Tema di matematica. Problema 1. Esame di Stato 2015

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1 Problema Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto di conversazione Indicando con i minuti di conversazione effettuati in un mese, con f () la spesa totale nel mese e con g () il costo medio di un minuto: Individua l espressione analitica delle funzioni f () e g () e rappresentale graficamente Poi verifica che la funzione g () non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano Detto il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina tale che g ( ) g ( ) Traccia il grafico della funzione che esprime in funzione di e descrivi il suo andamento Che significato ha il suo asintoto verticale? Sul suo sito web, l operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse: 4 B(, 7/) C(4, 4) Km 3 A(, ) Z Km

2 La zona è delimitata dalla curva passante per i punti A, B e C, dagli assi e y, e dalla retta di equazione ; la porzione etichettata con la Z, rappresenta un area non coperta dal segnale telefonico dell operatore in questione 3 Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i tre punti A, B e C Sul sito web dell operatore compare la seguente affermazione: nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 9% del territorio ; verifica se effettivamente è così L operatore di telefonia modifica il piano tariffario inserendo un sovrapprezzo di centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 5 minuti 4 Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni f () e g, () riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione g () e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta Svolgimento Prima parte L espressione analitica delle due funzioni è: f ^ h +, ; +, g ^ h +, La funzione f ^ h è una retta y 3

3 La funzione g ^ h è un ramo di funzione omografica di asintoti e y, y, Come si vede, la funzione g ^ h non ha né massimi né minimi relativi f ^ h parte dal valore di euro e poi cresce linearmente in funzione dei minuti utilizzati La funzione g ^ h è invece composta di due termini Il termine costante, rappresenta il costo unitario di ciascun minuto, a cui si somma il termine che rappresenta l ammortamento del canone mensile rispetto ai minuti utilizzati Se si usano pochi minuti il termine risulta dominante (asintoto verticale), perché il costo del canone viene ripartito su poche chiamate Al contrario, se si effettuano molti minuti di chiamata, il costo del canone si suddividerà su un maggior numero di minuti e il costo medio di un minuto tenderà a coincidere con il costo di un minuto (asintoto orizzontale) Seconda parte Determiniamo il valore di +, b +, l 5 + 5, -, 5 5, 5-5, - 5 -, 5 -, La funzione che esprime in funzione di è una funzione omografica di asintoti, - 3

4 - - La funzione è monotona crescente e presenta un asintoto verticale per In base a questo, al tendere dei minuti di conversazione a, il costo medio di una chiamata si avvicina a, euro Dimezzare tale costo è però impossibile: il costo medio non arriva mai a, euro, perché i minuti tendono all infinito Terza parte Interpoliamo i punti A, B e C con un polinomio di grado (una parabola): y f^h a + b+ c Imponendo il passaggio per i 3 punti abbiamo: Z c Zc Z c c c 7 [ 4a+ b+ c [ 7 4a+ b+ * 8a+ 4b 3 8a+ 4b 3 * [ b 4 a+ 4b+ c a+ 4b+ 4 a+ 4b 8a - a - 8 La funzione cercata è quindi: y f^h Calcoliamo ora l area A della regione delimitata dalla curva ABC, dagli assi, y e dalla retta Per la definizione di integrale abbiamo: A f d 8 d 4 3 ^ h a- + + k :- + + D # # 4

5 4 3 3 a k - a k km L area della regione non coperta è pari all area del triangolo di vertici (,, ) (,, ) ( :, ) Z $ $ km La percentuale di copertura del territorio è perciò pari a A- Z - 5, A, 97 97, % La copertura è quindi leggermente superiore a quella indicata dall operatore Quarta parte Le funzioni f e g vengono modificate come segue: +, $ # # 5 f ()( ; + 5 $, + ( - 5) $,, - 4 > 5 Z f (), g() + # # 5 [ 4, - > 5 La funzione f ^ h è composta da due rette che si intersecano in 5 f() La funzione f ha quindi solo un minimo assoluto per e poi è monotona crescente, continua, ma non derivabile in 5 5

6 La funzione g ^ h è composta da due funzioni omografiche Il tratto # 5 ha asintoti e y, mentre il tratto > 5 ha asintoti e y, Per verificare la continuità in 5 calcoliamo i limiti destri e sinistro: lim g^h lim +,, ; - - " 5 " 5 lim g ^ h 4 lim, -, ; + + " 5 " 5 g^5h 5 +,, Poiché lim g ^ h lim g () g( 5), g è continua in 5 - " 5 + " 5 Calcoliamo ora la derivata dei tratti della funzione g ^ h Z - # < 5 gl () [ 4 > 5 lim gl^h lim -, " 5 " 5 lim gl^h 4 lim, + + " 5 " 5 La funzione g non è pertanto derivabile in 5 Studiando il segno di gl () abbiamo che gl () > se > 5 e gl () < se < 5 5 g ha quindi un minimo relativo in 5 Calcoliamo infine la derivata seconda di g Z 3 # < 5 gm () [ 8-3 > 5 Studiando il segno di gm abbiamo:

7 g è perciò convessa per gm () > + # < 5 ; gm () < + > 5 # < 5 e concava per > 5 5 Il grafico della funzione g è perciò dato da: g,, 5 In concreto: il costo medio dei minuti decresce per i primi 5 minuti, dopodiché, a causa del sovrapprezzo, il costo medio torna ad aumentare tendendo asintoticamente al costo per minuto di, euro 7