Algebra Lineare Ingegneria Chimica Anno Accademico 2018/19

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Algebra Lineare Ingegneria Chimica Anno Accademico 2018/19"

Silvana Russo
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Algebra Lineare Ingegneria Chimica Anno Accademico 2018/19 Caboara Lezione 26 Novembre 2018 Esercizio 1. Risolvere il sistema 3x + 2y z = 1 x y + z = 3 x + y + 2z = 0 usando la regola di Cramer Costruiamo la matrice incompleta associata al sistema e le tre matrici B x, B y, B z ootenute sostituendo rispettivamente la prima, seconda e terza colonna di A con la colonna dei termini noti Calcoliamo i quattro determinanti det(a) = 13 il sistema ha una e una solo soluzione det(b x ) = 18, det(b y ) = 20, det(b z ) = 1, La regola di Cramer ci dice che x = det(bx) det(a) = y = det(by) det(a) = z = det(bz) det(a) =

2 Esercizio 2. Data A = Determinare una matrice M tale che MA è a scala e trovare det(a). A:= [0,1,3], [1,2,3], [2,1,2]; RiduciScalaVerbose(A); Scambio la 1â e la 2â riga Adesso la matrice e [2, 1, 2] Ho trovato il pivot in posizione A[1, 1]=1 Cancello la 1â colonna, sotto il pivot 2â+0*1â [0, 1, 3] 3â-2*1â [0, -3, -4] Ho trovato il pivot in posizione A[2, 2]=1 Cancello la 2â colonna, sotto il pivot [0, 1, 3] 3â+3*2â [0, 0, 5] Ho trovato il pivot in posizione A[3, 3]=5 Risultato [ // Matrice a scala [0, 0, 5], [1, 2, 3]] // Colonne dei pivot I pivot sono 1, 1, 5, ho effettuato uno scambio di riga, quindi det(a) = 5 Le matrici corrispondenti alle operazioni di Gauss sono S 12, G 2 13 e G

3 Abbiamo quindi che che M = G 3 23G 2 13 S 12. Operiamo le moltiplicazioni M = [0,3,1] * [1,0,0 ], [0,1,0 ], [-2,0,1] * [0,0,1] ; // Risultato [0, 1, 0], [1, 0, 0], [3, -2, 1] Verifichiamo [0, 1, 0], [1, 0, 0], [3, -2, 1] *A; [0, 0, 5] Notiamo che cambiando l ordine delle moltiplicazioni delle matrici elementari il risultato cambia e la matrice risultato non è più A a scala: 3

4 M1:= [0,0,1] * [1,0,0 ], [0,1,0 ], [-2,0,1] * [0,3,1] ;M1; [0, 1, 0], [1, 0, 0], [-2, 3, 1] M1*A; [5, 5, 5] Esercizio 3. Sia A = Calcoliamo il determinante di A con la riduzione a scala: A:= [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]; RiduciScalaVerbose(A); Ho trovato il pivot in posizione A[1, 1]=1 4

5 Cancello la 1â colonna, sotto il pivot 2â-4*1â [0, -3, -6] 3â-7*1â [0, -6, -12] Ho trovato il pivot in posizione A[2, 2]=-3 Cancello la 2â colonna, sotto il pivot [0, -3, -6] [0, 0, 0] Matrice con righe finali nulle [ // Matrice a scala [0, -3, -6], [0, 0, 0], [1, 2]] // Colonne dei pivot Quindi det(a) = 0. Esercizio 4. Dimostrare che det(a) = det a b c = (b c)(a c)(a b) a 2 b 2 c 2 Potremmo calcolare il determinante sviluppando secondo p.e. la prima riga ed ottenendo ([ ([ ([ b c a c a b det(a) = det b 2 c 2 det a 2 c 2 +det a 2 b 2 = a 2 b+a 2 c+ab 2 ac 2 b 2 c+bc 2 e poi controllando che a 2 b + a 2 c + ab 2 ac 2 b 2 c + bc 2 = (b c)(a c)(a b) Ma se non avessimo avuto la fattorizzazione del determinante candidata da controllare avremmo dovuto fattorizzare a 2 b + a 2 c + ab 2 ac 2 b 2 c + bc 2, cosa potenzialmente noiosa. Un altro svolgimento è ridurre a scala (o perlomeno fare un passo della riduzione a scala di) A, ottenendo S 1 = 0 b a c a 0 b 2 a 2 c 2 a 2 il cui determinante, facile da calcolare, è uguale al determinante di A per quanto visto sui determinati delle riduzioni a scala. Ora, svilippando secondo la prima colonna abbiamo che ([ b a c a det(s 1 ) = det b 2 a 2 c 2 a 2 = (b a)(c 2 a 2 ) (b 2 a 2 )(c a) 5

6 ed è facile vedere, raccogliendo (b a)(c a), che (b a)(c 2 a 2 ) (b 2 a 2 )(c a) = (b c)(a c)(a b) Esercizio 5. Calcolare il determinante di det(a) = det = (b c)(a c)(a b) Per semplificarci la vita, operiamo il primo passo di riduzione a scala ottenendo la matrice S 1 = Che ha lo stesso determinante di det(a). Facciamo ancora un passo di riduzione a scala, ottenendo ( dopo uno scambio di riga) S 2 = Non è necessario arrivare fino alla completa riduzione a scala, sviluppiamo i determinanti sempre secondo la prima colonna ed otteniamo ([ det(s 2 ) = det = 2 det = 2 4 = Dato che avevamo dovuto fare uno scambio di colonna, Notiamo che, det(a) = ( 1) 1 det(s 2 ) = 8 det = det dato la seconda matrice è ottenuta dalla prima dividendo la seconda, terza e quarta riga per 2, e il determinante è lineare sulle righe. Questo purtroppo non ci aiuta particolarmente nei calcoli. Per esercizio, vedere se sfruttando la linearità del determinate sulle righe possiamo sviluppare i calcoli più rapidamente. 6

7 N.B. Chiunque segnali 20 errori significativi (errori di matematica, di notazione matematica, errori che rendono incomprensibile una frase, anche banali ma non semplicemente errori di battitura italiana) avrà un punto in piu all esame. Per ogni errore, vale solo la prima segnalazione. Segnalare a caboara@dm.unipi.it. 7

Documenti analoghi

Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 1

Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria R. Vitolo Dipartimento di Matematica Università di Lecce SaLUG! - Salento Linux User Group Il programma OCTAVE per l