Acquisizione di segnali dal mondo fisico

Transcript

1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Ingegneria Medica Acquisizione di segnali dal mondo fisico Dall analogico al digitale Informazione e codifica La codifica può essere vista come la sequenza di due attività distinte : - trasformazione dell informazione nel formato di destinazione (codifica vera e propria) 2 scrittura di tale informazione in un supporto in grado di conservarla a breve o lungo termine Slide 2 di 43

2 META Informazione Si ha Informazione quando c è capacità discriminatoria Supporto capace di mantenere la differenziazione distinzione tra diverse configurazioni Carta con presenza di fori, materiali magnetici polarità N/S, componenti elettronici accumulo di carica, riflessione di luce, etc.. INFORMAZIONE DI TIPO CLASSIFICATORIO Informazione come relazione d ordine A>B C=D E<B Informazione come relazione metrica o differenziale Si appoggia anche ad una unità di misura SI Slide 3 di 43 Schede perforate Perforatore di schede Slide 4 di 43 2

3 Codifica dell informazione Partendo dal concetto che per elaborare, trasferire o conservare l informazione abbiamo la necessità di trascriverla su un supporto fisico possiamo confrontare due terminologie associate a due differenti metodiche: Quando il supporto può portare esplicitamente l informazione 2 Quando il supporto può portare l informazione solo secondo determinate regole di codifica Slide 5 di 43 Informazione e supporto - strategie di manipolazione META Informazione 2 Rappresentazione di tipo intensionale o analogica legata al supporto o esplicita nel supporto Rappresentazione di tipo estensionale o simbolica con implicita regola di codifica ANALOGICO DIGITALE Slide 6 di 43 3

4 Due strategie di codificazione (Analogico) Codifica dell informazione Meta informazione esplicita sul supporto È il supporto e le scale metriche (eventuali) su cui è rilevata l informazione (in analogia alla realtà) a fornire la codifica (Digitale) Meta informazione implicita nella regola di codifica Nel supporto viene trasferita la simbologia (discreta) dopo una operazione di conversione Slide 7 di 43 Codifica dell informazione Analogico in quanto in analogia con l informazione di origine e di tipo continuo (es. strumentazione di misura con tracciato su carta.. xxxxgrafo, barografo, termografo, anemografo, igrografo, pluviografo,.etc) Slide 8 di 43 4

5 Codifica dell informazione Analogico in quanto in analogia con l informazione di origine e di tipo continuo ma con una scala (xxxxxmetro) barometro, termometro, anemometro, igrometro, pluviometro X Y Autor: Langspeed (selfmade) Description: Dosenbarometer auf Holz Source: german wikipedia, original upload 2. Okt 24 by Langspeed Slide 9 di 43 Codifica dell informazione Digitale associato a configurazioni stabilite (tabelle di dati) Informazione vista sotto due aspetti informativi Come classificazione e confronto Come metrica Meta-Informazione Slide di 43 5

6 Analogico e Digitale Codifica dell informazione, supporti e regole di codifica Modalità di definizione della codifica Ridefinizione della codifica al variare dell insieme delle entità di informazione Applicabilità in funzione della cardinalità dell insieme delle entità di informazione Applicabilità in funzione della struttura dell insieme delle entità di informazione Condizioni del supporto Analogico Intensionale o implicito Nessuna ridefinizione è necessaria Applicabile anche per cardinalità non finita Applicabile solo se una struttura è presente Applicabile solo con supporti con struttura Digitale Estensionale Occorre estendere il processo definito in precedenza Applicabile solo per cardinalità finita e con entità note a priori Applicabile in ogni caso Applicabile in ogni caso Slide di 43 Analogico-Digitale Nel mondo dei calcolatori (elaborazione a valori numerici finiti) è necessario trasformare la sequenza di infiniti valori (ampiezze) ed i tempi infinitesimi, nei quali evolvono i segnali del mondo reale, in valori finiti Numero di cifre finito con cui rappresentare le scale di misura, es. i tempi e le ampiezze del segnale da digitalizzare. Inoltre sarà necessario codificare grandezze che variano: nel tempo segnali ad una dimensione (audio ampiezza) nello spazio segnali a due dimensioni (immagini ampiezza e area) nello spazio e nel tempo segnali a tre dimensioni (immagini che cambiano nel tempo - filmati) etc. Slide 2 di 43 6

7 Analogico-Digitale Per tale conversione sono necessarie due attività: CAMPIONAMENTO E QUANTIZZAZIONE Tempo Campionamento consiste nel prelevare il segnale solo in determinati istanti di tempo equidistanti tra loro si passa dal tempo continuo al tempo discreto Si introduce l errore di ricostruzione in banda Ampiezza Quantizzazione del segnale - consiste nell assegnare al dato campionato un valore discreto più vicino possibile al valore reale, in base ad una determinata suddivisione della scala in n distinti livelli (2^3 =8 liv 3 bit) Si introduce l errore di quantizzazione Slide 3 di 43 Analogico Il mondo in cui viviamo è macroscopicamente analogico, i segnali che normalmente analizziamo sono continui nel loro campo di variazione, assumo quindi tutti gli infiniti valori tra due qualunque valori assunti durante la loro evoluzione temporale Ogni fenomeno è inoltre regolato da leggi fisiche che ne limitano le variazioni nel tempo e nell ampiezza, in particolare proprio nelle condizioni di normalità. Es. variazioni di temperatura corporea, pressione sanguigna, velocità, etc. Si è però constatato che la comunicazione, la conservazione delle informazioni in forma numerica è più conveniente Tempo della forma analogica Slide 4 di 43 Ampiezza 7

8 Un segnale è rappresentato da una funzione che nel tempo assume valori variabili, il segnale più semplice assume la formulazione: s(t) A sen (2π f t ) Segnale s(t) A cos (2π f t ) Dove i parametri che rappresentano l onda A l ampiezza f la frequenza (2f=) e (f=/t) la fase al tempo Slide 5 di 43 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Ingegneria Medica CAMPIONAMENTO Trasformazione di un segnale a tempo continuo in segnale a tempo discreto 8

9 Campionamento Segnale analogico reale visualizzabile su carta, oscilloscopio, monitor analogico Tempo e Valori continui e non limitato in banda Slide 7 di 43 Campionamento Il campionamento ogni,5 sec produce una tabella di valori numerici istantanei rappresentativi del segnale in quel preciso istante (t =,5 f = 2 Hz) Slide 8 di 43 9

10 Campionamento Al termine non disponiamo più dei valori del segnale ma solo dei valori misurati negli istanti di campionamento Slide 9 di 43 Campionamento Possiamo pensare ad una possibile ricostruzione di tale segnale, immaginando che il valore cambi proprio nel momento del campionamento, ricostruzione a gradinata Slide 2 di 43

11 Campionamento Analizzando il fenomeno fisico da cui scaturisce questo segnale possiamo fare delle ipotesi che ci inducono a collegare i campioni con la retta definita dalle due coppie di valori (t,a).. (t2,a2) retta interpolante. Slide 2 di 43 Campionamento Possiamo poi ridurre a metà il tempo tra un campione ed il successivo o raddoppiare la frequenza di campionamento t =,25 f = 4 Hz Rispetto alla situazione precedente aggiungiamo un campione tra due dei precedenti. Slide 22 di 43

12 Raddoppiarmo la frequenza di campionamento t =,25 f = 4 Hz ravviciniamo i momenti di misura raddoppiamo il numero di valori da conservare Campionamento Slide 23 di 43 Gradinata con campionamento 4 Hz Campionamento Slide 24 di 43 2

13 Interpolazione lineare con campionamento 4 Hz Domanda : Qual è la massima frequenza di campionamento affinché il segnale possa essere ricostruito fedelmente e il numero di valori non sia eccessivo? Campionamento Slide 25 di 43 Campionamento Acquisizione di un numero finito di valori quantizzati e campionati ad intervalli di tempo definiti Nella maggior parte delle applicazioni il periodo di campionamento è fisso e costante, determinato dalle caratteristiche del segnale da campionare t intervallo di campionamento f frequenza di campionamento t In seguito il segnale riconvertito, nel tempo continuo (D/A conv) con l interpolazione, può essere uguale all originale? t Slide 26 di 43 3

14 Campionamento Serie di Fourier (serie di funzioni periodiche di periodo T) Serie numeriche sono la somma di una successione di valori f ( x) a n a n f ( x) *cos n x b T T nt c n e in( / T ) x n *sen n x T Con l uso delle formule di Eulero si dimostra l equivalenza con il polinomio trigonometrico dove c n c -n e c n a n ib n Joseph Fourier (768-83) per la trattazione si rimanda ai testi di analisi sulle serie Slide 27 di 43 a 2T T T f ( x)* dx a b Campionamento T f ( x)*cos n( xdx T T T T f ( x)*sin n( xdx T T T n ) n ) Sostanzialmente questa serie di Fourier afferma che ad ogni istante t una funzione nel tempo periodica di periodo T è calcolabile con la somma di infinite sinusoidi che in quell'istante t hanno valori determinati. Nei segnali periodici reali le componenti in cui n è grande tendono ad essere trascurabili e possono ragionevolmente essere trascurate, in particolare nei segnali a banda limitata diventano componenti a potenza nulla. Link di aprofondimento Joseph Fourier (768-83) Slide 28 di 43 4

15 Trasformata di Fourier Passando alla forma integrale si ottiene sotto alcune ipotesi (condizioni di Dirichlet sufficienti affinché le serie di Fourier siano convergenti) f (t) è ad un sol valore in (-T,T), tranne eventualmente solo al più su un numero finito di punti. f (t) è periodica al di fuori di (-T,T) con periodo 2T f ( t f '(t) sono continue a tratti in (-T,T) ed ) f ( t) A( )*cos( t) B( )*sin( t) dt A ( ) f ( t)*cos( t) dt B ( ) f ( t)*sin( t) dt Con altre ulteriori considerazioni si possono scrivere le due funzioni che ci permettono di passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza Trasformata da t ad f F( ) 2 f ( t)* e -jω t dt Antitrasformata da f a t f ( t) F( )* e 2 j ω t d Slide 29 di 43 Spettro di un segnale tipico limitato in banda Se il segnale originale (analogico) è limitato in banda (cioè al di sopra di una certa frequenza i valori (coefficienti) sono nulli allora la sua trasformata può assumere una forma del tipo (fig.) su di un grafico dove le x sono le componenti frequenziali e le y sono le ampiezza delle singole componenti (in questa descrizione semplificata e concettuale si omettono le considerazioni sull andamento della funzione fase in funzione della frequenza [(F)] dei segnali) A F max F Slide 3 di 43 5

16 Spettro di un segnale campionato Se effettuiamo la trasformata del segnale campionato ad una frequenza Fc quello che si ottiene è una ripetizione intorno a multipli della Fc della banda del segnale originale. A Filtro di banda F max F c 2F c 3F c F Se la frequenza di campionamento è superiore o uguale al doppio della massima frequenza (frequenza di Nyquist) del segnale non ci sono problemi in quanto con dei filtri opportuni nel segnale riconvertito nel tempo si cancellano i segnali a frequenza superiori ad F max Slide 3 di 43 Trasformata di Fourier E possibile sotto certe ipotesi realizzare una trasformazione del segnale tra i due domini tempo-ampiezza (segnale rappresentato nel dominio del tempo) frequenza-ampiezza (stesso segnale rappresentato nel dominio delle frequenze) Nell esempio che segue si può osservare una tra le infinite funzioni ottenuta dalla Ampiezza somma delle sue tre componenti Segnale risultante ,5,,5,2,25,3,35,4,45, Tempo 6 4 Ampiezza Componenti Singole freq ampiez ,5,,5,2,25,3,35,4,45,5 Tempo Slide 32 di 43 6

17 Spettro del segnale precedente 8 Ampiezza Frequenza In generale è possibile anche fare l operazione opposta Passare dalla frequenza al tempo cioè dalla F(w) alla f(t) In questo caso si parla di trasformata inversa o anti-trasformata di Fourier Slide 33 di 43 Spettro di un segnale campionato Se invece ci troviamo nella condizione di figura (la frequenza di campionamento Fc<2Fmax allora la sovrapposizione del segnale base all artefatto dovuto al campionamento altera il segnale originale che non può essere ricostruito in modo corretto in quanto cambia la potenza delle componenti che si sovrappongono e si generano alterazioni come alias e battimenti. A Filtro di banda F F max F c 2F c 3F c Slide 34 di 43 7

18 ALIASING È un fenomeno dovuto al campionamento con frequenza più bassa del doppio della massima frequenza presente nel segnale. Segnale blu originale 25 Hz campionato a 26 Sample/sec. Si ottiene un segnale rosso di frequenza Hz Slide 35 di 43 Battimento Battimento tra due segnali è la risultante della sovrapposizione di due segnali periodici le cui frequenze siano vicine tra loro e la cui ampiezza sia simile o uguale Cos( 2 * f * t) Sen(2 * f. * t) segnale campion Slide 36 di 43 8

19 Teorema del campionamento o di Nyquist-Shannon Afferma che affinché da un segnale continuo limitato in banda, del quale si conosca la massima componente frequenziale (segnale sempre nullo al di sopra di tale frequenza), si possa ottenere un segnale campionato che mantenga il contenuto informativo originale, è necessario effettuare il campionamento con una frequenza superiore al doppio della massima frequenza del segnale campionato Fc>= 2Fmax Dato che un segnale analogico per definizione non è limitato sarà necessario effettuare un filtraggio analogico prima di inviarlo al campionatore. Segnale Analogico ingresso Amplificatore Convertitore D/A Segnale Analogico uscita Filtro Passa basso Sampling Holding Comparatore Encoder Segnale Digitale Da elaborare e/o memorizzare Slide 37 di 43 Campionamento musicale Segnale 225 Hz Freq Camp 44 Hz Quantizzazione 6 bit 2 Byte Byte /sec 882 Stereo Byte/sec 764 CD ROM contiene 65 MB = 65*24*24 = byte Per una registrazione stereo / 76.4 = sec sec / 6 sec = 64 min Per una registrazione mono / 88.2 = sec 28 min Slide 38 di 43 9

20 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Ingegneria Medica QUANTIZZAZIONE Assegnazione di un valore a numero di bit finito al segnale campionato Quantizzazione Quantizzazione: definizione del numero di cifre da usare nell approssimare il valore vero, numero finito di cifre per la rappresentazione Numero di fasce in cui viene diviso l intervallo (ampiezza) in cui il segnale è confinato Es. Se decido di lavorare con passo di,5 oppure di, oppure di, che valori assegno ad ogni valore campionato che si trovi tra un livello e quello successivo? Q,5 Q, Q, ,7, Slide 4 di 43 2

21 Quantizzazione La quantizzazione: a fronte del valore reale con infinite cifre x(t i ) in ingresso restituisce un numero discreto (numero di cifre limitato) più vicino al valore x(t i ) tra tutti gli N possibili livelli di quantizzazione volt suddivisi in livelli (oppure 6 V in 6 livelli per utilizzare in modo completo i 4 bit) In Blu segnale ingresso continuo In Arancio segnale quantizzato Risoluzione = / R = volt / valore Errore di +/-,5 V Quatiz Slide 4 di 43 Quantizzazione Si possono avere più tipologie di codifica naturale solo valori positivi per segnale d ingresso positivo dove R=V max /N liv o risoluzione del convertitore R= V max / 2 n dove n numero di bit del convertitore Nella conversione con complemento a 2 per segnali di ingresso compresi in un intervallo bipolare +/- V max volt la risoluzione diviene R=2 * V max / 2 n 9 Volt suddivisi in 4 livelli binari 3 Risoluzione = 2 / 4 R = 3 volt / valore Errore di +/-,5 V Slide 42 di 43 2

22 Quantizzazione Sorge spontanea una domanda E possibile sapere, dopo aver collezionato questa sequenza di numeri, se si può ricostruire un segnale con le stesse caratteristiche di quello originale? La risposta è no! Per la quantizzazione si deve definire l errore massimo ammesso considerando che l errore di quantizzazione è dato per ogni campione m simo o prelevato al tempo t i e ( m) x ( m) x( m) q e che l operazione di quantizzazione può essere effettuata con due metodiche sul dato numerico Troncamento Arrotondamento x x q / 2 x q q x q q q q q Arr_Tro Slide 43 di 43 Errore di quantizzazione L errore di quantizzazione introduce un rumore di quantizzazione che è sempre confinato tra i valori Dove è il range di quantizzazione che è tanto minore quanto più piccolo è il Range ingresso / n livelli Es. Volt massimo in ingresso ( il è espresso in volt/livello) su 4 bit / 6 =,625 Eq max = +/-,325 su 8 bit / 256 =,39625 Eq max = +/-,95325 su 2 bit / 496=,2444 Eq max = +/-,227 Es. andamento dell errore su un segnale linearmente crescente quantizzato ad 8 bit (scala espressa in mv) / 2 mv Err Slide 44 di 43 22

23 Quantizzatore Convertitore A/D a 3 bit - flash V Vr Sistema di mantenimento del dato durante la conversione Sample and Hold esempi Vr = volt Vi 8 V Vr 7 V Vr 6 V Vr 5 V Vr 4 V Vr 3 V Vr 2R R R R R R R > 8v > 7v > 6v > 5v > 4v > 3v Rete combinatoria Encoder A 2 A A V i = 3 e 4 volt 2 V Vr R > 2v V i2 = 6 e 7 volt V Vr R > v Qua Slide 45 di 43 Encoder per DA I7 I6 I6 I5 I5 I4 I4 I3 A 2 I7 I6 I6 I5 I3 I2 I2 I A A 2 A A Funzione di XOR di ingresso nell encoder per ottenere i Bit A, A, A 2 Il bit di overflow è la AND su tutti gli ingressi I7 I6 I5 I4 I3 I2 I I A Slide 46 di 43 23

24 I7 I6 I5 I4 I3 I2 I I Overflow Encoder 3 bit I7 I6 I6 I5 I5 I4 I4 I3 I3 I2 I2 I I I A 2 A A Slide 47 di 43 Convertitore ad bit per approssimazioni successive La conversione ad approssimazioni successive di bit pur essendo più lenta di quella per confronto immediato o flash la quale produce il valore numerico binario in tempi dell ordine dei milionesimi di secondo, i più veloci convertitori operano sui MS/sec. (mega sample/secondo) È molto conveniente in quanto non necessita di complessi circuiti di comparazione e codifica. La conversione avviene ponendo nell unico comparatore un riferimento V rif che cambia ad ogni colpo del clock interno su un valore determinato che suddivide il range interessato in due parti facendo si che il valore in ingresso si trovi in uno dei due semi spazi ( se il segnale si trova nello spazio superiore il bit interessato sarà eguale ad se il segnale si trova nella parte inferiore il bit sarà eguale a ) Il valore di riferimento è generato attraverso un convertitore analogico/digitale che a partire dai bit, che di volta in volta, partendo dal più significativo (MSB) fino al meno significativo (LSB) vengono calcolati e riportati sul riferimento. Slide 48 di 43 24

25 Convertitore ad bit per approssimazioni successive Range d ingresso - volt e Vi di 4,75 volt Primo passo di conversione del bit più significativo V rif =5 volt > 4,75 volt B 9 = V rif =2,5 volt < 4,75 volt B 8 = V rif =3,75 volt < 4,75 volt B 7 = V rif =4,375 volt > 4,75 volt B 6 = V rif =4,625 volt < 4,75 volt B 6 = Selezionatore bit convertito e temporizzazione A 3 A 2 A A Timing Vi V rif Rete di selezione B 9 B 8 B 7 B 6 B 5 B 4 B 3 B 2 B B Rete di preselezione e Rete di memorizzazione Convertitore D/A Rete resistiva Calibrata R-2R Slide 49 di 43 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Ingegneria Medica Termine Lezione Grazie per l'attenzione Domande??????? 25