1 Definizione ed esistenza dell integrale di Riemann 4. 3 Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue 49

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1 Indice Introduzione 2 1 Definizione ed esistenz dell integrle di Riemnn 4 2 L teori di Lebesgue 24 3 Confronto tr integrle di Riemnn e integrle di Lebesgue 49 4 Presentzioni lterntive dell integrle di Riemnn 53 5 Cenni storici 58 6 Bibliogrfi 61 1

2 Introduzione Quest tesi è dedict ll teori dell integrzione in un vribile ed l confronto tr le definizioni di integrle disponibili sul mercto. In prticolre, voglimo trttre in qulche dettglio l teori degli integrli di Riemnn e di Lebesgue, per poi confrontre le due definizioni per cpire quli sono i rispettivi meriti e le rispettive limitzioni. Il primo cpitolo è dedicto ll integrle di Riemnn: in questo cso l definizione è prticolrmente semplice e nturle, e l ide di bse ssomigli molto quell ust dll mtemtic grec per clcolre l re del cerchio o del segmento prbolico. Così come Archimede pprossimv il cerchio, d dentro e d fuori, con poligoni regolri, Riemnn pprossim il sottogrfico di un funzione, d dentro e d fuori, con unioni di un numero finito di rettngoli. In questo contesto, introducimo nche un semplice generlizzzione dell integrle di Riemnn: l integrle di Riemnn-Stieltjes. In questo cso, l misur elementre di un intervllo dell sse delle scisse è sostituit d un divers misur, costruit prtire d un dt funzione monoton: lcune possibili interpretzioni fisiche di quest generlizzzione sono dte nell Osservzione Dopo le principli definizioni e qulche proprietà elementre dell integrle di Riemnn, cerchimo di trovre qulche clsse di funzioni integrbili e ci occupimo in prticolre dell integrbilità delle funzioni continue e del teorem fondmentle del clcolo. Il secondo cpitolo è dedicto ll misur ed ll integrle di Lebesgue: dopo un costruzione dettglit dell misur di Lebesgue, dimo l definizione di funzione misurbile ed introducimo l integrle ed i principli teoremi di pssggio l limite. Sottolinemo come, l prezzo di definizioni ssi più complicte, bbimo gudgnto però un mggiore flessibilità nei pssggi l limite. In prticolre, il limite di un successione di funzioni misurbili è sempre misurbile, mentre un successione di funzioni integrbili secondo Riemnn può convergere qulcos che non lo è. Nel terzo cpitolo fccimo un confronto tr l integrle di Riemnn e di Lebesgue: mostrimo come un funzione limitt, definit su un intervllo 2

3 INDIC 3 limitto ed integrbile secondo Riemnn, lo si nche secondo Lebesgue con lo stesso integrle. Dimostrimo nche il teorem di Vitli che crtterizz le funzioni integrbili secondo Riemnn: un condizione necessri e sufficiente è inftti l continuità qusi ovunque dell funzione (l insieme dei punti di discontinuità deve vere cioè misur di Lebesgue null). Mostrimo poi come le cose non sino più così semplici e pulite qundo ndimo considerre integrli di Riemnn in senso improprio: un funzione di segno qulunque che si integrbile in senso improprio (secondo Riemnn), può non essere integrbile secondo Lebesgue perché gli integrli dell prte positiv e dell prte negtiv sono entrmbi infiniti. Nel qurto cpitolo trttimo qulche definizione lterntiv dell integrle di Riemnn, che può essere interessnte storicmente e perché l si trov spesso sui testi scolstici: ci riferimo in prticolre ll integrle di Cuchy, ed lle somme di Riemnn con suddivisioni dell intervllo di integrzione in prti uguli. Mostrimo come, sotto precise ipotesi, queste definizioni conducno tutte llo stesso oggetto. Infine, nel quinto cpitolo dimo qulche brevissimo cenno storico.

4 Cpitolo 1 Definizione ed esistenz dell integrle di Riemnn 1.1 Definizione: Si [, b] un intervllo. Si P un insieme finito di punti dell sse rele, compresi tr e b, e ordinti nel modo seguente: P = {x 0, x 1, x 2, x 3,..., x n 1, x n }, dove = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 <... < x n 1 < x n = b. Questo insieme P si chim prtizione di [, b] in qunto divide l intervllo [, b] in n sottointervlli l i-esimo dei quli è [x i 1, x i ]. Questi sottointervlli sono chimti sottointervlli dell prtizione P. Il numero n dipende dll prticolre prtizione, per cui si scrive n = n(p ). L lunghezz dell i-esimo sottintervllo di P è x i = x i x i 1 (i = 1,..., n). A volte l lunghezz del più grnde di questi intervlli, x i, viene chimt norm dell prtizione P, e indict con P = mx 1 i n x i 4

5 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN5 Or supponimo f si un funzione limitt rele definit su [, b]. In corrispondenz d ogni prtizione P di [, b] ponimo: M i = sup f(x) (x i 1 x x i ) m i = inf f(x) (x i 1 x x i ) U(P, f) = M i x i L(P, f) = m i x i dove L(P, f) è l somm inferiore e U(P, f) è l somm superiore di Riemnn reltive ll funzione f e ll prtizione P. Le seguenti figure fnno vedere queste somme di Riemnn come somme di ree di rettngoli dotti di segno; cioè ogni re che si trov sotto l sse x viene contt come negtiv.

6 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN6 Scrivimo: (1) (2) f dx = inf U(P, f) f dx = sup L(P, f) dove l inf e il sup sono presi tr tutte le prtizioni P di [, b]. I membri di sinistr di (1) e (2) sono chimti rispettivmente gli integrli di Riemnn superiore e inferiore su [, b]. Se i due integrli sono uguli, si dice che f è integrbile secondo Riemnn sull intervllo [, b] e si scrive che f R. L insieme R è l insieme di tutte le funzioni integrbili secondo Riemnn. Il vlore comune di (1) e (2) si indic con o con f dx f(x) dx Questo è l integrle di Riemnn dell funzione f sull intervllo [, b]. Visto che l funzione f è limitt, esistono due numeri, M e m, tli che Quindi, per ogni P vle, m f(x) M ( x b) m(b ) L(P, f) U(P, f) M(b ) I numeri L(P, f) e U(P, f) formno un insieme limitto. Ciò dimostr che gli integrli superiore e inferiore sono definiti per ogni funzione limitt f. Or invece di studire l questione dell integrbilità per l integrle di Riemnn, considerimo un situzione più generle: definimo l integrle di Riemnn-Stieltjes. 1.2 Definizione: Si α un funzione monoton crescente su [, b] (Poiché α() e α(b) sono finite, segue che α è limitt su [, b]). In corrispondenz ogni prtizione P di [, b], scrivimo

7 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN7 α i = α(x i ) α(x i 1 ) Per ogni funzione rele f limitt su [, b] mettimo: (3) U(P, f, α) = M i α i Si definisce: (4) L(P, f, α) = m i α i (5) (6) f dα = inf U(P, f, α) f dα = sup L(P, f, α) dove l inf e il sup sono presi ncor tr tutte le prtizioni dell intervllo [, b]. Se i membri sinistri di (5) e (6) sono uguli, chimimo il loro vlore ugule oppure con (7) f dα (8) f(x) dα(x) Questo è chimto l integrle di Riemnn-Stieltjes dell funzione f rispetto d α, sull intervllo [, b]. Se (7) esiste, cioè se (5) e (6) sono uguli, si dice che f è integrbile rispetto d α secondo Riemnn e si scrive f R(α). L integrle di Riemnn si può vedere come un cso specile dell integrle di Riemnn-Stieltjes ponendo α(x) = x. Nel cso generle, non è però necessrio che α si continu. Fccimo or qulche osservzione sulle notzioni uste. Di solito si preferisce usre (7) rispetto d (8) poiché l letter x che ppre in (8) non ggiunge null (7). indifferente l letter che usimo per rppresentre l vribile d integrzione. Si può scrivere per esempio: f(y) dα(y)

8 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN8 L integrle dipende d f, α, e b; non dll vribile d integrzione, che può quindi nche essere omess. Il ruolo giocto dll vribile d integrzione è bbstnz simile ll indice usto in un sommtori. Scrivere per esempio n o i=1 c i n k=1 è l stess cos, poiché ognuno signific c 1 + c 2 + c c n. Studimo or l esistenz dell integrle. Senz specificrlo ogni volt, f srà rele e limitt, e α monoton crescente sull intervllo [, b]; e, se non ci srnno frintendimenti scrivimo l posto di per snellire l lettur. 1.3 Definizione: Si dice che l prtizione P è un rffinmento di P se P P. Cioè se ogni punto di P è punto nche di P. Sino P 1 e P 2 due prtizioni. Allor P è il loro rffinmento comune se P = P 1 P Teorem: Se P è un rffinmento di P, llor vle c k e (9) L(P, f, α) L(P, f, α) (10) U(P, f, α) U(P, f, α) Dimostrzione: Per dimostrre (9), supponimo inizilmente che P conteng solo un punto in più rispetto P. Chimimo questo punto in più x, e supponimo che x i 1 < x < x i con x i 1 e x i due punti consecutivi di P. Si: w 1 = inf f(x) (x i 1 x x ) w 2 = inf f(x) (x x x i ) Chirmente w 1 m i e w 2 m i, dove

9 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN9 Quindi m i = inf f(x) (x i 1 x x i ) L(P, f, α) L(P, f, α) = = w 1 [α(x ) α(x i 1 )] + w 2 [α(x i ) α(x )] m i [α(x i ) α(x i 1 )] = = (w 1 m i )[α(x ) α(x i 1 )] + (w 2 m i )[α(x i ) α(x )] 0 Se P contiene k punti più di P, ripetimo questo rgionmento k volte, e si rriv (9). In modo nlogo è possibile dimostrre (10). 1.5 Teorem: f dα f dα Dimostrzione: Si P il rffinmento comune di due prtizioni P 1 e P 2. Per il teorem 1.4 vle, Segue che L(P 1, f, α) L(P, f, α) U(P, f, α) U(P 2, f, α) (11) L(P 1, f, α) U(P 2, f, α) Se P 2 è fissto e il sup è preso su tutto P 1, (11) dà: (12) f dα U(P 2, f, α) Il teorem segue prendendo l inf su tutto P 2 in (12). 1.6 Teorem: f R(α) su [, b] se e solo se ε > 0, P prtizione tle che, (13) U(P, f, α) L(P, f, α) < ε

10 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN10 Dimostrzione: P bbimo L(P, f, α) f dα f dα U(P, f, α) Così (13) implic: 0 f dα f dα ε Quindi, se (13) può essere soddisftt ε > 0, si h, f dα = f dα cioè, f R(α). Vicevers, supponimo f R(α), e si ε > 0. Allor P 1, P 2 prtizioni tli che (14) U(P 2, f, α) f dα < ε 2 (15) f dα L(P 1, f, α) < ε 2 Sceglimo P come rffinmento comune di P 1 e P 2. Allor per il teorem 1.4, con (14) e (15), si verific che U(P, f, α) U(P 2, f, α) < f dα + ε 2 < L(P 1, f, α) + ε L(P, f, α) + ε cioè (13) vle per quest prtizione P. Il teorem 1.6 fornisce un criterio utile per stbilire l integrbilità. Prim di pplicrlo, lcuni ftti utili: 1.7 Teorem: () Se (13) vle per qulche P e per qulche ε, llor (13) vle (con lo stesso ε) per ogni rffinmento di P. (b) Se (13) vle per P = {x 0,..., x n } e se s i, t i sono punti rbitrri in [x i 1, x i ], llor n f(s i ) f(t i ) α i < ε i=1

11 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN11 (c) Se f R(α) e vle (b) llor n f(t i ) α i i=1 f dα < ε Dimostrzione: Il teorem 1.4 implic (). Sotto l ipotesi ftt in (b), si f(s i ) che f(t i ) stnno in [m i, M i ], cioè: Così f(s i ) f(t i ) M i m i n f(s i ) f(t i ) α i U(P, f, α) L(P, f, α) i=1 che prov (b). Le ovvie diseguglinze seguenti dimostrno (c): e L(P, f, α) f(t i ) α i U(P, f, α) L(P, f, α) f dα U(P, f, α) 1.8 Teorem: Se f è continu su [, b] llor f R(α) su [, b]. Dimostrzione: Si ε > 0. Scelgo η > 0 tle che [α(b) α()]η < ε Siccome f è continu su un intervllo chiuso e limitto, ne segue che f è uniformemente continu su [, b], e llor δ > 0 tle che (16) f(x) f(t) < η se x [, b], t [, b] e x t < δ. Se P è un prtizione di [, b] tle che x i < δ che i, llor (16) implic (17) M i m i η (i 1,..., n)

12 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN12 e quindi U(P, f, α) L(P, f, α) = n (M i m i ) α i η i=1 n α i = η[α(b) α()] < ε i=1 Per il teorem 1.6, f R(α). 1.9 Teorem: Se f è monoton su [, b], e se α è continu su [, b], llor f R(α) (Supponimo sempre che α si monoton). Dimostrzione: Si ε > 0. n > 0, n Z, scelgo un prtizione tle che: α(b) α() α i = (i = 1,..., n) n Questo è possibile poiché α è continu. Supponimo che si monoton crescente. Allor: cioè M i = f(x i ), m i = f(x i 1 ) (i = 1,..., n) U(P, f, α) L(P, f, α) = α(b) α() n n [f(x i ) f(x i 1 )] = i=1 α(b) α() [f(b) f()] < ε n se n è preso bbstnz grnde. Per il teorem 1.6, f R(α) Teorem: Supponimo che f si limitt su [, b], e che f bbi solo lcuni punti di discontinuità, in numero finito, sull intervllo [, b], e α si continu in ogni punto in cui f è discontinu. Allor f R(α). Dimostrzione: Si ε > 0. Mettimo M = sup f(x), si l insieme dei punti in cui f è discontinu. Allor se è finito e α è continu in ogni punto di, possimo coprire con lcuni intervlli disgiunti [u j, v j ] [, b] tli che l somm delle corrispondenti differenze α(v j ) α(u j ) è minore di ε. Ancor, possimo disporre questi intervlli in modo che ogni punto di [, b] vive ll interno di qulche [u j, v j ]. Rimuovimo i segmenti [u j, v j ] d [, b]. Il

13 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN13 rimnente insieme K è comptto. Quindi f è uniformemente continu su K, e quindi δ > 0 tle che f(s) f(t) < ε se s K, t K, s t < δ. Or form un prtizione P = {x 0, x 1,..., x n } di [, b]. Segue che ogni u j cde in P. Se x i 1 non pprtiene u j, llor x i < δ. Notre che M i m i ε meno che x x 1 pprteng u j. Quindi, come nell dimostrzione del teorem 1.11, U(P, f, α) L(P, f, α) [α(b) α()] + ε + 2Mε d qui ε è rbitrri. Il teorem 1.6 mostr che f R(α) Se f e α hnno un punto di discontinuità in comune, llor f non necessrimente pprtiene R(α); come mostr l seguente Osservzione: Si β un funzione definit come segue, β(x) = 0 se x < 0, β(x) = 1 se x > 0 e β(0) = 1. Si f un funzione limitt su [ 1, 1]. 2 Allor f R(β) se e solo se f è continu in 0. Dimostrzione: Supponimo che non si bbi lim x 0 f(x) = f(0). Allor ε 0 > 0, y n 0 tle che f(y n ) f(0) > ε 0. Si {y nk } un sottosuccessione tle che y nk 0 k (oppure y nk < 0 k. Si P = {x 0 = 1 < x 2 < x 3 <... < x N = 1} un prtizione. Se 0 non è un un punto di suddivisione, ı tle che: Allor: x i < 0 < x i +1. M i m i f(y n ) f(0) ε > 0

14 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN14 con f(y n ) [x i, x i +1] e f(0) [x i, x i +1] per n bbstnz grnde segue che: U(P, f, β) L(P, f, β) > ε 0 Vicevers, supponimo che x i = 0. Supponimo per fissre le idee che y nk > 0 M i m i f(y nk ) f(0) > ε 0 per k bbstnz grnde segue che: quindi f / R(β). U(P, f, β) L(P, f, β) > 1 2 ε Teorem: Supponimo che f R(α) su [, b], m f M, φ è continu su [n, M], e h(x) = φ(f(x)) su [, b]. Allor h R(α) su [, b]. Dimostrzione: Sceglimo ε > 0. D qui φ è uniformemente continu su [m, M], dove esiste δ > 0 tle che δ < ε e φ(s) φ(t) < ε se s t δ e s, t [n, M]. Quindi f R(α), c è un prtizione P = {x o, x 1,..., x n } di [, b] tle che U(P, f, α) L(P, f, α) < δ 2 Abbimo M i, m i che hnno lo stesso significto dell definizione 1.1 e sino Mi, m i gli nloghi numeri per h. Divido i numeri 1,..., n in due clssi: i A se M i m i < δ, i B se M i m i δ.

15 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN15 Per i A, l nostr scelt di δ mostr che M i m i ε Per i B, M i m i 2K, dove K = sup φ(t) m t M. Con (18), bbimo δ i B cioè i B α i < δ. Ne segue che α i i B (M i m i ) α i < δ 2 U(P, f, α) L(P, f, α) = (Mi m i ) α i + i i A i B(M m i ) α i ε[α(b) α()] + 2K < ε[α(b) α() + 2K] Siccome ε è rbitrrio, il teorem 1.6 implic che h R(α). Proprietà degli integrli 1.12 Teorem: () Se f 1 R(α) e f 2 R(α) su [, b], llor cf R(α), c costnte, e f 1 + f 2 R(α) (f 1 + f 2 ) dα = f 1 dα + f 2 dα cf dα = c (b) Se f 1 (x) f 2 (x) su [, b], llor f 1 (x) dα f dα f 2 (x) dα (c) Se f R(α) su [, b] e se < c < b, llor f R(α) su [, c] e su [c, b], e c f dα + c f dα = f dα (d) Se f R(α) su [, b] e se f(x) M su [, b], llor

16 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN16 f dα M[α(b) α()] (e) Se f R(α 1 ) e f R(α 2 ), llor f R(α 1 + α 2 ) e f d(α 1 + α 2 ) = f dα 1 + f dα 2 se f R(α) e c è un costnte positiv, llor f R(cα) e f d(cα) = c f dα. Dimostrzione: Se f = f 1 + f 2 e P è un prtizione di [, b], llor bbimo: (20) L(P, f 1, α)+l(p, f 2, α) L(P, f, α) U(P, f, α) U(P, f 1, α)+u(p, f 2, α) Se f 1 R(α) e f 2 R(α), si ε > 0. C è llor un prtizione P j (j = 1, 2) tle che U(P j, f j, α) L(P j, f j, α) < ε Quest disequzione vle nche se P 1 e P 2 sono sostituiti d un loro comune rffinmento P. Allor (20) implic: U(P, f, α) L(P, f, α) < 2ε che prov che f R(α). Con lo stesso P bbimo: U(P, f j, α) < f j dα + ε (j = 1, 2).. quindi (20) implic: f dα U(P, f, α) < f 1 dα + Prendendo ε rbitrrio, si conclude che: (21) f dα f 1 dα + f 2 dα + 2ε f 2 dα Sostituendo f 1 e f 2 con f 1 e f 2, l disequzione è invertit.

17 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN17 Le dimostrzioni delle ltre ffermzioni del teorem 1.15 sono molto simili Teorem: Se f R(α) e g R(α) su [, b], llor () fg R(α) (b) f R(α) e f dα f dα. Dimostrzione: Se prendimo φ(t) = t 2, il teorem 1.11 mostr che f 2 R(α) se f R(α). L identità 4fg = (f + g) 2 (f g) 2 complet l dimostrzione di (). Se prendimo φ(t) = t, il teorem 1.11 f vedere in modo simile che f R(α). Sceglimo c = ±1, così che c f dα 0 Allor f dα = c f dα = cf dα f dα poichè cf f Definizione: L funzione sclino unitri I è definit come: { 0 x 0 I(x) = 1 x > Teorem: Se < s < b, f è limitt su [, b], f è continu in s, e α(x) = I(x s), llor f dα = f(s) Dimostrzione: Considerimo le prtizioni P = {x 0, x 1, x 2, x 3 }, dove x 0 =, e x 1 = s < x 2 < x 3 = b. Allor, U(P, f, α) = M 2 L(P, f, α) = m 2. Poiché f è continu in s, vedimo che M 2 e m 2 convergono f(s) qundo x 2 s Teorem: Supponimo che c n 0 per n = 1, 2, 3,... c n converg e che s n si un successione di punti distinti di (, b), e

18 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN18 (22) α(x) = Si f continu in [, b]. Allor c n I(x s n ) (23) f dα = c n f(s n ) Dimostrzione: Il metodo del confronto mostr che l serie (22) converge x. somm α(x) è evidentemente monoton, e α() = 0, α(b) = c n. Si ε > 0, e sceglimo N così che: L su Mettimo: n=n+1 c n < ε Con i teoremi 1.12 e 1.15, α 1 (x) = α 2 (x) = N c n I(x s n ) n=n+1 c n I(x s n ) (24) Poiché α 2 (b) α 2 () < ε, f dα 1 = N c n f(s n ) i=1 (25) f dα 2 Mε dove M = sup f(x). Poiché α = α 1 + α 2, ne segue d (24) e (25) che (26) Se N, ottenimo (23). f dα N c n f(s n ) Mε i=1

19 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN Teorem: Supponimo si α un funzione monoton crescente e α R su [, b]. Si f un funzione rele limitt su [, b]. Allor f R(α) se e solo se fα R. In tl cso: (27) f dα = f(x) α (x)dx Dimostrzione: Si ε > 0, pplichimo il teorem 1.6 α. C è un prtizione P = {x 0,..., x n } di [, b] tle che (28) U(P, α ) L(P, α ) < ε Il teorem del vlor medio ci fornisce punti t i [x i 1, x i ] tli che α i = α (t i ) x i per i = 1,..., n. Se s i [x i 1, x i ], llor: (29) n α (s i ) α (t i ) x i < ε i=1 con (28) e il teorem 1.7(b). Mettimo M = sup f(x). Poiché: n f(s i ) α i = i=1 ne segue d (29) che: n f(s i )α (t i ) x i i=1 (30) In prticolre, n f(s i ) α i i=1 n f(s i )α (s i ) x i Mε i=1 n f(s i ) α i U(P, f, α ) + Mε i=1 per ogni scelt di s i [x i 1, x i ], così che: U(P, f, α) U(P, fα ) + Mε Lo stesso rgionmento port d (30) : U(P, fα ) U(P, f, α) + Mε

20 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN20 Così: (31) U(P, f, α) U(P, fα ) Mε Or notimo che (28) rimne vero se P è sostituito d ogni suo rffinmento. Quindi nche (31) rimne vero. Si conclude che: con ε rbitrrio. Quindi: f dα f dα = f(x)α (x)dx Mε f(x) α (x) dx per ogni f limitt. L uguglinz dell integrle inferiore viene d (30) esttmente nello stesso modo Osservzioni: I due teoremi precedenti illustrno le generlità e le proprietà del processo di integrzione di Stieltjes. Se α è un funzion scl (questo è il nome dto lle funzioni dell form (22)), l integrle si riduce un serie finit o infinit. Se α h un derivt integrbile, l integrle si riduce l normle integrle di Riemnn. Questo rende possibile studire in molti csi serie e integrli contempornemente. Per illustrre questo punto, considerimo un esempio fisico. Il momento d inerzi di un filo rettilineo, di lunghezz unitri, ttorno d un sse pssnte per uno degli estremi, ortogonle l filo, ( ) I = 1 0 x 2 dm dove m(x) è l mss contenut in un intervllo [0, x]. Se il filo h densità continu φ, cioè, se m (x) = φ(x), llor segue che ( ) I = 1 0 x 2 φ(x) dx. D ltr prte, se il filo si compone di mss m i concentrt nei punti x i, si ottiene ( ) I = i x i m i.

21 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN21 Così (***) contiene (*) e (**) come csi prticolri, m contiene molto ltro; per esempio, il cso in cui m è continuo m non ovunque derivbile Teorem del cmbio di vribile: Supponimo ϕ si un funzione continu strettmente crescente che mpp un intervllo [A, B] in (, b). Supponimo α si monoton crescente su [, b] e f R(α) su [, b]. Definimo β e g su [, b] come: Allor g R(β) e: (32) β(y) = α(ϕ(y)) g(y) = f(ϕ(y)) (33) B A g dβ = f dα Dimostrzione: Per ogni prtizione P = {x 0,..., x n } di [, b] corrisponde un prtizione Q = {y 0,..., y n } di [A, B], così che x i = ϕ(y i ). Tutte le prtizioni di [A, B] sono ottenute in questo modo. Poiché i vlori presi d f su [x i 1, x i ] sono esttmente gli stessi di quelli presi d g su [y i 1, y i ], vedimo che: (34) U(Q, g, β) = U(P, f, α) L(Q, g, β) = L(P, f, α) Poiché f R(α), P può essere scelto così che entrmbi U(P, f, α) e L(P, f, α) sono chiusi dα. Quindi (34), insieme l teorem 1.6, ci mostr che g R(β) e che vle (33). Ciò complet l dimostrzione. Osservzione: Notimo il seguente cso specile: Prendimo α(x) = x. Allor β = ϕ. Assumimo che ϕ R su [A, B]. Se il teorem 1.17 è pplicto entrmbe le prti di (33), ottenimo: (35) f(x) dx = B A f(ϕ(y))ϕ (y)dy

22 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN22 INTGRAZION DIFFRNZIAZION: Mostrimo come integrzione e differenzizione, sono, in un certo senso, due operzioni inverse Teorem: Si f R su [, b]. Per x b, ponimo: F (x) = x f(t) dt Allor F è continu su [, b]; ncor, se f è continu in x 0 [, b], llor F è derivbile in x 0, e F (x 0 ) = f(x 0 ) Dimostrzione: Poiché f R, f è limitt. Supponimo f(t) M, per t b. Se x < y b, llor: F (y) F (x) = per i teoremi 1.12 (c) e (d). Dto ε > 0, si vede che: y x f(t) dt M(y x) F (y) F (x) < ε Ciò mostr che y x < ε M. Questo prov l continuità di F. Or supponimo f continu in x 0. Dto ε > 0, scelto δ > 0 tle che: f(t) f(x 0 ) < ε se t x 0 < δ, e t b. Quindi, se x 0 δ s x 0 t < x 0 + δ e s < t b, bbimo, col teorem 1.12(d), F (t) F (s) t s f(x 0 ) = Segue che F (x 0 ) = f(x 0 ). 1 t [f(u) f(x 0 )] du ε t s s

23 CAPITOLO 1. DFINIZION D SISTNZA DLL INTGRAL DI RIMANN Il teorem fondmentle del clcolo Se f R su [, b] e se c è un funzione derivbile F su [, b] tle che F = f, llor f(x) dx = F (b) F () Dimostrzione: Si ε > 0. Scelgo un prtizione P = {x 0,..., x n } di [, b] tle che U(P, f) L(P, f) < ε. Il teorem del vlor medio fornisce punti t j [x i 1, x i ] tle che Così: F (x i ) F (x i 1 ) = f(t i ) x i i = 1,..., n n f(t i ) x i = F (b) F () i=1 Or segue dl teorem 1.7(c) che F (b) F () f(x) dx < ε Perciò vle ε > 0, l dimostrzione è quindi complet. Osservzione: Osservimo che se f è continu, l esistenz di un funzione derivbile F con F = f è ssicurt dl teorem Teorem (integrzione per prti): Supponimo F e G sino due funzioni derivbili su [, b], F = f R, e G = g R. Allor F (x) g(x) dx = F (b)g(b) F ()G() f(x) G(x) dx Dimostrzione: Mettimo H(x) = F (x)g(x) e pplico il teorem 1.21 d H e ll su derivt. Notimo che H R, per il teorem 1.13.

24 Cpitolo 2 L teori di Lebesgue Lo scopo di questo secondo cpitolo è quello di presentre i concetti fondmentli dell teori di Lebesgue dell misur e dell integrzione, per vederne i vntggi e nche l fine di fre un confronto, nel terzo cpitolo, con l integrzione secondo Riemnn. Se A e B sono due insiemi, scrivimo A B per identificre l insieme di tutti gli elementi x tli che x A,x / B. L notzione A B non implic che B A. Denotimo l insieme vuoto con. Si dice che A e B sono disgiunti se A B =. 2.1 Definizione: Un fmigli R di insiemi è chimt un lgebr se A R e B R implic: (1) A B R A B R Poiché A B = A (A B), bbimo nche che A B R, se R è un lgebr. Un lgebr R è chimt σ-lgebr se: (2) A n R ogni volt che A n R(n = 1, 2,...) Poiché A n = A 1 (A 1 A n ), bbimo nche che A n R 24

25 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 25 se R è un σ-lgebr. 2.2 Definizione: Si dice che φ è un funzione di insieme definit su R se φ ssegn per ogni A R un numero φ(a) del sistem dei numeri reli esteso. φ è dditiv se A B = ed implic: (3) φ(a B) = φ(a) + φ(b) e φ è numerbilmente dditiv se A i A j = (i j) implic: (4) φ( A n ) = φ(a n ) Supponimo che l immgine di φ non conteng si + che, in modo che l prte destr di (3) non perd di significto. interessnte notre che l prte sinistr di (4) è indipendente dll ordine in cui, gli A n sono scritti. Quindi il teorem di rirrngimento mostr che l prte destr di (4) deve convergere ssolutmente se converge; se non converge, le somme przili tendono +, o. Se φ è dditiv, le proprietà seguenti sono verificbili fcilmente: (5) φ( ) = 0 se A i A j = 0 per ogni i j. (6) φ(a 1... A n ) = φ(a 1 ) φ(a n ) (7) φ(a 1 A 2 ) + φ(a 1 A 2 ) = φ(a 1 ) + φ(a 2 ). Se poi φ(a) 0 A, e A 1 A 2, llor (8) φ(a 1 ) φ(a 2 ) A cus di (8), le funzioni di insieme dditive non negtive sono spesso chimte monotone. se B A, e (φb) < + (9) φ(a B) = φ(a) φ(b)

26 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU Teorem: Supponimo che φ si numerbilmente dditiv su un lgebr R. Supponimo A n R (n = 1, 2, 3,...), A 1 A 2 A 3..., A R, e: Allor, se n, A = A n φ(a n ) φ(a) Dimostrzione: Mettimo B 1 = A 1, e B n = A n A n 1 (n = 2, 3,...) Allor B i B j = 0 per i j, A n = B 1... B n e A = B n. Quindi: e φ(a n ) = φ(a) = n φ(b i ) i=1 φ(b i ) i=1 COSTRUZION DLLA MISURA DI LBSGU 2.4 Definizione: Si R P lo spzio euclideo P -dimensionle. Con un intervllo in R P intendimo l insieme di punti x = {x 1,..., x P } tle che: (10) i x i b i (i = 1,..., P ) dove qulcuno (o tutti) i segni può eventulmente essere sostituito con <. L possibilità che i = b i per ogni vlore di i non è esclus; in prticolre, l insieme vuoto è incluso fr gli intervlli. Se A è l unione di un numero finito di intervlli, A è detto un insieme elementre. Se I è un intervllo, definimo:

27 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 27 m(i) = P (b i i ), i=1 non import se l equglinz è inclus o esclus in un delle disequzioni (10). Se A = I 1... I n, e se questi intervlli sono due due disgiunti, ponimo: (11) m(a) = m(i 1 ) m(i n ) Denotimo l fmigli di tutti i sottoinsiemi elementri di R P. A questo punto, si possono verificre le seguenti proprietà: (12) è un lgebr, m non un σ-lgebr. (13) Se A, llor A è unione di un numero finito di intervlli disgiunti. (14) Se A, m(a) è ben definito d (11); cioè, se due differenti scomposizioni di A in intervlli disgiunti sono uste, ciscun definisce lo stesso vlore di m(a). (15) m è dditiv su. Notre che se p = 1, 2, 3 llor m coincid rispettivmente con lunghezz, re e volume. 2.5 Definizione: Un funzione di insieme dditiv non negtiv φ definit su è dett regolre se per ogni A e ε > 0 esistono insiemi F, G tli che F è chiuso, G è perto, F A G, e (16) φ(g) ε φ(a) φ(f ) + ε 2.6 sempi: () L funzione di insieme m è regolre. Se A è un intervllo, è ovvio che i requisiti dell definizione 2.5 sono soddisftti. Il cso generle segue d (13). (b) Prendimo R P = R 1. Si α un funzione crescente monoton, definit per tutti i numeri reli x. Mettimo: µ([, b)) = α(b ) α( ) µ([, b]) = α(b+) α( ) µ((, b]) = α(b+) α(+)

28 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 28 µ((, b)) = α(b ) α(+) dove [, b) è l insieme x < b, ecc. A cus dell possibile discontinuità di α, questi csi devono essere distinti. Se µ è definit per insiemi elementri come in (11), µ è regolre su. L dimostrzione è simile quell di (). Il nostro prossimo obiettivo è dimostrre che ogni funzione di insieme regolre su può essere estes un funzione di insieme numerbilmente dditiv su un σ-lgebr che contiene. 2.7 Definizione: Si µ dditiv, regolre, non negtiv e finit su. Considerimo i ricoprimenti numerbili di ogni insieme R P con perti elementri A n : Definimo: A n (17) µ () = inf µ(a n ) dove l inf è ftto su tutti i ricoprimenti numerbili di con insiemi elementri perti. µ () è chimt l misur estern di, corrispondente µ. chiro che µ () 0, e che: se 1 2. (18) µ ( 1 ) µ ( 2 ) 2.8 Teorem: () A, µ (A) = µ(a) (b) Se = n, llor: (19)µ () µ ( n ) Notre che () fferm che µ è un estensione di µ d ll fmigli di tutti i sottoinsiemi di R P. L proprietà (19) è chimt subddittività.

29 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 29 Dimostrzione: Scelgo A e ε > 0. L regolrità di µ mostr che A è contenuto in un perto elementre G tle che µ(g) µ(a) + ε. Perciò µ (A) µ(g) e siccome ε er rbitrrio, bbimo: (20) µ (A) µ(a) L definizione di µ mostr che c è un successione {A n } di insiemi perti elementri l cui unione contiene A, tle che: µ(a n ) µ (A) + ε L regolrità di µ mostr che A contiene un insieme elementre chiuso F tle che µ(f ) µ(a) ε; e siccome F è comptto, bbimo: per un certo N. Quindi: F A 1... A N µ(a) µ(f ) + ε µ(a 1... A N ) + ε µ(a n ) + ε µ (A) + 2ε In congiunzione con (20), questo prov (). Or, supponimo = n, e ssumimo che µ ( n ) < +, n. Dt ε > 0, ricoprimenti {A nk }, k = 1, 2, 3,..., di n con insiemi elementri perti tli che: Allor: (21) µ(a nk ) µ ( n ) + 2 n ε k=1 µ () k=1 µ(a nk ) µ ( n ) + ε e (19) segue. Nel cso escluso, cioè qundo µ ( n ) = + per un certo n, (19) è ovvi.

30 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU Definizione: Per certi A R P, B R P, definimo: (22) S(A, B) = (A B) (B A) Scrivimo A n A se: (23) d(a, B) = µ (S(A, B)) lim d(a, A n) = 0 n Se c è un successione {A n } di insiemi elementri tle che A n A, si dice che A è finitmente µ-misurbile e si scrive A M F (µ). Se A è l unione di un collezione numerbile di insiemi finitmente µ- misurbili, si dice che A è µ-misurbile e si scrive A M(µ). S(A, B) è l cosiddett differenz simmetric di A e B. Vedremo che d(a, B) è essenzilmente un funzione distnz. Il seguente teorem ci permetterà di ottenere l estensione desidert di µ Teorem: M(µ) è un σ-lgebr, e µ è numerbilmente dditiv su M(µ). Prim che ndimo ll dimostrzione di questo teorem, vedimo in dettglio lcune delle proprietà di S(A, B) e di d(a, B). Abbimo: (24) S(A, B) = S(B, A) S(A, A) = 0 (26) (25) S(A, B) S(A, C) S(C, B) S(A 1 A 2, B 1 B 2 ) S(A 1 A 2, B 1 B 2 ) S(A 1 A 2, B 1 B 2 ) (24) è ovvi, e (25) segue d: S(A 1, B 1 ) S(A 2, B 2 ) (A B) (A C) (C B) (B A) (C A) (B C) L prim formul di (26) è ottenut d: (A 1 A 2 ) (B 1 B 2 ) (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )

31 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 31 Or, scrivendo C, complementre di, bbimo: S(A 1 A 2, B 1 B 2 ) = S(A C 1 A C 2, B C 1 B C 2 ) S(A C 1, B C 1 ) S(A C 2, B C 2 ) = S(A 1, B 1 ) S(A 2, B 2 ) e l ultim formul di (26) si ottiene se si not che: A 1 A 2 = A 1 A C 2 Con (23), (19) e (18), le proprietà ppen viste di S(A, B) implicno: (27) d(a, B) = d(b, A) d(a, A) = 0 (29) (28) d(a, B) d(a, C) + d(c, B) d(a 1 A 2, B 1 B 2 ) d(a 1 A 2, B 1 B 2 ) d(a 1 A 2, B 1 B 2 ) d(a 1, B 1 ) + d(a 2, B 2 ) Le relzioni (27) e (28) mostrno che d(a, B) soddisf i requisiti dell definizione di distnz, eccetto che d(a, B) = 0 non implic A = B. Per esempio, se µ = m, A è numerbile, B è vuoto, bbimo: d(a, B) = m (A) = 0 per vedere questo, si ricopre l n-esimo punto di A con un intervllo I n così che: m(i n ) < 2 n ε M se si definiscono due insiemi A e B equivlenti, qundo: d(a, B) = 0 dividimo i sottoinsiemi di R P in clssi di equivlenz e d(a, B) rende l insieme di queste clssi di equivlenz uno spzio metrico. M F (µ) è visto quindi come l chiusur di rispetto ll topologi indott d d. Quest interpretzione non è essenzile per l dimostrzione, m spieg l ide di fondo. Abbimo quindi bisogno di un nuov proprietà di d(a, B), vle dire: (30) µ (A) µ (B) d(a, B)

32 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 32 se lmeno uno tr µ (A), µ (B) è finito. Supponimo 0 µ (B) µ (A) llor (28) mostr che: cioè, d(a, ) d(a, B) + d(b, ) Perciò µ (B) è finito e segue che: µ (A) d(a, B) + µ (B) µ (A) µ (B) d(a, B) Dimostrzione del teorem 2.10 Supponimo che A M F (µ), B M F (µ). Sceglimo {A n }, {B n }, così che A n, B n, A n A, B n B. Allor (29) e (30) mostrno che: (31) A n B n A B (32) A n B n A B (33) A n B n A B (34) µ (A n ) µ (A) e µ (A) < +, perciò d(a n, A) 0. un lgebr. Con (7), µ(a n ) + µ(b n ) = µ(a n B n ) + µ(a n B n ) Con (31) e (33), M F (µ) è Con n, ottenimo, con (34) e con il teorem 2.8(), µ (A) + µ (B) = µ (A B) + µ (A B) se A B =, llor µ (A B) = 0. Segue che µ è dditiv su M F (µ). Or si A M(µ). Allor A può essere rppresentt come l unione di un fmigli numerbile di insiemi disgiunti di M F (µ). Se A = A n con A n M F (µ), scrivimo A 1 = A 1, e:

33 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 33 Allor: A n = (A 1... A n) (A n... A n 1) n = 2, 3, 4,... (35) A = è l rppresentzione richiest. Con (19): (36) µ (A) A n µ (A n ) D ltr prte, A A 1... A n ; e con l ddittività di µ su M F (µ) ottenimo: (37) µ (A) µ (A 1... A n ) = µ (A 1 ) µ (A n ) Le equzioni (36) e (37) implicno: (38) µ (A) = µ (A n ) Supponimo µ (A) finito. Ponimo B n = A 1... A n. Allor (38) mostr che: d(a, B n ) = µ ( i=n+1 A i ) = i=n+1 µ (A i ) 0 per n. Quindi B n A; ed essendo B n M F (µ), è fcile vedere che A M(µ) e µ (A) < +. chiro che µ è numerbilmente dditiv su M(µ). Perciò se A = A n, dove {A n } è un successione di insiemi disgiunti di M(µ), bbimo dimostrto che (38) vle se µ (A n ) < + n, e nell ltro cso (38) è ovvi. Concludendo, bbimo dimostrto che M(µ) è un σ-lgebr. Se A n M(µ), n = 1, 2, 3,..., è chiro che A n M(µ). Supponimo A M(µ), B M(µ), e: A = A n B = dove A n, B n M F (µ). Allor l identità: B n

34 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 34 A n B = (A n B i ) i=1 mostr che A n B M(µ); e poiché: µ (A n B) µ (A n ) < + A n B M F (µ). Quindi A n B M F (µ), e A B M(µ) poiché: A B = (A n B) Or sostituimo µ (A) con µ(a) se A M(µ). Così µ, originrimente definit solo su, è estes lle funzioni di insieme numerbilmente ddittive sull σ-lgebr M(µ). Quest funzione di insieme estes è chimt misur. Il cso specile µ = m è chimt l misur di Lebesgue su R P. Osservzioni: () Se A è perto, llor A M(µ). Inftti ogni insieme perto di R P è l unione di un collezione numerbile di intervlli perti. Per vedere questo, bst costruire un bse numerbile i cui membri sono intervlli perti. Prendendo i complementri, segue che ogni insieme chiuso è in M(µ). (b) Se A M(µ) e ε > 0, llor esistono due insiemi F e G tli che F A G, dove F è chiuso, G è perto, e (39) µ(g A) < ε, µ(a F ) < ε. L prim disequzione vle poiché µ er definit con ricoprimenti per insiemi elementri perti. L second disequzione llor segue prendendo i complementri. (c) Definimo l σ-lgebr di Borel B come l più piccol σ-lgebr che contiene tutti gli insiemi perti. Per l osservzione (), M(µ) se B. (d) Se A M(µ), esistono insiemi di Borel F e G tli che F A G, e: (40) µ(g A) = µ(a G) = 0. Questo segue d (b) se prendimo ε = 1 e n. n Siccome A = F (A F ), vedimo che ogni A M(µ) è unione di un insieme di Borel e un insieme di misur 0. Gli insiemi di Borel sono µ-misurbili µ. M gli insiemi di misur 0 (cioè, gli insiemi per cui µ () = 0 possono essere differenti per diversi µ.

35 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 35 (e) µ, gli insiemi di misur 0 formno un σ-lgebr. (f) Nel cso dell misur di Lebesgue, ogn insieme numerbile h misur 0. M ci sono insiemi non numerbili (inftti, perfetti) di misur 0. L insieme di Cntor può essere preso come esempio. SPAZI DI MISURA: 2.12 Definizione: Supponimo X si un insieme, non necessrimente un sottoinsieme di uno spzio euclideo, o di qulsisi spzio metrico. X è detto uno spzio di misur se esiste un σ-lgebr di M di sottoinsiemi di X (che sono chimti insiemi misurbili) e un funzione di insieme numerbilmente dditiv non negtiv µ (che è dett un misur), definit su M. Se, in ggiunt, X M, llor X è detto uno spzio misurbile. Per esempio, possimo prendere X = R P, M l collezione di tutti i sottoinsiemi misurbili secondo Lebesgue di R P, e µ misur di Lebesgue. Oppure, si X l insieme degli interi positivi, M l collezione di tutti i sottoinsiemi di X, e µ() il numero degli elementi di. Un ltro esempio è fornito dll teori dell probbilità, dove gli eventi possono essere considerti insiemi, e l probbilità dell occorrenz degli eventi è un funzione di insieme dditiv (o numerbilmente dditiv). Nell prossim sezione trtteremo sempre con spzi misurbili. conveniente introdurre l notzione: (41) {x P } per l insieme di tutti gli elementi x che hnno l proprietà P. FUNZIONI MISURABILI 2.13 Definizione: Si f un funzione definit sullo spzio misurbile X, con vlori nel sistem dei numeri reli esteso. L funzione f è dett misurbile se l insieme: è misurbile R. (42) {x f(x) > } 2.14 sempio: Se X = R P e M = M(µ) come definito dell definizione 2.9, ogni f continu è misurbile, poiché llor (42) è un insieme perto.

36 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU Teorem: Ognun delle seguenti quttro condizioni implic le ltre tre: (43){x f(x) > } è misurbile R (44){x f(x) } è misurbile R (45){x f(x) < } è misurbile R (46){x f(x) } è misurbile R Dimostrzione: Le relzioni: {x f(x) } = {x f(x) > 1 n } {x f(x) < } = X {x f(x) } {x f(x) } = {x f(x) < + 1 n } {x f(x) > } = X {x f(x) } mostrno successivmente che (43) implic (44); (44) implic (45); (45) implic (46) e (46) implic (43). Quindi qulsisi di queste condizioni può essere ust l posto di (42) per definire l misurbilità Teorem: Se f è misurbile, llor f è misurbile. Dimostrzione: {x t.c. f(x) < } = {x t.c.f(x) < } {x t.c.f(x) > } 2.17 Teorem: Si {f n } un successione di funzioni misurbili. Per x X, ponimo: g(x) = sup f n (x) (n = 1, 2, 3,...) h(x) = lim x sup f n (x) Allor g e h sono misurbili. Lo stesso è ovvimente vero per l inf e il lim inf. Dimostrzione: {x g(x) > } = {x f n (x) > } h(x) = inf g m (x) dove g m (x) = sup f n (x) (n m)

37 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 37 Corollri: () Se f e g sono misurbili, llor mx(f, g) e min(f, g) sono misurbili. Se: (47) f + = mx(f, 0) f = min(f, 0) ne segue, in prticolre, che f + e f sono misurbili. (b) Il limite di un successione convergente di funzioni misurbili è misurbile. L () segue dl ftto che se f e g sono funzioni misurbili, llor mx f, g e min(f, g) sono misurbili nel loro dominio perchè mx{f, g} = sup{f, g, g, g, g,...}. Bst poi prendere g = Teorem: Sino f, g funzioni misurbili vlori reli definite su X, si F rele e continu su R 2, e ponimo: h(x) = F (f(x), g(x)) (x X) Allor h è misurbile. In prticolre, f + g e fg sono misurbili. Dimostrzione: Si G = {(u, v) F (u, v) > } Allor G è un sottoinsieme perto di R 2, e possimo scrivere: G = I n, dove {I n } è un successione di intervlli perti: Perciò: I n = {(u, v) n < u < b n, c n < v < d n }. {x n < f(x) < b n } = {x f(x) > n } {x f(x) < b n } è misurbile. Ne segue che nche l insieme: {x (f(x), g(x)) I n } = {x n < f(x) < b n } {x c n < g(x) < d n } è misurbile. Quindi lo stesso è vero di:

38 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 38 {x h(x) > } = {x (f(x), g(x)) G } = {x (f(x), g(x)) I n } Rissumendo, possimo dire che tutte le operzioni ordinrie di nlisi, incluse le operzioni di limite, qundo pplicte funzioni misurbili, dnno funzioni misurbili. FUNZIONI SMPLICI: 2.19 Definizione: Si s un funzione vlori reli definit su X. Se l immgine di s è finit, possimo dire che s è un funzione semplice. Si X, e ponendo: { 1 x (48) K (x) = 0 x / K è chimt l funzione crtteristic di. Supponimo che l immgine di s consist nei numeri distinti c 1,..., c n. Si: Allor: i = {x s(x) = c i } (i = 1,..., n) (49) s = n c i K i, cioè, ogni funzione semplice è l combinzione linere di funzioni crtteristiche. chiro che s è misurbile se e solo se gli insiemi 1,..., n sono misurbili. interessnte che ogni funzione può essere pprossimt con funzioni semplici Teorem: Si f un funzione rele su X. Allor esiste un successione {s n } di funzioni semplici così che s n (x) f(x) per n, x X. Se f è misurbile, {s n } può essere scelt come un successione di funzioni misurbili. Se f 0, {s n } può essere scelt come un successione monoton crescente.

39 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 39 Dimostrzione: Se f 0, definimo: ni = {x i 1 2 n f(x) < i 2 n }, F n = {x f(x) n} per n = 1, 2, 3,... i = 1, 2,..., n2 n. Ponimo: (50) s n = n i=1 2 n i 1 2 n K ni + nk Fn. Nel cso generle, si f = f + f, e pplico l precedente costruzione f + e f. Si noti che l successione {s n } dt d (50) converge uniformemente f se f è limitt. INTGRAZION Definimo l integrzione su uno spzio misurbile X, nel qule M è l σ-lgebr di insiemi misurbili, e ν è l misur. Se si volesse visulizzre un situzione più concret si può pensre che X si l rett rele, o un intervllo, e ν si l misur di Lebesgue m Definizione: Supponimo che l funzione semplice: (51) s(x) = n c i K i (x) (x X, c i > 0) i=1 si misurbile, e supponimo M. Definimo: (52) I (s) = n c i ν( i ). i=1 Se f è misurbile e non negtiv, definimo (53) f dν = sup I (s), dove il sup è preso su tutte le funzioni semplici misurbili s tli che 0 s f.

40 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 40 Il membro sinistro di (53) è chimto integrle di Lebesgue di f, rispetto ll misur ν, sull insieme. Si noti che l integrle può nche vere vlore +. fcile verificre che: (54) s dν = I (s) per ogni funzione semplice misurbile non negtiv s Definizione: Si f misurbile, e considerimo i due integrli: (55) f + dν, f dν, dove f + e f sono definite come in (47). Se lmeno uno degli integrli (55) è finito, definimo: (56) f dν = f + dν f dν. Se entrmbi gli integrli (55) sono finiti, llor (56) è finito, e dicimo che f è integrbile su secondo Lebesgue rispetto µ; scrivimo f L(µ) su. Se µ = m, l notzione solitmente ust è: f L su. L nostr terminologi può fre confusione. Se (56) è + o, llor l integrle di f su è definito, m f non è integrbile: f è integrbile su se e solo se il suo integrle su è finito. Osservzioni: Le seguenti proprietà sono evidenti: () Se f è misurbile e limitt su, e se ν() < +, llor f L(ν) su. (b) Se f(x) b per x, e ν() < +, llor ν() f dν bν() (c) Se f e g L(ν) su, e se f(x) g(x) per x, llor f dν g dν (d) Se f L(ν) su, llor cf L(ν) su, c costnte, e c f dν = c f dν (e) Se ν() = 0, e f è misurbile, llor f dν = 0 (f) Se f L(ν) su, A M, e A, llor f L(ν) su A.

41 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU Teorem: () Supponimo che f si misurbile e non negtiv su X. Per A M, definimo: (57) Φ(A) = f dν. Allor Φ è numerbilmente dditiv su M. (b) L stess conclusione vle se f L(ν) su X. Dimostrzione: chiro che (b) segue d () scrivendo f = f + f e pplicndo () f + e f. Per provre (), dobbimo mostrre che: (58) Φ(A) = Φ(A n ) A se A n M(n = 1, 2, 3,...), A i A j = 0 per i j, e A = 1 A n. Se f è un funzione crtteristic, llor l numerbilità dditiv di Φ viene dll numerbilità dditiv di ν, quindi: K dν = ν(a ) A Se f è semplice, llor f è dell form (51), e l conclusione vle ncor. Nel cso generle, bbimo, per ogni funzione semplice misurbile s così che 0 s f, Quindi, d (53), (59) A s dν = Φ(A) A n s dν Φ(A n ) Φ(A n ) Or se Φ(A n ) = + per un certo n. (58) è ovvi, perciò Φ(A) Φ(A n ). Supponimo Φ(A n ) < + per ogni n. Dto ε > 0, possimo scegliere un funzione semplice s così che 0 s f, e così che (60) s dν A 1 f dν ε, A 1

42 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 42 Quindi s dν f dν ε A 2 A 2 Φ(A 1 A 2 ) s dν = A 1 A 2 s dν + A 1 s dν Φ(A 1 ) + Φ(A 2 ) 2ε, A 2 così che Φ(A 1 A 2 ) Φ(A 1 ) + Φ(A 2 ) Ne segue che bbimo, per ogni n, (61) Φ(A 1... A n ) Φ(A 1 ) Φ(A n ). Poiché A A 1... A n, (61) implic: (62) Φ(A) Φ(A n ), e (58) segue d (59) e (62). Corollrio: Se A M, B A e ν(a B) = 0, llor: f dν = f dν. A Poiché A = B (A B), questo segue dll osservzione 11.23(e) Osservzioni: Il precedente corollrio mostr che gli insiemi di misur 0 sono trscurbili nell integrzione. Scrivimo f g su se l insieme B {x f(x) g(x)} h misur 0. Allor f f; f g implic g f; e f g, g h implic f h. Cioè, l relzione è un relzione d equivlenz. Se f g su, chirmente bbimo: f dν = g dν, A A

43 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 43 purchè gli integrli esistno, per ogni sottoinsieme misurbile A di. Se un proprietà P vle x A, e se ν(a) = 0, è consuetudine dire che P vle per qusi tutti gli x, o che P vle qusi ovunque su Teorem: Se f L(ν) su, llor f L(ν) su, e: (63) f dν f dν Dimostrzione: Scrivimo = A B, dove f(x) 0 su A e f(x) < 0 su B. Con il teorem 2.24, f dν = f dν + A B f dν = f + dν + f dν < +, A B così che f L(ν). Poiché f f e f f, vedimo che: f dν f dν f dν f dν, e (63) segue. Poiché l integrbilità di f implic l integrbilità di f, l integrle di Lebesgue è spesso chimto un integrle ssolutmente convergente. nturlmente possibile definire integrli convergenti m non ssolutmente convergenti. Questi integrli però mncno di lcune utili proprietà degli integrli di Lebesgue e svolgono un ruolo meno importnte in nlisi Teorem: Supponimo f misurbile su, f g, e g L(ν) su. f L(ν) su. Allor Dimostrzione: Abbimo f + g e f g.

44 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU Teorem dell convergenz monoton di Beppo-Levi: Supponimo M. Si {f m } un successione di funzioni misurbili così che: (64) 0 f 1 (x) f 2 (x)...(x ) Si f definit d: (65) con n. Allor: (66) f(x) = sup f n (x) (x ) n f n dν f dν (n ) Dimostrzione: Con (64) è evidente che, con n tendente infinito, (67) f n dν α per un certo α; e poiché f n f, bbimo: (68) α f dν. Sceglimo c così che 0 < c < 1, e si s un funzione semplice misurbile tle che 0 s < f. Posto: n = {x f n (x) cs(x)} (n = 1, 2, 3,...) Con (64), ; e con (65), (69) = Per ogni n, (70) n f n dν f n dν c n s dν. n Fccimo il limite per n in (70). Poiché l integrle è un funzione di insieme numerbilmente dditiv (per il teorem 2.24), (69) mostr che possimo pplicre il teorem 2.3 ll ultimo integrle in (70), e ottenimo:

45 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 45 (71) α c s dν Fcendo tendere c 1, si vede che: α s dν e (53) implic: (72) α Il teorem segue d (67), (68) e (72). f dν Teorem: Supponimo f = f 1 + f 2, dove f i L(ν) su con i = 1, 2. Allor f L(ν) su, e: (73) f dν = f 1 dν + f 2 dν. Dimostrzione: Prim cos, supponimo che f 1 0, f 2 0. Se f 1 e f 2 sono semplici, (73) segue bnlmente d (52) e (54). Altrimenti, scelgo successioni monotone crescenti {s n}, {s n} di funzioni semplici misurbili non negtive che convergono f 1, f 2. Il teorem 2.20 mostr che ciò è possibile. Ponendo s n = s n + s n. Allor: s n dν = s n dν + s n dν, e (73) segue per n tendente infinito e ppellndosi l teorem Supponimo poi che f 1 0, f 2 0. Ponimo: A = {x f(x) 0}, B = {x f(x) < 0}. Allor f, f 1, f 2 sono non negtivi su A. Quindi: (74) f 1 dν = f dν + ( f 2 ) dν = f dν A A A A A f 2 dν Allo stesso modo, f, f 1, f 2 sono non negtivi su B, così che:

46 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 46 B o: (75) ( f 2 ) dν = B f 1 dν = B B f 1 dν + f dν B B ( f) dν, f 2 dν, e (73) segue se ggiungimo (74) e (75). Nel cso generle, può essere decomposto in quttro insiemi i su cui ciscuno f 1 (x) e f 2 (x) sono di segno costnte. I due csi che bbimo dimostrto finor implicno: f dν = i f 1 dν + i f 2 ; dν i (i = 1, 2, 3, 4) e (73) segue ggiungendo queste quttro equzioni. Simo or in un posizione per poter riformulre il teorem 2.28 utilizzndo il concetto di serie Teorem: Supponimo M. Se {f n } è un successione di funzioni misurbili non negtive e: (76) f(x) = f n (x) (x ) llor f dν = f n dν. Dimostrzione: Le somme przili di (76) formno un successione monoton crescente Teorem di Ftou: Supponimo M. Se {f n } è un successione di funzioni misurbili non negtive e: llor: f(x) = lim n inf f n (x) (x ),

47 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 47 (77) f dν lim n inf f n dν. Dimostrzione: Per n = 1, 2, 3,... e x, ponendo: Allor g n è misurbile su, e g n (x) = inf f i (x) (x n) (78) 0 g 1 (x) g 2 (x)... (79) g n (x) f n (x) (80) g n (x) f(x) (n ) Con (78), (80) e il teorem 2.28, (81) g n dν così che (77) segue d (79) e (81). f dν, 2.32 Teorem dell convergenz domint di Lebesgue: Supponimo M. Si {f n } un successione di funzioni misurbili tli che: (82) f n (x) f(x) (x ) con n. Se esiste un funzione g L(ν) su, tle che: (83) f n (x) g(x) (n = 1, 2, 3,..., x ), llor: (84) lim f n dν = f dν. n A cus di (83), {f n } è detto essere dominto d g, e si prl di convergenz domint. Con l osservzione 2.25, l conclusione è l stess se (82) vle qusi ovunque su.

48 CAPITOLO 2. LA TORIA DI LBSGU 48 Dimostrzione: Per prim cos, (83) e il teorem 2.27 implicno che f n L(ν) e f L(ν) su. Poiché f n + g 0, il teorem di Ftou mostr che: (f + g) dν lim inf (f n + g) dν n o (85) f dν lim f n dν. n Poiché g f n 0, vedimo similrmente che (g f) dν lim (g f n ) dν, n così che: f dν lim lim inf[ f n dν], n che è lo stesso di (86) f dν lim sup f dν. n L esistenz del limite in (84) e l equzione in (84) seguono d (85) e (86). Corollrio: Se ν() < +, {f n } è uniformemente limitt su, e f n (x) f(x) su, llor (84) vle.

49 Cpitolo 3 Confronto integrle Riemnn e integrle Lebesgue Il prossimo teorem mostr che ogni funzione limitt che è integrbile secondo Riemnn su un intervllo chiuso e limitto è nche integrbile secondo Lebesgue, e che le funzioni integrbili secondo Riemnn sono soggette delle condizioni rigorose di continuità. Oltre l ftto che l teori di Lebesgue ci permette di integrre un clsse molto più mpi di funzioni, il vntggio più grnde si trov nell fcilità con cui i pssggi l limite possono essere effettuti. Si X lo spzio di misur dell intervllo [, b] sull rett rele, con ν = m (l misur di Lebesgue), e M l fmigli di sottoinsiemi misurbili secondo Lebesgue su [, b]. Invece di: f dm è consueto scrivere: X f dx per l integrle di Lebesgue di f su [, b]. Per distinguere gli integrli di Riemnn d quelli di Lebesgue, or denoteremo questi ultimi con: R f dx. 49

50 CAPITOLO 3. CONFRONTO INTGRAL RIMANN INTGRAL LBSGU Teorem: Se f R su [, b], llor f L su [, b], e (87) f dx = R f dx Inoltre, f R su [, b] se e solo se f è continu qusi ovunque su [, b]. Dimostrzione: Per l definizione 1.1 e il teorem 1.4 esiste un successione {P k } di prtizioni di [, b], così che P k+1 è un rffinmento di P k. Quindi l distnz tr punti dicenti di P k è minore di 1, e così che: k (88) lim L(P k, f) = R f dx, k lim U(P k, f) = R k f dx. In quest dimostrzione tutti gli integrli sono presi su [, b] Se P k = {x 0, x 1,..., x n } con x 0 = 0, x n = b, definimo: U k () = L k () = f(); Messo U k (x) = m i e L k (x) = m i per x i 1 < x x i e 1 i n. Allor: (89) L(P k, f) = L k dx U(P k, f) = U k dx e (90) L 1 (x) L 2 (x)... f(x)... U 2 (x) U 1 (x) per tutti glix [, b], poiché P k+1 rffin P k. Per (90), esistono: (91) L(x) = lim k L k (x), U(x) = lim k U k (x) Osservre che L e U sono funzioni misurbili limitte su [, b], e che: e che: (92) L(x) f(x) U(x) ( x b) (93) L dx = R f dx

51 CAPITOLO 3. CONFRONTO INTGRAL RIMANN INTGRAL LBSGU51 U dx = R f dx con (88), (90), e il teorem dell convergenz monoton. Finor, niente è stto presupposto su f trnne che f si un funzione rele limitt su [, b]. Per completre l dimostrzione, si deve notre che f R se e solo se il suo integrle superiore e il suo integrle inferiore secondo Riemnn sono uguli, quindi se e solo se: (94) L dx = U dx. poiché L U, (94) vle se e solo se L(x) = U(x) per qusi tutti x [, b]. In questo cso, (92) implic che: (95) L(x) = f(x) = U(x) qusi ovunque su [, b], così che f è misurbile, e (87) segue d (93) e (95). Ancor, se x non pprtiene nessun P k, è bbstnz fcile vedere che U(x) = L(x) se e solo se f è continu su x. Poiché l unione degli insiemi P k è numerbile, l su misur è 0, e concludimo che f è continu qusi ovunque su [, b] se e solo se L(x) = U(x) qusi ovunque, quindi (come bbimo visto sopr) se e solo se f R. Questo complet l dimostrzione. L connessione fmilire tr integrzione e differenzizione è in lrg misur estendibile ll Teori di Lebesgue. Se f L su [, b], e: (96) F (x) = x f dt ( x b), llor F (x) = f(x) qusi ovunque su [, b]. Vicevers, se F è differenzibile su ogni punto di [, b] ( qusi ovunque non è bbstnz qui!) e se F L su [, b], llor: F (x) F () = x F (t) ( x b). Osservzione: Nel cso degli integrli impropri non è sempre vero che un funzione integrbile secondo Riemnn è nche integrbile secondo Lebesgue. Per esempio considerimo l funzione f(x) = sin x in [1, + ). Secondo Riemnn bbimo: x