11.c Gli operatori in Meccanica Quantistica

Transcript

1

2

3 Gl opraor U opraor è u applazo assoa ua fuzo a ua fuzo A La drvaa è u opraor : : L ombazo lar d opraor soo opraor La molplazo pr ua fuzo è u opraor U ( ) : U L applazo rpua d u opraor è u opraor a + b : a + b :

4 L opraor amloao m + U L opraor amloao (o amloaa) è u opraor dfo om: : m + U L quazo d Srödgr può ssr rsra usado l amloaa : Nl formalsmo d Dra:

5 approfodmo Alr opraor dlla Maa Quasa Opraor Quaà d moo : P Applamo P alla fuzo d oda dlla parlla lbra: P ( ) ( o p [ ( ω )] ) L opraor P, applao alla fuzo d oda d parlla lbra, rsus la quaà d moo dlla parlla, molplaa pr la sssa fuzo. Qusa proprà gusfa l om. Opraor rga a : K m Applamo K alla fuzo d oda dlla parlla lbra: K ( ) ( p [ ( ω )] ) m o L opraor K, applao alla fuzo d oda d parlla lbra, rsus l rga a dlla parlla, molplaa pr la sssa fuzo. Qusa proprà gusfa l om. m I bas all dfzo d K, sgu K + U. Qusa quazo ra opraor suggrs l amloaa possa a ssr osdraa om l opraor rga maa dlla parlla.

6 L soluzo dll quazo d Srödgr godoo d alu proprà fodamal, qualuqu sa la forma dll rga pozal U(). Qus proprà soo fssa dal orma spral. Il orma spral è la av pr omprdr l proprà dll soluzo dll quazo d Srödgr. La mamaa d quso orma è a u lvllo molo pù alo d qullo dl orso d Isuzo. Prao l orma è dsro soo prsa alu mplazo, ma o è qu dmosrao.

7 approfodmo L fuzo a quadrao sommabl l Torma Spral Il orma spral è sram valdo lla forma sarà prsaa l sguo solo s U() è ua bua d pozal; alrm asoo alu omplazo formal. Tuava, pr aggrar l problma s può ulzzar l ruo dlla saola fza, è praa ua bua d pozal d alzza fa. Dal puo d vsa fso, ò sgfa osdrar l moo lmao a ua rgo ampa, ma fa. I rm d rga pozal, la saola fza è rapprsaa dalla odzo U dvrga: U() pr L Suazo ral Modllo dlla saola fza Il ruo dlla saola fza orrgg u as u apparm la fuzo d oda o sa a quadrao sommabl.

8 L soluzo dll quazo d Srödgr godoo d alu proprà fodamal, qualuqu sa la forma dll rga pozal U(). Qus proprà soo fssa dal orma spral. I pllol Il orma spral prm d sdr al aso gral du o fodamal pr l parll lbr: a) ss u sm umrabl d soluzo, do bas, fao d sa o rga maa fssaa. Nl aso dll parll lbr, qus fuzo soo l od mooroma; prsza d rga pozal, s raa d fuzo dvrs a soda d as. Nl formalsmo d Dra, l fuzo dlla bas s dao om b) Tu l alr soluzo soo ombazo lar dll fuzo d bas. Nl aso dll parll lbr, qus fuzo soo pa d oda, o sso d lguaggo quso rm può ssr usao l aso gral. Nl formalsmo d Dra, qus fuzo s dao om

9 a) ss u sm umrabl d soluzo, do bas, fao d sa o rga maa fssaa. L fuzo dlla bas soo d auosa dll amloaa Casu auosao è ararzzao da u valor d rga maa b dfo osa I MC, l parll s muovoo prsza d ua forza osrvava ao smpr osa. I MQ osa sgfa du os: 1. È possbl far rpu msur dlla gradzza fsa, sza prurbar la fuzo d oda;. I asua msura s o smpr lo ssso valor d.

10 a) ss u sm umrabl d soluzo, do bas, fao d sa o rga maa fssaa. Gl sa ao u valor d rga maa b dfo osa soo od sazoar ( ) è l rga maa dlla parlla llo sao Oda sazoara: ( ) f ( ) Fasor vrsor roa: ω os ( ω ) s ( ω ) L auofuzo dll amloaa possoo ssr vsualzza om u proflo () ruoa oro all ass o vloà agolar ω Im () R () Il vrso dlla roazo è smpr qullo dao dalla fra rossa

11 a) ss u sm umrabl d soluzo, do bas, fao d sa o rga maa fssaa. Nl formalsmo d Dra, gl auosa soo rapprsa om Il o dpd dal mpo Im () R () La dpdza dal mpo è l fasor ω

12 a) ss u sm umrabl d soluzo, do bas, fao d sa o rga maa fssaa. I soddsfao l quazo d Srödgr dgl sa sazoar: I soo fuzo dlla sola varabl. L quazo pr gl sa sazoar è prò u quazo dffrzal ua sola varabl, qud oualm pù smpl dll quazo d Srödgr ompla. quazo d Srödgr pr gl sa sazoar Nl formalsmo sso l quazo s srv: m ( ) + U ( ) ( )

13 approfodmo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U m U m U m Sosuamo l sprsso dll oda sazoara ( ) ll quazo d Srödgr. ( ) ( ) ( ) U m + Oamo osì l quazo d Srödgr pr gl sa sazoar: Nl formalsmo d Dra: Il fasor è u faor omu s ld Vrfa dll quazo sazoara a) ss u sm umrabl d soluzo, do bas, fao d sa o rga maa fssaa.

14 b) Tu l alr soluzo soo ombazo lar dll fuzo d bas. Qualuqu sa la forma d U(), è possbl sglr l sm d modo al soddsf qus odzo: I vor dlla bas soo oroormal: < m δ m < m 1 0 s s m m La bas è ompla, oè u l fuzo () possoo ssr rapprsa om ombazo lar d vor d bas:

15 b) Tu l alr soluzo soo ombazo lar dll fuzo d bas. Bas orogoal ompl I vor dlla bas soo oroormal: < m δ m < m 1 0 s s m m La bas è ompla, oè u l fuzo () possoo ssr rapprsa om ombazo lar d vor d bas: U smpl smpo d bas oroormal ompla è dao dalla sr d Fourr: ( ) ; 1 L ; π L Il orma spral d a og dvrsa amloaa s assoa u dvrso sm d fuzo, ararzza prò smpr da proprà aalog a qull dlla bas d Fourr

16 approfodmo Il orma spral ll algbra Il orma spral sd all opraor amloao ua proprà algbra val pr l Mar Auoaggu, d a Mar rma. I algbra lar, ua Mar Auoaggua è ua mar a valor omplss od o la propra rasposa ougaa (o mar aggua). Pr og mar rmaa A val l orma spral (o orma fodamal): A possd solo auovalor ral; è possbl rovar ua bas oroormal ompla formaa da auovor d A. Sza rar dagl formal, pralro puoso ompla, oamo l problma agl auovalor pr A somgla form al problma dll quazo d Srödgr pr gl sa sazoar: A u λ u A u λ u Pr sso d lguaggo, gl opraor ao l sss proprà d rm d auovalor auovor soo d Opraor Auoaggu, o rma.

17 I ss Com s rsolv l quazo d Srödgr? I pllol 1) S rsolv l quazo pr gl sa sazoar: S rovao osì vor d bas l rg ; ) Gl auosa soo da dall sprsso: 3) Tu l soluzo soo ombazo lar d auosa:

18 I ss Com s rsolv l quazo d Srödgr? La par dffl dl problma è rovar u sm umrabl d soluzo dll quazo sazoara formo ua bas oroormal. ; < m δ m Quso è possbl forma saa solo pr alu fuzo U(). Tra I as pù mpora: Parlla lla saola Osllaor armoo Aomo d Idrogo Ngl alr as s possoo adoar var srag pr rar soluzo approssma, a pr va umra.

19 Applar l opraor al pao d oda srzo rprar fsam l rsulao. ( ) ( ) [ ] p, ω P ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] p p p ω ω ω P Il rsulao è ua ombazo lar u off soo proporzoal alla quaà d moo dll sgol ompo. Nl formalsmo d Dra: ω ω ω P P P Calolamo l prodoo salar o l bra : < ( ) ( ) < δ < < < < ω ω ω ω ω ω ω m,,m * m m, * m m * m m m m m m P P Quso è l valor mdo dlla quaà d moo llo sao. 11. L quazo d Srödgr. srz omplm.