ESERCIZI DI ANALISI REALE

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1 ESERCIZI DI ANALISI REALE corso di lure triennle in mtemtic ANDREA DAVINI Sommrio. Eventuli commenti, suggerimenti e segnlzioni di errori sono grditi. Gli esercizi contrssegnti con un sterisco sono più difficili 1. Misur di Peno Jordn e integrle di Riemnn Chimeremo plurirettngolo (limitto) un insieme che si può scrivere come unione di un numero finito di rettngoli limitti. Si osservi che ogni plurirettngolo si può sempre scrivere come unione disgiunt di un numero finito di rettngoli. Esercizio 1. Sino R 1,..., R k rettngoli limitti e disgiunti in R d e si P := R 1 R k. Verificre che 1 R R k = lim (P n + n d # 1n ) Zd, dove bbimo indicto con R i il volume di R i e con #A l crdinlità dell insieme A. Dedurre che l misur elementre di P dt d è ben definit. m(p ) := R R k Nel seguito, indicheremo con E(R d ) l collezione dei plurirettngoli di R d. Esercizio 2. Sino P, Q E(R d ). Verificre che P Q, P Q, P \ Q e P Q := (P \ Q) (Q \ P ) pprtengono d E(R d ). Esercizio 3. Verificre che m : E(R d ) [0, + ) verific le seguenti proprietà: (1) (dditività finit) m(e 1 E n ) = m(e 1 ) + + m(e n ) per ogni E 1,..., E n E(R d ) due due disgiunti; (2) m( ) = 0; (3) m(r) = R se R è un rettngolo; (4) (monotoni) m(e) m(f ) se E F ; (5) (subdditività finit) m(e 1 E n ) m(e 1 ) + + m(e n ) per ogni E 1,..., E n E(R d ); (6) (invrinz per trslzioni) m(e + x) = m(e) per ogni x R d e E E(R d ). Dte: 26 gennio

2 2 ANDREA DAVINI Esercizio 4. Si µ : E(R d ) [0, + ] finitmente dditiv, invrinte per trslzioni e tle che µ([0, 1) d ) = 1. Dimostrre che µ = m. Esercizio 5 (Crtterizzzione dell misurbilità secondo Peno Jordn). Si E R d un insieme limitto. Dimostrre che le seguenti ffermzioni sono tr loro equivlenti: (i) E è misurbile secondo Peno Jordn; (ii) per ogni ε > 0 esistono A, B E(R d ) tli che A E B e m(b \A) < ε. (iii) per ogni ε > 0 esiste A E(R d ) tle che m (A E) < ε. Esercizio 6. Sino E, F insiemi limitti in R d e misurbili secondo Peno Jordn (PJ misurbili per brevità). Verificre che E F, E F, E \ F e E F := (E \ F ) (F \ E) sono ncor PJ misurbili; verificre quindi che le proprietà (1) (6) dell esercizio precedente si estendono di plurirettngoli gli insiemi limitti PJ misurbili. Esercizio 7. Si E un insieme limitto in R d. (i) Dimostrre che m (E) = sup {m(p ) : P plurirettngolo perto E }. Dedurre che E e l su prte intern int(e) hnno stess misur intern di Peno Jordn; (ii) dimostrre che m (E) = inf {m(p ) : P plurirettngolo chiuso E }. Dedurre che E e l su chiusur E hnno stess misur estern di Peno Jordn; (iii) dimostrre che E è PJ misurbile se e solo se int(e) ed E sono PJ misurbili e m(int(e)) = m(e). (v) sino E := [0, 1] 2 \ Q 2 e F := [0, 1] 2 Q 2. Verificre che m (E) = m (F ) = 0 e m (E) = m (F ) = 1. In prticolre, E ed F non sono PJ misurbili. Esercizio* 8. Dimostrre che E è PJ misurbile se e solo se il bordo topologico E di E h misur estern di PJ null, i.e. m ( E) = 0; Esercizio 9. Mostrre con degli esempi che l unione numerbile e l intersezione numerbile di insiemi PJ misurbili in R d non è in generle PJ misurbile, nche qundo tutti questi insiemi sono limitti. Esercizio 10 (Proprietà ll Crtheodory). Si P un plurirettngolo limitto in R d. Mostrre che, per ogni insieme limitto E di R d, vle l seguente proprietà: m (E) = m (E P ) + m (E \ P ). Esercizio 11. Si E un insieme contenuto nell intervllo [, b] e denotimo con χ E l su funzione crtteristic. Verificre che m (E) = b χ E (x) dx, m (E) = b χ E (x) dx. Dedurre che l funzione χ E è integrbile secondo Riemnn se e solo se E è misurbile secondo Peno Jordn.

3 ESERCIZI DI ANALISI REALE 3 Esercizio 12. Si f : [, b] R un funzione limitt. Dimostrre che f è integrbile secondo Riemnn se e solo se ìntegrbile secondo Drboux, e che, in tl cso, i due integrli coincidono. Esercizio 13. Si f : [, b] [0, + ) un funzione limitt. Dimostrre che f è Riemnn integrbile se e solo se l insieme è PJ misurbile in R 2, e che in tl cso E := {(x, t) : x [, b], 0 t f(x) } b f(x) dx = m(e), dove con m bbimo indicto l misur di Peno Jordn in R Teori dell misur strtt Esercizio 14. Si A un lgebr. Dimostrre che A è un σ lgebr se e solo se è chius per unione numerbile crescente (i.e. se (A n ) n N A e A 1 A 2, llor A n A). n=1 Esercizio 15. Si E un fmigli di sottoinsiemi di e indichimo con M(E) l σ lgebr genert d E (cioè, l minim σ lgebr che contiene E). Dimostrre che M(E) = F {M(F) : F E, F numerbile }. [Suggerimento: verificre che il termine di destr è un σ lgebr.] Esercizio 16. Si (, M, µ) uno spzio di misur e si (E n ) n N M. Dimostrre che µ(lim inf n E n ) lim inf n µ(e n ); µ(lim sup n E n ) lim sup n µ(e n ) purché µ ( + n=1 E n) < +. Si ricord che lim sup n E n := + k=1 ( + ) E n n=k e lim inf n E n := + k=1 ( + E n ). n=k Esercizio 17. Si (, M, µ) uno spzio di misur e sino E, F M. Verificre che µ(e) + µ(f ) = µ(e F ) + µ(e F ). Esercizio 18. Dto uno spzio di misur (, M, µ) ed E M, definimo µ E(A) := µ(a E) per ogni A M. Verificre che µ E è un misur. Esercizio 19. Sino µ un misur estern su uno spzio e M un σ lgebr di insiemi di, e supponimo che l restrizione µ := µ M di µ M si un misur. Verificre che se {N : µ (N) = 0 } M, llor µ è complet. Esercizio* 20. Si di un esempio di funzione τ : A [0, + ], dove A è un opportun fmigli di sottoinsiemi di uno spzio, tle che l misur estern d ess genert si strettmente più piccol di τ su A.

4 4 ANDREA DAVINI Esercizio 21. Si µ un misur estern su uno spzio e (A n ) n N un successione di insiemi disgiunti e µ misurbili. Dimostrre che µ ( E ( n=1a n ) ) = µ (E A n ) per ogni E. n=1 Esercizio* 22. Si (, M, µ) uno spzio di misur σ finito. Indichimo con µ l misur estern indott d µ, con M l σ lgebr degli insiemi µ misurbili, e con ν := µ M. Ponimo N := {Z esiste N M tle che Z N e µ(n) = 0 }. Lo scopo di questo esercizio è quello di mostrre che (M, ν) è il completmento di (M, µ), cioè che ν è un misur complet su M e che M = {E Z : E M, Z N }. () Dimostrre che N = {Z µ (Z) = 0 }. (b) Si E M. Dimostrre che esiste G M tle che E G e G \ E N. [Suggerimento: sfruttre che M è σ finit per ricondursi l cso µ (E) < +.] (c) Si E M. Dimostrre che esiste F M tle che F E e E \ F N. [Suggerimento: pssre l complementre per sfruttre il punto precedente.] (d) Concludere. Esercizio 23. Si A l collezione di unioni finite di insiemi dell form (, b] Q, con b +. Provre le seguenti ffermzioni: A è un lgebr in Q; l σ lgebr M(A) genert d A è P(Q); l funzione µ 0 : A [0, + ] definit come µ( ) = 0 e µ 0 (A) = + se A è un premisur su A; esiste più di un misur su P(Q) l cui restrizione d A è µ 0. Esercizio* 24. Si A un lgebr di sottoinsiemi di uno spzio e µ 0 : A [0, + ] un premisur. Si indichi con µ : P() [0, + ] l misur estern indott d (µ 0, A) e con M l σ lgebr degli insiemi µ misurbili ll Crthéodory. Si or N un σ lgebr contenente A tle che l restrizione di µ d N è un misur. Dimostrre che N M. 3. L misur di Lebesgue in R d In quest sezione, se non diversmente indicto, indicheremo con λ l misur estern di Lebesgue su R d, con L(R d ) l σ lgebr degli insiemi Lebesgue misurbili e con L d := λ L(R d ) l misur di Lebesgue in Rd. Indicheremo con B(R d ) l σ lgebr dei Borelini di R d. Un insieme si dice G δ se è un intersezione numerbile di perti, F σ se è un unione numerbile di chiusi.

5 ESERCIZI DI ANALISI REALE 5 Esercizio 25. Dimostrre che l σ lgebr B(R) dei Borelini di R è genert dll fmigli di intervlli I di R in ciscuno dei seguenti csi: I := {[, b] : < < b < + }; I := {[, b) : < < b < + }; I := {(, b] : < < b < + }; I := {(, b) : < < b < + }. Esercizio 26. Si E un sottoinsieme di R d. Dimostrre che per ogni x R d e λ (αe) = α d λ (E) per ogni α > 0. λ (E + x) = λ (E) Esercizio 27. Si µ : B(R d ) [0, + ] un misur sui Borelini di R d che si invrinte per trslzioni e finit sui comptti (cioè µ(k) < + per ogni comptto K R d ). Si dimostri che µ = γ L d per un opportun costnte γ 0 (cioè µ è proporzionle ll misur di Lebesgue su R d ). Si trovi un espressione per γ. [Suggerimento: è sufficiente dimostrre l uguglinz sui cubi [0, 1/k) d per k N + (perchè?)] Esercizio 28. Si E un sottoinsieme di R d. Dimostrre che esiste un insieme G di tipo G δ con E G e λ (E) = L d (G). Esercizio 29 (Crtterizzzione dell misurbilità secondo Lebesgue). Si E R d un insieme. Dimostrre che le seguenti ffermzioni sono tr loro equivlenti: (i) E è misurbile secondo Lebesgue; (ii) per ogni ε > 0 esiste un perto A E tle che λ (A \ E) < ε; (iii) per ogni ε > 0 esiste un chiuso C E tle che λ (E \ C) < ε; (iv) per ogni ε > 0 esiste un chiuso C e un perto A in R d tli che C E A e L d (A \ C) < ε; (v) esiste un insieme G di tipo G δ ed un insieme N di misur null tle che E = G \ N; (vi) esiste un insieme F di tipo F σ ed un insieme Z di misur null tle che E = F Z Esercizio 30. Si E un insieme limitto di R d e misurbile secondo Peno Jordn. Provre che E è misurbile rispetto Lebesgue e che l su misur di Peno Jordn m(e) = L d (E). Esercizio 31. Si E un insieme di R d tle che λ ( E) = 0. Dimostrre che E è misurbile secondo Lebesgue. Esercizio* 32. Si K un insieme comptto di R d. Dimostrre che λ (K) = m (K), dove bbimo indicto con m l misur estern di Peno Jordn. Esercizio* 33. Si E un insieme limitto di R d. Dimostrre che E è misurbile secondo Peno Jordn se e solo se λ ( E) = 0. Esercizio* 34. Dto ε > 0, trovre un insieme perto e denso in R di misur ugule ε. Esercizio 35. Si E un insieme in R di misur di Lebesgue null. Provre che E é totlmente sconnesso (cioè non contiene intervlli perti).

6 6 ANDREA DAVINI Esercizio 36. Si trovi un insieme Borelino E contenuto nell intervllo [0, 1] che si totlmente sconnesso e tle che L 1 (E) = 1. Esercizio* 37. Si 0 < δ < 1. Si trovi un insieme Borelino E contenuto nell intervllo [0, 1] che si totlmente sconnesso e tle che δ < L 1 (E) < 1. [Suggerimento: usre l insieme ottenuto intersecndo i rzionli gonfiti con l intervllo (0, 1).] È utile conoscere il seguente risultto: Teorem 38. Esiste un insieme misurbile A [0, 1] tle che 0 < L 1 (A V ) < L 1 (V ) per ogni insieme perto non vuoto V [0, 1]. Notimo che questo equivle dire che si A V che V \A hnno misur positiv. Per un dimostrzione, si ved qui. Esercizio 39. Si ( n ) n un successione in (0, 1). Provre che Π n=1 (1 n) > 0 se e solo se n=1 n < +. [Suggerimento: confrontre l serie n log(1 n) con n n.] Dto β (0, 1), esibire un successione ( n ) n tle che Π n=1 (1 n) = β. Esercizio 40 (Costruzione di un insieme di Cntor generlizzto). Si β (0, 1) e (α n ) n un successione in (0, 1) tle che Π n=1 (1 α n) = β. Indichimo con C 1 l insieme chiuso ottenuto rimovendo dll intervllo [0, 1] un intervllo perto centrle di misur α 1 (quindi C 1 è unione disgiunt di due intervlli chiusi J1 1, J 2 1 di ugule lunghezz). Indichimo con C 2 l insieme chiuso ottenuto rimuovendo d ciscuno intervllo Ji 1 un intervllo perto centrle di lunghezz α 2 Ji 1, con i = 1, 2. Procedendo induttivmente, definimo C n+1 rimuovendo d ciscuno dei 2 n intervlli chiusi Ji n d cui è formto C n un intervllo perto centrle di lunghezz α n+1 Ji n. Definimo C := n=1 C n. Provre che: C é un insieme comptto, totlmente sconnesso e senz punti isolti; L 1 (C) = β. Esercizio 41. Si E R un insieme Lebesgue misurbile di misur positiv. Dimostrre che, per ogni α < 1, esiste un intervllo I tle che L 1 (E I) > αl 1 (I). [Suggerimento: ridursi l cso in cui E si di misur finit e rgionre per ssurdo.] Esercizio 42. Si V l insieme di Vitli in [0, 1]. Dimostrre che λ (V ) > 0. Esercizio* 43. Si E un insieme in R Lebesgue misurbile e di misur positiv. Dimostrre che E contiene un insieme non misurbile. Esercizio* 44. Si E un insieme in R di misur estern di Lebesgue positiv. Dimostrre che E contiene un insieme non misurbile. Esercizio* 45. Dre un esempio di successione decrescente (A n ) n di sottoinsiemi di R, i.e. A 1 A 2 A n, tli che λ (A 1 ) < + e lim n λ (A n ) > λ ( 1 A n ).

7 ESERCIZI DI ANALISI REALE 7 4. Funzioni misurbili Esercizio 46. Si f : Y un funzione. Verificre le seguenti proprietà: () f(a B) = f(a) f(b) per ogni A, B ; (b) f(a B) f(a) f(b) per ogni A, B. Mostrre con un esempio che l inclusione può essere strett. Individure un condizione necessri e sufficiente su f che grntisc l uguglinz; (c) f(a) \ f(b) f(a \ B) per ogni A, B. Mostrre con un esempio che l inclusione può essere strett. Individure un condizione necessri e sufficiente su f che grntisc l uguglinz; (d) f 1 (E F ) = f 1 (E) f 1 (F ) per ogni E, F Y ; (e) f 1 (E F ) = f 1 (E) f 1 (F ) per ogni E, F Y ; (f) f 1 (E \ F ) = f 1 (E) \ f 1 (F ) per ogni E, F Y. Provre che le proprietà () e (d) sono nche stbili per unioni non numerbili di insiemi, e che l proprietà (e) è stbile per intersezioni non numerbili. Si uno spzio topologico e f : R. Diremo che f è semicontinu inferiormente (s.c.i.) se {f } è chiuso per ogni R. Diremo che f è semicontinu superiormente (s.c.s.) se {f } è chiuso per ogni R. Esercizio 47. Si uno spzio topologico. Mostrre che: se f : R è s.c.i. (rispettivmente, s.c.s), llor è Borel misurbile; se {f i : i I} è un fmigli qulsisi di funzioni continue d in R, llor le funzioni sup i I f i (x) e inf i I f i (x) d in R sono, rispettivmente, semicontinu inferiormente e semicontinu superiorermente. Esercizio 48. Si uno spzio metrico ed f : R. Mostrre che: f è s.c.i. se e solo se, per ogni x 0 e per ogni successione (x n ) n che converge x 0, si h lim inf n f(x n ) f(x 0 ); f è s.c.s. se e solo se, per ogni x 0 e per ogni successione (x n ) n che converge x 0, si h lim sup n f(x n ) f(x 0 ). Esercizio 49. Si f : R d R d un funzione continu. Rispondere lle seguenti domnde, dndo un dimostrzione o esibendo un controesempio. Se E è Lebesgue misurbile, è vero che f(e) è Lebesgue misurbile? Se E h misur null, è vero che f(e) h misur null? Ricordimo che un funzione f tr due spzi metrici (, d ) e (Y, d Y ) si dice Lipschitzin se esiste un costnte κ tle che d Y ( f(x), f(y) ) κ d (x, y). Esercizio 50. Si f : R R un funzione Lipschitzin. Mostrre che se E h misur null, llor nche f(e) h misur null. Dedurre che f(e) è Lebesgue misurbile se E è Lebesgue misurbile. [Suggerimento: usre l regolrità intern dell misur di Lebesgue.]

8 8 ANDREA DAVINI Questi risultti si estendono l cso di f : R d R d Lipschitzin per d 2? Esercizio 51. Si (, M) uno spzio misurbile e sino f, g : R due funzioni misurbili. Si h(x) := Φ(f(x), g(x)) per ogni x, dove Φ è un funzione continu d R 2 in uno spzio topologico Y. Dimostrre che h : Y è misurbile. Esercizio 52. Si (, M) uno spzio misurbile e sino f, g : R due funzioni misurbili. Dimostrre che le funzioni x f(x) + g(x) e x f(x)g(x) d in R sono misurbili; l funzione x 1/f(x) d in R è misurbile (dove convenimo che 1/0 si + ). Esercizio 53. Si (, M) uno spzio misurbile e sino f, g : R due funzioni misurbili. Dimostrre che l funzione x f(x)g(x) d in R è misurbile (dove convenimo che 0 (± ) = 0); Si R e definimo h(x) := se f(x) = g(x) = ± e h(x) := f(x)+g(x) ltrimenti. Dimostrre che h : R è misurbile. Esercizio 54. Si f : R R un funzione continu. Dimostrre che l controimmgine di insiemi Borelini sono Borelini. È vero il vicevers? Esercizio 55. Dimostrre che un funzione monoton f : R R è Borelin. Esercizio 56. Si (, M) uno spzio misurbile e f : R un funzione misurbile. Verificre che l insieme {x : f(x) = α} è un insieme misurbile per ogni α R. Si provi con un esempio che il vicevers non è vero. Esercizio* 57. Si mostri che se f è un funzione misurbile vlori reli, non è vero che le controimmgini di insiemi misurbili secondo Lebesgue sono misurbili. E se f è continu? Esercizio 58. Si (, M, µ) uno spzio di misur tle che µ() = +, e f : [, + ] un funzione misurbile e finit qusi ovunque. Dimostrre che per ogni k N esiste un insieme E M con µ(e) > k tle che f è limitt su E. Esercizio 59. Si {f i } i I un fmigli più che numerbile di funzioni misurbili. Allor l funzione f(x) := sup i I f i (x) non è in generle misurbile. Si esibisc un esempio di questo ftto. Esercizio 60. Si I un intervllo di R e sino f : I R e g : R R due funzioni. () Dimostrre che se f e g sono Boreline, llor g f è Borelin. (b) Dimostrre che se g è Borelin e f è Lebesgue misurbile, llor g f è Lebesgue misurbile. (c)* Fornire un esempio di funzione g Lebesgue misurbile ed f continu tle che g f non si Lebesgue misurbile. [Suggerimento: nel corso, bbimo dto un esempio di funzione continu f che mnd un insieme non misurbile in un insieme misurbile.] Esercizio 61. Si f : R R un funzione continu e definimo F (x) := lim sup y x f(y) f(x) f(y) f(x), G(x) := lim inf y x y x y x per ogni x R.

9 ESERCIZI DI ANALISI REALE 9 Mostrre che le funzioni F, G : R R sono Borel misurbili; [Suggerimento: osservre che F e G possono essere scritte come limiti di funzioni semicontinue] Si g(x) = f (x) se f è derivbile in x e g(x) = 0 ltrimenti. Dimostrre che g è Borelin. L esercizio precedente implic, in prticolre, che se f è derivbile in R, llor f : R R è Borelin. Esercizio 62. Si (, M) uno spzio misurbile e f n : [, + ] funzioni misurbili. Dimostrre che l insieme dei punti di convergenz delle f n, i.e. E := {x : f n (x) converge }, è misurbile. 5. Teori dell integrzione Diremo che un fmigli di insiemi {E i } i I è un prtizione dello spzio se gli insiemi {E i } i I sono due due disgiunti e = i I E i. Se (, M) è uno spzio misurbile, diremo che {E i } i I è un prtizione misurbile di se si h inoltre che E i M per ogni i I. Esercizio 63. Si (, M, µ) uno spzio di misur. Sino {E 1,..., E m } e {F 1,..., F n } due differenti prtizioni misurbili di, e supponimo che m n i χ Ei (x) = b j χ Fj (x) per ogni x, i=1 j=1 dove 1,..., m, b 1,..., b n R. Dimostrre che m i µ(e i ) = i=1 n b j µ(f j ). Si (, M, µ) uno spzio di misur. Un funzione φ : R si dice semplice se è misurbile e se l su immgine è un insieme finito, i.e. φ() = { 1,..., n }. In tl cso, l fmigli di insiemi {E i := φ 1 ({ i }) : 1 i n } è un prtizione misurbile di e si h m (1) φ(x) = i χ Ei (x) per ogni x. i=1 Indicheremo con S l fmigli delle funzioni semplici su, e con S + quell delle funzioni semplici positive su. Si φ S + e l scrivimo nell form cnonic (1) con φ() = { 1,..., n } ed E i := φ 1 ({ i }) per ogni 1 i n. Ponimo n (2) φ dµ := i µ(e i ). Esercizio 64. Sino φ, ψ S + e α 0. Verificre che l definizione di integrle di un funzione elementre dt in (2) verific le seguenti proprietà: αφ dµ = α φ dµ; ( φ + ψ) dµ = i=1 φ dµ + ψ dµ; j=1

10 10 ANDREA DAVINI se φ ψ su, llor φ dµ ψ dµ. L integrle di un funzione misurbile f : [0, + ] è definito come { } (3) f dµ := sup φ dµ :, 0 φ f, φ S +. L integrle di un funzione misurbile f : [, + ] si definisce come f dµ = f + dµ f dµ ogni volt che quest espressione h senso (cioè qundo lmeno uno dei due integrli secondo membro è finito). Ricordimo che f + (x) := mx{f(x), 0} e f (x) := mx{ f(x), 0}. Un funzione f : [, + ] si dice integrbile (o sommbile) se è misurbile e f dµ < +. Esercizio 65. Si f : [, + ]. Verificre che f è integrbile se e solo se f + e f sono integrbili. Esercizio 66. Si f : [, + ] un funzione integrbile. Verificre che µ({x : f(x) = + }) = 0 e che l insieme {x : f(x) > 0} è σ finito. Esercizio 67. Si f : [, + ] un funzione misurbile. Mostrre con un esempio che µ({x : f(x) = + }) = 0 non implic che f si integrbile. Si M un σ lgebr sullo spzio e sino µ e ν due misure su M. Si dice che ν è ssolutmente continu rispetto µ (e si scrive ν µ) se, per ogni ε > 0, esiste δ = δ(ε) > 0 tle che, se E M e µ(e) < δ, llor ν(e) < ε. Esercizio* 68. Si M un σ lgebr sullo spzio e sino µ e ν due misure su M. Si ssum che ν() < +. Provre che le seguenti ffermzioni sono equivlenti: () ν è ssolutmente continu rispetto µ; (b) ν(e) = 0 per ogni E M con µ(e) = 0. [Suggerimento: per dimostrre (b) (), rgionre per ssurdo: esiste dunque un successione (E n ) n M con µ(e n ) 0 (bbstnz rpidmente...) e ν(e n ) ε 0 > 0 per ogni n N. A prtire d (E n ) n, costruire un successione decrescente di insiemi in M di misur µ finit che tende d un insieme di misur µ null e misur ν positiv.] Esercizio 69. Si uno spzio non vuoto e y un suo punto. Definimo δ y : P() [0, + ] ponendo δ y (E) = 1 se y E e δ y (E) = 0 ltrimenti. Verificre che δ y è un misur su P(); Verificre che f(x) dδ y (x) = f(y) per ogni f : [0, + ]. L misur δ y prende il nome di delt di Dirc in y. Esercizio 70. (Formul di cmbio di vribili) Si (, M, µ) uno spzio di misur, (Y, N ) uno spzio misurbile e ϕ : Y un funzione misurbile. Il push forwrd dell misur µ trmite ϕ, indicto con ϕ µ, è definito come (4) ϕ µ(e) := µ(ϕ 1 (E)) per ogni E N.

11 ESERCIZI DI ANALISI REALE 11 Verificre che (Y, N, ϕ µ) è uno spzio di misur; Verificre che per ogni f : Y [0, + ] misurbile si h f dϕ µ = f ϕ dµ. Y Nel cso in cui ùn sottoinsieme perto di R d e µ è l misur di Lebesgue su, scriveremo f(x) dx l posto di f(x) dµ(x). Esercizio 71. Si consideri (R d, B(R d ), L d ) e si f : R d [0, + ] Borel misurbile. Si verifichi che x f(x + y) è Borel misurbile per ogni y R d e f(x + y) dx = f(x) dx. R d R d Si verifichi che x f(αx) è Borel misurbile per ogni α R \ {0} e α R d f(αx) dx = f(x) dx. d R d Qule è l relzione tr questi risultti e quelli dell Esercizio 70? Esercizio 72. Si L : R d R d un mpp linere invertibile ed f : R d [0, + ] un funzione Borel misurbile. Dimostrre che f T è Borel misurbile e che vle l formul di cmbio di vribili ( det(l) ) f L (x) dx = f(x) dx R d R d nei seguenti csi: () L(x 1,..., x j,..., x d ) = L(x 1,..., αx j,..., x d ) con α 0; (b) L(x 1,..., x j,..., x d ) = L(x 1,..., x j + αx k,..., x d ) con k j; (c) L(x 1,..., x j,..., x k,..., x d ) = L(x 1,..., x k,..., x j,..., x d ). [Suggerimento: usre il Teorem di Fubini.] Esercizio 73. Si svolg l Esercizio 72 qundo L : R d R d è un mpp linere invertibile generic. Si usi il ftto che L si può scrivere come composizione di un numero finito di trsformzioni del tipo (), (b) e (c). Esercizio 74. Mostrre che l conclusione dell Esercizio 73 continu vlere se f : R d [0, + ] è Lebesgue misurbile. Più in generle, vle il seguente Teorem 75. Si Ω un perto di R d, ϕ : Ω R d un diffeomorofismo di clsse C 1 e f : ϕ(ω) [0, + ] un funzione Lebesgue misurbile. Allor f ϕ : Ω [0, + ] è Lebesgue misurbile e si h f(x) dx = det(dx ϕ) ( f ϕ ) (x) dx. Ω ϕ(ω) In prticolre, ϕ(e) è Lebesgue misurbile se E Ω è Lebesgue misurbile e L d( ϕ(e) ) = det(d x ϕ) dx. E

12 12 ANDREA DAVINI Esercizio 76. Sino ([0, 1], B([0, 1]), L 1 ) e ([0, 1], B([0, 1]), ν) due spzi di misur, dove ν è l counting mesure, cioè ν(e) = numero di punti di E. Si D := {(x, x) : x [0, 1] }. Verificre che D pprtiene ll σ lgebr prodotto B([0, 1]) B([0, 1]) in [0, 1] [0, 1] e che χ D (x, y) d(l 1 ν)(x, y) = (L 1 ν)(d) = +. [0,1] [0,1] Verificre che 1 ( 1 ) χ D (x, y) dν(y) dx = 1, ( 1 0 ) χ D (x, y) dx dν(y) = 0. Perchè il Teorem di Fubini Tonelli non vle in questo esempio? Esercizio 77. Si consideri lo spzio di misur (N N, P(N) P(N), µ µ), dove µ : P(N) [0, + ] è l counting mesure. Si f : N N R definit come f(m, n) = 1 se m = n, f(m, n) = 1 se m = n + 1, ed f(m, n) = 0 ltrimenti. Verificre che ( ) ( ) N f(m, n) dµ(m) N dµ(n) = 0, N f(m, n) dµ(n) N Perchè il Teorem di Fubini Tonelli non si pplic questo cso? dµ(m) = 1. Esercizio 78. Si (, M, µ) uno spzio di misur σ finito e f : [0, + ) un funzione misurbile. Si φ : [0, + ) [0, + ) un funzione crescente, di clsse C 1 e tle che φ(0) = 0. Dimostrre che + (φ f)(x) dµ(x) = µ ({x : f(x) > t}) φ (t) dt. 0 [Suggerimento: pplicre il Teorem di Fubini ll funzione χ E (t, x)φ (t) con E := {(t, x) [0, + ) : f(x) > t }.] Voglimo desso confrontre l integrle di Riemnn con l integrle di Lebesgue. Ricordimo l definizione di funzione Riemnn integrbile e di integrle di Riemnn. Si [, b] un intervllo chiuso e limitto. Un prtizione P di [, b] è un collezione finit di punti t 0,..., t k tli che = t 0 < t 1 < < t k = b. Dt un funzione limitt f : [, b] R e un prtizione P di [, b], definimo k 1 k 1 s P := m j t j+1 t j, S P := M j t j+1 t j, j=0 dove m j := inf x [tj,t j+1 ] f(x) e M j := sup x [tj,t j+1 ] f(x). L integrle inferiore e superiore di f sono definiti rispettivmente come b b f(x) dx := sup{s P j=0 : P prtizione di [, b]} f(x) dx := inf{s P : P prtizione di [, b]}.

13 ESERCIZI DI ANALISI REALE 13 Dicimo che f è Riemnn integrbile se il suo integrle inferiore e superiore coincidono. In tl cso, chimimo integrle di Riemnn di f questo vlore comune e lo indicheremo con l notzione provvisori R b f(x) dx, per distinguerlo dll integrle di Lebesgue di f in [, b], che continueremo indicre con b f(x) dx. Esercizio 79. Si f : [, b] R un funzione limitt. Dt un prtizione P = {t 0, t 1,..., t k } di [, b], ponimo k 1 ϕ P (x) := m j χ (tj,t j+1 ] (x), ψ k 1 P(x) := M j χ (tj,t j+1 ] (x), j=0 j=0 dove m j := inf x [tj,t j+1 ] f(x) e M j := sup x [tj,t j+1 ] f(x). x [, b], Verificre che se P e Q sono due prtizioni di [, b] tli che P Q, llor ϕ P (x) ϕ Q (x) f(x) ψ Q (x) ψ P (x) per ogni x (, b) e s P s Q S Q S P. Dedurre che esistono due funzioni Borel misurbili h, g : [, b] R tli che g(x) f(x) h(x) per ogni x (, b) e b g(x) dx = b f(x) dx, b h(x) dx = b f(x) dx. Concludere dimostrndo che se f è Riemnn integrbile, llor è integrbile secondo Lebesgue e b f(x) dx = R b f(x) dx. Esercizio 80. Dre un esempio di funzione limitt e definit su in intervllo chiuso e limitto che è integrbile secondo Lebesgue m non secondo Riemnn. Esercizio* 81. Dt un funzione limitt f : [, b] R, definimo f (x) := lim inf f(y), δ 0 y x <δ f (x) := lim sup δ 0 y x <δ f(y), x [, b]. Verificre che f è semicontinu inferiormente, f è semicontinu superiormente e f (x) f(x) f (x) in [, b]. Verificre che f (x) = f (x) se e solo se x è un punto di continuità per f. Dimostrre che b f (x) dx = b f(x) dx, b f (x) dx = b f(x). [Suggerimento: verificre che f (x) = g(x) e f (x) = h(x) per qusi ogni x [, b], dove h e g sono due funzioni che verificno l second ffermzione dell Esercizio 79.] Concludere che f è Riemnn integrbile se e solo se f è Lebesgue integrbile e l insieme dei punti di discontinuità di f h misur di Lebesgue null. Le funzioni f e f si chimno, rispettivmente, inviluppo semicontinuo inferiore e superiore di f. L funzione f è l più grnde funzione semicontinu inferiormente tr quelle che sono minori o uguli f in [, b], mentre f è l più piccol funzione semicontinu superiormente tr quelle che sono mggiori o uguli f in [, b]. L

14 14 ANDREA DAVINI verific è lscit per esercizio. 6. Pssggio l limite sotto il segno di integrle Esercizio 82. Si (, M, µ) uno spzio di misur e f n : [0, + ] un fmigli di funzioni misurbili tli che f n f n+1 su per ogni n N e lim n f n (x) = f(x) per ogni x. Dimostrre che se f 1 L 1 (, µ), llor lim n + f n dµ = f dµ. Mostrre che il risultto non è in generle vero se si rimuove l condizione che f 1 L 1 (, µ). Esercizio 83. Si E un sottinsieme Lebesgue misurbile di R di misur finit. Si definisc un successione di funzioni f n ponendo f n = χ E se n è pri e f n = 1 χ E se n dispri. Si verifichi che per quest successione l disuguglinz nel Lemm di Ftou può essere effettivmente strett. Esercizio 84. Dimostrre che nel Teorem dell Convergenz Monoton l condizione f n 0 per ogni n N può essere sostituit d f n g per ogni n N con g L 1 (, µ). Esercizio 85 (Ftou per limsup). Si (, M, µ) uno spzio di misur e sino f n, g : [, + ] funzioni misurbili tli che f n (x) g(x) per µ q.o. x, per ogni n N. Dimostrre che se g L 1 (, µ), llor lim sup n + f n dµ lim sup f n dµ. n + Mostrre che il risultto non è in generle vero se si rimuove l condizione che g L 1 (, µ). Esercizio 86. Si (, M, µ) uno spzio di misur e (f n ) n un successione di funzioni in L 1 (, µ) tli che f n f uniformemente in. () Mostrre che f L 1 (, µ) e lim n + f n dµ = f dµ se µ() < +. (b) Mostrre che l conclusione di () non è più ver in generle se µ() = +. Esercizio 87 (Teorem dell Convergenz Domint generlizzto). Sino f n, g n, f, g L 1 (, µ) tli che f n (x) f(x), g n (x) g(x) e f n (x) g n (x) per µ q.o. x. Dimostrre che se lim n g n dµ = g dµ, llor lim n f n dµ = f dµ. [Suggerimento: rivisitre l dimostrzione del Teorem dell Convergenz Domint.] Esercizio 88. Sino f n, f L 1 (, µ) tli che f n (x) f(x) per µ q.o. x. Dimostrre che f n f dµ 0 se e solo se f n dµ f dµ. [Suggerimento: sfruttre il Teorem dell Convergenz Domint generlizzto.]

15 ESERCIZI DI ANALISI REALE 15 Esercizio 89. Si (, M, µ) uno spzio di misur e sino (E n ) n M tli che + n=1 µ(e n ) < +. Dimostrre che µ q.o. x pprtiene d un numero finito di insiemi E n. Esercizio 90. Si = N, M = P(N) e µ l counting mesure su N. Reinterpretre il Lemm di Ftou e i Teoremi dell convergenze monoton e domint in termini di risultti sulle serie. Esercizio 91. Si (, M, µ) uno spzio di misur e f : [0, + ] un funzione integrbile. Definimo ν(e) := E f(x) dµ(x) per ogni E M. () Verificre che ν è un misur; (b) Dimostrre che ν è ssolutmente continu rispetto µ. (c) Verificre che per ogni g : [0, + ] misurbile si h g(x) dν(x) = g(x)f(x) dµ(x). [Suggerimento: considerre prim il cso g funzione semplice.] Esercizio 92. Clcolre i seguenti limiti: lim n dx, lim 1 + xn n + n nx dx, lim n + n 0 ( 1 x ) e x/2 dx n lim n + n 0 ( 1 + x ) e 2x dx n 7. Spzi L p In quest sezione, se non diversmente indicto, considerimo un generico spzio di misur (, M, µ). Indicheremo con L p (; C) e L p () lo spzio delle funzioni misurbili f d C e R, rispettivmente, e tli che f p dµ < +. Scriveremo p l posto di L p (). Esercizio 93. Verificre che l seguente formul < f, g >:= f(x)g(x) dµ(x) per ogni f, g L 2 () definisce un prodotto sclre complesso su L 2 (). Esercizio 94. Si Ω un perto di R d munito dell misur di Lebesgue e 1 p +.

16 16 ANDREA DAVINI Mostrre che l identità del prllelogrmm f + g 2 p + f g 2 p = 2 ( f 2 p + g 2 ) p per ogni f, g L p (Ω) vle se e solo p = 2. Dedurre che L p (Ω) è di Hilbert se e solo se p = 2. Esercizio 95. Si (α n ) n un successione di numeri reli positivi e considerimo lo spzio di misur (N, P(N), µ) dove µ : P(N) [0, + ] è l misur definit come µ(e) = n E α n per ogni E P(N). Sino 1 p < + ed f : N R. Dimostrre che f p dµ = α n f(n) p per ogni 1 p < +. n N N Esercizio 96 (Disuguglinz di Chebyshev). Si f un funzione misurbile su. Dimostrre che per ogni p > 0 e per ogni > 0 si h ( ) p f p µ ({x : f(x) > }). Esercizio 97. Sino f ed (f n ) n funzioni in L p () con 1 p < + tli che () f n (x) f(x) per µ q.o. x ; (b) esiste un funzione g L p () tle che f n (x) g(x) per µ q.o. x, per ogni n N. Dimostrre che f n f in L p (). Si ricord il seguente risultto dimostrto lezione: Teorem 98. Si f n f in L 1 (). Allor esiste un sottosuccessione (f nk ) k ed un funzione g L 1 () tli che (i) lim k f nk (x) = f(x) per µ q.o. x ; (ii) f nk (x) g(x) per µ q.o. x, per ogni k N. Il seguente esercizio può essere letto come un generlizzzione del Teorem 98 gli spzi L p. Esercizio 99. Si f n f in L p () per 1 p < +. Dimostrre che esiste un sottosuccessione (f nk ) k ed un funzione g L p () tli che (i) lim k f nk (x) = f(x) per µ q.o. x ; (ii) f nk (x) g(x) per µ q.o. x, per ogni k N.

17 ESERCIZI DI ANALISI REALE 17 Esercizio 100. Si consideri l successioni di funzioni f n : [0, 1] R definite come f n := χ [ n 2 j 2 j, n 2j +1 per 2 j n < 2 j+1, per ogni j = 0, 1, 2,..., 2 j ] esplicitmente f 1 = χ [0,1], f 2 = χ [0, 1 ], f 3 = χ 2 [ 1,1], f 4 = χ 2 [0, 1 ], f 5 = χ 4 [ 1 4, 1 ], etc. 2 Verificre che f n 0 in L p ([0, 1]) per ogni 1 p < +, m che f n (x) non h limite, qule che si x [0, 1]. Esercizio 101. Si (f n ) n un successione limitt in L 2 (). Dimostrre che f n (x) n 0 per µ q.o. x. Esercizio 102. Si 1 p < +. Dimostrre che per ogni, b 0 si h + b p 2 p 1 ( p + b p ). [Suggerimento: usre l convessità dell funzione φ(t) = t p per t 0.] Esercizio 103. Sino f, g L p () con 1 p +. Provre che h(x) := mx{f(x), g(x)} pprtiene L p (). Sino (f n ) n e (g n ) n due successioni in L p () con 1 p + tli che f n f e g n g in L p (). Verificre che mx{f n, g n } =: h n h := mx{f, g} in L p (). Si (f n ) n un successione in L p () con 1 p < + e si (g n ) n un successione limitt in L (). Supponimo che f n f in L p () e che g n (x) g(x) per µ q.o. x. Dimostrre che f n g n fg in L p (). [Suggerimento: osservre che mx{f, g} = 1 2 ( f g + f + g ).] Si E si uno spzio metrico e indichimo con d l distnz su E. Diremo che un successione (x n ) n in E converge d un elemento x E se lim n d(x n, x) = 0. Diremo che un successione (x n ) n converge in E se converge d un elemento x E. Il risultto contenuto nel prossimo esercizio è di estrem utilità per le ppliczioni, d esempio, gli spzi L p. Esercizio 104. Si (E, d) uno spzio metrico. Dimostrre che un successione (x n ) n converge d un elemento x E se e solo se ogni sottosuccessione (x nk ) k mmette un estrtt che converge x. Esercizio 105. Si φ : R R un funzione continu tle che φ(t) t per ogni t R. Per ogni f : R misurbile, indicheremo con φ f l funzione definit come (φ f)(x) := φ(f(x)) per ogni x. Si 1 p < +. Dimostrre che φ f L p () per ogni f L p (); se f n f in L p (), llor φ f n φ f in L p (). [Suggerimento: usre gli esercizi 104 e 99.]

18 18 ANDREA DAVINI Esercizio 106. Sino f 1, f 2 funzioni tli che f i L p i () con 1 p i + e 1 p p 2 1. Provre che f(x) := f 1 (x)f 2 (x) pprtiene L p () con 1 p = 1 p p 2 e che f p f 1 p1 f 2 p2. Esercizio 107. Sino 1 p < + e 1 q +. Dimostrre che L 1 () L () è un sottoinsieme denso di L p (). Provre che l insieme {f L p () L q () : f q 1 } è chiuso in L p (). Si (f n ) n un successione in L p () L q () e si f L p (). Supponimo che f n f in L p () e che sup n f n q < +. Dimostrre che f L r () e che f n f in L r () per ogni r tr p e q, r q. Esercizio 108. Si µ() < +. Si f L (). Dimostrre che lim p f p = f. Si f L p () e ssumimo che esist un costnte C tle che 1 p<+ f p C Provre che f L () e f C. per ogni 1 p < +. Costruire un esempio di funzione f 1 p<+ L p () e tle che f L () nel cso in cui = (0, 1) munito dell misur di Lebesgue. Esercizio 109. Si consideri il seguente spzio di funzioni: F := { u L (R) : u = 0 q.o. fuori d un comptto e R u(x) dx = 0 }. Dimostrre che F è denso in L p (R) per ogni 1 < p < +. [Suggerimento: mostrre che ogni u C c(r) con R u dx > 0 si può pprossimre in norm Lp con funzioni del tipo u ε := u εχ Iε con I ε intervllo limitto scelto in modo tle che u ε F.] Dimostrre che F non è denso in L 1 (R). Esercizio 110. Si consideri l seguente fmigli di funzioni: { m } F := k χ Jk (x) : k R, J k intervllo chiuso in R per ogni k, m N. k=1 Verificre che F è un sottospzio vettorile su R e che è denso in L p (R) per ogni 1 p < +. Esercizio 111. Si g : R un funzione misurbile e C un costnte positiv tle che fg dµ C f per ogni f L (). Dimostrre che g L 1 () con g 1 C.

19 ESERCIZI DI ANALISI REALE 19 Esercizio* 112. Si (, M, µ) uno spzio di misur σ finito. Si g : R un funzione misurbile e C un costnte positiv tle che fg dµ C f 1 per ogni f L 1 (). Dimostrre che g L () con g C. Esercizio* 113. Si (, M, µ) uno spzio di misur σ finito e 1 < p < +. Si g : R un funzione misurbile e C un costnte positiv tle che fg dµ C f q per ogni f L q (), dove q è l esponente coniugto p. Dimostrre che g L p () con g p C. Esercizio 114 (Lemm di Pley-Zigmund). Si f L 2 ([0, 1]) tle che f 2 = 1 e f dx α > 0. Dimostrre che per ogni 0 < β < α si h 1 0 L 1( {x [0, 1] : f(x) β } ) (β α) 2. Esercizio 115. Dimostrre che l p è seprbile per 1 p < +. Dimostrre che l non è seprbile. Esercizio 116. Si g n un successione di funzioni misurbili g n : [0, + ] convergerti µ q.o. d un funzione g L 1 (, µ) e tli che g n dµ = g dµ. lim n + Dimostrre che g n g in L 1 (, µ). [Suggerimento: si usi che g n (x) g(x) = 2(g(x) g n (x))χ {0 gn g} + (g n (x) g(x)).] Esercizio 117. Si (, M, µ) uno spzio di misur finito e f L 1 (, µ). Dimostrre che ε > 0 E ε M tle che µ(e ε ) < + e f dµ < ε. \E ε Esercizio* 118. Si (, M, µ) uno spzio di misur finito e si (f n ) n un successione di funzioni misurbili. Dimostrre che ε > 0 M ε > 0 tle che f n dµ < ε n N. se e solo se sup n f n dµ < + e {x : f n (x) >M ε } (5) ε > 0 δ ε > 0 tle che µ(e) < δ ε = E f n dµ < ε n N. L ultim condizione nell esercizio precedente prende il nome di equi ssolut integrbilità delle funzioni f n. Si ricord che un funzione integrbile è ssolutmente integrbile.

20 20 ANDREA DAVINI Esercizio* 119 (Teorem di Vitli). Si (, M, µ) uno spzio di misur finito e si 1 p < +. Si (f n ) n un successione in L p (, µ) tle che f n converge µ qusi ovunque d un funzione misurbile f : R. Dimostrre che f n f in L p (, µ) se e solo se (6) ε > 0 δ ε > 0 tle che µ(e) < δ ε = f n p dµ < ε n N. [Suggerimento: si usi il Teorem di Egoroff per un delle due impliczioni.] E Esercizio* 120. Si (, M, µ) uno spzio di misur finito e si 1 p < +. Si (f n ) n un successione in L p (, µ) tle che f n converge µ qusi ovunque d un funzione f L p (, µ) e lim f n p dµ = f p dµ. n + Dimostrre che f n f in L p (, µ). [Suggerimento: si usi l esercizio 116 con g n = f n p e l esercizio 119.] Esercizio 121 (Teorem di Vitli bis). Si (, M, µ) uno spzio di misur e si 1 p < +. Si (f n ) n un successione in L p (, µ) tle che f n converge µ qusi ovunque d un funzione misurbile f : R. Dimostrre che f n f in L p (, µ) se e solo se le funzioni f n p sono equi ssolutmente integrbili e ε > 0 E ε M such tht µ(e ε ) < + e f n p dµ < ε n N. \E ε 8. Spzi vettorili normti e loro dule In quest sezione, se non diversmente specificto, E indicherà uno spzio vettorile rele normto ed E lo spzio vettorile rele dei funzionli lineri e continui d E in R. Per ogni T E, definimo T E := sup T (x). x E, x 1 Esercizio 122. Si x n x in E. Verificre che x n x. Esercizio 123. Verificre i ftti seguenti: T E = sup T (x) = sup T (x) = sup x 1 x =1 x 0 T (x) x ; T E è l più piccol costnte C 0 tle che T (x) C x per ogni x E. Esercizio 124. Dimostrre che E è un norm su E. Esercizio 125. Dimostrre che E dotto dell norm E è uno spzio di Bnch (nche se E non è completo).

21 ESERCIZI DI ANALISI REALE 21 Due norme e b su uno spzio vettorile rele E si dicono equivlenti se esistono costnti reli α, β > 0 tli che α x x b β x per ogni x E. Esercizio 126. Su R d, d N, considerimo l norm x 1 := x x d per x = (x 1,..., x d ) R d. Dimostrre che l pll unitri B := {x R d : x 1 1 } è comptt. Esercizio 127. Su R d, d N, considerimo l norm x 1 := x x d per x = (x 1,..., x d ) R d. Si un ltr norm su R d. () Dimostrre che esiste un costnte β > 0 tle che x β x 1 per ogni x R d. In prticolre, x x è continu in (R d, 1 ). (b) Dimostrre che esiste un costnte α > 0 tle che α x 1 x per ogni x R d. (c) Concludere che tutte le norme sono equivlenti in R d. Esercizio 128. Si E uno spzio vettorile rele di dimensione d finit e si E un norm su E. () Dimostrre che esiste un norm su R d ed un ppliczione linere bigettiv T : R d E tle che T (x) E = x per ogni x R d.( 1 ) (b) Dedurre che tutte le norme su E sono equivlenti. Esercizio 129. Si E uno spzio vettorile rele normto ed F un sottospzio di E di dimensione finit. Dimostrre che F è chiuso in E. [Suggerimento: sfruttre l esercizio 128.] Esercizio 130. Sino E, F due spzi di Bnch e si T : E F un isometri, cioè un mpp linere tle che T x F = x E per ogni x E. Dimostrre che T (E) è un sottospzio vettorile chiuso di F. Esercizio 131. Si E uno spzio vettorile rele normto e si V un suo sottospzio vettorile chiuso. Si z 0 V e ponimo F := V + Rz 0 = {x + tz 0 : x V, t R }. Voglimo dimostrre che F è chiuso in E. () Si (x n ) n e (t n ) n successioni in V ed R, rispettivmente, tli che x n +t n z 0 y in E. Dimostrre che (t n ) n è limitt. 1 Un tle mpp T si chim isomorfismo isometrico.

22 22 ANDREA DAVINI (b) Dedurre che y F. Esercizio 132. Si E uno spzio vettorile rele e normto di dimensione finit. Dimostrre che ogni funzionle linere L : E R è continuo. Esercizio 133. Si E uno spzio vettorile rele e normto di dimensione finit. Dimostrre che nche E h dimensione finit e dim(e ) = dim(e). Esercizio 134. Si E uno spzio vettorile rele e normto tle che E h dimensione finit. Dimostrre che llor nche E h dimensione finit e dim(e) = dim(e ). Si E uno spzio vettorile rele. Si (e i ) i I un collezione (finit o infinit) di elementi di E. Diremo che gli (e i ) i I sono linermente indipendenti se l unic combinzione linere finit degli e i che è zero è quell bnle, i.e. x i e i = 0 con J I, J finito se e solo se x i = 0 per ogni i J. i J Un bse lgebric (o di Hmel) per E è un collezione (e i ) i I di elementi di E linermente indipendenti tle che ogni x E può essere scritto (in mnier necessrimente unic) come x = i J x i e i, con J I, J finito. Esercizio 135. Si (E, ) uno spzio vettorile rele normto. Usndo il Lemm di Zorn, dimostrre che E possiede un bse lgebric (e i ) i I con e i = 1 per ogni i I. Supponimo che E si di Bnch. Dimostrre che llor I è finito oppure è non numerbile. [Suggerimento: usre il Teorem di Bire.] Esercizio 136. Si E := {x = (x n ) n l : x n 0 solo per un numero finito di indici } dotto dell norm x := sup x n. Si T : E R il funzionle definito come n T (x) := + n=1 Verificre che T è linere m non è continuo. n x n. Esercizio 137. Dre un esempio di uno spzio vettorile normto E e di un funzionle T E tle che il sup nell definizione di T E non è tteso, o, equivlentemente, che T (x) < T E per ogni x = 1. Esercizio 138. Si (T n ) n un successione limitt in E, i.e. tle che C := sup n T n E < +. Supponimo che esist T E ed un insieme D denso in E tle che l successione T n (x) T (x) per ogni x D.

23 ESERCIZI DI ANALISI REALE 23 Dimostrre che T n (x) T (x) per ogni x E. Verificre che T E lim inf n + T n E. Esercizio 139. Si (T n ) n un successione limitt in E, i.e. tle che C := sup n T n E si finito. Supponimo che esist un insieme D denso in E tle che l successione (T n (x)) n converg in R per ogni x D. Dimostrre che esiste T E tle che T n (x) T (x) per ogni x E. Esercizio 140. Si E := {u C([0, 1]) : u(0) = 0} dotto dell norm usule u := mx u(x). Si T : E R il funzionle definito come x [0,1] T (u) := 1 0 u(x) dx. Verificre che T E e clcolre T E. Dire se esiste un elemento u E tle che u = 1 e T (u) = T E. Dire se E è uno spzio di Bnch. Esercizio 141. Si E := {x = (x n ) n l : lim n x n = 0 } dotto dell norm x := sup x n. Si T : E R il funzionle definito come n T (x) := + n=1 1 2 n x n. Verificre che T E e clcolre T E. Dire se esiste un elemento x E tle che x = 1 e T (x) = T E. Dire se E è uno spzio di Bnch. 9. Misure con segno Esercizio 142. Si (, M, µ) uno spzio di misur e si f : R un funzione integrbile, i.e. f L 1 (, µ). Definimo ν : M R come ν(e) := f dµ, E M. (i) Dimostrre che ν è un misur con segno. E (ii) Crtterizzre gli insiemi positivi, negtivi e nulli in termini di f. (iii) Verificre che l decomposizione di Jordn dell misur ν come differenz di due misure positive, i.e. ν = ν + ν, è dt d ν + (E) := f + dµ, ν (E) := f dµ, E M, E dove f + e f sono l rispettivmente l prte positiv e negtiv dell funzione f. E

24 24 ANDREA DAVINI (iv) Verificre che l vrizione totle ν dell misur ν è dt d ν (E) = f dµ, E M. E Esercizio 143. Verificre che l enuncito dell esercizio precedente continu vlere nel cso in cui f : R si misurbile e f si integrbile. Esercizio 144. Si ν un misur con segno su uno spzio misurbile (, M). Verificre che E M è un insieme nullo per ν se e solo se ν (E) = 0. Esercizio 145. Sino µ un misur positiv e ν un misur con segno su uno spzio misurbile (, M). Verificre che i seguenti ftti sono equivlenti: (i) ν µ; (ii) ν + µ, ν µ; (iii) ν µ. Esercizio 146. Si ν un misur con segno su (, M). Si E M. Provre che { n } n ν (E) = sup ν(e k ) : E 1,..., E n insiemi disgiunti in M, E = E k, n N. k=1 k=1 Due misure positive µ e ν su (, M) si dicono equivlenti se µ ν e ν µ. Esercizio 147. Sino µ e ν due misure positive e finite su (, M). Dimostrre che µ e ν sono equivlenti se e solo se esiste un funzione misurbile f : R, integrbile rispetto µ e con f(x) > 0 per µ q.o. x, tle che dν = fdµ. Esercizio 148. Si ν un misur con segno σ finit su (, M) e indichimo con ν l su vrizione totle. Dimostrre che esiste un funzione misurbile f : R con f(x) = 1 per ν q.o. x tle che dν = fd ν. Si ν un misur con segno su (, M) e si ν = ν + ν l decomposizione di Jordn di ν. Dt un funzione misurbile f : [0, + ], l integrle di f rispetto ν è definito come f dν := f dν + f dν. Esercizio 149. Sino µ e ν misure σ finite su (, M), con µ misur positiv e ν misur con segno, tli che ν µ. Verificre che per ogni funzione misurbile f : [0, + ] si h f(x) dν(x) = f(x) dν (x) dµ(x). dµ

25 ESERCIZI DI ANALISI REALE 25 Esercizio 150. Sino ρ, ν, µ misure positive e σ finite su (, M) tli che ρ ν e ν µ. Dimostrre che ρ µ e dρ dµ = dρ dν dν dµ µ q.o. in. Esercizio 151. Si (, M, µ) uno spzio di misur σ finito ed f : R un funzione in L 1 (, µ). Si N un σ lgebr contenut in M. Indichimo con µ l restrizione di µ N e definimo un misur con segno ν : N R come ν(e) := f dµ, E N. (i) Provre che ν µ. E (ii) Dett g := dν/d µ l derivt di Rdon Nykodim di ν rispetto µ, verificre che g : R è N misurbile e g dµ = f dµ per ogni E N. E E L funzione g prende il nome di medi condiziont di f rispetto N e si scrive g = E[f N ]. Esercizio 152 (Jcobino strtto). Sino (, M, µ) e (Y, N, ν) due spzi di misur, con (Y, N, ν) σ finito, e ϕ : Y un funzione misurbile, i.e. ϕ 1 (F ) M per ogni F N. Indichimo con ϕ µ il push forwrd dell misur µ trmite ϕ. Supponimo che vlgno i seguenti ftti: (h1) ϕ µ ν; (h2) (Y, N, ϕ µ) è uno spzio di misur σ finito. Verificre le seguenti proprietà: esiste un funzione misurbile J ϕ : (Y, N ) [0, + ] tle che g ϕ(x) dµ(x) = g(y) J ϕ (y) dν(y) per ogni funzione misurbile f : (, M) [0, + ]. J ϕ (y) = d(ϕ µ) (y) per ν q.o. y Y. dν L funzione J ϕ è dett Jcobino strtto. Esercizio 153. Verificre che l condizione (h2) dell Esercizio 152 è soddisftt se (, M, µ) è σ finito e ϕ è iniettiv. Y

26 26 ANDREA DAVINI 10. Spzi di Hilbert In quest sezione, se non diversmente specificto, indicheremo con H uno spzio di Hilbert rele. Esercizio 154. Si L un funzionle linere e continuo su uno spzio di Hilbert H e si M := {x H : L(x) = 0 }. Dimostrre che M è uno spzio vettorile di dimensione 1 (purché M H). Esercizio 155. Sino M, N sottospzi vettorili di uno spzio di Hilbert H. Verificre le seguenti proprietà: M = M; (M + N) = M N ; Se M ed N sono chiusi, llor (M N) = M + N. Esercizio 156. Si (, M, µ) uno spzio di misur e si h : [0, + ] un funzione misurbile. Si K := { u L 2 () : u(x) h(x) per µ q.o. x }. Dimostrre che K è un sottoinsieme convesso, chiuso e non vuoto di L 2 (). Scrivere esplicitmente l opertore di proiezione P K : H K. Esercizio 157. Si {e α : α A} un bse ortonormle di uno spzio di Hilber H. Si x H di norm unitri e si k N. Dimostrre che l insieme {α A : x, e α 1/k } h l mssimo k 2 elementi. Esercizio 158. Si L : H 1 H 2 un opertore linere tr spzi di Hilbert reli. Dimostrre che L è un isometri se e solo se Lx, Ly H2 = x, y H1 per ogni x, y H 1. Esercizio 159. Mostrre che l pll unitri chius di l 2 non è comptt in l 2. Esercizio 160. Mostrre che il cubo di Hilbert Q := { (x n ) n l 2 : x n 1/n per ogni n N } è un insieme comptto in l 2. Si (E, ) uno spzio vettorile rele normto. Un funzione F : E R si dice Fréchet differenzibile in un punto x E se esiste L E tle che F (x + h) F (x) Lh lim = 0. h 0 h Si vede fcilmente che un tle L, se esiste, è unico. Esso è detto derivt secondo Fréchet e lo si indic con il simbolo DF (x) o F (x). Se U è un insieme perto di E, diremo che F è di clsse C 1 in U se è Fréchet differenzibile in ogni punto di U e se l mpp U x DF (x) E è continu.

27 ESERCIZI DI ANALISI REALE 27 Nel cso E = H spzio di Hilbert rele, in bse l teorem di rppresentzione di Riesz Fréchet, sppimo che ogni funzionle linere e continuo su H si può rppresentre come prodotto sclre per un opportuno elemento di H. In prticolre, se F è differenzibile secondo Fréchet in un punto x H, esiste un unico elemento F (x) H tle che DF (x)h = F (x), h per ogni h H. Il vettore F (x) è detto grdiente di F nel punto x H. Esercizio 161. Si F : H R un funzione convess e di clsse C 1. Si K un convesso non vuoto di H e si u H. Dimostrre l equivlenz tr le seguenti due ffermzioni: () F (u) F (v) per ogni v K; (b) F (u), v u 0 per ogni v K. [Suggerimento: mimre qunto ftto lezione per il cso F (v) = v 2. ]