, eccettuato al più il punto stesso, e sia L un numero reale. Si dice che f ha limite L per x che tende a x 0. L = lim f (x),

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1 CAPITOLO FUNZIONI CONTINUE Ricordiamo la definizione di ite finito per x che tende a valore finito: Definizione Sia f una funzione definita in un intorno del punto x 0, eccettuato al più il punto stesso, e sia L un numero reale Si dice che f ha ite L per x che tende a x 0, e si scrive L = f x), x x 0 se per ogni ε > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ f x) L < ε Notiamo subito che la funzione può non essere definita in x 0, come per esempio nel caso della funzione f x) = x 6 x 4 x 6 x 4 x 4 = 8 nel punto x = 4, pur essendo 0 Una funzione si dice continua nel punto x 0, se questo è un punto interno all insieme di definizione della funzione e risulta: x x 0 f x) = f x 0 ) La definizione di ite viene modificata prevedendo la possibilità che x possa coincidere con x 0 : ε > 0, δ > 0 x x 0 < δ f x) L < ε Una definizione alternativa di funzione continua in un punto è la seguente: h 0 f x 0 + h) = f x 0 ) Di fondamentale importanza, come vedremo in seguito, è il concetto di funzione infinitesima Una funzione si dice infinitesima in x 0 se vale x x 0 funzione non è definita in x 0 f x) = 0, anche se la Questa ipotesi è essenziale per poter parlare in termini di ite, contrariamente al caso in cui x 0 è un punto isolato, dove convenzionalmente la funzione è ritenuta continua nel senso della definizione seguente: f è continua in x 0 se, ε > 0 esiste un intorno Ix 0 ) tale che f x per ogni x Ix 0 ) E evidente che tutto fila liscio se Ix 0 ) = { x 0 } ) f x 0 ) < ε,

2 Insieme di definizione e continuità In generale, una funzione è continua in un insieme se lo è in ognuno dei suoi punti, nel senso della definizione data Parrebbe quindi, che l insieme di definizione possa essere considerato, equivalentemente, come il più grande insieme in cui la funzione è continua nel senso della definizione con il concetto di ite Le cose, tuttavia, non stanno così Infatti, la continuità richiede primariamente la condizione che il punto x 0 sia un punto di accumulazione per l insieme di definizione della funzione, mentre esistono funzioni, come ad esempio f x) = cos x o g x) = x + x, che sono definite su insiemi di punti isolati e quindi continue!) In particolare, f x) = cos x è definita in D { x R, x = kπ k Z }, e g x) = x + x in D { x =} Esercizi Dire se le seguenti sono funzioni continue in 0 calcolare i iti destro e sinistro per x che tende a zero ): f x) = x + sin x si # f x) = & " 3 f x) = # # 4 f x) = & " 5 f x) = # " 6 f x) = # x, x 0 x x < 0 sin x x, x 0 x = 0 cos x, x > 0 x x 0 x x, x 0 0 x = 0 x x, x 0 0 x = 0 " no f x) = # si f x) = " # x + x x x 0 0 x = 0 arctan x x 0 π " sin x 0 si f x) = # x 0 x = 0 # x + si f x) = x x 0 & 0 x < 0 " no f x) = # log + x) x 0 x < 0 x = 0 no no no no si Un punto x 0 è di accumulazione per un sottoinsieme della retta reale, se ogni suo intorno completo contiene infiniti punti del sottoinsieme stesso

3 3 Punti di discontinuità I punti in cui una funzione non è continua si dicono punti di discontinuità Ci sono quattro tipi di punti di discontinuità Vediamoli nel dettaglio Punti di discontinuità einabile: sono punti in cui il ite di f x) per x x 0 esiste finito ma è diverso da f x 0 ), oppure la funzione non è definita in x 0 Esempi f x) = x x +, sin x f x) = x Punti di discontinuità di prima specie: sono punti in cui ite destro e ite sinistro esistono finiti e sono diversi tra loro In questo caso si dice che la funzione ha un salto nel punto di discontinuità dato da sx 0 ) = x x 0 + f x) x x 0 # Esempio f x) = & f x) lnx ) x 3 0 x < 3 Punti di discontinuità di seconda specie: sono punti in cui esistono ite destro e sinistro, ma almeno uno dei due è infinito Esempio f x) = e x Punti di discontinuità di terza specie: sono punti in cui uno o ambedue i iti, destro e sinistro, non esistono

4 4 Esempio f x) = sin x Esercizi Classificare le discontinuità delle seguenti funzioni nei punti indicati: f x) = x x x = ; f x) = 3 kx + 3; x 3 f x) = & x ; x < continua 4 f x) = x x 5 f x) = e Discontinuità di I specie x x = ; Discontinuità di II specie x+ 6 f x) = xn x x = ; ; Discontinuità di I specie se k altrimenti Discontinuità einabile x 3 x = 3 ; Discontinuità di II specie x = ; Discontinuità einabile

5 5 7 f x) = cos x cos x cosx x = 0 ; Discontinuità einabile 3 Un applicazione alla fisica: il campo elettrico dovuto a particolari distribuzioni di carica Esempio Indichiamo con σ la densità di carica distribuita uniformemente sulla superficie laterale di un cilindro di raggio r e altezza l Si determini l espressione del campo elettrico prodotto da tale distribuzione di carica, lontano dal bordo Applichiamo il teorema di Gauss: & Φ E = E πxl E = σ πrl x>r ε 0 πxl = σ r ε 0 x & ' E 0<x<r = 0 Esempio Due lastre rettangolari parallele molto estese hanno una densità di carica superficiale identica σ, e sono separate da una distanza a Si determini il campo elettrico in un punto a distanza x dal piano di simmetria delle due lastre 3 cos x cosx = cos x cos x + cos x = cos x cos x)+ + cos x) cos x) = cos x)cos x + cos x)

6 6 Esempio 3 Una quantità di carica positiva Q è distribuita uniformemente all interno di una corona sferica deitata da due superfici sferiche di raggi r < R Q Indicata con ρ = la densità di carica, si calcoli il valore del 4π 3 R3 r 3 ) campo elettrico in un punto a distanza x dal centro della corona sferica Si suddivida lo svolgimento in tre parti: 0 < x r, r < x R, x > R ) Analizziamo i singoli casi

7 7 r < x R 4πx E r<x R = x > R 4πx E x>r = Q ε 0 E x>r = ρ 4π x3 r 3 ) 3 ε 0 Q 4πε 0 x 0 < x r 4πx E 0<x r = 0 ε 0 E 0<x r = 0 E r<x R = ρ x 3 r 3 ) 3ε 0 x Teoremi sulle funzioni continue Diciamo che una funzione f è continua sull intervallo chiuso [ a,b] se è continua in a, in b ed in ogni punto a < x < b I teoremi che esamineremo quello di Weierstrass, quello degli zeri, e quello dei valori intermedi) riguarderanno proprio le funzioni continue definite su un intervallo chiuso e itato La continuità della somma e del prodotto di funzioni continue si dimostra senza troppe difficoltà, così come il quoziente nei punti in cui la funzione al denominatore è diversa da zero Occupiamoci adesso della continuità della funzione composta Teorema continuità della funzione composta) Siano f una funzione definita in un intorno aperto di x 0, e continua in x 0, e g una funzione definita in un intorno aperto di y 0 = f x 0 ) e continua in y 0 Se y 0 è un punto di accumulazione per l immagine della funzione f, allora, la funzione composta g f x)) è continua in x 0 A x 0 f!! B y 0 = f x 0 ) g!! C z 0 =g y 0 ) Dimostrazione Per ogni ε > 0 esiste un intorno di y 0 = f x 0 ), y 0 δ ;y 0 + δ ) tale che gy) gy 0 ) < ε, per ogni y y 0 δ ;y 0 + δ ) In corrispondenza di δ esiste, per la continuità dalla funzione f, un δ tale che f x) f x 0 ) < δ per ogni x x 0 δ ;x 0 + δ ) In definitiva, per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che g f x)) g f x 0 )) < ε per ogni x x 0 δ ;x 0 + δ ), di conseguenza g f x)) = g f x)) = g f x 0 )) = gy 0 x x 0 x x0 ) Esercizio Si studi la continuità della funzione x + log x) x +x x > 0 Il seguente risultato svela la relazione tra funzioni continue su intervalli chiusi e l esistenza di massimi e minimi:

8 8 Teorema di Weierstrass Ogni funzione continua su un intervallo chiuso a,b [ ] è ivi itata e assume massimo e minimo Per convincersi dell essenzialità dell ipotesi d intervallo chiuso, consideriamo il comportamento della funzione f x) = x, x 0,]: la funzione non ammette massimo, poiché + x = + Analogamente, se provassimo ad indebolire l ipotesi togliendo la continuità della funzione, la tesi del teorema salterebbe con il controesempio dato da f x) = x, x #, & Sempre con il metodo di bisezione degli intervalli e sempre grazie all assioma di continuità) è possibile dimostrare il seguente: Teorema degli zeri di funzioni continue Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso [ a,b] e tale che f a) > 0, f b) < 0; allora esiste almeno un punto x 0 in a,b) tale che f x 0 ) = 0

9 9 Problema Si determini il numero di soluzioni dell equazione e x + x = 0, e s indichino con due cifre decimali esatte Dal confronto grafico di cui sopra, suggerito dall equazione e x = x, si vede che l equazione ammette una sola soluzione 0,6 < x < 0,5 Applichiamo il metodo di bisezione per determinare la soluzione con due cifre decimali esatte: a n f a n ) b n f b n ) m f m) -0,6-0,0588-0,5 0,0653-0,55 0, ,6-0,0588-0,55 0, ,575-0,095-0,575-0,095-0,55 0, ,565 0,0078-0,575-0,095-0,565 0,0078-0, ,0057 La soluzione con la precisione richiesta è x = 0,56 Un altro importante risultato che caratterizza le funzioni continue è il seguente Teorema dei valori intermedi Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso! " a,b# Allora la funzione assume tutti i valori compresi tra il minimo m e il massimo M L immagine di! " a,b# è quindi l intervallo chiuso! " m, M#

10 0 Dimostrazione Siano c e d i punti rispettivamente di minimo e di massimo che esistono per il teorema di Weierstrass) Supponiamo che c<d Sia α un numero compreso tra m e M Proviamo che esiste x 0 in! " a,b# tale che f x 0 ) = α Per questo sarà sufficiente applicare il teorema degli zeri alla funzione gx) = f x) α, continua su! " c,d#, e tale che gc) = f c) α = m α < 0, gd ) = f d ) α > 0 Approfondimento: la continuità della funzione inversa Abbiamo già avuto modo di osservare che funzioni strettamente monotone sono invertibili, mentre non è necessariamente vero il viceversa: esistono, infatti, funzioni invertibili che non sono monotone Vediamo sotto quali ipotesi una funzione invertibile e continua, ammette inversa continua Cominciamo dicendo che la definizione su un intervallo è essenziale Infatti, esistono funzioni continue non definite su un intervallo, # con inversa non continua, come ad esempio f x) = & # chiaramente invertibile con inversa f x) = & sull intervallo! " 0,#, evidentemente discontinua in x = x 0 x < x + x x 0 x < x x 3 definita,

11 In generale, una funzione continua ed invertibile, definita su un intervallo che può essere itato, una semiretta, oppure tutto l insieme dei numeri reali), possiede inversa continua Esercizio E data la funzione f x) = ln x + e) a) Si determini il dominio della funzione e le intersezioni con gli assi; # ln x + e) # x + e e x + e > 0 & x R & D ;0) 0;+ ) La funzione è pari b) Si descriva il comportamento della funzione agli estremi del dominio; x ln x + e ) ln x + e) d) Si restringa il dominio della funzione al semiasse positivo delle ascisse e si determini l espressione analitica della funzione inversa y = ln x + e) ln x + e) = y ln x + e) = y y x = & e & e) Si tracci il grafico della funzione e della sua inversa y y ' e) )

12 Esercizio E data la funzione f x) = ln x a) Si tracci un grafico approssimativo; b) Si determini la funzione inversa e se ne tracci un grafico approssimativo; c) Si determini il punto di incontro delle curve grafico della funzione e della sua inversa Alcuni risultati generali Corollario La somma e la differenza di funzioni continue è una funzione continua Corollario 3 Il prodotto di funzioni continue è una funzione continua Corollario 3 Se f e g sono funzioni continue, allora la funzione f g è una funzione continua nei punti in cui f è positiva e g è definita Dimostrazione Si scrive la funzione nella forma! " f x)# = e g x )ln f x )), si applica il teorema della continuità della funzione composta, e si sfrutta la continuità del prodotto di funzioni continue Osservazione Un esempio in cui il teorema 3 non si può invertire è dato da f x) = x; gx) = x Corollario 4 Le funzioni polinomiali sono funzioni continue Corollario 4 Le funzioni seno e coseno sono funzioni continue si applichi la definizione f x h h) = f x 0 ) e le formule di addizione) ESERCITAZIONE FINALE PROBLEMA E data la circonferenza con centro nell origine degli assi cartesiani e raggio unitario Indichiamo i punti A ;0)e Q 0; ), e P sulla circonferenza, tale che PÔA := x La retta t, tangente alla circonferenza in P, e il segmento PQ incontrano l asse delle ascisse rispettivamente nei punti L e R Indicata con H la proiezione di P sull asse delle ascisse, si calcoli il Area QAH ) Area RPL ) g x )

13 3 ESERCIZI Si dimostri che l equazione xe x = 0 ammette una sola soluzione compresa tra zero e uno Si determini la soluzione in questione con un approssimazione alla prima cifra decimale, mostrando chiaramente il procedimento seguito Si calcoli il QUESITI cosx cosx cosx e Si dimostri il ite notevole x = x Si dica per quali valori del parametro a la funzione # x f x) ax; x = è continua su tutto il suo insieme di & ln x; x > definizione ln + x) 3 Si calcoli, al variare del parametro α R, il ite + x α CORREZIONE PROBLEMA E data la circonferenza con centro nell origine degli assi cartesiani e raggio unitario Indichiamo i punti A ;0 )e Q 0; ), e P sulla circonferenza, tale che PÔA := x La retta t, tangente alla circonferenza in P, e il segmento PQ incontrano l asse delle ascisse rispettivamente nei punti L e R Indicata Area QAH ) con H la proiezione di P sull asse delle ascisse, si calcoli il Area RPL )

14 4 Si determina OR applicando il teorema dei seni al triangolo OPR, essendo O ˆPR = π 4 x il triangolo OQP è isoscele): # sin π OR sin O ˆPR ) = OP sin O ˆRP ) OR = 4 x & cos x ' # sin 3π 4 x = sin x & cos x ' + sin x Area QAH ) Area RPL) = AH OQ ) OL OR) PH& ' = cosx & ) ' x cos cosx sin x + & - / cos x + sin x - sin x/ / - ), '/ ) cos x sin x cosx cos x sin x + - cos x + sin x - sin x -, = cosx tan x sin x = ESERCIZI Si dimostri che l equazione xe x = 0 ammette una sola soluzione compresa tra zero e uno Si determini la soluzione in questione con un approssimazione alla prima cifra decimale, mostrando chiaramente il procedimento seguito Si tracciano i grafici delle funzioni y = x e y = ex, e si osserva che si incontrano in un solo punto Di conseguenza l equazione xe x = 0 ammette una sola soluzione compresa tra zero e uno, che =

15 5 può essere determinata con la precisione richiesta applicando il teorema degli zeri per funzioni continue alla funzione y = xe x a n f a n 0 -, ,5-0, ,5 0,5-0, , ,75 0, ,75 0,5-0, ,75 0, ,65 0, ,6 0,5-0, ,65 0, ,565-0, ,56 0,565-0, ,65 0, , , ,59-3 ) b n f b n ) m f m) ZERO Si calcoli il cosx cosx cosx cosx cosx cosx = cosx cosx cos x + sin x = cosx) cosx cosx +cosx = 3 = QUESITI ) = ) + cos x e Si dimostri il ite notevole x = x Con la sostituzione e x = t x = lnt +) il ite è t 0 t ln+ t) = t 0 ln+ t) t = =

16 6 Si dica per quali valori del parametro a la funzione # x f x) ax; x = è continua su tutto il suo insieme di & ln x; x > definizione E sufficiente imporre la continuità in x =: f ) = a = +ln x = 0 a = x ) ln + x 3 Si calcoli, al variare del parametro α R, il ite + x α ) ln + x + x α ) ln + x = + x x α ) ln + x = + x x α = 0 + α < α = α > ESERCITAZIONE FINALE 3 Si determini, per via grafica al variare del parametro k R, il numero di soluzioni dell equazione x 3 + x k = 0 Si dimostri che un equazione polinomiale di grado dispari ammette sempre almeno una soluzione, indicando chiaramente i riferimenti teorici utilizzati 3 Si calcoli il valore approssimato di tan assumendo che π = 3,46 4 Si determini l insieme di definizione della funzione ) = ln cos x f x )), e se ne discuta la continuità 5 Calcolare e verificare con la definizione il ln x ) 6 Calcolare i seguenti iti di funzioni: + ) # cos arctan & x ' π, + - x sin x sinx x tan 3x

17 7 7 Si discuta, al variare del parametro α R, la continuità della # funzione f x) = x x > 0, classificandone gli eventuali punti di & e x α x 0 discontinuità 8 Calcolare, al variare del parametro α R il + x α sin x CORREZIONE Si determini, per via grafica al variare del parametro k R, il numero di soluzioni dell equazione x 3 + x k = 0 x 3 + x k = 0 x 0) x += k x Si dimostri che un equazione polinomiale di grado dispari ammette sempre almeno una soluzione, indicando chiaramente i riferimenti teorici utilizzati Sia P n x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 l espressione di una generica funzione polinomiale di grado n Se a n > 0, allora x x ± P n ) = ± ) = ) In ogni caso quindi, è possibile trovare un altrimenti P n x x ± intervallo di estremi a e b tali che P n a) P n b polinomiale è, ovviamente, continua Per il teorema degli zeri esiste almeno un x 0 a, b [ ] P n x 0 ) = 0 ) < 0, su cui la funzione

18 8 3 Si calcoli il valore approssimato di tan assumendo che π = 3,46 tan x Dal ite notevole = tan x x in un intorno di zero x Poiché = π 90 3,46 = 0, tan = 0, Si determini l insieme di definizione della funzione ) = ln cos x f x f x " # )) ) ) = ln cos x, e se ne discuta la continuità x = kπ D { x R x = ± kπ } ) 5 Calcolare e verificare con la definizione il ln x ln x ) = 0 ln x x < e ε ) 0 < ε x < e ε & '& x > e ε + & '& x R x < e ε ) # cos arctan & x ' π, Calcolare i seguenti iti di funzioni: sinx sin x x tan 3x t = arctan x π x = tan # t + π & = cost Di conseguenza, ' sint ) # & cos arctan π, + x ' - cost = cost # & t = + x t 0 t sint ' sin x sinx sin x cos x 3x) = = x tan 3x 9x 9 = 8 ) x tan3x) 7 Si discuta, al variare del parametro α R, la continuità della # funzione f x) = x x > 0, classificandone gli eventuali punti di & e x α x 0 discontinuità x

19 9 f 0) = e α = x α = 0 Se α 0 la funzione presenta + nell origine una discontinuità di salto 8 Calcolare, al variare del parametro α R il x α sin + x x α x α sin x xα x α sin + x = & ' 0 α > 0 / α 0 COMPITO DI MATEMATICA Classe V sezione B 04//04 Si discuta la continuità della funzione f x) = variare del parametro α R ) +! π tan# & x 0 " x + 4 ) x ln + x α x > 0, al Si enunci e si dimostri il teorema dei valori intermedi 3 Determinare il numero di zeri della funzione f x) = x x + Se ne determini il valore approssimato alla prima cifra decimale di uno a scelta 4 Calcolare il valore dei seguenti iti di funzioni: # & 3 x cosx + x ' a) x x ln sin x) b) tan 3 x

20 0 CORREZIONE Si discuta la continuità della funzione f x) = variare del parametro α R ) +! π tan# & x 0 " x + 4 ) x ln + x α x > 0, al f 0) = tan π 4 = α ) ln + x + x # = ln + x α + ) x = + α < IIspecie α = continua 0 α > Ispecie & ' Si enunci e si dimostri il teorema dei valori intermedi Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso! " a,b# Allora la funzione assume tutti i valori compresi tra il minimo m e il massimo M L immagine di! " a,b# è quindi l intervallo chiuso! " m, M# Dimostrazione Siano c e d i punti rispettivamente di minimo e di massimo che esistono per il teorema di Weierstrass) Supponiamo che c<d Sia α un numero compreso tra m e M Proviamo che esiste x 0 in! " a,b# tale che f x ) = α Per questo sarà sufficiente applicare il 0 teorema degli zeri alla funzione gx) = f x) α, continua su! " c,d#, e tale che gc) = f c) α = m α < 0, gd ) = f d ) α > 0 3 Determinare il numero di zeri della funzione f x ) = x x + Se ne determini il valore approssimato alla prima cifra decimale di uno a scelta

21 Si applica il teorema degli zeri a f x ) = x x + in # 3 ; an fan) bn fbn) m fm) ZERO,50 0, ,75 0, ,75 -,5 0,45707,75 0, ,65 0, ,65,65 0, ,75 0, ,6875 0, ,6875! " &: 4 Calcolare il valore dei seguenti iti di funzioni: # & 3 x cosx + x ' 3 x ) + cosx a) = x x x ln sin x # ) x ln sin x & b) = ) cosx tan 3 x tan x sin x ' ) x = ln3 = ) =