Università degli Studi di Milano. Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

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1 Unersà degl Sud d Mlano Facolà d Scenze Maemache Fsche e Naural Cors d Laurea n: Inormaca ed Inormaca per le Telecomuncazon Anno accademco 7/8, Laurea Trennale, Edzone durna FISICA Lezone n. 5 (4 ore) Mo n due dmenson, D Quanà d moo, conserazone, mpulso Flaa Mara Gropp Garlandn Dparmeno d Fsca Laboraoro LASA Va F.ll Cer, 9 Segrae (Mlano) web page: hp://wwwhsarn.m.nn./sa-members/gropp/teachng e-mal: laa.gropp@unm.

2 Equazone d Newon n D e 3D Quesa equazone può essere proeaa sulle re drezon ndpenden, e z La orza è F = F + F j + F k = (F, ) + (F, ) j + (F,z ) k e dunque s ha: F = ma F = ma F z = ma z F = m a Flaa Gropp Fsca Inormaca Lez

3 Fsca Inormaca Lez Flaa Gropp 3 Cadua lbera e moo parabolco Sono ques due mo dou all accelerazone d graà, g, prodoa dalla orza d graà, F g Come s procede:. S scegle l ssema d coordnae. S rcaa l accelerazone dalle orze 3. S rcaa l equazone del moo dall accelerazone 4. S applcano le condzon nzal Esempo del graacelo: Esempo del proele: g -gm -gm -gm -gm -gm -gm Noa: rsula non dpendono dalla massa m j g m F a j m g j m g j F m g F g g g g ) ( e ) ( g g ) ( ) ( ) ( ) ( (), () ; (), () ; g a g a a a a F

4 Moo parabolco (seguo) Le equazon general sono: -gm -gm -gm La raeora s oene elmnando l empo: -gm g -gm -gm Quelle sopra sono equazon general Formula specca: gaa R (puno d rorno alla quoa s parenza) Alra ormula specca: puno pù alo della raeora: Flaa Gropp 4 Fsca Inormaca Lez

5 In gura è rappresenao un proele lancao erso un errapeno d alezza h con elocà nzale = 4. m/s e angolo d lanco = 6 sopra l pano orzzonale. Il proele cade nel puno A, 5 s dopo l lanco. Calcolare: a) l alezza del errapeno, b) la elocà del proele all mpao, c) la massma alezza, H, che esso ha ragguno sopra l lello del erreno. S rascur la ressenza dell ara. I da del problema sono: = = = 5 s = 6. = 4. cos( ) =. m/s. = 4. sn( ) = 36.4 m/s ( )= h? Eserczo sul moo parabolco Ulzzando le equazon d pagna precedene, calcolo alor d () e () all sane = ( ) ( ) 5 m 5 m,, 9.8 ( ) a, g, ( ) g, h m Per calcolare l alore d H noamo che l proele raggunge la quoa massma quando la sua elocà ercale s annulla per passare da ascendene ( >) a dscendene ( <). Calcolo qund l alore d H al quale = e po sosusco l alore roao nella () poché H =( H ) -, 36.4m s ( H ) g H, H 3.7 s - g 9.8 m s H ( H ) g Flaa Gropp 5, 9.8 ms 3.7 s 36.4ms 3.7 s 67.5 m Fsca Inormaca Lez

6 Es.: Una pera ene lancaa dalla sommà d un edco, con un angolo d 3 rspeo all orzzonale e con elocà nzale =. m s -. Se l alezza dell edco è h=45. m, a)per quano empo la pera rmane n olo ; b)qual è la elocà della pera appena prma d occare l suolo; c)in quale puno la pera colprà l suolo? a) = 4. s b) = 35.9 m s - c) = 73. m dalla base dell edco Flaa Gropp 6 Fsca Inormaca Lez

7 cos (.m s )(cos3 ) 7.3 ms sen (.m s g 45m (.m s ( g)m s.m s 4. s 7.3ms 9.8m s )( sen3 ). ms ) (9.8m s ) 4.s 3.4m s 35.9 ms m Flaa Gropp 7 Fsca Inormaca Lez

8 Il moo armonco Le oscllazon sono onnpresen nella a quodana, dalle brazon alla musca. Il moo oscllaoro ondamenale è l moo armonco semplce. Ad esempo, l moo assocao ad una orza elasca, coè proporzonale allo sposameno con segno opposo, genera un moo armonco! L andameno della coordnaa d sposameno () nel empo è rappresenao da una unzone caraersca, dea snusode. Flaa Gropp 8 Fsca Inormaca Lez

9 Legge orara del moo armonco L equazone caraersca d un moo perodco o armonco ed suo paramer prncpal sono: Grandezza Unà SI Smbolo / Relazone Frequenza herz, Hz Hz = oscllazone al secondo Perodo s Tempo per un oscllazone complea Ampezza Pulsazone radan/s Escursone massma dalla poszone d equlbro T m T Flaa Gropp 9 Fsca Inormaca Lez

10 Dnamca del moo armonco Noa la legge orara possamo rcaare le espresson d elocà ed accelerazone del moo armonco: d d d m m sn a d d d E con quese, applcare l II prncpo della dnamca: cos Dunque l classco ssema massa-molla è caraerzzao da un moo armonco semplce e lneare per cu ale: Pulsazone Perodo F T m a k m m k m k ; k m m cos Flaa Gropp Fsca Inormaca Lez

11 Il pendolo semplce L oscllaore lneare è un aldo modello per un grande numero d ssem sc n cu è presene un oscllazone, ad esempo l pendolo La scomposzone delle orze per un generco angolo permee d rcaare l espressone della orza d rchamo: F osc F g sn mg sn Non s raa dunque d una orza d rchamo lneare! Ma per pccol angol ale sempre che: F sn E dunque, solo per pccol scosamen, possamo screre: osc m g sn m g k k m g F sn ; g Oenamo na una legge d moo armonco per la arable : g sn sn ; T L L g Flaa Gropp Fsca Inormaca Lez

12 Graazone Newon per prmo mse n relazone la orza che ara gl ogge alla superce erresre con la orza che ncola corp celes e ormulò qualaamene la legge d graazone unersale: Ogn corpo doao d massa eserca una orza araa graazonale su ogn alro oggeo masso, e a sua ola subsce la sessa arazone La legge d graazone può essere espressa così: F G m m r m ed m sono le masse de corp, r è la dsanza ra loro e G, la cosane d graazone unersale, ha alore par a: 6,67 N m / kg E propro un classco esempo d azone e reazone secondo la III legge della dnamca G Flaa Gropp Fsca Inormaca Lez

13 Graazone - La legge della graazone può essere espressa n orma eorale nel seguene modo: rˆ L elemeno è deo ersore, è un eore d modulo unaro dreo lungo la congungene le due parcelle Una sera d maerale unorme da un puno d sa graazonale ara una parcella posa al suo eserno come se ua la massa osse concenraa nel suo cenro Se un corpo neragsce per graazone con n alr corp, ale l prncpo d sorapposzone: la orza rsulane è daa dalla somma de sngol ee Queso s applca anche ad un corpo eseso: Flaa Gropp 3 Fsca Inormaca Lez

14 Le legg d Keplero ed l moo de pane Johannes Kepler, asronomo edesco (57-6), arrò a ormulare re legg emprche che goernano mo de pane. In seguo Newon dmosrò come s possano ue derare dalla legge della graazone legge o legge delle orbe: Tu pane s muoono su orbe ellche, d cu l sole occupa uno de due uoch legge o legge delle aree: Il segmeno che collega un panea al sole descre aree ugual n emp ugual 3 legge o legge de perod: Il quadrao del perodo d un panea è proporzonale al cubo del semasse maggore della sua orba Flaa Gropp 4 Fsca Inormaca Lez

15 3 legge d Keplero per pane Orba crcolare Moo Crcolare Unorme 3 T r Orba ellca 3 T R a 3 T r E le cose s anno molo pù complcae Araerso l II prncpo della dnamca e le legg del moo crcolare possamo esprmere la erza legge d Keplero come: T GM 4 r 3 Flaa Gropp 5 Fsca Inormaca Lez

16 Il cenro d massa - Il cenro d massa d un corpo o d un ssema d corp è l puno che s muoe come se osse concenraa ua la massa e agssero ue le orze eserne Per un ssema cosuo da n masse concenrae m e dalla massa oale par a M n uno spazo a re dmenson l cenro d massa ha coordnae: cdm M n m ; cdm M n m ; z cdm M n m z M n m Le re equazon scalar possono essere sosue da un unca equazone eorale Flaa Gropp 6 Fsca Inormaca Lez

17 Il cenro d massa - Le coordnae del cenro d massa d un ssema d masse concenrae, dpendono dal ssema d rermeno (ma queso non è ero per la sua poszone rspeo alle masse sesse) m = kg ; m = 3 kg d = 4 m M = ; = d = 4 m cdm n M m kg 3 kg 4 kg n m ( 3 4)[ kg m] 3 m 4 kg =.5 ; = + d = 5.5 m M cdm n M m kg 3 kg 4 kg n m ( )[ kg m] 4.5 m 4 kg m = kg ; m =.5 kg ; m 3 = kg ; M = 4.5 kg ; a = 5 cm Flaa Gropp 7 Fsca Inormaca Lez

18 La quanà d moo Denamo la quanà d moo o momeno lneare d un corpo punorme l eore: m p m = massa del corpo = elocà del corpo La ormulazone orgnale del II prncpo della dnamca è daa propro n unzone della quanà d moo! Vale na l equazone: Che non è alro che un enuncazone pereamene equalene della gà sa: La rapdà d arazone del momeno d una parcella è proporzonale alla orza nea che agsce sulla parcella e ha la sessa drezone d quella orza Flaa Gropp 8 Fsca Inormaca Lez

19 Conserazone della quanà d moo Nel caso d un ssema d pù corp dalla massa oale M denamo la quanà d moo oale del ssema come: P M cdm cdm è le elocà del cenro d massa del ssema Dalla denzone sessa d quanà d moo segue che, per un ssema d pù parcelle che: sa solao: la rsulane d ue le orze eserne è nulla sa chuso: nessuna parcella enra o esce dal ssema ale che: F rsul. dp d P = cosane => P nzale = P nale E l prncpo d conserazone della quanà d moo. Flaa Gropp 9 Fsca Inormaca Lez

20 Conserazone quanà d moo - Esempo: Un asronae che procede alla elocà d km/h espelle uno sado esauro d massa par al % della massa oale e alla elocà relaa r = 5 km/h. Deermnare la elocà nale dell asronae dopo l espulsone. Il ssema è chuso e ale la conserazone della quanà d moo => P = P P = M = P = M [.8 +. ( r )] => => = +. r = ( + ) = km/h Esempo: Un dsco esplode al cenro n re pezz che s muoono senza aro su un pano. Deermnare la elocà d un pezzo noe le drezon delle elocà, la suddsone della massa e una delle elocà delle par B = 9.94 m/s A = M C C cos(8 ) + M B B cos(5 ) = 3 m/s Da: M A =.5M M B =.M M C =.3M C = 5 m/s B? A? Il ssema è chuso e ale la conserazone della quanà d moo => P = P =. P = - M A A + M C C cos(8 ) + M B B cos(5 ) = P = + M C C sn(8 ) - M B B sn(5 ) = => M B B = M C C sn(8 )/sn(5 ) => B =.5 C sn(8 )/sn(5 ) = Flaa Gropp Fsca Inormaca Lez

21 Impulso La quanà d moo rappresena un poene mezzo per la rsoluzone d problem lega alla collsone ra due o pù corp. Durane l uro una orza rapdamene arable F() agsce per un empo bree, da a, nducendo una arazone della quanà d moo p d un corpo. Possamo screre: arazone d quanà d moo dp F d p p p F d J p F p d p J denzone d mpulso eorema dell mpulso J p F orza meda che agsce nell nerallo d empo Flaa Gropp Fsca Inormaca Lez

22 Esercz Lezone 5 Esercz da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Ramond A. Serwa, John W. Jewe Jr. Esercz d Fsca. Guda ragonaa alla soluzone (EdSES). 3-3 : In un bar, un aenore lanca lungo l banco un boccale d brra uoo perché sa rempo. IL barsa non lo nercea e l boccale cade alla dsanza d.4 m dal banco. Sapendo che l alezza del banco è h=.86 calcolare: a) la elocà eorale del boccale al momeno del dsacco, b) la elocà eorale del bcchere appena prma dell mpao. [ o =(3.34 +j) m/s; =( j) m/s] Sceglere l orogne nel puno doe l boccale lasca l banco. Il moo è orzzonale con = Puno nale doe l boccale colpsce l suolo..4 m,.86 m, a, a m s.4 m.49 s m s a m m s.49 s.86 a m s (.49s) - 4.m s an 5.9 Flaa Gropp Fsca Inormaca Lez

23 Esercz Lezone 5 Esercz da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Ramond A. Serwa, John W. Jewe Jr. Esercz d Fsca. Guda ragonaa alla soluzone (EdSES). 3-4 : Un calcaore calca l pallone ad una dsanza d 36. m dalla pora, la cu raersaè ala 3.5 m. Il pallone lasca l suolo con un angolo d 53. rspeo all orzzonale e elocà d m/s. Sulla base de da s deermn: a) a che dsanza l pallone passa sopraosoola raersa [ +.89 m, sopra ]; b) se l passaggo n prossmà della raersa aene n ase ascendene o dscendene [n ase dscendene]. Quano ale per =36m - (9.8 m s )(36. m) ( 36. m)(an 53.) ()(. m s ) cos 53. ( ) m.889 m Il pallone sorola la raersa a: Il empo necessaro per raggungere l alezza massma (corrspondene a =è: Tempo per percorrere 36. m è: > : qund n ase dscendene - (. m s )( sen53).63 s m s (36. m) - (. m s )(cos53) g g.99 m s Flaa Gropp 3 Fsca Inormaca Lez

24 Esercz Lezone 5 Esercz da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Ramond A. Serwa, John W. Jewe Jr. Esercz d Fsca. Guda ragonaa alla soluzone (EdSES). 3- : Uno scaore lasca la rampa d salo con una elocà d. m/s a 5 al d sopra dell orzzonale. Sapendo che dopo l salo la psa procede con nclnazone par a -5 rspeo all orzzonale e rascurando l aro dell ara calcolare: a) la dsanza alla quale aerra l salaore sulla dscesa [ o =( j) m/s;d =43. m], b) la elocà eorale al momeno dell mpao [ =.88s; =( j) m/s],. m/s a 5. cos (. m/s)(cos5) 9.66 m/s sen (. m/s)(sen5).59 m/s Lo scaore percorre orzzonalmene: Lo scaore colpsce la psa quando: Componen della elocà lungo : lungo : Flaa Gropp 4 e ercalmene: (.59 m/s) (4.9 m/s ) an( 5.).9 per (9.66 m/s) ( 9.66 m/s)(.88 s) 7.8 m d 43. m cos m s - g 5.6 m s g Fsca Inormaca Lez s

25 Esercz Lezone 5 Esercz da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Ramond A. Serwa, John W. Jewe Jr. Esercz d Fsca. Guda ragonaa alla soluzone (EdSES). 8- : Una palla d accao d 3. kg colpsce un muro ercale d accao con una elocà d. m/s che orma un angolo d 6 rspeo al pano del muro. Supponendo l uro sa pereamene elasco e che l empo n cu la palla resa n conao con la superce sa d. s, deermnare, n orma eorale, la orza meda che la paree eserca sulla palla nel perodo n cu le ornsce l mpulso. [ F = -6 N ] p F p p m( m( ) m cos 6. m cos 6. ) p p F 6 N m( sen6. csen6.) msen6. 5. kg m s - Flaa Gropp 5 Fsca Inormaca Lez

26 Esercz Lezone 5 - connua 8-3 : Una lunga aola d massa par a 5 kg è erma su una superce ghaccaa sulla quale può muoers senza aro. Sopra la aola una ragazza d 45 kg nza a cammnare con elocà cosane par a.5 m/s. Deermnare la elocà relaa alla superce del ghacco: a) della ragazza, b) della aola. [ r =.5 m/s, = m/s ] La quanà d moo oale del ssema aola+ragazza s consera ed è par a zero. m r m r La relazone ra le elocà relae può essere scra come: r r.5 - m s m r m r (45 kg)(.5 m s - ) (5 kg).346 m s - r.5 m s - Flaa Gropp 6 Fsca Inormaca Lez

27 Esercz Lezone 5 - connua Un corpo d massa M = kg ene lancao all nzo d un pano nclnao d lunghezza L = 6 m che orma un angolo = 3 con l pano orzzonale. Sapendo che l aro dnamco d =. e che l energa cneca nzale del corpo è E k = 5 J, deermnare: a) la elocà del corpo al momeno n cu abbandona l pano nclnao [ 4.56 m/s ], b) l empo rascorso da quando l corpo abbandona l pano nclnao al suo mpao col suolo [.48 s ], c) la dsanza dal pano nclnao a cu cade l corpo [ 4.4 m]. M = kg L= 6 m = 3 Un saelle arcale erresre percorre, a una quoa d 5 m rspeo alla superce erresre, un orba crcolare d perodo uguale a 94 mnu e 3 second. Sapendo che l raggo medo erresre è m, s deermnno: l raggo dell orba del saelle [R= m], la sua elocà angenzale [=7.8 3 m/s], la sua elocà angolare [=. -3 rad/s], e l accelerazone cenrpea [a c =8. ms - ]. Un corpo d massa m = g s roa alla base d un pano nclnao d 3 rspeo al pano orzzonale e lungo 3 m. Il corpo pare con elocà nzale = m/s, drea lungo l pano e erso l alo. Se l pano è senza aro, che elocà ha l corpo alla ne della sua corsa [ =.3 m/s]? Se a ale esremà s roa una molla d cosane elasca k=5 N/m, d quano s comprme ale molla [ m =8.4 cm]? Rpeere l eserczo supponendo che ra l pano e l corpo s eserc una orza d aro dnamco caraerzzaa da un coecene d =. [ =7.4 m/s, m =6. cm]. Flaa Gropp 7 Fsca Inormaca Lez