Effetto di schermo in un campione metallico e in un semiconduttore

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1 Effetto di schermo in un campione metallico e in un semiconduttore Davide Fiocco 5 luglio 28 Sommario In quanto segue sono studiati con PWscf [1] i solidi cristallini di Al e Si. In particolare è stata calcolata la superficie di Fermi di Al, ed è stato studiato con il metodo della supercella il comportamento di Al e Si sotto l effetto della perturbazione indotta dall inserimento di piani di impurezze e potenziali elettrostatici esterni in modo da ottenere il vettore di Thomas- Fermi k di Al ed il valore della permittività dielettrica statica ǫ del Si. È inoltre presente un esempio di costruzione di mesh commensurate per varie supercelle di Si cristallino. 1 Il caso metallico: Al La struttura cristallina dell alluminio è un reticolo cubico a facce centrate (FCC). La sua struttura può essere descritta con una cella primitiva (vedi Figura 1(a)) oppure, equivalentemente, con una cella non primitiva con base (un esempio di quest ultima è la cella tetragonale con base biatomica in Figura 1(b)). (a) Cella primitiva all interno della cella convenzionale di lato = 7.5 bohr (b) Cella non primitiva tetragonale con base biatomica lato = bohr Figura 1: Due possibili celle per il cristallo di Al. 1

2 1.1 Superficie di Fermi Attraverso un calcolo SCF e NSCF è stata ottenuta la superficie di Fermi di un cristallo di Al a partire dalla struttura 1(a). Il risultato reso da XCrySDen [3] è mostrato in Figura 2. L energia di Fermi ottenuta è ev. Figura 2: Superficie di Fermi di Al ristretta alla prima zona di Brillouin (FBZ) ottenuta a partire dai vettori base della cella 1(a), ottenuta con PWscf mediante un calcolo SCF con cut-off di 12. Ry e smearing Methfessel-Paxton su una griglia di 6 punti speciali Monkhorst-Pack (MP) e un successivo calcolo NSCF su una griglia uniforme di punti. Lo pseudopotenziale utilizzato [2] è generato con il funzionale di Perdew-Zunger (PZ). C è un buon accordo qualitativo con le caratteristiche della superficie reperibili in letteratura [4]. Lo stesso conto è stato ripetuto a partire dalla cella 1(b) e il risultato è mostrato in Figura 3. 2

3 (a) Superficie di Fermi della terza banda (b) Superficie di Fermi della quarta banda Figura 3: Superficie di Fermi di Al ristretta alla FBZ ottenuta a partire dai vettori base della cella 1(b), ottenuta mediante un calcolo SCF con cut-off di 12. Ry e smearing Methfessel-Paxton di.5 Ry su una griglia di 84 punti speciali MP e un successivo calcolo NSCF su una griglia uniforme di punti. Lo pseudopotenziale utilizzato è di tipo Perdew-Zunger (PZ). La superficie è la stessa di quella in Figura 2, ciò che cambia è il modo in cui la superficie viene ripiegata all interno della nuova FBZ, che ha forma diversa. 3

4 1.2 L effetto di schermo nel metallo Allo scopo di sondare l effetto di schermo è stato studiato l effetto dell introduzione di una perturbazione al potenziale elettrostatico dovuto agli ioni di Al. In particolare è stato effettuato un calcolo dell andamento della densità di carica e del potenziale elettrostatico all interno del solido in due casi: Sostituzione di piani cristallini di Al con impurezze Si e Mg, in modo da formare piani dotati rispettivamente di una carica +1 e -1 rispetto al background di nuclei di Al. Nel calcolo SCF per questa configurazione è stata utilizzata la supercella in Figura 4, costituita da 8 celle 1(b) affiancate lungo la direzione dell altezza e contenenti 14 atomi di Al, 1 di Si e 1 di Mg. Il calcolo SCF ha utilizzato una griglia di 36 punti speciali MP, cutoff di 18. Ry, smearing Methfessel-Paxton di.5 Ry e pseudopotenziali PZ. Figura 4: Il solido ottenuto sostituendo piani di Al con Si e Mg (solido ottenuto mediante 5x3x1 ripetizioni della supercella tetragonale unitaria). L introduzione di piani di impurezze di Si e Mg sullo sfondo di nuclei di Al è analoga all introduzione di piani carichi all interno del solido. Possiamo pertanto trattare i piani di impurezze come le armature di un condensatore piano per stimare il campo E ext non schermato all interno del solido: E ext = 4πσ = 4π 1 a 2 (1) dove σ è la densità di carica e a 2 è l area della base della cella tetragonale 4. Nel caso in esame la (1) dà E ext.45 u.a.. Introduzione di un potenziale esterno a dente di sega all interno del solido, con minimo localizzato sulle basi della supercella considerata (costituita 4

5 da 8 celle 1(b) affiancate lungo la direzione dell altezza) e massimo a metà dell altezza e associato ad un campo E ext pari a.2 u.a. (vedi grafico in Figura 7(a)). In questo caso il calcolo SCF ha utilizzato una griglia di 256 punti speciali MP, cut-off di 18. Ry, smearing Methfessel-Paxton di.5 Ry e uno pseudopotenziale PZ. Il campo E ext determinato dal potenziale a dente di sega può essere associato alla carica Q ext interna alla supercella e appartenente ai piani carichi che ne sono la sorgente secondo la: Nel caso in esame la (2) dà Q ext.447 u.a.. Q ext = σa 2 = E ext 4π a2 (2) I risultati sono riportati nelle Figure 6 e 7 sotto forma di medie planari della grandezza di interesse effettuate sul quadrato in Figura 5 attraverso la routine average.x. Figura 5: Disegno illustrativo della media planare. Nelle Figure 6 e 7 sono riportate le grandezze d interesse (densità di carica e potenziale elettrostatico) mediate su un quadrato come quello raffigurato qui sopra, al variare della coordinata verticale. 5

6 1 Potenziale elettrostatico di AlSiMg nella direzione ortogonale ai piani delle impurezze.8.6 Potenziale elettrostatico (u.a.) potenziale elettrostatico in AlSiMg potenziale elettrostatico in Al differenza (a) Grafico del potenziale elettrostatico.4 Densità elettronica di AlSiMg nella direzione ortogonale ai piani delle impurezze.35.3 Densità elettronica (u.a.) densità elettronica in AlSiMg densità elettronica in Al differenza (b) Grafico della densità elettronica Figura 6: Grafico del potenziale elettrostatico e della densità elettronica all interno della supercella lungo la direzione ortogonale ai piani delle impurezze. Si nota che nell Al drogato gli elettroni tendono ad accumularsi vicino all atomo di Si (situato agli estremi della cella) e ad allontanarsi da quello di Mg (al centro). La perturbazione nella carica e nel potenziale decade velocemente allontanandosi dalle impurezze: la differenza tra Al puro e drogato è impercettibile già ad una distanza pari alla lunghezza del lato della cella convenzionale di Al (7.5 bohr). 6

7 Potenziale elettrostatico di Al nella direzione ortogonale ai piani equipotenziali del campo elettrostatico esterno.6 potenziale esterno a dente di sega potenziale elettrostatico in Al con potenziale esterno potenziale elettrostatico in Al senza potenziale esterno differenza Potenziale elettrostatico (u.a.) (a) Grafico del potenziale elettrostatico Densità elettronica di Al nella direzione ortogonale ai piani equipotenziali del campo elettrostatico esterno.4.35 densità elettronica in Al con potenziale esterno densità elettronica in Al differenza.3 Densità elettronica (u.a.) (b) Grafico della densità elettronica Figura 7: Grafico del potenziale elettrostatico e della densità elettronica all interno della supercella lungo la direzione ortogonale ai piani equipotenziali del potenziale elettrostatico esterno a dente di sega (la linea magenta in 7(a), che ha massimo sulle basi della supercella e minimo a metà altezza della stessa). La perturbazione nella carica e nel potenziale decade velocemente allontanandosi dai punti di massimo e minimo del potenziale esterno: la differenza è impercettibile già ad una distanza pari alla lunghezza del lato della cella convenzionale di Al (7.5 bohr). 7

8 .8 Differenza tra il potenziale elettrostatico di Al con e senza potenziale esterno/impurezze.6 Potenziale elettrostatico (u.a.) differenza con impurezze fit nella regione lontana più di 7.5 bohr dalle impurezze differenza con campo esterno fit nella regione lontana più di 7.5 bohr dagli estremi del potenziale Figura 8: Grafico delle differenze nel potenziale elettrostatico tra AlSiMg e Al puro, Al in campo esterno e Al imperturbato (le curve sono le stesse delle Figure 6(a) e 7(a)). Con i fit lineari si è ottenuto che i campi schemati E int sono rispettivamente u.a. e u.a., tre ordini di grandezza più piccoli rispetto ai campi E ext non schermati di.45 u.a. e.2 u.a.. Il comportamento degli elettroni all interno del solido è tale da schermare completamente le perturbazioni introdotte. Questo è apprezzabile dai dati ottenuti per due ragioni: 1. il campo elettrico schermato calcolato ad una distanza sufficiente (la cosiddetta lunghezza di schermo) dalla perturbazione è 1 3 volte quello non schermato (vedi Figura 8). 2. la carica presente nella regione che si trova in prossimità dalla perturbazione è uguale in valore assoluto e opposta in segno a quella associata alla perturbazione, cioè 1 nel caso delle impurezze e la Q ext della (2) nel caso del campo esterno (si vedano le note delle Figure 9 e 1). 8

9 .15 Differenza della densità elettronica di Al con e senza impurezze differenza con impurezze differenza integrata.1 Densità elettronica (u.a.) Figura 9: Grafico della differenza nella densità elettronica tra AlSiMg e Al puro (la curva è la stessa della Figura 6(b)). L integrale della densità di carica nella zona evidenziata (effettuato anche sulle altre due dimensioni sul quadrato di lato a) restituisce un valore Q schermo =.99 ±.1 (l errore è stimato variando gli estremi di integrazione), compatibile con l ipotesi che gli elettroni di Al schermino completamente la carica unitaria delle impurtezze. 9

10 .8.6 Differenza della densità elettronica di Al con e senza potenziale esterno differenza con potenziale esterno differenza integrata.4 Densità elettronica (u.a.) Figura 1: Grafico delle differenze nella densità elettronica tra Al in campo esterno e Al imperturbato (la curva è la stessa della Figura 7(b)). La scala ingrandita permette di notare che la densità di carica non ha un decadimento semplice, ma ha un comportamento oscillatorio (si tratta però di un effetto spurio) con periodicità differente da quella del reticolo. Ad ogni modo queste oscillazioni sono molto piccole rispetto alla differenza che si osserva in prossimità della perturbazione. L integrale nella zona evidenziata restituisce Q schermo =.442 ±.5 un valore praticamente uguale in valore assoluto alla carica sorgente Q ext =.447 del campo da.2 u.a. calcolata con la (2). 1

11 1.3 Stima della lunghezza di schermo di Al Secondo la teoria di Thomas-Fermi [5] l espressione per la costante dielettrica di un metallo è approssimabile con: ǫ (q) = 1 + k 2 /q 2 (3) dove k è detto vettore d onda di Thomas-Fermi, e il suo reciproco 1/k è indicativo della lunghezza di schermo incontrata sopra, oltre la quale una perturbazione è schermata così efficacemente da non avere più effetti. Si può dimostrare [5] che k soddisfa k 2 = ( ) 2/ (4) π r s a Il potenziale schermato nello spazio reale V (r) è dato dalla convoluzione del potenziale esterno V ext (r) con ǫ (r) V (r) = ǫ 1 (r r ) V ext (r ) dr Per confrontare i risultati ottenuti con la teoria si è calcolata la FFT (in 1D, data la simmetria del problema) V ext (q) di campionamenti del potenziale elettrostatico a dente di sega V ext (r) usato da PWscf e la si è moltiplicata per campionamenti discreti di ǫ (q) secondo la (3) ottenuti scegliendo diversi k. Il V (q) è stato infine antitrasformato è affiancato al V (r) calcolato con PWscf. Un esempio di confronto tra il risultato ottenuto con PWscf e quello ottenuto attraverso la teoria di Thomas-Fermi è mostrato in Figura 11. Dal k = 1.25 ±.1 stimato dai dati raccolti è possibile stimare il valore di r s attraverso la (4), ottenendo r s = 1.5 ±.2, un valore piuttosto diverso da quello riportato in letteratura per Al (r s = 2.7 a STP [5]). 11

12 Differenza tra il potenziale elettrostatico di Al con e senza potenziale esterno valore assoluto della differenza secondo PWscf valore assoluto della differenza secondo Thomas Fermi con k = 1.25 Potenziale elettrostatico (u.a.) Figura 11: Confronto tra il potenziale elettrostatico esterno schermato e il potenziale calcolato convolvendo il potenziale esterno (approssimato con un segnale a dente di sega della lunghezza di 128 supercelle e campionato con punti) con la ǫ (q) di Thomas-Fermi con k = La somiglianza è soddisfacente e ha permesso di stimare r s = 1.5 ±.2. 12

13 2 Il caso semiconduttore: Si La struttura del Si è un FCC con base: possibili celle primitive sono rappresentate nelle Figure 12(a) e 12(b). (a) Cella primitiva con base biatomica all interno della cella convenzionale di lato = 1.2 bohr (b) Cella non primitiva tetragonale con base di 4 atomi lato = bohr Figura 12: Due possibili celle per il cristallo di Si. 2.1 Costruzione di celle commensurate Sono state costruite più supercelle per il calcolo dell energia (vedi Figure 12(b) e 13). Il campionamento dei punti k è stato effettuato in modo che le mesh fossero commensurate (vedi Figura 14), sia con che senza offset nella direzione di b 3. I valori dell energia totale per atomo sono riportati in Figura 15 e sono stati ottenuti con cut-off di 12. Ry, con griglie di 15, 63, 42 punti MP rispettivamente nel caso della supercella formata da 1, 2 e 4 subunità di tipo 12(b) e uno pseudopotenziale PZ. 13

14 (a) Supercella costituita da 2 celle tetragonali (b) Supercella costituita da 4 celle tetragonali Figura 13: Celle impiegate (insieme a quella in Figura 12(b)) per il calcolo dell energia totale. Vettori k dello spazio reciproco considerati nel calcolo SCF mesh di vettori k per la supercella da 1 subunità vettori della cella reciproca della supercella da 1 subunità mesh di vettori k per la supercella da 2 subunità vettori della cella reciproca della supercella da 2 subunità mesh di vettori k per la supercella da 4 subunità vettori della cella reciproca della supercella da 4 subunità b b b 2 Figura 14: Esempio di mesh di punti k impiegati per il calcolo dell energia totale (caso senza offset nella direzione di b 3 ). Si nota che i punti coincidono nel volume comune alle celle: gli insiemi di punti k generati sono dunque commensurati. 14

15 Energia per atomo in Si per varie supercelle e mesh di vettori k Energia per atomo (Ry) mesh senza offset mesh con offset Numero di unità tetragonali nella supercella Figura 15: Valori dell energia per atomo ottenuti utilizzando varie supercelle e mesh con e senza offset nella direzione di b 3. Il fatto che i valori dell energia siano praticamente gli stessi (entro 1 6 Ry) per le varie supercelle è la conferma che le mesh generate sono commensurate. 15

16 2.2 L effetto di schermo nel semiconduttore Anche in questo caso è stata effettuata un analisi simile a quella vista sopra nel caso di Al: Sostituzione di piani cristallini di Si con impurezze P e Al, in modo da formare piani dotati rispettivamente di una carica +1 e -1 rispetto al background di nuclei di Si. Il calcolo SCF nel caso di Si puro e SiAlP ha utilizzato una supercella simile a quella in Figura 16 (costituita da 8 celle 12(b) affiancate lungo la direzione dell altezza e contenente 3 atomi di Si, 1 di P e 1 di Al), una griglia di 36 punti speciali MP e cut-off di 18. Ry. Uno smearing Methfessel-Paxton di.1 Ry è stato aggiunto nel solo caso di Si drogato con Al e P. Per tutte le specie atomiche è stato utilizzato uno pseudopotenziale PZ. Introduzione di potenziali esterni a dente di sega all interno del solido, con minimo localizzato sulle basi della supercella considerata (costituita da 8 celle 12(b) affiancate lungo la direzione dell altezza) e massimo a metà dell altezza e associati a campi pari a.2,.354,.632,.1124,.2 u.a. (vedi grafico in Figura 18(a)). Il calcolo SCF ha utilizzato una griglia di 61 punti speciali MP, cut-off di 18. Ry e uno pseudopotenziale PZ. I risultati sono riportati nelle Figure 17 e 18 sotto forma di medie planari delle grandezze di interesse effettuate sul quadrato in Figura 16. Figura 16: Disegno illustrativo della media planare. Nelle Figure 17 e 18 sono riportate le grandezze d interesse (densità di carica e potenziale elettrostatico) mediate su un quadrato come quello raffigurato qui sopra, al variare della coordinata verticale. 16

17 .4.3 Potenziale elettrostatico nella direzione ortogonale ai piani delle impurezze potenziale elettrostatico in SiAlP potenziale elettrostatico in Si differenza Potenziale elettrostatico (u.a.) (a) Grafico del potenziale elettrostatico.4 Densità elettronica di SiAlP nella direzione ortogonale ai piani delle impurezze.35.3 Densità elettronica (u.a.) densità elettronica in SiAlP densità elettronica in Si differenza (b) Grafico della densità elettronica Figura 17: Grafico del potenziale elettrostatico e della densità elettronica all interno della supercella lungo la direzione ortogonale ai piani delle impurezze. Si nota che nel Si drogato gli elettroni tendono ad accumularsi vicino all atomo di P (situato agli estremi della cella) e ad allontanarsi da quello di Al (al centro). La perturbazione nella carica decade velocemente allontanandosi dalle impurezze ed è impercettibile già ad una distanza pari alla lunghezza del lato della cella convenzionale di Si (1.2 bohr) mentre il potenziale non è costante (vedi anche Figura 19), a indicazione del fatto che nel Si lo schermo non è completo come nel caso di Al. 17

18 Potenziale elettrostatico di Si nella direzione ortogonale ai piani equipotenziali del campo elettrostatico esterno 1.8 potenziale esterno a dente di sega potenziale elettrostatico in Si con potenziale esterno potenziale elettrostatico in Si senza potenziale esterno differenza Potenziale elettrostatico (u.a.) (a) Grafico del potenziale elettrostatico Densità elettronica di Si nella direzione ortogonale ai piani equipotenziali del campo elettrostatico esterno Densità elettronica (u.a.) densità elettronica in Si con potenziale esterno densità elettronica in Si differenza (b) Grafico della densità elettronica Figura 18: Grafico del potenziale elettrostatico e della densità elettronica all interno della supercella lungo la direzione ortogonale ai piani equipotenziali di uno dei potenziali elettrostatici esterni applicati al sistema (quello associato al campo di.2 u.a., disegnato in magenta in 18(a), che ha massimo sulle basi della supercella e minimo a metà altezza della stessa). La perturbazione nella carica decade velocemente allontanandosi dai punti di massimo e minimo del potenziale esterno ed è impercettibile già ad una distanza pari alla lunghezza del lato della cella convenzionale di Si (1.2 bohr), mentre il potenziale non è costante: gli elettroni del Si non sono in grado di schermare completamente il potenziale elettrostatico esterno (vedi anche Figura 21). 18

19 2.3 Stima della costante dielettrica di Si In un mezzo lineare, omogeneo ed isotropo sottoposto ad un campo elettrostatico esterno E ext vale l espressione E int = E ext /ǫ (5) Inoltre si ha che attorno alla carica all origine della perturbazione si accumula una carica di schermo ( ) 1 Q schermo = 1 Q ext (6) ǫ Allo scopo di misurare la costante dielettrica del Si si è operato in due modi (il metodo è simile a quello descritto in [6]): 1. Si è misurato il valore del campo E int per i vari valori del campo E ext associato alle impurezze e ai potenziali a dente di sega considerati sopra. I risultati sono riportati nelle Figure 19, 21 e Si è misurato valore della carica Q schermo al variare della Q ext associata alle impurezze e ai potenziali a dente di sega considerati sopra. I risultati sono riportati nelle Figure 2, 23 e 24. Tutti i risultati ottenuti sono riassunti nella Tabella 1..1 Differenza tra il potenziale elettrostatico di SiAlP e Si Potenziale elettrostatico (u.a.).5.5 differenza fit nella regione lontana più di 1.2 bohr dalle impurezze Figura 19: Grafico della differenza nel potenziale elettrostatico tra SiAlP e Si puro. Il potenziale all interno del semiconduttore è associato ad un campo (ricavato dal fit lineare) E int =.225±.5 u.a., che confrontato attraverso la (5) con il campo non schermato dovuto alle impurezze E ext =.24 u.a. (calcolato con la 1) dà ǫ = 17 ± 3. 19

20 .8 Differenza della densità elettronica di Si con e senza impurezze.6.4 Densità elettronica (u.a.) differenza con impurezze differenza integrata Figura 2: Grafico della differenza nella densità elettronica tra SiAlP e Si puro (la curva è la stessa della Figura 17(b)). L integrale della densità di carica nella zona evidenziata (effettuato anche sulle altre due dimensioni sul quadrato di lato a) restituisce un valore Q schermo =.97±.2 che suggerisce una ǫ 3 variabile in un intervallo 2 1 al variare degli estremi di integrazione. 2

21 .6 Differenza tra il potenziale elettrostatico di Si con e senza potenziale esterno.4 Potenziale elettrostatico (u.a.).2.2 differenza con E =.2 u.a. differenza con E =.1124 u.a..4 differenza con E =.632 u.a. differenza con E =.354 u.a. differenza con E =.2 u.a. fit (regione a oltre 1.2 bohr dagli estremi) Figura 21: Grafico dei potenziali elettrostatici schermati ottenuti con potenziali esterni a dente di sega associati a campi E ext di.2,.354,.632,.1124,.2 u.a. Ad una certa distanza (pari a circa il lato della cella cella convenzionale di Si, 1.2 bohr) dai punti dove il potenziale esterno ha estremo il potenziale è lineare. I fit hanno permesso di ottenere i valori dei campi schermati E int, e i risultati sono riportati in Figura Campo elettrico schermato in funzione di quello esterno per il Si valori di E ottenuti fit Campo elettrico schermato (u.a.) Campo elettrico esterno (u.a.) Figura 22: Grafico dei campi schermati E int ottenuti da campi di.2,.354,.632,.1124,.2 u.a. (vedi Figura 21). Si nota che i campi schermati hanno intensità che varia linearmente con l intensità del campo esterno E ext : in questo regime la risposta di Si è dunque lineare e il fit tramite la (5) dà ǫ = ±.5. 21

22 .6.4 Differenza della densità elettronica di Si con e senza impurezze differenza con potenziale esterno nei vari casi differenza integrata con E =.2 differenza integrata con E =.1124 differenza integrata con E =.632 differenza integrata con E =.354 differenza integrata con E =.2 Densità elettronica (u.a.) Figura 23: Grafico delle differenze nella densità elettronica tra Si in campo esterno e Si imperturbato (la curva è la stessa della Figura 18(b)). L integrale nelle zone evidenziate (effettuato anche sulle altre due dimensioni sul quadrato di lato a) restituisce la carica Q schermo dei campi schermati, e i risultati sono riportati in Figura 24. Si notano inoltre oscillazioni della densità di carica anche lontano dalla perturbazione e non si tratta di un effetto spurio [6]..1 Carica di schermo in funzione della carica associata al campo esterno valori di Q schermo ottenuti fit.2 Carica di schermo (u.a.) Carica associata al campo esterno (u.a.) Figura 24: Grafico delle cariche Q schermo ottenuti da campi di.2,.354,.632,.1124,.2 u.a. in funzione della carica Q ext associata a questi campi dalla (2). Si nota che la carica di schermo varia linearmente con la Q ext : in questo regime la risposta di Si è dunque lineare e il fit tramite la (6) dà ǫ = 1 ± 1. 22

23 Metodo Sistema Fit del potenziale Integrazione densità di carica SiAlP 17 ± Si in campo V ext ±.5 1 ± 1 Tabella 1: Tabella dei valori di ǫ ottenuti per i sistemi studiati con i due metodi. Il metodo del fit del potenziale assicura errori più piccoli (questo fatto discende dalla forma funzionale di (5) e (6)). È evidente la discordanza tra i valori ottenuti nel caso di Si drogato con Al e P e nel caso dell applicazione di V ext. Questa è imputabile al fatto che la perturbazione introdotta dal drogaggio è troppo intensa perchè le (5) e (6) siano valide. Sebbene il regime lineare sia valido nel caso di Si in campo V ext, la ǫ ottenuta non è in accordo con la ǫ = 13.6 calcolata con LDA [7] nè con il valore sperimentale ǫ = 11.9 [8]. 3 Conclusioni È stata ottenuta l energia di Fermi per un solido cristallino di Al ed un immagine della superficie di Fermi le cui caratteristiche sono simili a quelle reperibili in letteratura [4]. Si è verificato che gli elettroni in Al schermano completamente una perturbazione esterna ed è stato calcolato il modulo del vettore di schermo k di Al. Il valore ottenuto conduce a sottostimare il valore di r s rispetto al valore noto [5], ma ciò può essere compreso immaginando che nell approssimazione adottata gli elettroni di valenza abbiano a disposizione un volume ridotto dalla presenza degli ioni. Sono state costruite delle mesh commensurate (con e senza offset) nel caso di supercelle di Si composte da un numero variabile di subunità. Si è verificato che gli elettroni in Si non riescono a schermare completamente una perturbazione esterna. Il comportamento lineare del Si è stato verificato nel caso dell applicazione di campi elettrostatici relativamente deboli (<.2 u.a.), mentre nel caso del drogaggio i valori di ǫ ottenuti indicano che il Si non risponde linearmente alla perturbazione. Uno studio del regime intermedio tra quello lineare osservato con campi elettrostatici deboli e quello non lineare osservato nel caso con impurezze non è stato possibile a causa di difficoltà di convergenza nei conti SCF con campi intensi (>.2 u.a.). Il metodo del fit lineare sul potenziale schermato si è rivelato il miglior modo per stimare ǫ, tuttavia la ǫ ottenuta anche in questo modo non concorda perfettamente con i dati sperimentali e DFT disponibili in letteratura. Il disaccordo con l esperimento [8] può essere giustificato dal fatto noto che la DFT tende a sovrastimare sistematicamente la ǫ di Si, mentre la differenza con quanto riportato da [7] potrebbe essere dovuto alla scarsa precisione associata al conto SCF con 61 punti speciali e cut-off di 18. Ry. Una mesh di punti più fitta è un cut-off maggiore avrebbero potuto assicurare un miglior accordo con i dati di cui sopra, ma avrebbe anche allungato di molto il (già considerevole) tempo macchina necessario a portare a termine il conto SCF. 23

24 Riferimenti bibliografici [1] P. Giannozzi et al., [2] Gli pseudopotenziali utilizzati per Al, Mg, P e Si sono rispettivamente Al.pzvbc.UPF, Mg.pz-bhs.UPF, P.pz-bhs.UPF, Si.pz-vbc.UPF dalla distribuzione [3] A. Kokalj, XCrySDen - a New Program for Displaying Crystalline Structures and Electron Densities, J. Mol. Graphics Modelling, 1999, Vol. 17, [4] T.-S. Choy, J. Naset, J. Chen, S. Hershfield, and C. Stanton, A Database of Fermi Surfaces in Virtual Reality Modeling Language (VRML), Bulletin of The American Physical Society, 45(1):L36 42, 2 [5] N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Solid State Physics, Brooks-Cole [6] K. Kunc, R. Resta, Phys. Rev. Lett. 51, 686 (1983) [7] S. Baroni, P. Giannozzi, Phys. Rev. Lett. 58, 1861 (1987) [8] H. Landolt, R. Börnstein, Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology - New Series, Group 3, Springer-Verlag 24