Z g N Z d Z S k l S N ds kd l l l k d k d g Z N k l d k d kd Z dov è stata applata la ostaza d N, oè: Qud: prtato l paramtro è ugual: ah: dn V, N d 0 ds k d l Z N 6

17 Z g kn N g Z d(l Z) d S kn l Z kn N I rsultat prdt mostrao l mportaza dlla fuzo d partzo Z pr l alolo d tutt l fuzo d stato dl sstma. Falmt samo prot pr rspodr alla domada h hdva l alolo dll tropa dl soldo. Nl aso dl soldo d st gl atom osllator soo partll dstgubl hao lvll rgt h hao ugual probabltà d ssr oupat, qud o v è dgrazo, oè g =, =,,, prtato la probabltà pr ottr l mrostato,, 3 è dato dalla: N!! pr u la formula pr l tropa S rsulta lggrmt smplfata: qusto aso rsulta: S kn l Z 3 U N A h h S 3kN l Z A Z 0 0 h ssdo N = 3N A gl atom dl soldo pr l umro d lvll rgt. Ora l alolo dlla fuzo d partzo Z, qusto aso rsulta smpl ssdo l alolo d ua sr d trm progrsso gomtra d rago -h/ <. Prtato: prtato l tropa dl soldo sarà: h Z h h h / h S 3kN l A h h 7

18 h s ha: A bass tmpratur pr u: 0 0 h S 3kN A h h h lm S lm 3kN 0 A L tropa d u soldo s aulla allo zro assoluto om s asptta dalla trza lgg dlla trmodama. h s ha: Ad alt tmpratur S 3kN l A h =h/k. ) Ua stma dlla frquza d osllazo dl soldo può fars om sgu: La vlotà dl suoo u soldo è: s 0 3 m/s. La tpa dstaza tra gl atom u rtolo è: 0-9 m. Prtato = s / 0 Hz. Da h rsulta h l modllo d soldo adottato è sgfatvo pr ua tmpratura h/k 80K. Brv Bblografa: F. Sllr: Dsps d ISIUZIONI DI FISICA ORICA, Uvrstà d Bar, Laura Fsa, a.a. 00/00 M. Aloso,.J. F : Quatum ad Statstal Physs, Addso Wsly Publshg Compay, 968 L.Mhh: Maa Statsta Classa Apput dl orso d rmodama, Uvrstà d Pava, a.a. 04/05 A. Garruo : La stora Il dbattto sull pots d st, Maa Statsta: Apput raolt d laborat da F. Grazoso V. Barass R. Rztt: LA FISICA DLL BASS MPRAUR 8

19 SRCIZI DI MCCANICA QUANISICA B.Buoaura : ISIS ALBRINI NOLA (NA) & GSF-AIF srzo 9 (Dualtà oda-orpusolo: Corpusol o massa ulla. fftto Compto ) Co l fftto fotolttro st troduss l da dlla dualtà oda orpusolo, oè d ua omprsza d asptt odulator d musol loalzzazo rgth uo stsso faso d lu. Qusta da tato rvoluzoara h zalmt fu attata da pohssm, ma da molt dopo l 97 sotto l fluza dlla suola d Copagh. La parola dualtà è usata ll azo d ò h è omposto d du part pr dar la slta flosofa (st, d Brogl, Shrödgr ) h s applla a du prp h s possoo tgrar possoo osstr: oda o partlla. I otrapposzo alla parola dualsmo usata ll azo d otrasto, atagosmo pr dar la slta flosofa (Bohr, Hsbrg, Bor, Paul) h s applla a du prp oppost rrdubl: oda o partlla. st, oostat foss solato l rdr a orpusol dlla radazo all od vuot, o s f fluzar da gudz rt. Az, lavorò molto a qust su d tra l 909 al 97, rusdo a dmostrar h tutta l rga assorbta da u atomo o da u lttro (lla loro trazo o la radazo lttromagta) provva da ua stssa drzo, pr u all rga hv dovva ssr assoata ua quattà d moto hv propagazo dlla lu. lla drzo d L sprmto Compto (93) qullo d Compto Smo (95) furoo qull h pù otrburoo a rafforzar l da dll sstza d foto om orpusol d rga hv hv d quattà d moto. U faso d ragg X,(od.m. d polssma, 0-0 m, qud p grad, a u orrspodoo foto d rga hν dll ord d v) h attravrsa u soldo (graft)è dvato proporzo dvrs a dffrt agol dalla drzo d dza h pr og soo du massm ll tstà I dlla radazo fuzo dlla lughzza d oda. L sstza d du massm (o > ) è hamata fftto Compto. I partolar, Compto ossrvò h, sbb la radazo dt foss sszalmt mooromata d lughzza d oda, lla radazo dffusa ra prst ua uova lughzza d oda h dffrva da d ua quattà fuzo dll agolo d dffuso : = + C (-os); C è lughzza d oda Compto ( C è vrsamt proporzoal alla massa dlla partlla su u d l foto). al rsultato è otraddzo o l prvso dlla fsa lassa 4. Ifatt, lassamt s asptta h gl lttro lbr dl rstallo, sotto l azo dl ampo lttro osllat dlla radazo dt, ompao osllazo dlla stssa frquza qud mttao radazo dffusa tutt l drzo, ma dlla stssa frquza dll oda dt. è dpdt dal matral su u ragg X doo (pombo, oro, argto, graft,...), ma dpd dall agolo. Il sodo massmo d I as dall trazo o gl lttro la sola prsuml ausa dll fftto ossrvato 4 A qusto proposto s vda: Ptro d Mauro - LA FORMULA DI DIFFUSION COMPON CON LA MCCANICA NWONIANA - Att dl XIX Cogrsso Nazoal d Stora dlla Fsa dll Astrooma. 9

20 tutt matral. Ioltr s aumta o è quvalt ad affrmar h v' qud ' hv' ' dmusoo al rsr d om dovrbb aadr all rga d partll h dopo u urto o brsagl mmobl. L lughzz d oda all qual è apprzzabl lo shft Compto ( = - ) soo: ragg X ( Å); ragg γ ( 0.0Å). a) Applado, om f lo stsso Compto, prp d osrvazo dll rga dll mpulso forma rlatvsta ad u urto lasto tra u foto d u lttro lbro trovar la formula d dffuso Compto: = + C (-os) b) Aalzzar l fftto fotolttro om u urto alasto tra foto d lttro lbro (o assorbmto dl foto) mostrado h u lttro lbro o può assorbr u foto. Rsoluzo a) Applhamo l rgol dll urto lasto, tra u foto (d = h momto p = hv/) u lttro pratamt frmo. I Fgura: = / lughzza d oda foto dt; = / lughzza d oda foto dffuso Dopo l urto l foto ha rga h l lttro K = m ( - ) (formula rlatvsta o = /(-(v/) ) Applado ora la osrvazo dll rga : h = h + m ( - ) h( - ) + m = m Applado ah la osrvazo dlla q.d.m. : x) h/ = (h /) os() + p os(); y) 0 = (h /) s() - p s() oè: x) h/ - (h /) os() = p os(); y) (h /) s() = p s() lvado al quadrato l sprsso x) d y) sommado mmbro a mmbro, s ott: (h/) + (h /) - (h / ) os() = p moltplado pr (h) + (h ) - (h ) os() = p Rprdamo la osrvazo dll rga: h( - ) + m = m d lvamo al quadrato: 0

21 h ( - ) + m 4 +h( - ) m = m 4 (h) + (h ) - h + m 4 +h( - ) m = m 4 Sottraamola alla osrvazo dlla quattà d moto: (h) + (h ) - h os() = p s ott: h (- os()) m 4 - h( - ) m = -m 4 ( pr l Ivarat Rlatvsto m m p ) 4 4 h (- os()) = h( - ) m Qud o u po d algbra: m ( - ) = h (- os()) ( - )/ = (h/m ) (- os()) (/ - /) = h/(m ) (- os()) ( -) = C (- os()) oè: = + C (-os) o C = h/m =, mlughzza d oda Compto dll lttro = / =/. Qusta è la formula d Compto. ssa rprodu orrttamt l ossrvazo sprmtal. L sstza dl prmo massmo d I è ua atural osguza dll prdt osdrazo. Ifatt ragg X h trao lla matra olldoo ah o ul, oltr h o gl lttro. La formula h s ott dta h, ssdo m m s ha ' qud l ulo m alla prdt: ' os massmo d ulo I rsulta osì vo a da ssr pratamt dstgubl. Nll formul prdt è vdt l da h og sgolo foto è moodrzoal all rg hv hv hv hv' sao smpr assoat l quattà d moto rspttvamt. Δλ = - o dpd dalla lughzza d oda dt dpd dall agolo d sattrg vara tra 0 h/(m ) orrspodt a θ =80º oè tra Å (Å = 0-0 m). L fftto Compto sta a dmostrar h, ah al lvllo quatsto, al lvllo atomo dll partll lmtar, s osrvao rgorosamt la quattà d moto l rga, osa h Bohr, ad u rto momto, stava pr mttr dsusso. Aora pù ovt da u puto d vsta ralsta fu l sprmto d Compto Smo (95) h prs osdrazo lo studo d vt grat da u faso d ragg X h tragvao o ua lama matral posta ua amra a bba. ss ossrvaroo 8 vt d msso d lttro sodar ( potva aadr

22 fatt h l ossrvato foto propagados l vapor dlla amra a bba mttss moto urtadolo u sodo lttro ) l puto zal dlla trattora dll lttro sodaro ra smpr sulla trattora alolata dl foto. Nl 97 Compto srss: << No possamo trovar alua trprtazo dlla dffuso s o trm d dvazo d orpusol o foto dlla radazo. >> b) S s aalzza l fftto fotolttro om urto alasto, assorbmto dl foto da part dll lttro, qud sza foto dopo la ollso s vd h: qud: h = m ( - ) h/ = p os() 0 = p s() s() = 0 = 0 h/ = p h m m ( p ) m ( h ) m 4 4 uguaglaza ovvamt assurda. Prò u lttro lbro o può assorbr u foto! Brv Bblografa: F. Sllr: Dsps d ISIUZIONI DI FISICA ORICA, Uvrstà d Bar, Laura Fsa, a.a. 00/00 A, Sarro: Corso d MCCANICA QUANISICA Uvrstà d Napol Fdro II

23 SRCIZI DI MCCANICA QUANISICA B.Buoaura : ISIS ALBRINI NOLA (NA) & GSF-AIF srzo 30 (Dualtà oda-orpusolo: Corpusol o massa ulla. msso o rulo d u atomo) Cra u ao prma dll sprmto Compto, l 7 Gugo 9, rw Shrödgr srvva u artolo l qual, pr prmo, trattava l msso d u quato d lu usado la osrvazo dll rga dlla quattà d moto rlatvsth. Shrödgr srvva oltr: <<.sulla bas data da st alla tora dlla radazo, l quato msso hν porta o sé smpr - partolar og sstma d rfrmto - l mpulso lar hν/, l massmo h la d prpo possa ssr assoato a qusto ammotar d rga. Nl sguto dmostramo h l salto d vlotà tal modo pr la odzo dll frquz d Bohr dà propro lo spostamto Dopplr, o tutt l sottglzz h soo rhst dalla tora dlla rlatvtà.>> Sfortuatamt a qul tmpo l da d st su quat d lu o ra aora tuta sra osdrazo, prtato l lavoro add ll oblo. st bb a dr h << mtr la tora odulatora mpla l'fftto Dopplr pr la radazo mssa da u atomo movmto... o la odzo d Bohr, fodamtal pr la tora d quat, - =hν h ollga la varazo d rga dll'atomo alla frquza mssa, s td ad assoar ua sgola frquza ad og atto d msso lmtar, ah quado l'atomo h mtt è movmto.>> U atomo (o u ulo) zalmt moto o vlotà v,l sstma S dl laboratoro, o u agolo o la drzo AO (ass x), mtt u foto d rga lla drzo AO rulado o vlotà v lla drzo h forma u agolo o la drzo AO. rovar l rga dl foto. Rsoluzo L quazo d osrvazo dll rga dll mpulso l sstma S dl laboratoro s srvoo: v os v os ompot mpulso ass x (drz.ao) v s v s ompot mpulso ass y ( drz. AO) o: () 3

24 M v ; v rga a rposo dll'atomo (o dl ulo)prma dll'msso massa dll'atomo (o dl ulo) prma dll'msso rga a rposo dll'atomo (o dl ulo)dopo dll'msso M massa dll'atomo (o dl ulo) dopo dll'msso p xˆ mpulso dl foto msso Dalla osrvazo dll rga (prma quazo dl sstma ()) s rava : Rordado l sprsso d srvamo: v v pr u l modulo dlla vlotà d rulo v è: v () Utlzzado l sod du quazo dl sstma (), h sprmoo la osrvazo dll mpulso, trovamo: v os v os v os v os v s v s v s v s lvado al quadrato tramb mmbr sommado s trova l modulo quadro dlla vlotà d rulo dll atomo (o dl ulo): 4

25 v v v os (3) Uguaglado la () la (3) possamo ravar : v v os dopo alu passagg smplfazo ottamo: o: v v os dffrza d rga tra du stat dlla traszo atoma S l atomo (o l ulo) è zalmt a rposo ( l rga dl foto msso è data da: v 0),l sstma S dl laboratoro, allora dalla (4) s ha h L quattà h ompaoo lla (5), pohé dpdoo soltato da rg d rposo dll atomo (o dl ulo) soo varat rlatvst. Prtato l rga dl foto data dalla (5) sarà dotata o 0 (dov lo zro sta ad dar h è msurata l sstma dov l atomo (o l ulo) è qut prma dll msso).co qusta uova poszo la (4) s srv: (4) (5) Nlla (5) l trm ul lbr. v 0 v os è gralmt trasurabl a mo h o abbamo a h far o foto mss da (6) h S ot h s s po, pr la ota rlazo d st, 0 0 ott la rlazo Dopplr tra l frquz: h dalla (6) s 5

26 v 0 v os La (7), ravata da Shrodgr, fa uso dl otto d foto. ssa è dta a qulla ottuta osdrado la propagazo d u oda.m. paa. 0 h rapprsta la frquza msurata da u ossrvator rsptto a u la sorgt è qut prma dll msso dl foto stabls la rlazo tra qusta frquza la dffrza d rga d du lvll quat tra qual avv la traszo atoma o ular. I tramb as s ofrotao l frquz msurat da du ossrvator moto rlatvo prsddo dalla sorgt. La trattazo alla Shrodgr dsrv ompltamt l fomo prhé t oto dlla sorgt. La trattazo è sml ah pr l assorbmto d u foto da part dll atomo. Ifatt l quazo d partza ora soo: (7) v os v os ompot mpulso ass x (drz.ao) v s v s ompot mpulso ass y ( drz. AO) La rlazo fal è dta alla (6): (8) dov prò qusta volta: v 0 v os h 0 0 (9) S ot b h: l aso dll assorbmto h rapprsta l rga h u foto dv avr pr ssr 0 assorbto da u atomo (o ulo) la u vlotà zal (prma dll assorbmto) è ulla. S ot b, f, h la gradzza ha valor dvrs l aso dll msso dll assorbmto. Nl aso dll msso, è l rga a rposo dll atomo( o ulo) tato; l aso dll assorbmto, è l rga a rposo dll atomo o tato. Prtato, l fftto Dopplr è ua osguza dlla dsrtzza dl prosso d msso d assorbmto da part d u atomo (o ulo) dll lgg d osrvazo dlla dama rlatvsta. 6

27 Brv Bblografa: G.Gula, I.Bozzo : LINAMNI DI LROMAGNISMO - La Golarda Pavs - Pava G.Gula: xprmt ad thory: th as of th Dopplr fft for photos - ur. J. Phys. 34 (03)