Equazioni della dinamica dei fluidi

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1 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 25 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi Introduzione In questo capitolo presenteremo il problema del moto di un fluido. In particolare mostreremo come le leggi fondamentali della dinamica dei fluidi possono essere formulate in forma matematica utilizzando i concetti e gli strumenti del calcolo differenziale vettoriale. Il nostro scopo è di fornire una breve introduzione alla fluidodinamica ricavando le equazioni che governano il moto dei fluidi. Introdurremo inoltre alcune restrizioni sulle caratteristiche del flusso e sulle proprietà del fluido che conducono a regimi di moto di grande interesse per le applicazioni. 2.1 Rappresentazione del moto di un fluido upponiamo che una regione dello spazio tridimensionale sia riempita da un fluido, un liquido o un gas, il quale è in movimento. Tale moto può essere descritto in due modi diversi. i potrebbe tentare di determinare la posizione R = R(a, b, c, t) in ogni istante di tempo t di una particella del fluido che si trovava nel punto (a, b, c) all istante iniziale t = 0. Questo è il punto di vista lagrangiano. In alternativa, si potrebbe tentare di determinare la velocità u(r, t), la densità ρ(r, t) e altre variabili fisiche come la pressione P(r, t), in ogni istante t e in ogni punto r = (x, y, z) della regione occupata dal fluido. Questo è il punto di vista euleriano. Noi considereremo il secondo metodo e descriveremo pertanto il moto del fluido mediante la funzione (vettoriale) u = u(r, t) che fornisce la velocità del fluido in ogni punto r = (x, y, z) della regione. Il campo della velocità u(r, t) ci dice quindi come si muovono tutte le particelle del fluido in ogni istante. Di solito la determinazione di questo campo è il nostro obbiettivo principale, che in generale risulta essere alquanto difficile. Nel sistema di coordinate cartesiane x yz le componenti della velocità u saranno indicate con u, v, w, ovvero u = u ˆx + v ŷ + w ẑ, per cui l espressione precedente è una forma compatta per rappresentare le tre relazioni seguenti u = u(x, y, z, t), v = v(x, y, z, t), w = w(x, y, z, t).

2 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 26 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi Flussi di tipo particolare Esistono alcune classi di flussi con caratteristiche particolari, che sono più semplici del caso generale fin qui considerato. Un flusso è chiamato stazionario se risulta u(r, t) t = 0 per cui u dipende solo da r, ovvero u = u(r). In altre parole, fissato un punto qualsiasi dello spazio, la velocità è costante sia in modulo sia in direzione. Un flusso è chiamato bidimensionale se il campo della velocità è della forma u = [u(x, y, t), v(x, y, t), 0], ovvero se u è indipendente da una coordinata spaziale (qui la coordinata z) e non ha componente in quella direzione. Infine un flusso è stazionario e bidimensionale se è della forma u = [u(x, y), v(x, y), 0]. Esempio 1 Campo di velocità della rotazione rigida Come semplice esempio di moto stazionario consideriamo un fluido in moto con una velocità di rotazione angolare costante Ω attorno all asse z. e il moto di rotatorio è come quello di un solido in rotazione, allora il campo della velocità del fluido rotante con velocità angolare = Ω ẑ sarà u(r) = r = u(x, y) = Ωy ˆx + Ωx ŷ. iccome la velocità è la stessa in tutti i piani normali all asse z e la componente z della velocità è nulla, il campo u può essere considerato come un campo vettoriale piano. Alcuni vettori di questo campo sono mostrati nella figura 2.1. Tutti gli esempi mostrati sono idealizzazioni. Nessun flusso reale può essere esattemente bidimensionale o perfettamente stazionario. Tuttavia, considerando ad esempio il flusso attorno a un ala di grande apertura e sezione trasversale uniforme, potremo ritenere che esso sia approssimato in modo adeguato da un flusso bidimensionale attorno alla sezione tranne che in prossimità delle estremità alari.

3 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 27 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.1: Rappresentazione del moto di un fluido 27 y x Figura 2.1 Campo della velocità del moto di rotazione rigida attorno all asse z Esempio 2 elocità della rotazione rigida in coordinate cilindriche A causa della sua struttura cilindrica il campo di velocità della rotazione rigida considerato nell esempio 1 è descritto in modo naturale utilizzando le coordinate cilindriche (R, θ, z), dove R indica la distanza del punto r dall asse di rotazione z. In queste coordinate un generico vettore v è espresso mediante la relazione v = v R ˆR + v θ ˆ + v z ẑ. Il campo della velocità della rotazione rigida sarà allora dato da u(r) = u θ (r) ˆ = u θ (R) ˆ = Ω R ˆ, dove si deve ricordare che il versore ˆ (come pure ˆR) non è costante poiché la sua direzione dipende dall angolo θ, ovvero ˆ = ˆ (θ). Linee di corrente Per descrivere i flussi è utile introdurre il concetto di linea di corrente. Una linea di corrente di un campo di velocità u(r, t) è una curva avente la stessa direzione del vettore u in ogni punto r del fluido in un istante di tempo determinato t. In altre parole, le linee di corrente sono semplicemente le linee del campo vettoriale nel caso particolare del campo di velocità istantaneo u(r, t). Allora, dal punto di vista matematico una linea di corrente (s) = [X (s), Y (s), Z(s)] del campo di velocità

4 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 28 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi u(r, t) può essere ottenuta risolvendo l equazione differenziale ordinaria d ds = λ(s) u(, t) nella funzione incognita (s), dove λ(s) è una funzione arbitraria la cui forma determina la scelta della parametrizzazione della curva. Questa equazione vettoriale esprime la condizione che la curva = (s) sia parallela in ogni punto al campo di velocità u(r, t). Esplicitando le componenti cartesiane, si hanno le seguenti tre equazioni scalari d X = λ(s) u(x, Y, Z, t), ds dy = λ(s) v(x, Y, Z, t), ds d Z = λ(s) w(x, Y, Z, t), ds che sono accoppiate fra loro. Una scelta possibile del parametro per descrivere la curva è prendere come variabile indipendente del sistema differenziale una delle tre coordinate, ad esempio x, supponendo che sia u 0. In questo modo si può eliminare la funzione arbitraria λ(s) dal problema dividendo fra loro le equazioni e ottenendo il seguente sistema di due equazioni dy dx = v(x, Y, Z, t) u(x, Y, Z, t), d Z dx = w(x, Y, Z, t) u(x, Y, Z, t), nelle due incognite Y = Y (x) e Z = Z(x). La risoluzione di questo sistema in un determinato istante t fornisce le linee di corrente in quell istante. Nel caso di campo di velocità stazionario u = u(r) le linee di corrente non dipendono dal tempo e sono anche chiamate curve integrali del campo vettoriale. Esse sono definite dal sistema d ds = λ(s) u() che, espanso nelle componenti cartesiane, assume la forma d X ds = λ(s) u(x, Y, Z), dy ds = λ(s) v(x, Y, Z), d Z ds = λ(s) w(x, Y, Z).

5 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 29 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.1: Rappresentazione del moto di un fluido 29 Nel caso di flussi in due dimensioni con u(r, t) = u(x, y, t) ˆx + v(x, y, t) ŷ (problemi piani) le linee di corrente sono definite da (s) = [X (s), Y (s)] e si ottengono risolvendo il sistema di due equazioni d X ds = λ(s) u(x, Y, t), dy ds = λ(s) v(x, Y, t). L eliminazione della funzione arbitraria λ(s) legata alla parametrizzazione conduce a una singola equazione differerenziale: dy dx = v(x, Y, t) u(x, Y, t). nella sola funzione incognita Y = Y (x). Nel caso di flusso stazionario u = u(r) = u(x, y) ˆx + v(x, y) ŷ questa equazione si semplifica in dy dx = v(x, Y ) u(x, Y ). Un esempio delle linee di corrente (di una sezione) del campo di velocità del vento che soffia in modo stazionario sopra una collina è mostrato nella figura 2.2. Figura 2.2 Il campo di velocità del vento che soffia sopra una collina

6 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 30 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi Esempio 3 Linee di corrente del campo di velocità di rotazione Determinare le linee del campo di velocità della rotazione rigida u = Ω( y ˆx+x ŷ) dell esempio 1. oluzione Le linee del campo soddisfano l equazione differenziale dy dx = v(x, Y ) u(x, Y ) = Ωx ΩY = x Y. Possiamo separare le variabili di questa equazione per ottenere Y dy = x dx. L integrazione allora fornisce Y 2 /2 = x 2 /2 + C, ossia Y 2 + x 2 = 2C. Quindi le linee del campo sono dei cerchi con centro nell origine nel piano xy, come si vede chiaramente dal disegno del campo dei vettori nella figura 2.1 e come è mostrato nella figura 2.3. e si considera u come campo vettoriale nello spazio tridimensionale, le linee del campo sono circonferenze nei piani orizzontali con centro sull asse z: x 2 + y 2 = C 1, z = C 2. y x Figura 2.3 Linee di corrente del campo di moto della rotazione rigida Traiettorie Un modo semplice di seguire i flussi non stazionari consiste nel marcare una particella del fluido in modo da poterla riconoscere da tutte le altre e seguire poi il suo moto registrando la sua posizione negli istanti successivi. Esistono

7 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 31 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.1: Rappresentazione del moto di un fluido 31 diversi modi per realizzare la marcatura ma ciò che rende utile questa tecnica è la possibilità di registrare agevolmente la posizione della particella marcata, ad esempio mediante una macchina fotografica o addirittura una videocamera. Dal punto di vista matematico le posizioni successive della particella costituiscono la sua traiettoria R = R(t) che si ottiene risolvendo il seguente problema del moto dr dt = u(r, t), R(0) = R 0, con la velocità della particella data dal campo di velocità u(r, t) del fluido. Nel caso di flusso non stazionario, le traiettorie delle varie particelle p = 1, 2, 3,... che passano nello stesso punto R 0 in istanti diversi t 1 < t 2 < t 3... sono differenti in quanto le funzioni R p (t) corrispondenti soddisfano la medesima equazione differenziale dr p /dt = u(r p, t) ma la loro condizione iniziale è specificata in istanti di tempo diversi: R 1 (t 1 ) = R 0, R 2 (t 2 ) = R 0, R 3 (t 3 ) = R 0,.... Nel caso di flusso stazionario, l equazione della traiettoria è soluzione del problema dr dt = u(r), R(0) = R 0, e quindi, fissato il punto di partenza R 0, la stessa funzione R(t) caratterizza la sola traiettoria passante per R 0, indipendentemente dall istante di tempo iniziale scelto per la sua rappresentazione parametrica. i noti che la direzione tangente alla curva R(t) è parallela alla direzione della velocità in ogni punto, per cui nei flussi stazionari le traiettorie coincidono con le linee di corrente. Curve di emissione (streakline) Un terzo modo utile per descrivere il moto dei fluidi consiste nel marcare in istanti di tempo successivi le particelle del fluido che passano per un unico punto fisso r e, chiamato punto di emissione. Il rilevamento delle loro diverse posizioni è poi eseguito collettivamente a uno stesso istante di tempo. La descrizione matematica di questo procedimento è la seguente. upponiamo di marcare in vari istanti di tempo successivi t 1, t 2,..., t k le particelle di fluido che passano per uno stesso punto r e. Nel caso di un flusso non stazionario, le particelle marcate si muoveranno percorrendo ciascuna una traiettoria diversa. Indicando le traiettorie delle varie particelle con le funzioni

8 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 32 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi R 1 (t), R 2 (t),... R k (t), queste saranno soluzione dei seguenti problemi ai valori iniziali dr 1 dr 2 dr k = u(r 1, t), = u(r 2, t), = u(r k, t), dt dt... dt R 1 (t 1 ) = r e ; R 2 (t 2 ) = r e ; R k (t k ) = r e ; La curva di emissione, chiamata in inglese streakline, è la curva formata dalla posizione delle particelle in un determinato istante di tempo t > t k che è lo stesso per tutte le particelle. Quindi la curva di emissione all istante t è data dall insieme delle posizioni { Rk (t), R k 1 (t),..., R 2 (t), R 1 (t) } Nel caso di flussi stazionari, le particelle marcate nel punto r e si muoveranno tutte sulla medesima traiettoria. Infatti, indicando sempre con R 1 (t), R 2 (t),... R k (t) le traiettorie delle varie particelle marcate nel punto r e negli istanti di tempo successivi, queste funzioni saranno soluzione dei seguenti problemi ai valori iniziali, per p = 1, 2,..., k, dr p = u(r p ), R p (t p ) = r e. dt iccome il campo di velocità u(r) non dipende dal tempo, tutte le soluzioni possono essere ricavate dalla prima R 1 (t) mediante un semplice cambiamento dell origine del tempo e avremo R 2 (t) = R 1 (t (t 2 t 1 )) R 3 (t) = R 1 (t (t 3 t 1 )) R k 1 (t) = R 1 (t (t k 1 t 1 )) R k (t) = R 1 (t (t k t 1 )) Di conseguenza la curva di emissione del flusso stazionario sarà data da { R1 (t (t k t 1 )), R 1 (t (t k 1 t 1 )),..., R 1 (t (t 3 t 1 )), R 1 (t (t 2 t 1 )), R 1 (t) } ovvero {R1 ((t t k )+t 1 ), R 1 ((t t k 1 )+t 1 ),..., R 1 ((t t 3 )+t 1 ), R 1 ((t t 2 )+t 1 ), R 1 (t) } Queste posizioni sono semplicemente i punti in istanti di tempo successivi della traiettoria passante per r e al tempo t 1. Pertanto nei flussi stazionari le linee di emissione coincidono con le traiettorie e quindi anche con le linee di corrente.

9 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 33 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.2: Equazione di conservazione della massa Equazione di conservazione della massa Figura 2.4 olume di controllo le linee istantanee di corrente del moto del fluido al tempo t Figura 2.5 olume di controllo e andamento delle linee di corrente istantanee in un altro istante di tempo t t Mostriamo ora come alcune leggi fisiche fondamentali relative al moto di un fluido possano essere tradotte in equazioni matematiche equivalenti per mezzo del teorema della divergenza. In tutta la nostra analisi supporremo che la velocità u, la densità ρ e la pressione P siano funzione della posizione r e del tempo t, ovvero, u = u(r, t), ρ = ρ(r, t), etc., e che dipendano con regolarità da tutte le loro variabili. upporremo che il fluido sia costituito da una sola sostanza caratterizzata da proprietà definite, nel senso che escludiamo dalla nostra analisi miscele di fluidi diversi e fluidi nei quali si possono verificare reazioni chimiche. Consideriamo una superficie chiusa immaginaria dentro il fluido e che delimita una determinata regione dello spazio, come mostrato nella figura 2.4. La superfice è detta immaginaria in quanto non costituisce in nessun modo una barriera al movimento del fluido. Tale superficie è fissa nello spazio e non si muove con il fluido. Il moto del fluido è in generale instazionario per cui il campo di velocità u(r, t ) all istante t > t, mostrato nella figura 2.5 sarà in generale diverso da quello all istante t, u(r, t), mostrato nella precedente figura 2.4. La legge di conservazione della massa afferma che un fluido non può essere né creato né distrutto da nessuna parte, ovvero che non esistono né sorgenti né pozzi per la massa del fluido. In termini quantitativi tale legge potrà allora essere espressa nel modo seguente: la rapidità di variazione della massa di fluido contenuta nella regione è uguale alla rapidità con cui il fluido entra in attraverso. Per fluido entrante intendiamo la quantità netta di fluido che entra in. La massa di fluido in un elemento di volume d nella posizione r = (x, y, z) al tempo t è ρ(x, y, z, t) d = ρ(r, t) d, dove ρ è la densità (di massa), ovvero la massa per unità di volume. Allora la massa contenuta in al tempo t è data da M (t) = ρ(r, t) d. e l integrale è calcolato in coordinate cartesiane, naturalmente risulta ρ(r, t) d = ρ(x, y, z, t) dx dy dz. L integrale sul volume è un integrale triplo, ma la presenza dei tre simboli per indicare tale integrazione rende l espressione precedente piuttosto pesante. Può essere quindi conveniente semplificare la notazione utilizzando un solo simbolo di integrazione per cui scriveremo d d.

10 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 34 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi L integrazione su un volume di una funzione di r significa scomporre in tanti piccoli volumi elementari 1, 2,..., posti rispettivamente nei punti r 1, r 2,..., in ognuno dei quali la densità al tempo t può avere valor diversi, ad esempio ρ 1 = ρ(r 1, t), ρ 2 = ρ(r 2, t),..., come mostrato nella figura 2.6. In altre parole, l integrale sulla regione significa calcolare la somma di tutte le masse elementari ρ(r 1, t) 1 + ρ(r 2, t) Notiamo che solo nel caso particolare di densità uniforme, indipendente dalla posizione (e per semplicità anche dal tempo) ρ(r, t) = ρ, la funzione integranda ρ può uscire dal segno di integrale e quindi risulta M = ρ(r, t) d = ρ d = ρ, dove indica il volume della regione. r 1 ρ1 r 2 ρ2 r 3 ρ3 Figura 2.6 Corrente di un fluido la cui densità ρ(r) è non uniforme, ma può dipendere dalla posizione Introduciamo ora una convenzione per semplificare l espressione degli integrali che risulterà molto comoda nel seguito, dove dovremo considerare integrali di funzioni alquanto complicate. tabiliamo di scrivere gli integrali omettendo l elemento di integrazione infinitesimo a condizione di indicare esplicitamente il dominio di integrazione come pedice del simbolo di integrale stesso. Useremo pertanto la ulteriore semplificazione notazionale d d. Ricorrendo a questa notazione, la massa di fluido contenuta nel dominio al tempo t sarà scritta nella forma sintetica M (t) = ρ(r, t).

11 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 35 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.2: Equazione di conservazione della massa 35 È importante ricordare che l eliminazione del volume infinitesimo di integrazione è solo un espediente per scrivere delle espressioni più semplici. In ogni caso, siccome il dominio di integrazione compare di fianco al simbolo di integrale, la presenza di d a moltiplicare la funzione integranda è comunque sottintesa. Questo presenza sottintesa è ovviamente richiesta per potere garantire anche la correttezza dimensionale della relazione. Ad esempio, il primo membro della relazione precedente è una massa e il secondo membro sembra essere una densità (massa per unità di volume) solo se dimentichiamo che è sottintesa la presenza dell elemento di volume infinitesimo d di fianco alla funzione integranda ρ(r, t). La massa contenuta nella regione fissa considerata cambia con una rapidità che è espressa dalla sua derivata rispetto al tempo, cioè, d M (t) dt = d dt ρ(r, t) = ρ(r, t). t i noti che la derivata ordinaria rispetto a t, passando sotto il segno d integrale, diventa parziale perché la massa M (t) contenuta nel volume è dipende solo dal tempo t, mentre la funzione integranda ρ(r, t) dipende anche della posizione r. Il volume netto di fluido uscente da attraverso l elemento di area d, nella posizione r, nell intervallo di tempo da t a t + dt, è dato da u(r, t) ˆn(r) d dt, dove ˆn(r) è la normale unitaria in r su uscente da (vedi figura 2.7). z ˆn u dt θ d P Figura 2.7 Il fluido che attraversa d nell intervallo di tempo dt riempie il volume del tubo disegnato x y

12 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 36 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi Di conseguenza la massa che attraversa d, andando verso l esterno, nell intervallo di tempo considerato è ρ(r, t) u(r, t) ˆn(r) d dt e la rapidità con cui la massa esce da attraverso al tempo t è ρ(r, t) u(r, t) ˆn(r) d. Il cerchio sul simbolo di integrale doppio significa che la superfice considerata è chiusa nel senso che essa è il contorno di un volume contenuto in una regione limitata. Anche il simbolo dell integrale doppio può essere scritto in modo semplificato utilizzando un solo segno di integrale, ovvero l integrale su una superficie chiusa può essere indicato anche nel modo più semplice ˆn(r) d ˆn(r) d. Infine, sempre per ridurre la complessità delle espressioni, proprio come nel caso dell integrale di volume, si adotta la convenzione di omettere l elemento di superficie infinitesimo d, a condizione che la superficie di integrazione sia esplicitamente indicata ponendo questo simbolo come pedice dell integrale, ovvero si adotta la seguente notazione semplificata ˆn(r) d ˆn(r) d ˆn(r). Ricorrendo a questa notazione, la rapidità con cui la massa esce da attraverso al tempo t sarà indicata più semplicemente con ρ(r, t) u(r, t) ˆn(r). La rapidità con cui la massa entra in è l opposto della rapidità appena scritta dato che la direzione del versore ˆn(r) normale a qualunque superficie chiusa è, per convenzione, sempre uscente dal volume contenuto in. L espressione matematica della legge di conservazione della massa relativamente al volume è quindi che l aumento per unità di tempo della massa contenuta in deve essere uguale alla massa che nell unità di tempo entra in attraverso la sua frontiera, ovverosia ρ(r, t) t = ρ(r, t) u(r, t) ˆn(r).

13 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 37 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.3: Equazione della quantità di moto 37 Possiamo riscrivere la legge di conservazione della massa in una forma più facile da leggere eliminando le variabili indipendenti r e t dalle funzioni che si integrano, e quindi scriveremo: ρ = ρu ˆn. t i dovrebbe comunque essere sempre in grado di ricostruire la presenza delle variabili da cui dipendono le varie funzioni in base agli operatori differenziali presenti nella relazione e ai domini di integrazione indicati. Utilizziamo ora il teorema della divergenza per sostituire l integrale di superficie del secondo membro con un integrale di volume: ρ = (ρu). t Quindi risulta [ ] ρ t + (ρu) = 0. Questa equazione deve valere per qualunque dominio nel fluido. D altra parte, come già visto nel capitolo 1 per la forma locale e la forma globale della condizione di equilibrio, se una funzione continua f soddisfa f (r) = 0 per qualunque dominio, allora f (r) = 0 in tutti i punti r, in quanto, se esistesse un punto r 0 tale che f (r 0 ) 0, ad esempio f (r 0 ) > 0, allora, per la continuità della funzione f, essa sarebbe positiva in tutti i punti appartenenti a una palla B con centro in r 0 sufficientemente piccola ma con raggio positivo, per cui B f (r) sarebbe maggiore di zero. Applicando questo principio, si deve avere ρ t + (ρu) = 0 in tutto il fluido. Questa è chiamata equazione di continuità del fluido. Essa esprime la conservazione della massa in forma locale. 2.3 Equazione della quantità di moto Esaminiamo ora l equazione del moto del fluido il cui movimento è governato dalla seconda legge di Newton. upponiamo che il fluido sia non viscoso. Tale ipotesi non è soddisfatta dai fluidi reali, per cui in questo paragrafo consideriamo un modello matematico semplificato che descrive solo approssimativamente il comportamento osservato nei fenomeni reali.

14 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 38 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi La seconda legge di Newton, detta anche legge fondamentale della dinamica afferma che in qualunque sistema di riferimento inerziale la rapidità di variazione della quantità di moto (chiamata nei testi inglesi momento lineare o anche più semplicemente momento) di una particella è uguale alla somma delle forze agenti su di essa. L applicazione diretta di tale legge a una determinata porzione di fluido in movimento è un po complicata poiché tale quantità di moto è data da un integrale su un volume mobile: di conseguenza il calcolo della rapidità di variazione della quantità di moto della porzione di fluido considerata richiede di sapere calcolare la derivata di un integrale su un volume in movimento nello spazio. Questo argomento sarà affrontato solo nel paragrafo 9.1; in particolare nel paragrafo 9.4 la seconda legge di Newton sarà utilizzata in modo diretto per ricavare l equazione del moto del fluido. In questo paragrafo seguiamo un procedimento diverso considerando invece il fluido contenuto in un volume fisso nello spazio. In ogni istante t la quantità di moto del fluido contenuto in è P (t) = ρ(r, t) u(r, t) = ρu. La quantità di moto del fluido contenuto nella regione varia con una rapidità dp (t) = d ρu = dt dt t (ρu). iccome il fluido contenuto in è costituito da porzioni di fluido sempre diverse, la rapidità di variazione di P (t) è causata in parte dalla quantità di moto che entra in o esce da attraverso la sua superficie (la quantità di moto del fluido che attraversa ), e in parte da tutte le forze agenti sul fluido contenuto in. Queste forze comprendono: le forze di superficie agenti sul fluido in attraverso la superficie le quali, essendo il fluido non viscoso, sono dovute all azione della sola pressione, e tutte le forze di volume esterne (come la forza gravitazionale o quella elettromagnetica) agenti sul fluido. Esaminiamo separatamente ciascuna di queste cause di variazione di P (t). La quantità di moto entra in attraverso con una rapidità ρu (u ˆn). La pressione agente sul fluido contenuto in si esercita attraverso nella direzione della normale interna ˆn. Quindi questa parte della forza agente sul fluido non viscoso contenuto in è P ˆn.

15 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 39 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.3: Equazione della quantità di moto 39 Le forze di volume dovute a campi esterni (ad esempio il campo di gravità) sono espresse in termini della forza specifica g, che è la forza per unità di massa. La forza di volume totale agente sul fluido contenuto in è pertanto ρg. La seconda legge di Newton implica che t (ρu) = ρu (u ˆn) P ˆn + Anche in questo caso desideriamo trasformare gli integrali di superficie (doppi) in integrali sul volume (tripli). Il teorema del gradiente fornisce immediatamente P ˆn = P. Più complicata è invece la trasformazione dell integrale contenente ρu (u ˆn). In questo caso si deve applicare il teorema della divergenza per ciascuna componente cartesiana della quantità vettoriale ρu (u ˆn). Considerando ad esempio la componente x, ovvero ρu (u ˆn), il teorema della divergenza implica ρu (u ˆn) = (ρu u) = (u ρu) = [ ρu u + u (ρu) ]. ommiamo ora vettorialmente le relazioni relative alle tre componenti cartesiane della velocità u, v e w, e otteniamo [( ρu (u ˆn) = ρu u + u (ρu) ) ˆx = ρg. + ( ρu v + v (ρu) ) ŷ + ( ρu w + w (ρu) ) ẑ ] [ ρu u ˆx + ρu v ŷ + ρu w ẑ + u ˆx (ρu) + v ŷ (ρu) + w ẑ (ρu) ]. Abbiamo pertanto [ ρu (u ˆn) = ρ(u )u + u (ρu) ].

16 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 40 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi La trasformazione dei due integrali di superficie in integrali di volume conduce alla relazione [ ] t (ρu) + u (ρu) + ρ(u )u + P ρg = 0. viluppando la derivata temporale del prodotto ρu si ottiene [ ρ u ] t + u ρ t + u (ρu) + ρ(u )u + P ρg = 0, che permette di eliminare il secondo e il terzo termine dell integrando in virtù dell equazione di continuità, per cui abbiamo [ ρ u ] t + ρ(u )u + P ρg = 0. Poiché la regione è completamente arbitraria, dobbiamo allora avere ρ u t + ρ(u )u + P = ρg. Dividendo questa relazione per ρ si ottiene infine u t + (u )u + P ρ = g. Questa è l equazione di moto di un fluido non viscoso, detta anche equazione della quantità di moto. i osservi che essa è un equazione differenziale alle derivate parziali non lineare: il secondo termine del membro di sinistra è non lineare in u e il termine ( P)/ρ è non lineare a causa della presenza della variabile incognita ρ a denominatore. 2.4 Equazioni della dinamica dei fluidi non viscosi Le due equazioni esprimenti la conservazione della massa e la legge della dinamica devono essere risolte contemporaneamente, per cui sono combinate assieme nel sistema seguente che riguarda un fluido comprimibile ma non viscoso:

17 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 41 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.5: Equazioni per flussi incomprimibili di un fluido non viscoso 41 ρ t + (ρu) = 0, u t + (u )u + P ρ = g. Le incognite del sistema sono la densità ρ(r, t), la pressione P(r, t) e la velocità u(r, t), ma il sistema è costituito da due sole equazioni, una scalare e una vettoriale. Pertanto manca una seconda equazione scalare per avere un uguale numero di equazioni e di incognite. Conservazione dell energia e relazioni termodinamiche In realtà il sistema richiede di includere un altra equazione scalare che esprime in forma matematica la legge di conservazione dell energia. Inoltre, nel caso di un fluido reale si deve includere nell equazione della quantità di moto la forza interna dovuta alla viscosità del fluido. È comunque da osservare che l equazione dell energia contiene, oltre alle incognite ρ, P e u, altre due variabili incognite, l energia specifica e(energia per unità di massa) e la temperatura T. Di conseguenza, considerando per esempio il caso di un sistema costituito da un fluido con una sola componente chimica stabile, è necessario includere anche due equazioni di stato che legano fra loro le variabili termodinamiche, ad esempio, la coppia di equazioni P = P(e, ρ), T = T (e, ρ). Naturalmente la forma delle equazioni di stato dipende dalle proprietà termodinamiche del fluido (liquido o gas) considerato. i noti infine che nel caso generale di fluidi comprimibili viscosi l equazione di conservazione dell energia è piuttosto complicata a causa della complessità dei termini che descrivono l aumento dell energia interna del fluido per effetto dell attrito viscoso. Nei prossimi capitoli vedremo che per i flussi incomprimibili le due equazioni della conservazione della massa e della quantità di moto, anche in presenza delle forze viscose, permettono di formulare un problema matematico completo. Nel caso generale di flussi comprimibili è invece necessaria anche l equazione dell energia e l insieme completo di equazioni per flussi di questo tipo sarà introdotto nei due ultimi capitoli 9 e 10, dedicati rispettivamente ai fluidi non viscosi e viscosi.

18 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 42 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi 2.5 Equazioni per flussi incomprimibili di un fluido non viscoso upponiamo ora che si possa assumere che il flusso sia incomprimibile, nel senso che la densità ρ del fluido può essere supposta costante, indipendente sia dal tempo sia dalla posizione spaziale, ovvero ρ(r, t) = ρ = costante, dove ρ è una costante positiva. In questo caso risulta ρ t come pure = ρ t = 0 (ρu) = (ρu) = ρ u. Pertanto per un flusso incomprimibile l equazione di continuità diventa semplicemente u = 0. Questa equazione è chiamata condizione di incomprimibilità e costituisce un vincolo che il campo di velocità deve soddisfare nella fluidodinamica incomprimibile. Questo vincolo impone che il campo di velocità u sia a divergenza nulla ovverosia solenoidale in ogni istante. Di conseguenza il sistema di due equazioni esprimenti la legge della dinamica di Newton e la conservazione della massa nel caso di un flusso incomprimibile di un fluido di densità uniforme e non viscoso diventa u t + (u )u + P ρ = g, u = 0. Questo sistema è noto con il nome di equazioni di Eulero per i flussi incomprimibili. È importante notare che in questo caso abbiamo due equazioni, la prima vettoriale e la seconda scalare, nelle due funzioni incognite u(r, t) e P(r, t), essendo ρ una costante nota. Pertanto il sistema ha tante equazioni quante incognite e può essere risolto senza fare intervenire in alcun modo le equazioni di stato che definiscono le proprietà termodinamiche del fluido sparizione della termodinamica. In effetti, nel caso di flusso incomprimibile la variabile pressione P che compare

19 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 43 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.7: Equazioni per flussi incomprimibili di un fluido viscoso 43 nell equazione dinamica della velocità è presente per permettere di soddisfare il vincolo di incomprimibilità per la velocità. In altre parole, il campo della velocità non può soddisfare da solo contemporaneamente le quattro equazioni comprendenti l equazione della quantità di moto e la condizione di incomprimibilità, perché u ha soltanto tre componenti: la pressione allora fornisce i gradi di libertà necessari per permettere che anche la quarta equazione scalare del sistema sia rispettata. 2.6 Equazioni per flussi incomprimibili non viscosi irrotazionali Un caso particolare di flussi incomprimibili non viscosi è rappresentato dai flussi irrotazionali. Un campo di velocità u(r, t) è detto irrotazionale se il suo rotore u è nullo in ogni suo punto e in ogni istante di tempo: u = 0. otto questa condizione l equazione della quantità di moto si semplifica notevolmente poiché il termine non lineare (u )u è un semplice gradiente. Infatti, in virtù dell identità vettoriale (u )u = ( u) u + 1 ( ) 2 u 2, quando u = 0 avremo (u )u = 1 2 ( u 2 ) [ u = 0]. Quindi per flussi incomprimibili irrotazionali l equazione dinamica della velocità assumerà la forma u t + ( ) P ρ + u 2 = g. 2 Il sistema di equazioni che governano allora i flussi incomprimibili irrotazionali di un fluido non viscoso di densità uniforme è allora dato da u t + ( ) P ρ + u 2 = g, 2 u = 0, u = 0. Mostreremo nel capitolo 4 che le equazioni di questo sistema possono essere risolte disaccoppiando il calcolo del campo di velocità da quello del campo di pressione.

20 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 44 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi 2.7 Equazioni per flussi incomprimibili di un fluido viscoso Le precedenti equazioni sono state derivate supponendo nulla la viscosità del fluido. Queste equazioni possono essere modificate per tenere conto dell effetto della eventuale viscosità del fluido. Per qualunque fluido reale esiste una grandezza detta viscosità dinamica e indicata con µ che è il coefficiente di proporzionalità fra la derivata spaziale del campo della velocità e la forza viscosa agente sulle particelle del fluido. Nel caso particolare di flussi incomprimibili questa grandezza è sufficiente a rappresentare le forze interne di attrito viscoso. La viscosità provoca su ogni particella di fluido una forza a causa della presenza del fluido circostante quando il campo della velocità ha determinate variazioni spaziali. Nel caso più semplice la forza viscosa risulta essere proporzionale al gradiente della velocità e questa condizione caratterizza i fluidi detti newtoniani. Più precisamente la forza viscosa per unità di volume agente in un punto di un flusso incomprimibile di un fluido con viscosità dinamica costante, µ = µ, è data da ρ f visc = µ 2 u, (fluido incomprimibile) dove 2 rappresenta l operatore laplaciano. Dividendo questa espressione per la densità ρ si ottiene la forza per unità di massa f visc = ν 2 u, dove il coefficiente (costante) ν = µ ρ è chiamato viscosità cinematica. Includendo la forza viscosa per unità di massa ν 2 u nell equazione dinamica della velocità, il sistema delle due equazioni che governano il flusso incomprimibile di un fluido viscoso (newtoniano) assume la forma seguente u t + (u )u + P ρ = ν 2 u + g, u = 0. Questo sistema è noto con il nome di equazioni di Navier tokes per i flussi incomprimibili. Anche nel caso viscoso la pressione è presente nel sistema onde fornire i gradi di libertà necessari per potere imporre la condizione di incomprimibilità sul campo della velocità. Tecnicamente si esprime questo fatto dicendo che P(r, t) costituisce il moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo u = 0 che deve essere soddisfatto dalla velocità u(r, t) in ogni punto r e in ogni istante t.

21 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 45 colore nero Gennaio 6, 2005 PARAGRAFO 2.9: Equazioni per i fluidi comprimibili viscosi Equazioni per i fluidi comprimibili non viscosi Una modello di carattere più generale di quello incomprimibile è rappresentato dal fluido le cui particelle possono subire una dilatazione o una contrazione (e quindi possono variare il proprio volume) a causa dell azione delle forze agenti su di loro. I fluidi di questo tipo sono detti comprimibili e per il loro studio è necessario considerare le equazioni di stato termodinamiche del fluido, che costituiranno un elemento essenziale del modello matematico complessivo per potere determinare il moto del fluido. Nel capitolo 9 dedurremo il sistema di equazioni dinamiche per il caso di un fluido comprimibile, considerando inizialmente il caso semplificato in cui la viscosità e la conducibilità termica possono essere considerate nulle. Questo sistema è noto come equazioni di Eulero comprimibili o anche di equazioni della gasdinamica. Una forma possibile di queste equazioni è ρ t + (ρu) = 0, (ρu) + (ρu u) + P = ρg, t (ρe) + (ρeu) + P u = 0, t P = P(e, ρ), T = T (e, ρ). 2.9 Equazioni per i fluidi comprimibili viscosi e poi si considera il caso generale, descritto nel capitolo 10, di un fluido comprimibile con le due viscosità µ e λ e la conducibilita termica κ diverse da zero, allora il moto del fluido è governato dalle equazioni di Navier tokes comprimibili: ρ t + (ρu) = 0, (ρu) + (ρu u) + t P = (u) + ρg, (ρe) + (ρeu) + P u = (κ t T ) + (u) : (u), P = P(e, ρ), T = T (e, ρ).

22 F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 pagina 46 colore nero Gennaio 6, CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi In queste equazioni, oltre al tensore densità di corrente della quantità di moto, ρu u, compaiono due altri tensori. Il primo è il tensore simmetrico dei gradienti della velocità, (u), definito da (u) e i, j (u) = 1 2[êi (ê j )u + ê j (ê i )u ], i, j = 1, 2, 3, dove ê i, i = 1, 2, 3, sono i versori delle coordinate ortogonali utilizzate. Il secondo è il tensore degli sforzi viscosi, (u) che, per un fluido viscoso di tipo newtoniano è definito da (u) = 2µ (u) + λ ( u), dove indica il tensore identità dello spazio a tre dimensioni. Esercizi 2 1. Disegnare il campo di velocità stazionario piano dato della relazione u(x, y) = U e x ˆx + U e x ŷ e determinare le sue linee di corrente. 2. Un campo di velocità u(r) piano e stazionario ha le seguenti componenti cartesiane lungo gli assi x e y u(x, y) = By, v(x, y) = Bx. Determinare le linee di corrente del flusso. 3. La legge di conservazione della massa in forma locale è espressa dall equazione di continuità ρ t + (ρu) = Dimostrare che l equazione di conservazione della massa e l equazione della quantità di moto implicano la validità della seguente equazione ρ ( ρ u ) t + (ρu )u + u (ρu) + P = ρg. 2 Questa forma dell equazione della quantità di moto è importante per lo sviluppo dei metodi di risoluzione delle equazioni per i flussi incomprimibili mediante gli elementi finiti. Nel caso di densità uniforme, ρ = ρ, l equazione diventa u t + (u )u + u 2 u + P ρ = g. Ricavare l equazione che governa la variabile volume specifico v = 1/ρ, che rappresenta il volume per unità di massa in un punto del fluido. Che cosa si può dire del volume specifico v delle particelle di un fluido con volume specifico in generale non costante, v = v(r, t), nel caso in cui il campo di velocità sia solenoidale, ovvero u = 0?