Diario del Corso di Analisi Matematica II - Mod. 2

Transcript

1 Dirio del Corso di Anlisi Mtemtic II - Mod. 2 Corso di Lure: Mtemtic Applict Docente: Sisto Bldo ATTENZIONE: Il presente Dirio del Corso vuole essere un rissunto bbstnz dettglito di quello che è stto detto in ul, e come tle può essere un utile sussidio per chi vogli sistemre i propri ppunti, o per chi si stto ssente e vogli ricostruire i contenuti di un lezione. D ltr prte, queste brevi pginette NON possono sostituire completmente un libro di testo, l lezione in ul o un interzione dirett con il docente o l esercittore: siete quindi invitti servirvi ANCHE di queste ltre opportunità per pprofondire le vostre conoscenze! 1

2 Indice 1 Lezione del 13/12/2018 (2 ore) 3 Misur di Lebesgue: motivzione, ripsso sull misur di Peno Jordn, misur estern di Lebesgue. Prime proprietà dell misur estern di Lebesgue. 2 Lezione del 14/12/2018 (2 ore) 6 Misure esterne strtte. Insiemi misurbili secondo Crtheodory. Proprietà dell misur sugli insiemi misurbili. 3 Lezione del 19/12/2018 (2 ore) 10 Conclusione dell dimostrzione del teorem su misurbili e misur sui misurbili. Regolrità dell misur di Lebesgue. 4 Lezione del 20/12/2018 (2 ore) 13 Insieme non misurbile di Vitli. Cenni sul prdosso di Bnch-Trski. Funzioni misurbili e loro stbilità. 5 Lezione del 21/12/2018 (2 ore) 17 Funzioni semplici e loro integrle. Definizione dell integrle di Lebesgue. Approssimzione di funzioni misurbili non negtive con funzioni semplici. Teorem di Beppo Levi o dell convergenz monoton. Additività e linerità dell integrle rispetto ll integrnd. 6 Lezione del 9/1/2019 (2 ore) 21 Lemm di Ftou e teorem dell convergenz domint di Lebesgue. Appliczioni dei teoremi di convergenz integrle. 7 Lezione del 11/1/2019 (2 ore) 25 Confronto tr integrle di Lebesgue e di Riemnn. Lo spzio L 2 delle funzioni qudrto sommbile e su completezz. 8 Lezione del 16/1/2019 (2 ore) 28 Convergenz L 2 e convergenz puntule. Prodotto sclre. Densità delle funzioni continue in L 2. Densità dei polinomi trigonometrici (teorem di Stone-Weierstrss - senz dimostrzione). Teorem di Fourier. Teorem di Fubini (senz dimostrzione). 2

3 1 Lezione del 13/12/2018 (2 ore) L prim prte delle mie lezioni è dedict ll introduzione dell teori dell misur e dell integrzione secondo Lebesgue. Contestulmente, e con poco o nessuno sforzo ggiuntivo, vremo modo di fmilirizzrci nche con l teori dell misur (e dell integrzione) strtte. Nelle lezioni di Gindomenico Orlndi vete (sostnzilmente) incontrto l misur di Peno-Jordn, che è probbilmente uno dei modi più semplici di definire in modo rigoroso l re di un sottinsieme del pino (il volume di un sottinsieme dello spzio... ) Ricordimo lcune definizioni rilevnti: DEFINIZIONE: Un intervllo o rettngolo in R n è un sottinsieme I R n che si prodotto crtesino di intervlli unidimensionli: I = ( 1, b 1 ) ( 2, b 2 )... ( n, b n ). Gli intervlli unidimensionli di cui si f il prodotto possono essere nche chiusi, oppure chiusi in un sol delle due estremità. L misur di un intervllo I è per definizione il numero I = n (b i i ). Si vede subito che per n = 2 il nostro intervllo è un rettngolo con lti prlleli gli ssi, e l su misur coincide con l re. Invece, per n = 3, I srà un prllelepipedo e l su misur coincide con il volume. Gli insiemi misurbili secondo Peno-Jordn sono insiemi l cui re si pprossim bene, si d fuori che d dentro, con unioni finite di intervlli. DEFINIZIONE (Insieme misurbile secondo Peno-Jordn): Un sottinsieme A R n si dice misurbile secondo Peno-Jordn se è limitto e per ogni ε > 0 esistono un numero finito di intervlli I 1,..., I N, J 1,..., J K R n tli che gli I i hnno due due in comune solo punti dell frontier, i J i hnno due due in comune solo punti dell frontier, N K I i A J i e infine K J i N I i ε. 3

4 In tl cso, l misur di Peno-Jordn di A si definisce come N N A = sup{ I i : I i due due con interni disgiunti, I i A} = inf{ K J i : J i due due con interni disgiunti, K J i A}. È fcile vedere che un rettngolo è misurbile secondo Peno-Jordn, mentre l insieme dei punti coordinte rzionli di un rettngolo non lo è. Nel pino, il trpezoide sotteso d un funzione di un vribile integrbile secondo Riemnn è misurbile secondo Peno-Jordn, e l su misur è dt proprio dll integrle. Sono nche misurbili secondo Peno-Jordn gli insiemi dti dll prte di pino compres tr i grfici di due funzioni di un vribile integrbili secondo Riemnn: ESERCIZIO: Sino g, h : [, b] R due funzioni di un vribile, integrbili secondo Riemnn e con g(x) h(x) per ogni x [, b]. Considerimo l insieme A = {(x, y) R 2 : x [, b], g(x) y h(x). Mostrre che A è misurbile secondo Peno-Jordn e si h A = b (h(x) g(x)) dx. Un insieme A di questo tipo si chim semplice rispetto ll sse delle x... Gli insiemi semplici rispetto ll sse delle y si definiscono in modo nlogo, e ci sono nche nturli generlizzzioni in dimensione più lt. L misur di Peno-Jordn è un ottimo oggetto, che però si comport mle rispetto d operzioni numerbili: se è vero che l unione di un numero finito di insiemi misurbili secondo P.-J. rimne misurbile, questo non è vero per unioni numerbili (un unione numerbile di punti può dre un insieme non misurbile: un esempio è l insieme dei punti con coordinte rzionli in un rettngolo). Per quest ed ltre rgioni, risult utile definire un nozione più generle di misur, che srà ppunto l misur di Lebesgue. Simo or in grdo di definire l misur estern di Lebesgue di un sottinsieme di R n : l ide è molto simile quell dell definizione dell misur di Peno-Jordn, solo che useremo unioni numerbili nziché unioni finite di intervlli. DEFINIZIONE (Misur estern di Lebesgue): Se A R n, l su misur estern di Lebesgue si definisce come m(a) = inf{ I i : I i intervlli, I i A}. 4

5 Si noti che non richiedimo che gli intervlli bbino prti interne disgiunte. Inoltre, considerimo nche l insieme vuoto come intervllo degenere, in modo d poter considerre nche ricoprimenti finiti. L misur estern di Lebesgue gode delle seguenti proprietà elementri: TEOREMA (Proprietà elementri dell misur estern di Lebesgue): Si m : P(R n ) [0, + ] l misur estern di Lebesgue 1. Vlgono i ftti seguenti: (i) m( ) = 0, m({x}) = 0 per ogni x R n. (ii) Se A A i, con A, A 1, A 2,... R n, llor m(a) m(a i ) (numerbile subdditività dell misur di Lebesgue). In prticolre, se A B vle m(a) m(b) (monotoni dell misur di Lebesgue). (iii) Nell definizione dell misur estern di Lebesgue, non è restrittivo chiedere che gli intervlli I i sino tutti perti. (iv) m(i) = I per ogni intervllo I R n. Inoltre, m(r n ) = +. DIM.: L (i) è lscit come fcile esercizio. Per qunto rigurd l (ii), è importnte fre un osservzione preliminre che ricorre in tutt l teori dell misur: l somm di un serie di numeri non negtivi (che ovvimente può essere + ) non cmbi se si permut l ordine degli ddendi dell serie (per esercizio si provi dimostrre questo ftto, che è flso per le serie termini di segno qulunque che non sino ssolutmente convergenti). Fissimo ε > 0 e un indice i: per definizione di inf possimo trovre un successione di intervlli {Ij} i j tli che Ij i A i e Ij i < m(a i ) + ε 2. i Allor {Ij} i i,j è un ricoprimento numerbile di A ftto di intervlli, e per definizione di misur di Lebesgue bbimo m(a) Ij i Ij i (m(a i ) + ε 2 ) = m(a i i ) + ε, i, 1 P(R n ) denot l insieme delle prti di R n, ossi l insieme di tutti i sottinsiemi di R n. 5

6 d cui segue (ii) perché ε può essere preso rbitrrimente piccolo. L monotoni è conseguenz immedit dell subdditività numerbile. Dimostrimo (iii): se A R n, per ogni ε > 0 possimo trovre degli intervlli I j tli che I j A e I j < m(a) + ε 2. Per ogni j = 1, 2,... si I j I j un intervllo perto di poco più grnde, scelto in modo che I j < I j + ε. Allor 2 j+1 I j < ( I j + ε 2 ) < m(a) + ε j ε 2 e (iii) è dimostrt. Sorpendentemente, l (iv) è l proprietà più difficile d dimostrre. Vedremo domni come fre. 2 Lezione del 14/12/2018 (2 ore) Dimostrimo l (iv) del teorem dell volt scors: grzie ll (iii), ess segue immeditmente dl seguente LEMMA: Se I è un intervllo, llor per ogni successione di intervlli I j perti con I j I si h ( ) I I j. L (*) è dimostrbile bbstnz fcilmente se gli I j sono in numero finito, lo è meno nel cso generle di un ricoprimento numerbile. Se però J I è un intervllo chiuso e limitto, possimo dire che esiste un numero finito di intervlli I 1, I 2,..., I N del nostro ricoprimento di I tli che J N I j. Dimostrimo per ssurdo l vlidità di quest ffermzione: se così non fosse, per ogni n N potremmo trovre x n J \ n I j. Grzie l teorem di Bolzno-Weierstrss, esisterebbe un sottosuccessione x nk x J (grzie ll chiusur di J). Siccome gli I j ricoprono J, esisterebbe n tle che x I n. 6

7 M I n è perto: ne deriverebbe che x nk I n n I j per ogni n n, il che è evidentemente ssurdo 2. Poiché l (*) è ver per i ricoprimenti finiti, se ne deduce che J N I j I j. Poiché l misur di J può essere pres vicin qunto si vuole ll misur di I, (*) risult dimostrt. Q.E.D. Come immedit conseguenz del nostro teorem, vedimo che un sottinsieme numerbile di R n h misur zero: inftti, un punto di R n h evidentemente misur di Lebesgue zero e l nostr ffermzione segue dll numerbile subdditività. L misur estern di Lebesgue è un importnte cso prticolre di un oggetto strtto più generle, chimto misur estern: DEFINIZIONE (Misur estern): Un misur estern su un insieme X è un funzione µ : P(X) [0, + ] tle che µ( ) = 0 e che si numerbilmente subdditiv: se A, A 1, A 2, A 3,... X e A A j, llor µ(a) µ(a j ). Dll numerbile subdditività segue che µ è monoton: se A B llor µ(a) µ(b). Un esempio di misur estern divers dll misur di Lebesgue è l restrizione dell misur di Lebesgue un sottinsieme A 0 R n : quest è l misur m definit d m(a) := m(a A 0 ). Un ltro esempio è l misur δ 0 (delt di Dirc centrt in 0), misur su R n definit d { 1 se 0 A, δ 0 (A) = 0 ltrimenti. 2 Come vedrete nel secondo semestre studindo un po di topologi generle, bbimo dimostrto che J è comptto per ricoprimenti. 7

8 Ancor, è un misur estern l misur che cont definit d { numero degli elementi di A se A è finito, #(A) = + ltrimenti. In generle, si può dire che l misur di Lebesgue non h buone proprietà su tutti i sottinsiemi di R n : ess mostr un comportmento ssi più simptico e desiderbile su un prticolre clsse di insiemi, detti misurbili: DEFINIZIONE (Insiemi misurbili secondo Lebesgue, definizione di Crtheodory): Un sottinsieme A R n si dice misurbile secondo Lebesgue o m-misurbile se vle l ugulginz m(t ) = m(t A) + m(t \ A) per ogni sottinsieme T R n. In sostnz, chiedimo che A spezzi bene l misur di ogni insieme di R n. Si noti che grzie ll numerbile subdditività dell misur estern bbimo sempre m(t ) m(t A) + m(t \ A): è quindi sufficiente verificre che vlg l disuguglinz oppost m(t ) m(t A) + m(t \ A) T R n. Anlogmente, dt un misur estern µ, A si dice µ-misurbile se µ(t ) = µ(t A) + µ(t \ A) per ogni T R n. OSSERVAZIONE: In seguito ci srà utile il seguente ftto: se A R n è misurbile secondo Lebesgue e m denot l restrizione dell misur di Lebesgue d un qulunque insieme A 0 R n, llor A è nche m-misurbile. Se inftti T R n bbimo m(t ) = m(t A 0 ) = m((t A 0 ) A) + m((t A 0 ) \ A) = m((t A) A 0 ) + m((t \ A) A 0 ) = m(t A) + m(t \ A). Questo stesso ftto rimne vero, con identic dimostrzione, nche se m e m vengono sostituite d un generic misur estern µ e dll su restrizione µ ll insieme A 0. Il seguente teorem mostr due cose: innnzitutto, se prtimo d insiemi misurbili e fccimo operzioni di unione numerbile, complementzione e intersezione numerbile, rimnimo sempre nell mbito degli insiemi misurbili. Inoltre, l misur di Lebesgue (o un qulunque misur estern µ) se ristrette gli insiemi misurbili hnno buone proprietà, l principle delle quli è l numerbile dditività: l misur dell unione di un fmigli 8

9 numerbile di insiemi due due disgiunti è ugule ll somm delle loro misure. TEOREMA (Proprietà degli insiemi misurbili e dell misur sugli insiemi misurbili): Si m l misur di Lebesgue su R n. Vlgono i seguenti ftti (i) Se A è misurbile secondo Lebesgue, llor A C = R n \ A è misurbile. Inoltre, se m(a) = 0 llor A è misurbile. (ii) Unione o intersezione numerbile di insiemi misurbili è misurbile. (iii) Se {A i } i è un fmigli di insiemi misurbili due due disgiunti e A = A i, llor m(a) = m(a i ) (numerbile dditività dell misur di Lebesgue sui misurbili). (iv) Se {A i } è un successione crescente di insiemi misurbili, cioè se A 1 A 2 A 3..., e A = A i llor m(a) = lim i + m(a i). (v) Se {A i } è un successione decrescente di insiemi misurbili, cioè se A 1 A 2 A 3..., se m(a 1 ) < + e se infine A = A i, llor m(a) = lim i + m(a i). Identico enuncito vle se l misur di Lebesgue è sostituit con un qulunque misur estern µ e gli insiemi misurbili secondo Lebesgue con gli insiemi µ-misurbili. DIM.: L (i) è ovvi se si osserv che l condizione di misurbilità può essere riscritt: m(t ) m(t A) + m(t A C ) T R n. Che un insieme di misur null si misurbile è immedito. D questo segue in prticolre che e R n sono misurbili. Mostrimo un versione indebolit di (ii): se A e B sono misurbili, llor A B e A B sono misurbili. Inftti, se T R n si h m(t ) = m(t A) + m(t \ A) = m((t A) B) + m((t A) \ B) + m((t \ A) B) + m((t \ A) \ B). 9

10 Si osservi l ultim rig: l unione degli insiemi nei primi tre ddendi è esttmente T (A B) per cui, per l subdditività dell misur, l somm dei primi tre ddendi è m(t (A B)). Invece, l insieme nell ultimo ddendo non è ltro che T \ (A B): si h llor m(t ) m(t (A B)) + m(t \ (A B)), e A B è misurbile. D questo e d (i) segue l misurbilità di A B perché A B = (A C B C ) C. Per induzione, segue nche che unione e intersezione finit di insiemi misurbili è misurbile (lle unioni e intersezioni numerbili rriveremo solo ll fine, dopo ver dimostrto tutto il resto!). Vedremo l prossim volt il resto dell dimostrzione... 3 Lezione del 19/12/2018 (2 ore) Concludimo l dimostrzione del teorem sull proprietà dell misur sugli insiemi misurbili. Comincimo dimostrre (iii): ess è ver per l unione di due insiemi misurbili e disgiunti in qunto m(a B) = m((a B) A)+m((A B)\A) = m(a) + m(b). Per induzione, ne deriv che (iii) è ver per l unione di un fmigli finit di insiemi misurbili due due disgiunti. Nel cso generle di un fmigli numerbile di insiemi misurbili due due disgiunti, l numerbile subdditività dell misur fornisce m(a) m(a i ), mentre l monotoni ssicur che per ogni N N ( N ) m(a) m (A i ) = N m(a i ), dove l ultim uguglinz vle per qunto osservto sulle unioni finite di insiemi misurbili disgiunti. Pssndo l sup su N si ricv e (iii) è dimostrt. m(a) m(a i ), Dimostrimo (iv): bst pplicre (iii) ll successione di insiemi due due disgiunti dt d B 1 = A 1, B i = A i \ A i 1 (i 2). Si h m(a) = m(b i ) = lim N + N m(b i ) = lim m(a N). N + 10

11 Dimostrimo (v): Definimo l successione crescente di insiemi B i = A 1 \ A i, i = 2, 3,.... Allor e per (iv) si h A 1 = A i=2 B i m(a 1 ) m(a) + lim i + [m(a 1) m(a i )], d cui lim i + m(a i) m(a). L disuguglinz oppost vle per monotoni, per cui l (v) è dimostrt. A questo punto il teorem è qusi dimostrto: mnc solo l (ii). Si A = A i, con gli A i tutti misurbili Dobbimo mostrre che A è misurbile. Si T R n. Considerimo l successione crescente di insiemi misurbili B N := N A i : essi sono misurbili nche per l misur estern m dt dll restrizione di m ll insieme T (cioè l misur definit d m(a) := m(t A) per ogni A R n ). Per l monotoni dell misur bbimo: ( ) m(t ) = m(t B N ) + m(t \ B N ) m(t B N ) + m(t \ A) D ltr prte, per (iv) pplict ll misur estern m bbimo lim m(t B N) = lim m(b N) = m(a) = m(t A) N + N + e l misurbilità di A segue pssndo l limite per N + in (***). L misurbilità di A i segue l solito scrivendo ( ) C A i = A C i. Q.E.D. Il seguente teorem mostr che gli insiemi misurbili secondo Lebesgue bbondno. TEOREMA (Regolrità dell misur di Lebesgue): I sottinsiemi perti e i sottinsiemi chiusi di R n sono misurbili secondo Lebesgue. Inoltre, se A è 11

12 un insieme misurbile secondo Lebesgue, llor per ogni ε > 0 esistono B perto e C chiuso, con C A B e m(b \ C) < ε. Per dimostrrlo ci servirà il seguente ftterello topologico: qulunque perto di R n, comunque complicto, può essere ottenuto fcendo un unione numerbile di intervlli: PROPOSIZIONE: Ogni perto A R n è unione numerbile di intervlli perti. DIM.: Considerimo l fmigli F costituit d tutti i cubi di R n del tipo (q 1 r, q 1 + r) (q 2 r, q 2 + r)... (q n r, q n + r), dove tutti i q i ed r sono rzionli. Quest è un fmigli numerbile di intervlli. Mostrimo che A è unione degli elementi dell fmigli numerbile di intervlli F = {I F : I A}. Inftti, poiché A è perto, per ogni x A esiste un pll pert B r(x) (x) A. Dentro quest pll possimo trovre un cubo centrto in x dentro il qule, grzie ll densità dei rzionli, c è un elemento I x F che contiene x. Per costruzione, I x F : bbimo mostrto che per ogni x A c è un elemento dell fmigli numerbile F che lo contiene. Dunque A = I. I F Q.E.D. Dimostrimo il teorem di regolrità dell misur di Lebesgue. È un esercizio reltivmente semplice verificre che gli intervlli sono insiemi misurbili secondo Lebesgue: un intervllo si ottiene come intersezione finit di semispzi. A su volt, un semispzio S è misurbile secondo Lebesgue: se T è un insieme test, fissimo ε > 0 e si {I i } un fmigli numerbile di intervlli che ricopre T tle che I i < m(t ) + ε. Definimo poi I i = I i S, I i = I i (R n \ S): questi sono ncor intervlli (eventulmente vuoti), l somm delle cui misure è esttmente I i. Inoltre, l fmigli {I i} ricopre T S, mentre {I i } ricopre T S C : dunque m(t ) + ε > I i + I i m(t S) + m(t S C ) e l misurbilità di S segue perché ε è rbitrrio. Di conseguenz gli intervlli sono misurbili, e lo sono nche gli perti perché possono essere ottenuti come unione numerbile di intervlli. I chiusi sono misurbili perché i loro complementri sono perti e quindi misurbili. Si or A misurbile, ε > 0: mostrimo che esiste un perto B A con m(b \ A) < ε/2. Supponimo dpprim che A bbi misur finit. Per 12

13 definizione di misur di Lebesgue, possimo trovre un fmigli numerbile di intervlli I 1, I 2,... con I i A e I i m(a) + ε/2. Abbimo già visto che non è restrittivo supporre che gli I i sino tutti perti. Se B = I i, llor B è perto e per subdditività m(b) m(i i ) m(a) + ε/2, d cui m(b \ A) = m(b) m(a) ε/2. Mostrimo che nche un insieme misurbile A con m(a) = + si pprossim d fuori con insiemi perti: prendimo ε > 0 e mostrimo che esiste B A, B perto, tle che m(b \ A) < ε. A tl fine considerimo gli insiemi misurbili A N = A B N (0), N = 1, 2,...: essi hnno tutti misur finit e l loro unione è A. Per ciscuno di questi possimo trovre B N A N, B N perto tle che m(b N \ A N ) < definimo B = B N. N=1 ε : 2 N+1 Or, B è un perto che contiene A, e inoltre B \ A (B N \ A N ): per subdditività numerbile ricvimo m(b \ A) N=1 N=1 m(b N \ A N ) < ε 2. Mostrimo infine che dto A misurbile e ε > 0, esiste un chiuso C A con m(a \ C) < ε/2: questo concluderà l nostr dimostrzione. A questo fine, sceglimo un perto F A C tle che m(f \ A C ) < ε/2. Allor C = F C è un chiuso, C A, e m(a \ C) = m(f \ A C ) < ε/2. Q.E.D. Nonostnte vi sino moltissimi insiemi misurbili secondo Lebesgue, non tutti i sottinsiemi di R n lo sono: ne vedremo un celebre esempio l volt prossim. 4 Lezione del 20/12/2018 (2 ore) Concludimo l dimostrzione del teorem di ieri: ESEMPIO (Insieme non misurbile di Vitli): Mettimoci nel cso n = 1, e considerimo l intervllo (0, 1) R. Definimo l seguente relzione di equivlenz su (0, 1): dicimo che x y se e solo se x y Q. L nostr relzione di equivlenz prtizion l intervllo (0, 1) in infinite clssi 13

14 di equivlenz: definimo un insieme A che contiene esttmente 1 elemento per ogni clsse di equivlenz 3. Mostrimo or che l insieme A non è misurbile secondo Lebesgue. Per ogni q Q [0, 1) definimo gli insiemi A q = {x + q : x A}. Siccome l misur di Lebesgue è invrinte per trslzione (questo è ovvio per come è definit: l misur di un intervllo è invrinte per trslzione!) bbimo che m(a q ) = m(a). Poiché gli intervlli sono misurbili secondo Lebesgue bbimo nche m(a) = m(a q ) = m(a q (0, 1)) + m(a q \ (0, 1)). Se B q = A q \ (0, 1), definimo B q = {x : x + 1 B q }: evidentemente m( B q ) = m(b q ) per l invrinz per trslzioni dell misur di Lebesgue. Definimo infine Ãq = (A q (0, 1)) B q. Per qunto visto sopr, bbimo m(ãq) = m(a). Or, è fcile vedere che gli insiemi A q sono due due disgiunti l vrire di q Q [0, 1) e che à q = (0, 1). Se A fosse misurbile, q lo srebbero nche gli insiemi à q e per dditività numerbile vremmo 1 = m([0, 1)) = m(ãq) = m(a). q [0,1) Q q [0,1) Q Questo è ssurdo: inftti l misur di A è null oppure positiv. Se fosse m(a) = 0, l espressione di destr vrrebbe 0, mentre se fosse m(a) > 0 ess vrrebbe + : in nessun cso ess può essere ugule 1. Dunque A non è misurbile secondo Lebesgue. In vist dell definizione dell integrle di Lebesgue, occorre definire un importnte clsse di funzioni: le funzioni misurbili. DEFINIZIONE (funzione misurbile): Si A R n misurbile, f : A R. Il simbolo R denot l insieme R {+ } { }: in questo contesto, in futuro useremo l strn convenzione che 0 ± = 0, mentre l somm + rimrrà non definit, come è giusto che si! L funzione f si dice misurbile (rispetto d un fisst misur estern, per esempio l misur di Lebesgue su R n ) se per ogni R gli insiemi f 1 ((, + ]) = {x A : f(x) > } sono misurbili. Un crtterizzzione equivlente dell misurbilità, di spore un po più topologico, è dt dll seguente PROPOSIZIONE (Crtterizzzione delle funzioni misurbili): Un funzione f : A 0 R (con A 0 R n misurbile) è misurbile se e solo se f 1 ({+ }), f 1 ({ }) sono misurbili e f 1 (U) è misurbile per ogni perto U R. 3 Per poter definire questo insieme, dobbimo ssumere l vlidità dell ssiom dell scelt! 14

15 DIM.: Se sppimo che f 1 ({+ }), f 1 ({ }) sono misurbili e f 1 (U) è misurbile per ogni perto U R, llor f è misurbile perché f 1 ((, + ]) = f 1 ((, + )) f 1 ({+ }). Vicevers, supponimo che f si misurbile e dimostrimo che l controimmgine di un perto è sempre misurbile. Possimo scrivere f 1 ({+ }) = N=1 f 1 ((N, + ]), per cui f 1 ({+ }) è misurbile in qunto intersezione numerbile di misurbili. Dll ipotesi di misurbilità di f segue llor che f 1 ((, + )) è misurbile per ogni R. Dimostrimo che nche gli insiemi f 1 ([, + )), f 1 ((, )) e f 1 ((, ]) sono tutti misurbili per ogni R. Inftti, f 1 ([, + )) = N=1 f 1 (( 1, + )) è misurbile in qunto intersezione numerbile di misurbili. Le controimmgini di semirette sinistre del N tipo f 1 ([, )) e f 1 ([, ]) sono misurbili in qunto sono complementri di controimmgini di semirette destre. Ne segue che f 1 ({ }) è misurbile: f 1 ({ }) = f 1 ([, N])...e sono misurbili nche le N=1 controimmgini di semirette sinistre senz. Allor, nche le controimmgini di intervlli perti sono misurbili, inftti f 1 ((, b)) = f 1 ((, b)) f 1 (, + )). Se poi U R è perto, scrivimo U = I i, con I i R intervlli perti. Allor f 1 (U) = f 1 (I i ) è misurbile. Q.E.D. Osservimo che un funzione continu vlori reli, definit su un perto di R n, è certmente misurbile secondo Lebesgue. Perché? Le funzioni misurbili sono stbili per tutt un serie di operzioni lgebriche e di limite: PROPOSIZIONE (Stbilità delle funzioni misurbili): Supponimo che f, g sino misurbili, λ R e che {f n } si un successione di funzioni misurbili. Allor (i) l insieme {x : f(x) > g(x)} è misurbile; (ii) se φ : R R è continu, llor φ f è misurbile (sul suo dominio); (iii) le funzioni f + g, λf, f, mx{f, g}, min{f, g} e fg sono tutte misurbili nel loro dominio; 15

16 (iv) le funzioni sup f n, inf f n, lim sup f n, lim inf f n e lim f n sono tutte misurbili nel loro dominio. DIM.: Per verificre l (i), osservimo che se f(x) > g(x), llor esiste un rzionle q compreso tr g(x) e f(x). Allor il nostro sserto è vero in qunto possimo scrivere {x : f(x) > g(x)} = q Q ( f 1 ((q, + ]) g 1 ([, q)) ), per cui bbimo espresso il nostro insieme come unione numerbile di insiemi misurbili. L (ii), nel cso di funzioni vlori reli, è ovvi grzie ll nostr crtterizzzione delle funzioni misurbili: sppimo inftti che l controimmgine di un perto secondo φ è un perto. Nel cso di funzioni vlori reli estesi, occorre precisre cos vuol dire che Φ è continu: signific che l controimmgine di ogni perto di R è un perto in R. A loro volt, gli perti di R sono gli insiemi che si possono ottenere prendendo unioni (è sufficiente prenderle numerbili) di intervlli perti di R e di semirette intorno di ±, cioè del tipo (, + ] oppure [, ). È llor un semplice esercizio verificre che l composizione è ncor misurbile. Vedimo l (iii): sino f, g misurbili e considerimo l funzione somm f + g (ess è definit sull intersezione dei domini, privt dei punti in cui l somm si present nell form + o + ). Ess è misurbile in qunto (f + g) 1 ((, + ]) = {x : f(x) > g(x)} è misurbile grzie (i): l funzione g(x) è inftti bnlmente misurbile. D (ii) segue poi l misurbilità di λf, di f e di f 2 (che si ottengono d f componendo con un funzione continu). Se f, g sono vlori reli possimo poi scrivere mx{f(x), g(x)} = 1 (f(x) + g(x) + 2 f(x) g(x) ), min{f(x), g(x)} = 1 (f(x) + g(x) f(x) g(x) ), f(x)g(x) = ((f(x)+g(x))2 f 2 (x) g 2 (x)), il che ci fornisce l misurbilità di mx{f, g}, min{f, g} e fg. Nel cso generle di funzioni vlori reli estesi, il rgionmento ppen ftto ci fornisce l misurbilità dell restrizione delle funzioni che ci interessno ll insieme, evidentemente misurbile, dove si f che g sono finite. Tutto il resto è fcilmente decomponibile in pochi pezzi misurbili, su ciscuno dei quli le funzioni in esme sono costnti: per esempio, f(x)g(x) vle identicmente + sull insieme (misurbile) {x R n : f(x) = +, g(x) > 0}, vle 0 sull insieme {x R n : f(x) = +, g(x) = 0}, etc. In conclusione, se ne deduce fcilmente che l funzione prodotto è misurbile. 16

17 Dimostrimo (iv): si f(x) = sup{f n (x) : n = 1, 2,...}. Si h f 1 ((, + )) = n f n 1 ((, + )), per cui f è misurbile essendolo le f n. Anlogmente, inf f n(x) è misurbile. n L funzione lim inf f n(x) è misurbile in qunto lim inf f n(x) = sup inf{f m (x) : n + n + m n}. Anlogmente, lim sup n + due funzioni misurbili lim inf n insieme è proprio quello in cui esiste lim n f n (x) è misurbile. f n e lim sup n 5 Lezione del 21/12/2018 (2 ore) n L insieme dove le f n coincidono è misurbile: tle f n, che quindi è misurbile. Q.E.D. Un importnte sottoclsse delle funzioni misurbili è quell delle funzioni semplici: nell definizione di integrle di Lebesgue esse giochernno lo stesso ruolo che le funzioni scl vevno in quell dell integrle di Riemnn. Ricordimo che, dto A R n, l su funzione crtteristic è l funzione { 1 se x A, 1 A (x) = 0 se x A. DEFINIZIONE: Un funzione semplice φ : R n R è un combinzione linere finit di funzioni crtteristiche di insiemi misurbili. In ltre prole, φ è semplice se esistono un numero finito di insiemi misurbili A 1, A 2,..., A N e dei numeri reli c 1, c 2,..., c N tli che φ(x) = N c i 1 Ai (x). Evidentemente, non è restrittivo supporre che gli A i sino due due disgiunti. In modo equivlente, possimo dire che un funzione semplice è un funzione misurbile l cui immgine è un insieme finito. Se φ(x) 0 per ogni x, definimo in modo nturle l integrle (di Lebesgue) di φ rispetto ll misur m come R n φ(x) dx = N c i m(a i ). Osservimo che un funzione scl è un funzione semplice in cui gli insiemi A i sono intervlli. Per l misur di Lebesgue e per questo tipo di funzioni, l nuov definizione di integrle coincide con quell di Riemnn. Inoltre, non è difficile vedere che l integrle sulle funzioni semplici gode delle usuli proprietà di monotoni, di dditività e di omogeneità rispetto ll funzione integrnd. 17

18 Come vedremo, l integrle di Lebesgue di un funzione misurbile non negtiv f si definisce in mnier del tutto nlog ll integrle (inferiore) di Riemnn, sostituendo le funzioni scl con le funzioni semplici: f(x) dx = sup{ φ(x) dx : φ semplice, φ f}. Tuttvi, per provre che quest oggetto gode di tutte le proprietà che ci spettimo, srà necessrio provre un risultto di pprossimzione: il prossimo, fondmentle teorem dice che ogni funzione misurbile non negtiv può essere pprossimt d sotto con un successione di funzioni semplici: TEOREMA (Approssimzione di funzioni misurbili con funzioni semplici): Si f : R n [0, + ] un funzione misurbile. Allor esiste un successione φ k : R n [0, + ) di funzioni semplici tli che f φ k+1 φ k (k = 1, 2, 3,...) e tli che lim φ k(x) = f(x) x R n. k + DIM.: Per ogni fissto k = 1, 2,... e j = 0, 2,..., k2 k 1 definimo gli insiemi misurbili E k,j = f 1 ([ j, j+1 )), mentre ponimo E 2 k 2 k k,k2 k = f 1 ([k2 k, + ]). Considerimo poi le funzioni semplici 4 φ k (x) = k2 k j=0 j 2 k 1 E k,j (x). Per costruzione, queste funzioni sono misurbili e sono tutte minori o uguli f. Inoltre, esse formno un successione crescente: bst osservre che per ogni k e per ogni j = 1,..., k2 k 1 si h E k,j = E k+1,2j E k+1,2j+1. Qunto poi E k,k2 k, questo verrà suddiviso l psso successivo in 2 k + 1 insiemi... È poi fcile vedere che φ k (x) f(x) per ogni x: se f(x) < +, per k bbstnz grnde si h f(x) φ k (x) 2 k, mentre se invece f(x) = + si h x E k,2 k per ogni k e quindi φ k (x) = k +. Ecco un tenttivo di visulizzre l costruzione delle funzioni φ k con un foglio GeoGebr 5. 4 Possimo esprimere queste funzioni nche nel seguente modo più comptto: φ k (x) = min{k, 2 k [2 k f(x)]}, dove [ ] denot l prte inter

19 Q.E.D. È finlmente giunto il momento di introdurre l integrle di Lebesgue di un funzione misurbile non negtiv: l definizione è quell nticipt prim. DEFINIZIONE: L integrle di Lebsegue di un funzione misurbile f : R n [0, + ] si definisce come f(x) dx = sup{ φ(x) dx : φ semplice, φ f}. R n R n Se poi f : A [0, + ] è misurbile, definimo f(x) dx come A R n f(x) dx, dove f : R n [0, + ] si ottiene estendendo f ponendol ugule 0 fuori d A. Il prossimo risultto di convergenz integrle si rivelerà importntissimo per l teori dell integrle di Lebesgue, grzie nche l risultto di pprossimzione con funzioni semplici che bbimo dimostrto prim. TEOREMA (di Beppo Levi o dell convergenz monoton): Si {f k } un successione di funzioni misurbili non negtive, f k : R n [0, + ], e supponimo che l successione si nche crescente: f k+1 (x) f k (x) per ogni x R n e per ogni k = 1, 2, 3,.... Allor, se f(x) = lim k + f k (x), si h f(x) dx = lim f k (x) dx. k + R n R n Prim dell dimostrzione, vedimo un importnte conseguenz del teorem di Beppo Levi: 19

20 OSSERVAZIONE (Additività dell integrle rispetto ll funzione integrnd): Sino f, g : R n [0, + ] funzioni misurbili. Allor (f(x) + g(x)) dx = R n f(x) dx + R n g(x) dx. R n Inftti possimo trovre due successioni crescenti di funzioni semplici, {s k }, {u k } con s k f, u k g. L integrle delle funzioni semplici è evidentemente dditivo: il teorem di Beppo-Levi ci consente di pssre l limite e ottenere l identità volut. DEFINIZIONE (Integrle di funzioni di segno qulunque): Che fre se bbimo un funzione misurbile di segno qulunque f : A R? Definimo l prte positiv e l prte negtiv di f nel modo seguente: f + (x) := mx{0, f(x)}, f (x) := min{0, f(x)}. Evidentemente, si h f(x) = f + (x) f (x) e f(x) = f + (x) + f (x). Se gli integrli di f + e f non sono entrmbi +, f si dice integrbile secondo Lebesgue e definimo f(x) dx := f + (x) dx f (x) dx. A A Se poi i due integrli dell prte positiv e dell prte positiv sono entrmbi finiti, llor f(x) si dice sommbile, ed h integrle finito. Evidentemente, un funzione misurbile f è sommbile se e solo se il suo modulo h integrle finito. Grzie ll dditività dell integrle e l ftto evidente che le costnti possono essere portte fuori dl segno di integrle, l integrle di Lebesgue è linere sullo spzio vettorile delle funzioni sommbili. Dimostrzione del teorem di Beppo Levi: Notimo innnzitutto che l funzione f è misurbile in qunto limite (sup) di funzioni misurbili. Inoltre, l successione k R n f k (x) dx è crescente: indichimo con α il suo limite. Evidentemente, essendo f f k per ogni k, si h R n f(x) dx α: in prticolre, se α = +, il teorem è dimostrto. Se invece α R, ci rimne d dimostrre l disuguglinz oppost R n f(x) dx α. A 20

21 A tl fine, fissimo c (0, 1) e un funzione semplice s : R n [0, + ) con s f. L funzione semplice s può essere scritt s(x) = N s j1 Aj (x), con A j insiemi misurbili due due disgiunti. Definimo E k = {x R n : f k (x) cs(x)}. Grzie l ftto che le f k tendono f e che c < 1, bbimo che E k = R n, e inoltre l successione di insiemi misurbili E k è crescente k=1 perché lo è {f k }. Definimo poi A j,k = A j E k : grzie ll continuità dell misur sulle successioni crescenti bbimo m(a j,k ) m(a j ) per k +. Allor: α = lim f k (x) dx k + R n lim f k (x) dx lim c s(x) dx = k + k + E k E k lim c N N s j m(a j,k ) = c k + s j m(a j ) = c R n s(x) dx. Pssndo l sup su tutte le funzioni semplici s f e su tutti i c < 1, si ottiene l disuguglinz che ci mncv. Q.E.D. Si noti che l proprietà di dditività rispetto ll funzione integrnd continu vlere per funzioni sommbili. In prticolre, poiché è evidente dll definizione che le costnti si possono portre fuori dll integrle, l integrle di Lebesgue è linere sullo spzio vettorile delle funzioni sommbili. 6 Lezione del 9/1/2019 (2 ore) Vedimo l enuncito di un ltro celebre risultto: il Lemm di Ftou! TEOREMA (Lemm di Ftou): Si f k : R n [0, + ] un successione di funzioni misurbili non negtive, f(x) = lim inf f k(x). Allor k + f(x) dx lim inf f k (x) dx. R n k + R n DIM.: Sppimo già che f è misurbile non negtiv. Si h f(x) = lim k + g k (x), dove g k (x) = inf{f h (x) : h k}. Poiché le g k sono un successione crescente di funzioni misurbili non negtive bbimo per Beppo Levi R n f(x) dx = lim k + 21 R n g k (x) dx.

22 L tesi segue llor grzie ll monotoni dell integrle di Lebesgue, poiché si h evidentemente g k (x) f k (x). Q.E.D. Un pio di osservzioni: il lemm di Ftou è in generle flso per funzioni di segno qulunque. Si prend per esempio n = 1, f k (x) = 1/k (funzioni costnti). Allor f k (x) 0, m f k (x) dx =, 0 dx = 0. R Siccome l nostr successione di costnti cresce, lo stesso esempio mostr che il teorem di Beppo Levi non vle per funzioni di segno qulunque. Infine, le stesse funzioni cmbite di segno mostrno che nell tesi del Lemm di Ftou può vlere l disuguglinz strett. Probbilmente il più celebre risultto di convergenz integrle nel qudro dell teori di Lebesgue è il seguente: TEOREMA (Dell convergenz domint di Lebesgue): Si f k : R n R un successione di funzioni misurbili, e supponimo che esist un funzione sommbile φ : R n [0, + ] tle che f k (x) φ(x) per ogni k e per ogni x. Se esiste il limite f(x) = lim f k(x), llor k + lim f k (x) f(x) dx = 0, k + R n R n f(x) dx = lim k + R R n f k (x) dx. DIM.: L funzione limite f è misurbile, ed è nche sommbile perché il suo modulo è dominto d φ. Inoltre, f k (x) f(x) f k (x) + f(x) 2φ(x). Ne segue che l successione di funzioni 2φ(x) f k (x) f(x) è non negtiv e tende puntulmente ll funzione sommbile 2φ(x). Dl Lemm di Ftou segue llor che lim inf (2φ(x) f k (x) f(x) ) dx 2φ(x) dx, k + R n R n d cui semplificndo l integrle di 2φ(x): lim sup f k (x) f(x) dx 0, k + R n che è l prim prte dell tesi. L second prte segue perchè f k (x) dx f(x) dx f k (x) f(x) dx. R n R R n n 22

23 Q.E.D. Vedimo subito qulche ltr conseguenz interessnte dei teoremi che bbimo dimostrto. ESEMPIO (Integrzione per serie): Se {f k } è un successione di funzioni misurbili non negtive definite su A, llor A f k (x) dx = A f k (x) dx. Bst pplicre il teorem di Beppo Levi e l dditività dell integrle rispetto ll funzione integrnd lle somme przili dell serie. ESEMPIO (Numerbile dditività dell integrle rispetto ll insieme di integrzione): Se {A i } è un successione di insiemi misurbili due due disgiunti e f è un funzione misurbile non negtiv definit su A = A i, llor A f(x) dx = A i f(x) dx. Bst inftti considerre l successione crescente di funzioni misurbili g k (x) = k f(x) 1 Ai (x), che converge ll funzione g(x) = f(x) 1 A (x). Un ppliczione del teorem di Beppo Levi dimostr subito l tesi. Il risultto rimne vero se f è di segno qulunque e sommbile: bst usre il teorem dell convergenz domint (con funzione domintrice f(x) 1 A (x). OSSERVAZIONE: L convergenz puntule nei teoremi di convergenz integrle non è necessri in tutti i punti: non c è niente di mle se ess viene mncre in un insieme di misur null. A questo proposito è utile introdurre un comod terminologi: si dice che un cert proprietà è ver per qusi ogni x R n (o q.o. x A, con A misurbile) se l insieme degli x per cui l proprietà è fls h misur di Lebesgue null. Per esempio, dte due funzioni f, g : R n R, diremo che esse sono qusi ovunque uguli se m({x : f(x) g(x)}) = 0. È un semplice esercizio verificre che un funzione qusi ovunque ugule d un funzione misurbile è ess stess misurbile (inftti tutti gli insiemi di misur null sono misurbili). Inoltre, due funzioni qusi ovunque uguli 23

24 hnno lo stesso integrle. Di più, nei teoremi di Beppo Levi, Ftou e Lebesgue, bst vere l convergenz qusi ovunque delle funzioni coinvolte (e l funzione dominnte φ nel toerem di Lebesgue bst che domini le f k qusi ovunque). Vedimo per esercizio un semplice conseguenz del teorem dell convergenz domint: ESEMPIO: Un risultto di integrzione per serie Se f k : R n R sono sommbili e k=1 f k (x) < +, llor l serie k=1 f k(x) converge R n puntulmente d un funzione sommbile f(x) e R n f(x) dx = k=1 R n f k (x) dx. Si inftti g(x) = k=1 f k(x) : grzie l teorem di integrzione per serie che bbimo già visto (come conseguenz del teorem di Beppo Levi), quest funzione è sommbile. Ne segue subito che g(x) < + per qusi ogni x: dunque l serie k=1 f k(x) converge ssolutmente per qusi ogni x d un funzione che bttezzimo f(x). Per concludere, bst pplicre il teorem dell convergenz domint lle somme przili dell serie: esse sono dominte dll funzione sommbile g(x). Mostrimo che un funzione non negtiv con integrle 0 è null qusi ovunque: PROPOSIZIONE: Se f : A [0, + ] è misurbile e f(x) dx = 0, llor A f = 0 qusi ovunque in A. DIM.: Possimo scrivere {x A : f(x) > 0} = {x A : f(x) > 1 n }. n=1 Tutti gli insiemi destr hnno misur null: se fosse inftti m(e n ) > 0, con E n = {x A : f(x) > 1 } vremmo n f(x) dx f(x) dx m(e n )/n > 0, A E n contro l ipotesi. Q.E.D. 24

25 7 Lezione del 11/1/2019 (2 ore) Il seguente teorem mostr che l integrle di Riemnn coincide con l integrle di Lebesgue, ftto ovvimente rispetto ll misur di Lebesgue, sull insieme delle funzioni integrbili secondo Riemnn (limitte su un insieme limitto: per gli integrli impropri l fccend è leggermente più complict 6 ). Enuncimo e dimostrimo il teorem in dimensione 1: l generlizzzione dimensione superiore si dimostr llo stesso modo. TEOREMA: Si f : [, b] R un funzione limitt ed integrbile secondo Riemnn. Allor f è misurbile secondo Lebesgue, e il suo integrle di Lebesgue coincide con l integrle di Riemnn. DIM.: Ai fini dell dimostrzione, dobbimo provvisorimente distinguere l integrle di Riemnn d quello di Lebesgue: dt f : [, b] R, convenimo che b f(x) dx rppresenti il suo integrle di Lebesgue, mentre indicheremo con R b f(x) dx il suo integrle di Riemnn (purché esistno)... Ricordimo nche che l integrle di Lebesgue delle funzioni scl coincide per definizione con il loro integrle di Riemnn. Per definizione di integrle (superiore ed inferiore) secondo Riemnn, è possibile trovre due successioni di funzioni scl {ψ n } e {φ n }, con ψ n f φ n e lim n + b ψ n dx = lim n + b φ n dx = R b f dx. Sino or ψ(x) = inf{ψ n (x) : n = 1, 2,...}, φ(x) = sup{φ n (x) : n = 1, 2,...}. Queste due funzioni sono misurbili, e φ f ψ. Per l monotoni dell integrle srà d cui pssndo l limite b R b ψ n (x) dx f(x) dx b b ψ(x) dx, ψ(x) dx, 6 Si dimostri per esercizio che l integrle improprio secondo Riemnn di un funzione non negtiv, se esiste, coincide col suo integrle di Lebesgue: bst usre opportunmente il Teorem di Bebbo Levi e il teorem di confronto tr integrle di Riemnn e di Lebesgue enuncito in quest pgin. Stess cos se l funzione è ssolutmente integrbile nel senso di Riemnn (si usi il risultto per le funzioni non negtive ed il teorem dell convergenz domint). Invece, se f è integrbile in senso improprio con integrle finito, m l integrle del suo vlore ssoluto diverge +, si vede fcilmente che gli integrli dell prte positiv e dell prte negtiv sono + : per questo motivo, l funzione non è integrbile nel senso di Lebesgue. 25

26 e nlogmente R b f(x) dx b φ(x) dx. Siccome ψ φ, se ne deduce che b (ψ φ) dx = 0. Or, bbimo visto che un funzione non negtiv h integrle nullo se e soltnto se è qusi ovunque null (vedremo poi l dimostrzione). Quindi ψ φ = 0 qusi ovunque, ossi ψ = φ = f qusi ovunque in [, b]. Ne segue immeditmente che f è misurbile e che il suo integrle di Lebesgue coincide con quello di Riemnn. Q.E.D. In reltà, si può dimostrre che un funzione limitt è integrbile secondo Riemnn se e soltnto se ess è qusi ovunque continu (Teorem di Vitli). Per motivi di tempo, non dimostreremo questo teorem. Come ppliczione dei risultti ppen visti, introducimo (o meglio, rivedimo... perché lo vete già visto col Prof. Orlndi!) lo spzio L 2 delle funzioni qudrto sommbile: DEFINIZIONE: Si f : [, b] R un funzione misurbile. Definimo l ( b 1/2. su norm qudrtic come f L 2 (,b) := f ( x) dx) Definimo poi lo spzio delle funzioni qudrto sommbile come L 2 (, b) = {f : [, b] R : f L 2 (,b) < + }. Quozientimo questo insieme rispetto ll clsse di equivlenz di essere uguli qusi ovunque : in tl cso, L 2 (,b) è effettivmente un norm. L norm è inftti evidentemente non degenere (le sole funzioni di norm null sono quelle qusi ovunque uguli 0) e omogene ( tf L 2 = t f L 2 per ogni t R, f L 2 ). Per provre l disuguglinz tringolre, prtimo dimostrndo l disuguglinz di Cuchy-Schwrz: b f(x)g(x) dx f L 2 g L 2. Abbimo inftti b 0 tf + g L 2 = t 2 f 2 L + 2 f g dx + g 2 2 L t R, f, g 2 L2. Allor il discriminnte di questo polinomio di secondo grdo in t deve essere minore o ugule 0, d cui segue subito l disugulinz volut. 26

27 Usndo Cuchy-Schwrz si ottiene subito b f + g 2 L = 2 f 2 L + 2 f g dx + g 2 2 L 2 f 2 L f L 2 g L 2 + g 2 L 2 = ( f L 2 + g L 2)2 che è l disuguglinz tringolre l qudrto. Lo spzio L 2 (, b) è uno spzio metrico completo: l dimostrzione us le stesse idee che bbimo usto per dimostrre l ultimo risultto di integrzione per serie. Eccol: TEOREMA (Riesz-Fischer): Lo spzio L 2 (, b) con l norm indott dl prodotto sclre L 2 è completo. DIM.: Si {u n } n un successione di Cuchy in L 2 : questo vuol dire che per ogni ε > 0 esiste ν N tle che per ogni m, n ν vle u n u m L 2 < ε. Applicndo ripetutmente quest relzione con ε = 1/2 k, trovimo un successione crescente di numeri nturli {n k } k tle che ( ) u nk+1 u nk L 2 1/2 k. Considerimo or l serie di funzioni non negtive g(x) = u nk+1 (x) u nk (x). k=1 L funzione g(x) è un ben definit funzione vlori in R. Denotimo con g K (x) l somm przile K-esim dell serie. Grzie ll ( ) si vede subito che g K L 2 1 per ogni K: pplicndo il teorem di Beppo Levi ll successione crescente di funzioni non negtive gk 2 (x) si ottiene che g L 2 = lim K + g K L 2 1. In prticolre g L 2 e quindi g(x) < + per qusi ogni x. Se ne deduce che per qusi ogni x l serie (u nk+1 (x) u nk (x)) k=1 converge ssolutmente. D ltr prte, si vede subito che l somm przile K-esim di quest serie telescopic non è ltro che u nk+1 (x) u n1 (x): bbimo così dimostrto che l successione di funzioni u nk (x) converge puntulmente d un numero rele u(x) per qusi ogni x R. 27

28 Applichimo or il teorem dell convergenz domint ll successione di funzioni (u nk (x)) 2 : ess tende puntulmente qusi ovunque ll funzione (u(x)) 2, e l convergenz è domint dll funzione sommbile (u n1 (x) + g(x)) 2. Allor u(x) L 2 (2π) e ripplicndo il teorem dell convergenz domint ll successione (u nk (x) u(x)) 2 si ottiene che u nk u L 2 0. Quest ultim proprietà vle in reltà per tutt l successione {u n } e non solo per l sottosuccessione u nk : fissimo inftti ε > 0. Per definizione di successione di Cuchy trovimo ν N tle che u n u m L 2 < ε per ogni m, n ν. Trovimo poi K N tle che {u nk u L 2 < ε per ogni k K. Si poi n ν, e sceglimo k K in modo tle che n k ν: llor Q.E.D. u n u L 2 u n u nk L 2 + u nk u L 2 < 2ε. 8 Lezione del 16/1/2019 (2 ore) Il teorem dimostrto l volt scors h un interessnte e forse imprevisto corollrio: COROLLARIO: Sino {u n } L 2, u L 2 tli che u n u L 2 0. Allor esiste un sottosuccessione {u nk } tle che u nk (x) u(x) per qusi ogni x (, b). DIM.: L successione {u n } è evidentemente di Cuchy in L 2 (le successioni convergenti sono di Cuchy). L dimostrzione del teorem di Riesz-Fischer ci permette di costruire un sottosuccessione che converge puntulmente qusi ovunque ed in L 2 d un qulche funzione v L 2. Siccome per ipotesi l stess sottosuccessione converge in L 2 nche u, deve essere u(x) = v(x) per qusi ogni x (unicità del limite negli spzi metrici). Q.E.D. OSSERVAZIONE: In generle l convergenz in L 2 non implic l convergenz puntule qusi ovunque dell inter successione: dimo un esempio di un successione {u k } che converge 0 in L 2 ([0, 1]), m che non converge 0 in nessun punto dell intervllo [0, 1]. Si trtt di un successione di funzioni crtteristiche di intervlli sempre più piccoli, che girno in tutte le possibili posizioni entro l intervllo [0, 1]. Più precismente, per i [2 k, 2 k+1 1] N definimo u i (x) = 1 [0,2 k ] (x i ) 2k. Ecco un nimzione dell successione: 28 2 k

29 Le funzioni in L 2 ([, b]) possono essere pprossimte in norm d funzioni continue: TEOREMA: Si u L 2 ([, b]). Allor esiste un successione {u n } n C 0 ([, b]) tle che u n u L 2 0. DIM.: Grzie l teorem di pprossimzione di funzioni misurbili con funzioni semplici, è fcile vedere che esiste un successione di funzioni semplici {s n } n tli che s n u L 2 0 (si scriv u = u + u e si pplichi il teorem di pprossimzione ll prte positiv ed ll prte negtiv: l convergenz in L 2 segue dl teorem dell convergenz domint). Possimo llor supporre senz perdit di generlità che u si un funzione semplice. Or, un funzione semplice non è ltro che un combinzione linere finit di funzioni crtteristiche di insiemi misurbili: non è restrittivo supporre che u(x) = 1 A (x) con A [, b] misurbile. Per l regolrità dell misur di Lebesgue, per ogni n = 1, 2, 3,... esiste un comptto C n A tle che m(a \ C n ) < 1 n, d cui 1 A 1 Cn L 2 0 per n + : non è restrittivo supporre u(x) = 1 C (x) con C [, b] comptto. Non ci rest che mostrre che 1 C può essere pprossimt in L 2 con un successione di funzioni continue: d esempio possimo definire u n (x) = n dist (x, C). Quest è un successione di funzioni continue vlori nell intervllo (0, 1] che vle costntemente 1 in C e che tende puntulmente 0 per x [, b] \ C: per il teorem dell convergenz domint u n 1 C L 2 0. Q.E.D. DEFINIZIONE/OSSERVAZIONI (Prodotto sclre in L 2, serie di Fourier): L norm L 2 è indott dl seguente prodotto sclre: < f, g > L 2= b f(x)g(x) dx. L integrle definisce inftti un funzione bilinere L 2 L 2 R che è simmetric e definit positiv. Inoltre f L 2 =< f, f > 2 L 2. 29

30 Considerimo or un funzione f : R R 2π-periodic, misurbile e tle che f L 2 ([ π, π]). Avete già visto con il prof. Orlndi che l somm przile N esim dell serie di Fourier di f è dt d ove n = 1 π S N (x) = N n cos nx + b n sin nx, π n=1 π f(t) cos nt dt, b n = 1 π π π f(t) sin nt dt. S N (x) h un interpretzione geometric : si trtt dell proiezione ortogonle dell funzione f sul sottospzio di dimensione (2N + 1) P N = spn {1, cos nx, sin nx : n = 1, 2,..., N}. Per verificrlo, bst osservre che {1, cos nx, sin nx : n = 1, 2,..., N} è un bse ortogonle di P N e fre un semplice conto! In ltre prole, S N è l elemento di P N più vicino ll funzione f rispetto ll distnz L 2 : si trtt dell migliore pprossimzione possibile di f con polinomi trigonometrici di grdo N. Simo llor in grdo di dimostrre il seguente TEOREMA (di Fourier): Si f L 2 ([ π, π]), S N (x) l somm przile N- esim dell serie di Fourier di f. Allor S N (x) f(x) 2 L 0 per N + : l serie di Fourier di f converge in medi qudrtic f. DIM.: Abbimo visto che per ogni fissto N, S N (x) è il polinomio trigonometrico di grdo N più vicino f in medi qudrtic. L tesi segue llor dl ftto che lo spzio vettorile dei polinomi trigonometrici è denso in L 2 ([ π, π]): ogni funzione f L 2 può essere pprossimt in medi qudrtic con un successione di polinomi trigonometrici. Inftti, sppimo dl teorem precedente che le funzioni continue sono dense in L 2. Inoltre, grzie l seguente teorem, ogni funzione continu in [ π, π] può essere pprossimt uniformemente (e quindi mggior rgione in L 2 ) con un successione di polinomi trigonometrici. Q.E.D. TEOREMA (Stone-Weierstrss trigonometrico): Si u : R R un funzione continu e 2π-periodic. Allor per ogni ε > 0 esiste un polinomio trigonometrico v(x) tle che u v < ε. DIM (solo ccennt in clsse): Per ogni numero ( nturle n, considerimo i seguenti polinomi trigonometrici: φ n (t) = c 1+cos t ) n, n 2 dove l costnte cn è scelt in modo tle che π φ π n(t) dt = 1. Non è difficile verificre che queste 30

31 funzioni sono effettivmente polinomi trigonometrici: usndo le formule di Eulero si verific inftti che il prodotto di due polinomi trigonometrici è sempre un polinomio trigonometrico. Se disegnmo i grfici delle funzioni φ n vedimo che si trtt di funzioni non negtive che si concentrno ttorno 0: x Definimo un successione di polinomi trigonometrici che converge uniformemente u nel modo seguente: u n (x) = π π u(x + t)φ n (t) dt. Queste funzioni sono ottenute fcendo un spece di medi pest di u: verifichimo che u n u uniformemente. Prim di frlo, è però necessrio mostrre che gli u n sono effettivmente polinomi trigonometrici, cos che non è fftto chir dll definizione... Per vederlo bst però cmbire vribile nell integrle ponendo s = x + t: siccome tutte le funzioni coinvolte sono periodiche ottenimo u n (x) = π π u(s)φ n (s x) ds. Le φ n sono polinomi trigonometrici, per cui grzie lle formule di ddizione ed ll linerià dell integrle si verific subito l sserto! Ci serve or un stim delle costnti c n che compiono nell definizione di f φ n : bbimo 1 π = c n π ( ) n 1 + cos t 1/ n ( ) ( n 1 + cos t dt cos( n 2 1/ n n ) ) n. L quntità tr prentesi nell ultim espressione converge e 1/4, d cui c n k n per n bbstnz grnde, con k costnte positiv opportun. 31

32 Siccome le funzioni φ n sono non negtive e con integrle 1, ottenimo ( ) u n (x) u(x) = π π (u(x+t) u(x))φ n (t) dt π π u(x+t) u(x) φ n (t) dt. Si M un mggiornte per u : ricordndo che u è uniformemente continu,per ogni ε > 0 trovimo δ > 0 tle che x y < δ implic u(x) u(y) < ε. Spezzimo l integrle di destr in (*) sugli insiemi [ δ, δ] e [ π, δ] [δ, π]. Per l nostr scelt di δ bbimo δ δ u(x + t) u(x) φ n (t) dt ε δ δ φ n (t) dt < ε. D ltr prte π π ( ) n 1 + cos t u(x + t) u(x) φ n (t) dt 2Mc n dt δ δ 2 2Mkπ ( ) n 1 + cos(δ) n, 2 e l ultim espressione tende 0 per n + uniformemente in x (perché è indipendente d x!). L integrle su [ π, δ] si stim llo stesso modo: per n bbstnz grnde bbimo llor u n (x) u(x) < 2ε per ogni x. Q.E.D. Concludimo il corso con un importntissimo teorem, che miglior di grn lung il teorem di riduzione degli integrli doppi che bbimo visto per l integrle di Riemnn: TEOREMA (di Fubini e Tonelli): Si f : R 2 R un funzione misurbile. Allor (i) Se f 0, llor per qusi ogni y R l funzione x f(x, y) è misurbile sull rett rele. Inoltre, l funzione y f(x, y) dx è R misurbile e si h ( ) ( ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy. R 2 R R Ovvimente, le stesse cose vlgono nche scmbindo il ruolo di x e y. (ii) Se f è di segno qulunque e ( f(x, y) dx) dy < +, llor f è sommbile. L stess cos vle nche scmbindo l ordine di R R integrzione. (iii) Se f è di segno qulunque e sommbile, continu vlere l enuncito del punto (i). L dimostrzione è un po complict, per cui l ometteremo. 32