APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA L INTEGRALE DI LEBESGUE

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1 APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA L INTEGRALE DI LEBESGUE VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI Rissunto. L integrle di Lebesgue, introdotto cento nni f, è uno strumento fondmentle in qusi tutte le prti dell nlisi e dell mtemtic pplict. Presentimo qui lcune delle nozioni e dei risultti fondmentli, seguendo un impostzione dovut Riesz. Dimostrzioni complete, molti ltri risultti e commenti storici sono dti in [4], [5] e [6]. 1. Funzioni vrizione limitt Nel 1881, Jordn introdusse e studiò l clsse delle funzioni il cui grfico h lunghezz finit Definizione e proprietà elementri. Definizione. Si I = [, b] un intervllo chiuso. 1 Un funzione f : I R è vrizione limitt, se esiste un numero T tle che n f(x i ) f(x i 1 ) T i=1 per ogni suddivisione finit = x 0 < < x n = b dell intervllo I. L estremo superiore di queste costnti T è dett vrizione totle di f ed è denott d T (f). L insieme di queste funzioni è denott con BV (I) (BV viene dl termine inglese bounded vrition ). Esempi. Ogni funzione monoton f : [, b] R è vrizione limitt, e T (f) = f(b) f(). Ogni funzione f BV (I) è limitt. 1 L intervllo può essere illimitto, e.g. [0, ], [, 2] o [, ]. 1

2 2 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI Consideremo il cso in cui l intervllo [, b] è limitto. Segue fcilmente dll definizione che f BV (I) se e solo se il suo grfico h lunghezz finit; in prticolre, ogni funzione Lipschitzin f : [, b] R è vrizione limitt, e T (f) L b dove L è l costnte di Lipschitz. Utilizzndo quest equivlenz, si possono costruire funzioni limitte non vrizione limitt. Per esempio, l funzione continu { x sin(1/x) if x 0, f(x) := 0 if x = 0 non pprtiene BV (I) per ogni intervllo I contenente 0. Esempi interessnti sono le cosiddette funzioni slto. Fissimo un successione finit (o infinit) (x n ) in I e due serie numeriche ssolutmente convergenti. un e vn. Si Allor l serie 0 se x < x n, f n (x) := u n se x = x n, u n + v n se x > x n. fn (x) converge uniformemente d un funzione s BV (I) l cui vrizione totle è ugule T (s) = u n + v n. Si può fcilmente verificre che s h un slto sinistr u n e un slto destr v n nel punto x n, e che s è continu negli ltri punti. Definizione. Si M uno spzio vettorile di funzioni definite su qulche intervllo I. Se f M per ogni f M, llor M è detto uno spzio reticolto. Osservzione. Se M è uno spzio reticolto, llor per tutte le funzioni f, g M bbimo nche mx{f, g} M e min{f, g} M

3 perchè INTEGRALE DI LEBESGUE 3 f + g + f g f + g f g mx{f, g} = e min{f, g} =. 2 2 Proposizione 1.1. () BV (I) è uno spzio reticolto. (b) Se f, g BV (I), llor fg BV (I). Se, in più inf g > 0, llor f/g BV (I). (c) (Scomposizione di Jordn) Ogni f BV (I) può essere scritt come l differenz di due funzioni crescenti. 2 Dimostrzione. Solo il teorem di Jordn è non ovvio. Se f BV (I), llor l restrizione di f d ogni sottointervllo è nche di BV. Denotimo con t(c) l vrizione totle dell restrizione di f su [, c], < c b, e ponimo t() = 0. Allor t e t f sono funzioni crescenti l cui differenz è ugule d f Continuità e differenzibilità. Alcune proprietà delle funzioni slto rimngono vlide per tutte le funzioni vrizione limitt. Per qunto rigurd l continuità, bbimo che Proposizione 1.2. Si f BV (I). () f h limite destro e sinistro in ogni punto, e l insieme di discontinuità è un insieme numerbile. (b) f h un unic decomposizione f = g + s con g, s BV (I), dove g è continu e s un funzione slto. In più, se f è crescente, llor g e s sono nche crescenti. Dimostrzione. L dimostrzione è semplice per funzioni crescenti. Il cso generle segue pplicndo il teorem di Jordn. Rigurdo l differenzibilità, l situzione non è così semplice : f potrebbe non vere derivt in un insieme non numerbile di punti. Allo scopo di chirire l situzione, necessitimo dell seguente definizione: Definizione. (Hrnck) Un insieme E R è trscurbile se per ogni ε > 0 può essere ricoperto d un succesione finit o numerbile di intervlli l cui lunghezz totle è minore di ε. Esempi. Ogni insieme finito o numerbile di punti è un insieme di misur null. 2 Utilizzeremo il termine crescente per indicre l crescenz debole (invece di non decrescente).

4 4 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI Un sottoinsieme trscurbile è esso stesso trscurbile. L unione di un numero finito o numerbile di insiemi trscurbili è esso stesso un insieme trscurbile. L insieme tridico di Cntor è un insieme trscurbile non numerbile. Definizione. Un proprietà è ver qusi ovunque (q.o.) se l insieme dei punti dove non sussiste è un insieme trscurbile. Teorem 1.3. (Lebesgue) Ogni f BV (I) è differenzibile qusi o- vunque. Dimostrzione. È sufficiente considerre funzioni crescenti: il cso generle seguirà pplicndo il teorem di Jordn. Un dimostrzione elementre è dt in [4], [5] o [6]. Osservzione. Il teorem è ottimle nel senso seguente: per ogni insieme E I di misur null, esiste un funzione crescente f : I R che non è differenzibile in nessun punto di E. Se f BV (I), llor f non è necessrimente integrbile secondo Riemnn. Comunque, è sempre integrbile in un senso più generle. Andimo d introdurre quest nuov nozione nell sezione seguente. 2. Integrle di Lebesgue in R Nell sezione sviluppimo l teori dell integrle di Lebesgue per funzioni di vribile rele definite su R. Diremo che un funzione rele f, definit su un sottinsieme D è integrbile se l funzione g : R R definit d { f(x) se x D, g(x) := 0 ltrimenti è integrbile, e definimo l integrle di fugule quello di g Integrle di funzioni grdino. Definizione. Un funzione ϕ : R R è un funzione grdino se h un vlore costnte c k in ciscun dei sottointervlli perti (in numero finito) i k di lunghezze finite i k e ed è null fuori di corrispondenti intervlli chiusi. (Il vlore di f nei punti finli di questi intervlli sono rbitrri.) Denotimo con C 0 l clsse delle funzioni grdino. Definimo l integrle di un funzione grdino trmite l formul ϕ dx = c k i k.

5 INTEGRALE DI LEBESGUE 5 Per fornire le proprietà elementri dell integrle, ci srà utile introdurre l seguente nozione. Definizione. Si M uno spzio reticolto. Un form linere L : M R si dice positiv se Af 0 ogni qulvolt f 0. Proposizione 2.1. () L clsse C 0 è uno spzio reticolto. (b) L integrle è un form linere positiv su C 0. Osservimo due importnti proprietà di questo integrle. L prim è un semplice vrinte di un teorem clssico di Dini: Lemm 2.2. Per ogni successione (ϕ n ) di funzioni grdino che decrescono 0 qusi ovunque, l successione di vlori dei loro integrli tende nche zero. L second è legt ll compttezz degli intervlli chiusi limitti: Lemm 2.3. Se per un successione crescente di funzioni grdino (ϕ n ), i vlori dei loro integrli hnno un costnte di limittezz uniforme, llor l successione (ϕ n ) tende d un numero finito qusi ovunque L clsse C 1. Estendimo l nozione di integrle i limiti di successioni crescenti di funzioni grdino. Definizione. Denotimo con C 1 l clsse di funzioni f : R R che sono limiti qusi ovunque delle successioni (ϕ n ) riferite l lemm 2.3. Definimo l integrle di f dll formul f dx := lim ϕ n dx. Osservzioni. L esistenz di questo limite segue dl lemm 2.3. Il seguente lemm implic che questo limite non dipende dll prticolre scelt di funzione grdino ϕ n. Poichè C 0 C 1, noi dobbimo dimostrre che l nuov definizione di integrle coincide con l precedente se f è un funzione grdino. Questo segue scegliendo ϕ n = f per ogni n. Segue d quest definizione che se f C 1 e f = g qusi ovunque, llor g C 1, e f e g hnno lo stesso integrle. Lemm 2.4. Sino (ϕ n ) e (ψ n ) due successioni crescenti di funzioni grdino tli che i corrispondenti integrli hnno un costnte di limittezz uniforme. Se lim ϕ n lim ψ n

6 6 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI qusi ovunque, llor lim ϕ n dx lim ψ n dx. Dimostrzione. È un conseguenz del lemm 2.2. Ricordimo le principli proprietà dell integrle su C 1. Proposizione 2.5. () Se f, g C 1 e c 0, llor f + g, cf, mx{f, g}, min{f, g} C 1. (b) Se f, g C 1 e c > 0, llor f + g dx = f dx + cf dx = c f dx. g dx, (c) L integrle è monotono su C 1 : se f g qusi ovunque su R, llor f dx g dx. L integrle su C 1 è già più generle che l integrle di Riemnn perchè l clsse C 1 contiene l clsse di funzioni integrbili secondo Riemnn. Più precismente, bbimo che Proposizione 2.6. Si f : R R. Le seguenti tre proprietà sono equivlenti: () f è integrbile secondo Riemnn; (b) f è limitt e le sue discontinuità formno un insieme trscurbile; (c) Si f che f pprtengono ll clsse C L clsse C 2 = L 1. Completimo l costruzione dell integrle di Lebesgue. Definizione. Denotimo con C 2 l clsse di funzioni dell form f 1 f 2 dove f 1, f 2 C 1. Noi definimo i loro integrli trmite l formul f 1 f 2 dx := f 1 dx f 2 dx. Osservzioni.

7 INTEGRALE DI LEBESGUE 7 Si può fcilmente verificre che l integrle non dipende dll prticolre scelt di f 1 e f 2, cioè, se f 1 f 2 = g 1 g 2 con f 1, f 2, g 1, g 2 C 1, llor f1 dx f 2 dx = g 1 dx g 2 dx. Inftti, questo segue dll proposizione 2.5 dell sezione precedente perchè f 1 + g 2 = g 1 + f 2 Anche, si può fcilmente verificre che C 1 C 2 e che per f C 1 l nuov definizione coincide con l ltr (segu scegliendo f 2 = 0). Finlmente, se f C 2 e f = g qusi ovunque, llor g C 2 gli integrli di f e g sono uguli. L proposizione 2.1 dell sezione 2.1 rimne vlid per l clsse C 2 invece di C 0 : Proposizione 2.7. () L clsse C 2 è uno spzio reticolto. (b) L integrle è un form linere positiv su C 2. L clsse C 2 contiene l clsse C 0. Il prossimo risultto mostr che le funzioni grdino in un certo senso sono dense in C 2. Proposizione 2.8. Si f C 2. Allor esiste un successione (ϕ n ) in C 0 tle che ϕ n tende f qusi ovunque, e f ϕ n dx 0. Si potrebbe tentre di generlizzre ulteriormente l integrle ripetendo il precedente processo prtendo con C 2 invece di C 0. È un sorpres osservre che non si ottengono nuove funzioni integrbili seguendo quest strd. Teorem 2.9. (Beppo Levi) Si (f n ) un successione crescente in C 2 tle che i corrispondenti integrli hnno un costnte di limittezz comune. Allor l successione (f n ) tende un funzione f C 2 qusi ovunque, e f n dx f dx. Osservzione. Quest è un generlizzzione del lemm 2.3.

8 8 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI Formulimo lcune semplici m importnti conseguenze di questo teorem. Corollrio () Si (g n ) un successione in C 2 tle che l serie numeric g n dx converge. Allor l serie n=1 n=1 converge qusi uniformemente un funzione g C 2, e g n dx = g dx. n=1 g n (b) Se g C 2 bbimo g dx = 0 se e solo se g = 0 qusi ovunque. (c) Si (f n ) un successione crescente in C 2, convergente un funzione f C 2 qusi ovunque. Allor f n dx f dx. Definizione. Nel seguito gli elementi di C 2 sono nche chimti integrbili secondo Lebesgue (o semplicemente funzioni integrbili), e l integrle ppen definito integrle di Lebesgue. In più, seguendo le notzioni usuli, scrivimo L 1 invece di C Teoremi di Lebesgue, Ftou e Riesz Fischer. In quest sottosezione formulimo tre teoremi fondmentli. Questi giocno un ruolo fondmentle in tutte le ppliczioni. Uno dei più grndi vntggi dell teori di Lebesgue rispetto ll teori di Riemnn è l su semplicità nel trttre successioni di integrli. L successione f n (x) = n x e n x mostr che il teorem di Beppo Levi non si pplic per tutte le successioni convergenti qusi ovunque. Si h comunque lcuni ltri risultti, senz ssumere l monotoni dell successione (f n ).

9 INTEGRALE DI LEBESGUE 9 Teorem (Lebesgue, Convergenz domint) Si (f n ) un successione di funzioni integrbili, convergenti un funzione f qusi ovunque. Assumimo che esist un funzione integrbile g tle che f n g qusi ovunque per ogni n. Allor f è integrbile e f n dx f dx. Esempio. L successione f n (x) = n x e n x non soddisf le ipotesi del teorem di Beppo Levi, m soddisf le ipotesi del teorem di Lebesgue. Inftti, f n (x) 0 e { e 1 se x 1, f n (x) g(x) := x e x se x 1 ovunque, e l funzione g è integrbile. Applicndo il teorem di Lebesgue ottenimo che n x e n x dx 0. In lcuni csi, qundo il teorem di Lebesgue non si può pplicre, il seguente risultto fornisce ncor informzioni utili. Teorem (Ftou) Si (f n ) un successione di funzioni non negtive, integrbili, convergente qulche funzione f qusi ovunque. Se esiste un costnte A tle che f n dx A for ll n, llor f è integrbile e f dx A. Si può verificre che l formul f 1 := f dx definisce un seminorm in L 1. In più, se identifichimo due funzioni se queste sono uguli qusi ovunque, llor L 1 divent uno spzio normto. Il seguente risultto fondmentle mostr che il criterio clssico di Cuchy sussiste nche in L 1, cosicchè L 1 è uno spzio di Bnch. Teorem (Riesz Fischer) Si (f n ) un successione di funzioni integrbili, verificnti f m f n dx 0 per m, n.

10 10 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI Allor esiste un funzione integrbile f tle che f n f dx 0 per n Misure. L seguente definizione è motivt dll importnz delle funzioni grdino e dll convergenz qusi ovunque. Definizione. Un funzione f : R R è misurbile se esiste un successione (f n ) di funzioni grdino, convergenti qusi ovunque f. Proposizione () L clsse delle funzioni misurbili è uno spzio reticolto. (b) Se f e g sono misurbili, llor fg è nche misurbile. In più, se g 0 qusi ovunque, llor f/g è nche misurbile. (c) Se f è misurbile e f = g qusi ovunque, llor g è nche misurbile. (d) Ogni funzione integrbile è nche misurbile. (e) Se f è misurbile, g è integrbile e f g qusi ovunque, llor f è nche integrbile. (f) Se f è il limite qusi ovunque di une successione di funzioni misurbili, llor f è nche misurbile. Dimostrzione. L dimostrzione di (), (b), (c) e (d) è elementre. L dimostrzione di (e) e (f) è bst sul teorem di Lebesgue. Definizione. Un insieme A è misurbile se l su funzione crtteristic χ A è misurbile. Se A è misurbile, llor ponimo { χa dx se χ A è integrbile, (2.1) µ(a) := ltrimenti. Osservzioni. Ogni intervllo A è misurbile e µ(a) è ugule ll su lunghezz. Un insieme A è trscurbile se e solo se A è misurbile e di misur 0. (Corollrio del teorem di Beppo Levi.) Allo scopo di dre le proprietà di bse di insiemi misurbili e dell funzione m, introducimo due nuove nozioni. Definizione. Si P un fmigli di sottoinsiemi di R, contenenti. Un funzione m : P [0, ] è un misur se h le seguenti proprietà: m( ) = 0; (positività) m(a) 0 per ogni A P;

11 INTEGRALE DI LEBESGUE 11 (σ-dditività) Se (A k ) è un successione di insiemi coppie disgiunti in P e A := A 1 A 2 P, llor m(a 1 A 2... ) = m(a 1 ) + m(a 2 ) +... Esempio. L lunghezz degli intervlli limitti è un misur. Definizione. Un fmigli M di sottoinsiemi di R è un σ-lgebr se h l seguente proprietà: M; Se A M, llor R\A M; Se (A k ) è un successione di insiemi di P, llor A 1 A 2 M e A 1 A 2 M. Esempio. L fmigli di tutti i sottoinsiemi di R è un σ-lgebr. Proposizione () L fmigli degli insiemi misurbili è un σ-lgebr. (b) L formul (2.1) definisce un misur. (c) Un funzione f è misurbile se e solo se tutti gli insiemi di livello {x R : f(x) c}, c R sono misurbili. L stess equivlenz sussiste se sostituimo l disuguglinz con, < o > nell definizione degli insiemi di livello. 3. Integrle strtto di Lebesgue L costruzione dell integrle di Lebesgue, come dt precedentemente, può essere generlizzto l seguente modo. Definizione. Si dto un insieme Ω e un fmigli P di sottoinsiemi di Ω. Assumimo che P; se A, B P, llor A B P; se A, B P, llor esiste un successione finit di insiemi due due disgiunti C 1,... C n in P tli che Allor P si dice seminello. A\B = C 1 C n. Esempi. Gli intervlli limitti formno un seminello. Ogni σ-lgebr è nche un seminello. Definizione. Si dice che (Ω, P, m) è uno prespzio di misur se P è un seminello in Ω;

12 12 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI m : P R è un misur; m(a) < per ogni A P; Ω è coperto d un successione di insiemi A n in P. Esempio. Si P l fmigli degli intervlli limitti e denotimo con m(a) l lunghezz dell intervllo A. Allor (R, P, m) è uno prespzio di misur. Definizioni. Si (Ω, P, m) è uno prespzio di misur. Un funzione grdino è un combinzione linere finit di funzioni crtteristiche degli insiemi in P. Un insieme A Ω è trscurbile se per ogni ε > 0 esiste un successione (A n ) in T tle che A e m(a n ) < ε. n=1 A n Si può ripetere l costruzione del cpitolo 2: tutti i risultti rimngono vlidi. In prticolre, ottenimo un σ-lgebr M di insiemi misurbili in Ω, e m si estende d un misur µ definit su M. Ottenimo llor uno spzio di misur nel senso seguente: Definizione. Si dice che (Ω, M, µ) è uno spzio di misur se M è un σ-lgebr in Ω e m è un (non necessrimente finit) misur definit su M. n=1 Considerimo lcuni csi prticolri Integrle su un sottoinsieme. Dto un intervllo (, b) e un funzione f : (, b) R, è nturle definire il suo integrle trmite l formul b f dx := g dx dove g : R R è l estensione di f trmite l funzione null: { f(x) se (, b), g(x) := 0 ltrimenti. Ciò può essere generlizzto come segue. Si (Ω, P, m) un prespzio di misur e (Ω, M, µ) il corrispondente spzio di misur. Dto un insieme misurbile M M, l restrizione di µ P M := {M A : A P} definisce un semispzio di misur (M, P M, µ PM ).

13 INTEGRALE DI LEBESGUE Misure prodotto. Si (Ω 1, P 1, m 1 ) e (Ω 2, P 2, m 2 ) due prespzi di misur. Ponimo Ω = Ω 1 Ω 2, P = {A 1 A 2 : A 1 P 1 e A 2 P 2 }, m(a) = m 1 (A 1 ) m 2 (A 2 ). Allor (Ω, P, m) è uno prespzio di misur, cossicchè possimo costruire l integrle di Lebesgue strtto in Ω. Il seguente teorem generle ci permette di clcolre integrli doppi trmite integrzioni successive: Teorem 3.1. (Fubini) Si f : Ω R integrbile. Allor l funzione definit d f x1 : Ω 2 R, f x1 (x 2 ) := f(x 1, x 2 ) è integrbile per qusi ogni x 1 Ω 1. In più, l funzione x 1 f x1 dx 2 Ω 2 è integrbile, e Ω 1 ( ) f x1 dx 2 dx 1 = Ω 2 Ω f dx. Per verificre l integrbilità di f si può spesso utilizzre il Teorem 3.2. (Tonelli) Si f : Ω R un funzione misurbile. Assumimo che il seguente integrle ( ) f dx 2 dx 1 Ω 2 si ben definito e finito. Allor f è integrbile. Ω Integrle di Lebesgue Stieltjes. Si g : [, b] R un dt funzione di vrizione limitt su un intervllo chiuso [, b]. Si Ω = (, b], denotimo con P l fmigli di tutti gli intervlli chiusi destr (c, d] con c d b, e definimo m(a) = g(d) g(c) per ogni A = (c, d] P. Allor (Ω, P, m) è un prespzio di misur. Denotimo con µ g l misur corrispondente. L fondmentle importnz dell integrle di Stieltjes è dto dll form originle del teorem di rppresentzione di Riesz sull crtterizzzione dello spzio dule dello spzio di Bnch C(K) dove K è uno spzio comptto di Husdorff :

14 14 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI Teorem 3.3. (Riesz) Si I = [, b] un intervllo chiuso limitto. L integrle di Lebesgue Stieltjes b f dµ g definisce un form linere e limitt f su C(I) per ogni dt funzione g BV (I), e vicevers, ogni form linere e limitt può essere scritt in questo modo. Osservzione. Notimo che questo teorem può essere formulto e dimostrto senz utilizzre l integrle di Lebesgue. Si consigli di gurdre tl rigurdo l ultim sezione. 4. Formul di Newton Leibniz In quest sezione considerimo un intervllo chiuso [, b], non necessrimente limitto. L importnte nozione seguente ci consente di estendere l formul di Newton Leibniz per tutte le funzioni integrbili secondo Lebesgue. Definizione. Un funzione F : [, b] R è ssolutmente continu se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tle che, per ogni successione finit o numerbile di intervlli coppie disgiunti ( k, b k ) di totle lunghezz < δ in [, b], noi bbimo F (bk ) F ( k ) < ε. Osservzioni. Ogni funzione Lipschitzin è ssolutmente continu, e ogni funzione ssolutmente continu è uniformemente continu. Ogni funzione ssolutmente continu è nche vrizione limitt su ogni sottointervllo limitto di [, b], dunque è derivbile qusi ovunque. Definizione. Un primitiv di un funzione f : [, b] R è un funzione F : [, b] R ssolutmente continu, vrizione limitt, soddisfcente F = f qusi ovunque. Teorem 4.1. (Lebesgue) () Un funzione f : [, b] R h un primitiv se e solo se f è integrbile.

15 INTEGRALE DI LEBESGUE 15 (b) Se F è un primitiv di f, llor l formul di Newton Leibniz rimne vlid: b f dx = F (b) F (). Osservzioni. Ricordimo dl teorem 1.3 che ogni funzione F : [, b] R vrizione limitt è derivbile qusi ovunque. Inftti, F è sempre integrbile. È llor nturle chiedere se l formul di Newton Leibniz sussiste per tutte le funzioni vrizione limitt. L funzione di slto f = sgn mostr che l formul di Newton Leibniz b f (x) dx = f(b) f() non sussiste per tutte le funzioni vrizione limitt, nonostnte il ftto che entrmbi le prti nell formul sono ben definite. Comunque questo esempio non è molto interessnte perchè f non è continu. È più interessnte notre che l formul di Newton Leibniz non sussiste per tutte le funzioni continue, vrizione limitt. Per esempio, Lebesgue h costruito un funzione F : [0, 1] R crescente, continu, vrizione limitt tle che, F (0) = 0, F (1) = 1, m F = 0 qusi ovunque. Queste funzioni sono dette singolri. Lebesgue h nche dimostrto che ogni funzione crescente e continu F : [, b] R mmette un decomposizione F = A+S dove A è ssolutmente continu, S è singolre e entrmbi sono crescenti. Quest decomposizione è unic meno di un costnte dditiv. In più, esistono funzioni continue e strettmente crescenti F : [, b] R le cui derivte sono nulle qusi ovunque. Un tle esempio è dto d [6], V.2.2. Ricordimo l costruzione. Si I = [0, 1]. Noi voglimo definire un successione di funzioni crescenti F n : I R come segue. Prim noi ponimo F 0 (x) = x. Fissimo un numero 0 < t < 1. Se F n è già definit, llor ponimo F n+1 (x) = F n (x) per x = k2 n, k = 0, 1,..., 2 n. In più, se α = k2 n e β = (k + 1)2 n, llor per x = (α + β)/2 ponimo F n+1 (x) = 1 t 2 F n(α) t 2 F n(β).

16 16 VILMOS KOMORNIK E PAOLA LORETI Infine, definimo F n+1 linermente tr i due punti consecutivi k2 n 1 e (k + 1)2 n 1. Si può verificre che F n converge d un funzione continu e strettmente crescente F : [0, 1] R soddisfcente F (0) = 0, F (1) = 1 e F (0) = 0 qusi ovunque. I seguenti due risultti sono conseguenze semplici di queste formule. Proposizione 4.2. (Integrzione per prti) Sino F, G : [, b] R due funzioni ssolutmente continue e ponimo f = F, g = G. Allor b F g dx + b fg dx = [F G] b. Proposizione 4.3. (Cmbio di vribile, de l Vllée Poussin) Si f : [, b] R un funzione integrbile, e si x : [c, d] R un funzione ssolutmente continu, crescente, tle che x(c) = e x(d) = b. Allor l funzione (f x)x è integrbile sull intervllo [c, d] e d c f(x(t))x (t) dt = b f(x) dx. Dimo un importnte generlizzzione dell ultim proposizione: Teorem 4.4. (Rdon Nikodým) Si (Ω, M, µ) spzio di misur con µ(a) <, e si ν un misur su M soddisfcente l proprietà seguente: se A M e µ(a) = 0, llor ν(a) = 0 (si dice che ν è ssolutmente continu rispetto µ). Allor esiste un funzione integrbile nonnegtiv g tle che se f è integrbile rispetto ν, llor fg è integrbile rispetto µ, e f dν = fg dµ. Osservzione. L funzione g è dett l derivt di Rdon Nikodým di ν rispetto µ, ed è spesso denott d dν/dµ. 5. Integrle di Stieltjes Ricordimo un utile nozione di integrle introdott d Stieltjes prim di Lebesgue. Dte due funzioni f, g : I R, considerimo tutte le somme n f(y k )(g(x k ) g(x k 1 )) k=1

17 INTEGRALE DI LEBESGUE 17 dove = x 0 < y 1 < x 1 < y 2 < x 2 < < y n < x n = b. se queste somme tendono d un limite finito per mx (x k x k 1 ) 0, llor questo limite è chimto l integrle di Stieltjes di f rispetto g, ed è denotto d b f dg = b f(x) dg(x). Se g BV (I), llor questo integrle esiste per ogni funzione continu f : I R. Per g(x) = x l integrle di Stieltjes si riduce ll integrle di Riemnn. C è un interessnte vrinte dell formul di integrzione per prti dell integrle di Stieltjes : Proposizione 5.1. Si f, g : I R. Se esiste l integrle llor esiste l integrle e b f dg + b b b f dg, g df, g df = f(b)g(b) f()g(). Riferimenti [1] H. Lebesgue, Sur une générlistion de l intégrle définie, C. R. Acd. Sci. Pris 132 (1901), ; [3] I, [2] H. Lebesgue, Leçons sur l intégrtion et l recherche des fonctions primitives, Pris, 1904; [3] II, [3] H. Lebesgue, Oeuvres scientifiques I-V, Université de Genève, [4] F. Riesz nd B. Sz.-Ngy, Leçons d nlyse fonctionnelle, Akdémii Kidó, Budpest, [5] F. Riesz nd B. Sz.-Ngy, Functionl Anlysis, Dover, New York, [6] B. Sz.-Ngy, Introduction to Rel Functions nd Orthogonl Expnsions, Oxford University Press, New York, 1965.