RETI IN REGIME SINUSOIDALE I parte

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1 (ultima modifica 8/04/03) RE N REGE SNSODALE parte Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari

2 ntroduzione: definizioni pag. 3 Funzioni periodiche pag. 5 Grandezza alternata e sinusoidale pag. 6 etodo simbolico per lo studio dei circuiti in regime sinusoidale pag. 3 Bipoli e circuiti semplici pag. 9 Funzionamento dei bipoli clettrici R, L, C in corrente continua pag. 0 Funzionamento dei bipoli elettrici r, l, c in regime sinusoidale permanente pag. Bipolo resistivo pag. Bipolo induttivo pag. 3 Bipolo capacitivo pag. 5 Equazioni costitutive dei componenti elementari: resistore, induttore e capacitore. pag. 7 Componenti elementari: trasformatore e generatori dipendenti pag. 9 rasformatore ideale: potenza istantanea pag. 30 Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in tensione) pag. 3 Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in tensione) pag. 3 Bipoli RLC pag. 33 Ammettenza: conduttanza, suscettanza pag. 34 riangolo delle ammettenze pag. 35 mpedenze in serie e in parallelo pag. 36 Potenza istantanea in un bipolo pag. 38 Potenza attiva, reattiva, apparente e complessa pag. 39 riangolo delle potenze pag. 4 Potenza in un bipolo puramente resistivo pag. 4 Potenza in un bipolo puramente induttivo pag. 4 Potenza in un bipolo puramente capacitivo pag. 43 Generatori reali di tensione e di corrente pag. 45 Condizioni di massimo trasferimento di potenza: rendimento. pag. 46 eorema di ellegen e di Boucherot pag. 48 Applicazione del teorema di Boucherot pag. 48 Analogie fra i metodi di risoluzione delle reti in regime continuo e sinusoidale pag. 50 etodi di risoluzione delle reti in regime sinusoidale pag. 5 etodo delle correnti maglia pag. 5 etodo dei potenziali di modo pag. 54 Rifasamento pag. 58 odalità di rifasamento di un impianto pag. 59 Risoluzione delle reti lineari in presenza di generatori con frequenza diversa pag. 63 Risonanza pag. 66 Risonanza serie pag. 68 Risonanza parallelo pag. 79 Reti due porte o bi-porta pag. 88 Bi-porta attivo: teorema generalizzato di hevenin pag. 90 Definizione del bi-porta attraverso la matrice pag. 94 Definizione del bi-porta attraverso la matrice Y pag. 95 Definizione del bi-porta attraverso la matrice pag. 96 Definizione del bi-porta attraverso la matrice inversa i pag. 97 Potenza assorbita da un bi-porta pag. 99 Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari

3 RE N REGE SNSODALE NRODONE Sono delle reti nelle quali le grandezze in gioco variano al variare del tempo con legge sinusoidale. Le reti elettriche in alta potenza sono alimentate con tensione sinusoidale con frequenza di: 50 Hz in Europa 60 Hz in SA. Le tensioni sinusoidali sono molto importanti nelle applicazioni pratiche. DEFNON Funzione periodica nel tempo t, u(t): è una funzione che rappresenta una grandezza che assume valori uguali ad intervalli di tempo pari al suo periodo u ( t ) u( t n ) n nteri () u (t) t Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 3

4 Si definiscono: Valore medio u(t) nel periodo : m u( t ) dt () 0 Valore medio u(t) in un qualunque intervallo di tempo τ: τ m u( t ) dt (3) τ τ 0 Valore efficace o valore quadratico medio: u ( t )dt (4) 0 Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 4

5 FNON PERODCHE na qualsiasi funzione tale che soddisfi la relazione () e cioè: u ( t ) u( t n ) n nteri può essere espressa mediante la serie di Fourier a condizione che siano verificate le condizioni di Dirichelet:. se è discontinua presenti un numero finito di discontinuità nel periodo. abbia un valor medio finito nel periodo : m u( t 0 ) dt < 3. presenti un numero finito di massimi positivi e negativi. Lo sviluppo di u(t) nella serie di Fourier in forma reale è: u( con: t ) a 0 an cos( n t ) bn sin( nωt ) n n ω (5) a n u( t )cos( nω t ) dt n0,,,3.. (6) b n u( t )sin( nω t ) dt n0,,,3.. (7) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 5

6 Si definisce: Alternata o alternativa una grandezza periodica il cui valor medio nel periodo è uguale a zero: m u( t )dt 0 0 (8) Fattore di forma K f di una grandezza alternativa il rapporto fra il suo valore efficace e il suo valore medio nel semiperiodo: K f (9) m u na grandezza alternativa è sinusoidale se varia nel tempo con legge sinusoidale: u( t ) sin( ω t α ) (0) Essa è caratterizzata da tre parametri, ossia per definirla in maniera univoca sono necessari tre parametri:. A ampiezza o valore massimo di picco di a(t) con le stesse dimensioni di a(t); cioè se a(t) è una corrente A si misurerà in Ampere, se a(t) è una tensione A si misurerà in Volt, e così via. t Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 6

7 π rad. ω πf s pulsazione, legata alla frequenza f e al periodo [] s f Hz α rad 3. α [ rad ] fase iniziale e t α [] s rad ω s intervallo di tempo corrispondente alla fase α. N.B. (ωtα) [ rad ] rappresenta la fase istantanea della grandezza sinusoidale. Per t0 risulterà (ωtα) α. Si definisce: Periodo l intervallo di tempo che intercorre fra due istanti successivi aventi la stessa fase istantanea Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 7

8 Osservazione α t α ; in funzione del valore dell angolo α avremo i ω seguenti casi: α0 la u(t)0 per (ωtα)0, ossia per 0 t α 0 u(0) sin(ωtα)0 ω Sinusoide con fase iniziale nulla empo α<0 la u(t)0 per (ωtα)0, ossia per α α t α < 0 u(0) sin <0 ω ω Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 8

9 t α α ω [ sec ondi] α>0 la u(t)0 per (ωtα)0, ossia per: α α t α > 0 u(0) sin >0 ω ω α tα [ sec ondi] ω Se la fase iniziale è positiva la sinusoide è in anticipo, in caso contrario la fase iniziale è negativa e la sinusoide risulta in ritardo. Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 9

10 DEERNAONE DEL VALORE EFFCACE D NA GRANDEA SNSODALE u(t) Definizione di valore efficace sin ( ω t ) dt (.a) 0 Dalle formule trigonometriche per la duplicazione degli archi: cos x sin x da cui sin x cos x 0 cos ωt dt (.b) noltre: cos ωt t sin ωt π dt 0 4ω e ricordando che ω πf si 0 ha che la soluzione del precedente integrale risulta essere: π sin π 4 0 π sin π 4 Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 0

11 Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari La (.b) diventerà: () l valore medio di una grandezza sinusoidale u(t) nel semiperiodo sarà: 0 m dt ) t sin( α ω (3) Cambiando il riferimento per annullare α: 0 0 m t cos )dt t sin( ω ω ω ω ω ω ω 0 cos cos m ω ω ω ω π ω ω π cos cos m

12 Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari π π ω l fattore di forma di una grandezza sinusoidale sarà:. K m f π (4)

13 EODO SBOLCO PER LO SDO DE CRC N REGE SNSODALE Se una rete lineare è alimentata da un generatore sinusoidale e(t)e sin(ωtα), risulteranno sinusoidali tutte le tensioni e tutte le correnti che si stabiliranno nei diversi rami del circuito. L importanza delle eccitazioni di tipo sinusoidale è legata al fatto che: qualsiasi funzione periodica nel tempo o alternativa è sviluppabile in una serie di funzioni del tipo: π e i (t)e i sin(ω i tα i ) con ω i πfi con pulsazione i ω i iω per i0,,,.(sviluppo in serie di Fourier) e che per circuiti lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Per tali motivi lo studio di questi circuiti si riconduce allo studio di circuiti alimentati da un solo segnale sinusoidale (tanti circuiti quante sono le componenti dello sviluppo di Fourier), per poi applicare il principio di sovrapposizione degli effetti per tutti i contributi delle cause, o eccitazioni, alle diverse frequenze. Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 3

14 n base delle considerazioni già fatte, poiché una funzione sinusoidale e(t)e sin(ωtα) è definita da tre parametri (ampiezza E, pulsazione ω, fase α) è possibile semplificare notevolmente i calcoli trasformando: l insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca. nsieme delle funzioni sinusoidali S u(t) sin(ωtα) (5) nsieme delle funzioni complesse C (jωt) e j(ωtα) (6) Le operazioni tra grandezze sinusoidali, che richiedono l applicazione di tutte le formule relative alla trigonometria, vengono così semplificate in operazioni più semplici da eseguire fra grandezze simboliche complesse. La corrispondenza risulta anche isomorfa, cioè conserva le operazioni fondamentali. Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 4

15 Relazioni tra le grandezze sinusoidali, i corrispondenti vettori rotanti nella rappresentazione complessa e i fasori della rappresentazione fasoriale Rappresentazione sinusoidale e( t ) E cos( ω t α ) j( ωt α ) Rappresentazione complessa E( jωt ) E e Ricordando che jα jα e e cosα avremo: e( t ) E E ( E cos( ωt α ) e e jωt jα e jα )e e jωt jωt ( E E e jα e e jα j( ωt α ) )e jωt e j( ωt α ) Ponendo: E jα E e e * E E e jα, si ricava: jωt Ee E * e e( t ) E cos( ω t α ) Re E e (7) Ricordando che se R j si ha: * j j Re (8) R R R * j j j j m (9) R R Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari jωt jωt 5

16 Quindi: Re * (0) m * () j Dall espressione della rappresentazione complessa si ottengono le seguenti relazioni: e( t ) E e' ( t ) E cos( ωt α ) sin( ωt α ) E e jωt E e j jωt E e jωt E e j jωt Re Ee jωt m Ee jωt che possono essere visualizzate attraverso la seguente rappresentazione grafica: () e(t) E sin(ωtα) E e j ω t E E e e j ω t jωt (ωtα) e(t)e cos(ωtα) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 6

17 Si vede come e(t) risulta essere: la proiezione sull asse reale del vettore rotante e uguale in ogni istante alla somma di due vettori rotanti con velocità angolare opposta jωt e E -jωt, di modulo pari alla metà dell ampiezza del vettore rotante associato E( jω t ). Più grandezze sinusoidali di uguale frequenza possono essere rappresentate con i fasori, ossia considerando i vettori rotanti associati alla rappresentazione complessa relativi all istante t0. Ciò è possibile perché grandezze complesse della stessa frequenza ruotano mantenendo fra loro lo stesso sfasamento al variare del tempo. Quindi:. Rappresentazione sinusoidale e( t ) E sin( ω t α ). Rappresentazione complessa j( ωt α ) E( jωt ) E e Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 7

18 3. Rappresentazione fasoriale E jα E e n questo modo ad ogni grandezza sinusoidale corrisponde una grandezza complessa con modulo pari al valore massimo (o efficace) e fase pari alla fase iniziale. Con la rappresentazione fasoriale non viene espresso il terzo parametro ω, perché è definito a priori per tutte le grandezze aventi la stessa pulsazione e quindi rappresentabili sullo stesso piano complesso. Grandezze di pulsazioni diverse non possono essere rappresentate sullo stesso piano perché in ogni istante varia lo sfasamento relativo fra loro. Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 8

19 BPOL E CRC SEPLC potesi: circuito in regime sinusoidale permanente. Se ad un bipolo si applica una tensione sinusoidale u(t), esso assorbirà una corrente sinusoidale i(t) sfasata di un certo angolo che dipende dalla natura stessa del bipolo. i(t) u(t) u( t ) i( t ) sin( ωt α sin( ωt α V ) ) α α V Lo sfasamento fra le due grandezze può essere positivo o negativo ed è espresso dalla relazione ϕα V -α ossia dalla differenza fra le fasi. Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 9

20 FNONAENO DE BPOL ELERC R, L, C N CORRENE CONNA Resistore o resistenza ideale R () Vale la legge di Ohm Capacitore o condensatore ideale R 0 () R nduttore o induttanza ideale R 0 0; 0 (3) l condensatore ideale in corrente continua equivale ad un interruttore aperto; non circola corrente (funzionamento a vuoto). L induttore ideale in corrente continua equivale ad un interruttore chiuso privo di resistenza; la tensione ai capi del bipolo è nulla (funzionamento in corto circuito). Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 0

21 FNONAENO DE BPOL ELERC R, L, C N REGE SNSODALE PERANENE Bipolo resistivo i(t) u(t) R(Ω) Resistenza i( t ) sinωt u( t ) Ri( t ) R sinωt sinωt sinωt () R u( t ) sinωt () Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari

22 tilizzando la rappresentazione fasoriale: 0 (Volt) 0 (Ampere) R (3) con ; ; Le due grandezze risultano in fase pur avendo dimensioni e ampiezze diverse. Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari

23 Bipolo induttivo i(t) u(t) L(Henry) nduttanza Per la legge di Lenz: di u L ( t ) L (4) dt Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 3

24 Poiché i( t ) sinωt, avremo: π π ul( t ) ωl cosωt ωl sin ωt sin ωt (5) con ωl (6) Si definiscono: Reattanza induttiva: Suscettanza induttiva: X L B L ω L πfl (Ω) (7) ω L πfl (8) tilizzando la rappresentazione fasoriale: π (Volt) 0 (Ampere) L ; noltre: L ( L ) π ω jωl (9) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 4

25 Bipolo capacitivo i(t) u(t) C (Farad) Capacità o capacitore La relazione che lega tensione e corrente in un bipolo capacitivo è duale a quella trovata per il bipolo induttivo: du i ( t ) C (0) dt Quindi se u( t ) sinωt Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 5

26 π i( t ) ωc cosωt ( ωc ) sin ωt π sin ωt () con ωc () (3) ωc Si definiscono: Reattanza capacitiva: Suscettanza capacitiva: X C B C (Ω) ωc (4) ωc (S) (5) Con i valori efficaci: X C (6) ω C utilizzando la rappresentazione fasoriale: 0 (Volt) π (Ampere) jωc (7) j ωc (8) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 6

27 EQAON COSVE DE COPONEN ELEENAR. Resistore: equazione costitutiva in c.a.: u ( t ) Ri( t ) equazione costitutiva in c.c. : R i(t) u(t). nduttore di( t ) dφ( t ) equazione costitutiva in c.a. u( t ) L dt dt equazione costitutiva in c.c. La corrente non varia e la tensione 0. L induttore equivale ad un interruttore chiuso o ad una resistenza di valore nullo. i(t) u(t) N.B. ΦL (Weber) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 7

28 3. Capacitore du( t ) dq( t ) equazione costitutiva in c.a.: i ( t ) C dt dt equazione costitutiva in c.c.: La tensione non varia nel tempo e la corrente è sempre nulla. l capacitore equivale ad un interruttore aperto o ad una resistenza di valore infinito. i(t) u(t) N.B. QCV:quantità di carica (Coulomb) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 8

29 Fra i componenti elementari principali esistono altre tre categorie:. rasformatore ideale. Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in tensione) 3. Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in tensione) rasformatore ideale u nu i i n (4) - morsetti primari; - morsetti secondari n rapporto di trasformazione (è un numero reale) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 9

30 La potenza istantanea p (t) è data dalla seguente relazione: p( t) ui nu i ui p ( t) (5) n essendo : p ( t u i ) La relazione (5) indica che: il trasformatore è trasparente alle potenze (potenza in ingresso pari alla potenza in uscita), mentre variano tensioni e correnti, che hanno valori in ingresso e in uscita in proporzione mutuamente inversa. Se n > u > u : trasformat ore abbassator e Se n < u < u : trasformat ore elevatore Se u u : trasformat ore di isolamento n l trasformatore di isolamento (n) viene utilizzato per separare una parte del circuito da un altra per motivi principalmente dovuti alla sicurezza elettrica. Essendo p( t) ui ui p ( t) la potenza assorbita dal doppio bipolo è p ( t) u i ui 0, ossia la potenza entrante è uguale a quella uscente. n base a queste considerazioni risulta che: il trasformatore ideale è un elemento passivo e non dissipativo, non è dotato di stato, in quanto sia le tensioni che le correnti primarie e secondarie sono legate da relazioni algebriche e non differenziali (non ci sono derivate temporali, quindi non si può parlare né di condizioni iniziali, né di variabili di stato). Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 30

31 La base di definizione è mista: (u ;i ) o (u ;i ). Questo quadripolo ideale è utile per modellare componenti reali. Generatore ideale di tensione controllato Generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS: Current Controlled Voltage Source) k [ ] k Ω transimpedenza Generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS: Voltage Controlled Voltage Source) β β [ ad] Altro simbolo previsto dalle norme: - Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 3

32 Generatore ideale di corrente controllato Generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS:Current Controlled Current Source) α [ ad] α Generatore di corrente pilotato in tensione (VCCS: Voltage Controlled Current Source) g[ Siemens ] g transammettenza Altro simbolo previsto dalle norme: Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 3

33 BPOLO RLC R L C () AB R L C [ R j( X X )] AB R jx L jx C L C () ntroducendo il concetto di impedenza avremo: & (N.B. & è un operatore complesso) (3) & ϕ R ( X ) L X C modulo di & (4) X L XC ϕ arctan argomento di & (5) R AB R cosϕ z (6) X sinϕ z R tanϕ z (7) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 33

34 Se X L -X C >0 prevale il fenomeno induttivo e la corrente è in ritardo rispetto alla tensione Se X L -X C <0 prevale il fenomeno capacitivo e la corrente è in anticipo rispetto alla tensione Ammettenza Y & G jb; (8) G conduttanza (Siemens) & B suscettanza (Siemens) Y& Y ϕ (con notazione fasoriale) Y AENONE: Y R jx R R jx X R X j R j X & (9) Y R X (0) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 34

35 X ϕ X X Y arctan arctan arctan ϕ () R R R Quindi: Y ; ϕy ϕ () Analogamente a quanto fatto per le impedenze, si definisce un triangolo delle ammettenze: n regime sinusoidale due bipoli si dicono equivalenti se presentano ai loro morsetti la stessa impedenza equivalente, ossia il rapporto fra il fasore della tensione e quello della corrente é lo stesso. Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 35

36 Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 36 & & Se & & PEDENE N SERE E N PARALLELO Come in corrente continua, valgono relazioni analoghe a quelle viste per il partitore di tensione e di corrente realizzati in regime permanente con i resistori. Serie: n i i n 3 eq... () n i i i i () 3 n

37 Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 37 Parallelo: n 3 eq... & & & & & (3) n 3 eq Y... Y Y Y Y & & & & & (4) n 3... (5) n i i i i Y Y & & (6) Nel caso particolare di due sole impedenze in parallelo avremo: (7) Y Y Y Y Y Y * eq (8)

38 POENA SANANEA N N BPOLO u(t) i(t) Se si alimenta un bipolo passivo in regime sinusoidale le tensioni e le correnti relative saranno: u( t ) sinωt ( t ) sin ωt ϕ i ( ) ϕ Si definisce potenza istantanea p(t): p( ( ω ϕ ) t ) u( t )i( t ) sinωt sin t () cos α β cos α β essendo sin α sin β [ cos( α β ) cos( α β )] [ ( ) ( )] p( t ) cosϕ cos( ωt ϕ ) cosϕ cos( ωt ϕ ) π cosϕ sin ωt ϕ (3) π essendo: cosα sin α (4) () Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 38

39 cosϕ : é costante e coincide con il valor medio della potenza istantanea p(t) nel semiperiodo, essa é la potenza attiva o reale e cos ϕ è il fattore di potenza. La potenza attiva si indica con P. Si ha: π π P 0 per ϕ π 3π P < 0 per < ϕ < π sin π t ϕ è la potenza fluttuante di pulsazione doppia ω rispetto alla potenza attiva. Questo termine non da contributo di potenza attiva. POENA AVA, REAVA, APPARENE E COPLESSA Potenza attiva P cosϕ [ ] Watt [ ] W () Potenza reattiva sinϕ VAR o [VoltAmpereReattivi] () Q [ ] Potenza apparente Potenza complessa S [ ] VoltAmpere [ ] VA (3) S& P jq [ VA ] (4) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 39

40 Dimostrazione: i(t) u(t) & R jx Se e jϕ & e jϕ e jϕ jϕ jϕ allora ( ) e e & jϕ jϕ jϕ S& P jq (e e )e cosϕ j sinϕ Altre relazioni utili: e jϕ S P Q cos ϕ sin ϕ (5) P P cosϕ S cosϕ S cosϕ (6) Q Q sinϕ S sinϕ S sinϕ (7) Q P tanϕ (8) cosϕ ϕ sinϕ l grafico si riferisce alla ipotesi di carico ohmico-induttivo Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 40

41 La potenza attiva P V cosϕ sarà il prodotto della tensione per la componente della corrente nella direzione della tensione: cosϕ La potenza reattiva Q V sinϕ sarà il prodotto della tensione per la componente della corrente nella direzione perpendicolare (o in quadratura) alla tensione: sinϕ Analogamente a quanto fatto per impedenze e ammettenze si definisce un triangolo delle potenze: S Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 4

42 Potenze istantanea, attiva, reattiva e apparente nel caso si bipoli puramente resistivi, induttivi o capacitivi.. Potenze in un bipolo puramente resistivo Se il bipolo è resistivo non c è sfasamento fra tensione e corrente:ϕ0 (9) π π p( t ) cosϕ sin ωt ϕ sin ωt P p( t )dt cosϕ R (0) R 0 Q sinϕ sin0 0 S P (). Potenze in un bipolo puramente induttivo Se il bipolo è induttivo lo sfasamento fra tensione e π corrente: ϕ () π p( t ) cosϕ sin ωt ϕ 0 sin ωt π P p( t )dt cosϕ 0 (3) 0 π Q sinϕ sin ωl S ωl Q L ( ) (4) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 4

43 3. Potenze in un bipolo puramente capacitivo Se il bipolo è capacitivo lo sfasamento fra tensione e π corrente: ϕ (5) π p( t ) cosϕ sin ωt ϕ 0 sin ωt P p( t )dt cosϕ 0 (6) 0 ( ) π Q sinϕ sin ωc S ωc (7) Q C Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 43

44 Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 44

45 GENERAOR REAL Generatore reale di tensione. Può essere simulato con un generatore ideale di tensione con in serie l impedenza interna. Generatore reale di corrente. Può essere simulato con un generatore ideale di corrente con in parallelo l ammettenza interna. Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 45

46 J EY i E i è la relazione che consente di passare da un generatore di tensione a un generatore di corrente equivalente o viceversa, in base ai teoremi di hevenin e Norton. CONDON D ASSO RASFERENO D POENA i Ri R jx jx i E i () () (3) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 46

47 La potenza trasferita dalla resistenza al carico sarà: E Pu R R ( R R ) ( ) i X X i (4) ale potenza sarà massima per: i R R i e per X X i ossia per Per dimostrarlo basta esprimere P u in funzione di R considerando costante X, e poi in funzione di X considerando costante R, derivare le due espressioni e quindi uguagliarle a zero. dp dr dp dx u 0 R R i con X cost u 0 X X i con R cost l rendimento complessivo η sarà ridotto del 50%: η potenza utilizzata potenza erogata P P u e R R Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 47

48 EOREA D ELLEGEN S P jq * è la potenza complessa. Per una rete lineare in regime sinusoidale vale il teorema di ellegen secondo il quale: l i l l i i i i ( P jq ) 0 S 0 Poiché deve essere valida la () sarà: l i Pi 0 Qi l i 0 Le relazioni () esprimono il teorema di conservazione della potenza attiva e reattiva, chiamato eorema di Boucherot. Separando i generatori dagli altri bipoli elementari passivi, il teorema di ellegen può essere così enunciato: la somma delle potenze attive (o reattive) generate deve essere uguale alla somma delle potenze attive (o reattive) assorbite. Con l sono stati indicati i lati della rete a cui è associato un grafo con l lati orientati. n altre parole il teorema mostra come il vettore delle tensioni e delle correnti sono fra loro ortogonali, infatti se * 0, allora i vettori e * sono ortogonali. l teorema di ellegen è una delle espressioni del principio di conservazione dell energia, da esso discende che la somma delle potenze attive (reattive) erogate è uguale alla somma delle potenze attive (reattive) assorbite. i () () Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 48

49 Applicazione del EOREA D BOCHERO tensione ai morsetti dell alimentazione tensione ai morsetti dell utilizzatore P potenza attiva erogata Q potenza reattiva erogata P potenza attiva assorbita dall utilizzatore Q potenza reattiva assorbita dall utilizzatore P R potenza attiva assorbita dalla linea Q X potenza reattiva assorbita dalla linea PR P R P QX Q X L Q P () Q () Poiché S S P Q (3) Da cui S S P Q (4) Lo sfasamento fra e è dato da : Q ϕ arctan P (5) Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 49

50 ANALOGE FRA EOD D RSOLONE DELLE RE N REGE CONNO E SNSODALE La risoluzione delle reti sinusoidali è basata sui teoremi visti per le reti in corrente continua, valgono quindi: La legge di Ohm l principio di sovrapposizione degli effetti teoremi di hevenin e Norton l metodo di risoluzione delle correnti di maglia l metodo di risoluzione dei potenziali di nodo l teorema di illman. Quindi le espressioni analitiche delle leggi, teoremi e principi sono generalmente analoghe a quelle valide per il regime permanente, basta far corrispondere le grandezze corrispondenti secondo il seguente schema: grandezze in corrente continua corrente alternata tensione corrente R resistenza G conduttanza tensione corrente impedenza Y ammettenza Appunti di Elettrotecnica del prof. ariangela sai del corso di ELEROECNCA per meccanici, chimici Facoltà di ngegneria dell niversità degli Studi di Cagliari 50