Modellistica e Simulazione. Modellistica dei sistemi. Lezione 2 21 marzo 2011

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1 Modellistica e Simulazione Lezione 2 21 marzo 2011 Università degli Studi del Sannio Facoltà di ngegneria Luigi annelli 1 Modellistica dei sistemi ndividuazione del dominio applicativo. Decomposizione gerarcica. Costruzione modelli Approccio tradizionale: modellistica fisica. Approccio "object-oriented componentbased". Approcci top-down e bottom-up. 2

2 Approccio tradizionale Strutturazione in termini di variabili nput, output, state, constant, etc. Scrittura equazioni e funzioni. Modello spazio di stato. 3 Approccio "object-oriented" Definizione del sistema. Decomposizione del sistema. Definizione della comunicazione. Definizione delle interfacce. Decomposizione ricorsiva. Eventuale formulazione di nuove classi di modello. 4

3 Esempio Controllore P Serbatoio con controllo di livello Sensore di livello Valvola 5 Modelli con diagrammi a blocci Causalità delle variabili di interfacciamento fissata. Rappresentazione orientata ai segnali: la direzione (flusso dati) è sempre nota. E valido per specifici contesti di flusso dati. Non si preserva la struttura del sistema stesso. 6

4 r Electric R ' r ! _ r Rotational Mecanics - 1 T load Figure A blockdiagrammodel of te DC motor servo. From Fritzon, Principles of Object-Oriented Modeling and Esempio motore DC 7 Esempio serbatoio Portata in ingresso e portata in uscita. Equazione dinamica livello: u q u Aḣ(t) =u(t) q(t) Tank q Legge di Bernoulli. v(t) = 2g(t) q(t) =av(t) q a q Modello complessivo u a q 8

5 Nomenclatura Uscita: variabile il cui comportamento è di nostro primario interesse. Segnale esterno: variabile ce influenza il sistema senza essere influenzata dal comportamento del sistema stesso. ngresso: un segnale esterno di cui possiamo scegliere l andamento nel tempo. Disturbo: un segnale esterno ce non possiamo modificare. Variabile interna: una variabile nel sistema ce non è né un uscita né un segnale esterno. 9 Modelli matematici ODEs (forma esplicita spazio di stato) ẋ(t) =f(x(t),u(t),t) AEs Esempio coordinate cartesiane di un pendolo: x x 2 2 = L 2 n generale g(x(t),y(t),t)=0 (forma implicita) 10

6 Modelli matematici DAEs Esempio del pendolo: ẋ 1 = v 1, ẋ 2 = v 2 v 1 = F m sin(ϕ) v 2 = F m cos(ϕ) g x 1 = L sin(ϕ) x 2 = L cos(ϕ) DEs n generale (forma implicita) f(x(t), ẋ(t),u(t),y(t)) = 0 x k+1 = f(x k,u k,k) y k = g(x k,u k,k) g(x(t),u(t),y(t)) = 0 11 Riepilogo ODEs Rappresentazione i-u: equazione differenziale di ordine n u Eq. diff. Rappresentazione i-s-u: sistema di n equazioni differenziali del primo ordine y u ẋ = f(x, u) y = g(x, u) y 12

7 Riepilogo spazio di stato Tempo continuo e tempo discreto Lineare e non lineare Equilibrio Legame statico ingresso-uscita (all'equilibrio) Linearizzazione Stabilità. Sistemi con disturbi. 13 Modellistica fisica (orientata a modelli nello spazio di stato) Definizione del problema Formulazione delle equazioni Derivazione modello spazio di stato 14

8 Definizione del problema Utilizzo del modello. Scomposizione in sottosistemi. Segnali di interesse (uscite, segnali esterni, variabili interne). Costanti, parametri. Determinazione causa effetto. nterazioni statice e dinamice. Risultato: ad esempio diagrammi a blocci. 15 Formulazione delle equazioni Leggi della natura ed equazioni fisice Leggi di conservazione Relazioni costitutive Si introducono approssimazioni ed idealizzazioni. E' possibile formulare nuove ipotesi e modelli innovativi. 16

9 Derivazione modello spazio di stato Passo formale rispetto agli altri precedenti Scelta variabili di stato Esprimere le derivate in funzione delle altre variabili e degli ingressi Esprimere le uscite come funzione dello stato e degli ingressi Non del tutto necessario (esempio Modelica) 17