Sistemi di controllo digitale

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1 Parte 7, 1 Sistemi di controllo digitale Legame tra descrizione a tempo continuo e descrizione a segnali campionati

2 Motivazioni (richiami) Parte 7, 2 I sistemi di controllo digitale hanno alcuni vantaggi rispetto ai sistemi di controllo a tempo continuo: Flessibilità del SW rispetto all HW Compatibilità rispetto alla strumentazione Integrazione di funzioni Costi

3 Struttura tipica Parte 7, 3 I sistemi di controllo digitale sono tipicamente strutturati così: Si tratta di sistemi ibridi in cui convivono dinamiche a tempo continuo ed a tempo discreto

4 Parte 7, 4 Segnale discreto, digitale Evidenziamo le tipologie dei segnali coinvolti Segnale discreto, digitale Segnale costante a tratti, digitale Segnale continuo, analogico

5 Parte 7, 5 Definizioni segnali continui nel tempo segnali costanti a tratti, cioè costanti in ogni intervallo [i, (i+1) ] con periodo di campionamento segnali discreti nel tempo segnali analogici: le loro ampiezze possono variare con continuità segnali digitali: le loro ampiezze sono quantizzate

6 Parte 7, 6 ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO DIGITALE Legame tra L-trasformata e Z-trasformata per segnali campionati. Rappresentazione a tempo continuo e rappresentazione a tempo discreto di un sistema dinamico soggetto a campionamento. Teorema del campionamento ed aliasing. Scelta del periodo di campionamento.

7 Parte 7, 7 Segnale discreto, digitale Ritorniamo allo schema iniziale Segnale discreto, digitale Segnale costante a tratti, digitale Assumiamo nulli gli errori di quantizzazione. Segnale continuo, analogico

8 Parte 7, 8 Rappresentazione I/O a tempo discreto del processo S a tempo continuo Il regolatore, completo dei convertitori A/D in ingresso e D/A in uscita, vede ai suoi morsetti una relazione I/O a tempo discreto [ morsetto d ingresso subito dopo il campionamento e prima della conversione A/D, morsetto d uscita subito prima del circuito di tenuta d uscita del DAC] Come ottenere allora una descrizione I/O a tempo discreto per il sistema dinamico S (il processo)?

9 Ipotesi Parte 7, 9 Il segnale u(t) è costante a tratti, analogico (la quantizzazione è ininfluente ) Il sistema S è LTI descritto da con a cui corrisponde (c. i. nulle)

10 Parte 7, 10 C2d tramite descrizione su base stato, con campionamento e tenuta Eq. di stato a tempo continuo: è sufficiente determinare una realizzazione della fdt G(s) Vale la relazione con

11 Parte 7, 11 C2d con campionamento e tenuta Facciamo riferimento a questa situazione I blocchi A/D eseguono l operazione di campionamento : ad ogni istante di tempo multiplo intero di un periodo base (periodo di campionamento) alla loro uscita è presente il valore numerico corrispondente al valore a quell istante del segnale al loro ingresso. Il blocco D/A converte il segnale a tempo discreto presente al suo ingresso in un segnale a tempo continuo, generato nel modo seguente:

12 Parte 7, 12 Consideriamo due istanti di campionamento successivi : il segnale u(τ) è costante a tratti ed è quindi costante nell intervallo di tempo considerato

13 Parte 7, 13 Ora utilizzando la Z-trasformata si ottiene

14 Esempio Parte 7, 14 poniamo

15 Parte 7, 15

16 Parte 7, 16

17 Parte 7, 17 C2d tramite descrizione su base stato, con puro campionamento Consideriamo ancora il sistema descritto dalle equazioni di stato Vale sempre la relazione La configurazione del sistema però è diversa da quella già considerata in slide CD-Parte7 11.

18 Parte 7, 18 C2d tramite descrizione su base stato, con puro campionamento La configurazione stavolta è questa: Anche l ingresso al sistema (a tempo continuo) è soggetto soltanto a campionamento. In uscita dal blocco A/D evidenziato in figura è presente il valore numerico u k corrispondente al valore dell ingresso u( ) a quell istante (t = k ).

19 Parte 7, 19 Consideriamo due istanti di campionamento successivi : il segnale u(τ) esiste soltanto in istanti multipli interi del periodo di campionamento

20 Parte 7, 20 Esempio Consideriamo ancora il sistema descritto dalle equazioni

21 Parte 7, 21 Stavolta si ottengono:

22 Parte 7, 22 Si ottiene così la FdT Si confronti il risultato di slide CD-Parte7 16: il denominatore è identico (stessi poli), ma il numeratore è differente! Le prestazioni allora saranno differenti!

23 Parte 7, 23 Osservazioni Per motivi che saranno chiari quando si affronterà il problema della discretizzazione su base FdT, le due tecniche ora descritte nel caso della discretizzazione su base stato vengono in letteratura indicate con Tecnica di campionamento e tenuta : discretizzazione con invarianza della risposta allo scalino o step invariant transform Tecnica di campionamento : discretizzazione con invarianza della risposta impulsiva o impulse invariant transform

24 Parte 7, 24 Considerazioni pratiche Come si fa, in pratica, a determinare le quantità Esistono delle formule esatte/approssimate che permettano un agevole determinazione delle quantità che ci interessano? La risposta è si!

25 Parte 7, 25 Formule esatte per step-invariant transform Formule approssimate per step-invariant transform

26 Parte 7, 26 Formule esatte per impulse-invariant transform Formule approssimate per impulse-invariant transform

27 Parte 7, 27 C2d su base equazioni di stato in Matlab Come si fa in Matlab ad ottenere la conversione da tempo continuo a segnali campionati, partendo da una descrizione su base stato? Il comando da utilizzare è c2d, con la sintassi c2d( sistema, Ts, metodo ) sistema: il sistema LTI descritto da un opportuna variabile Matlab; Ts: il valore del periodo di campionamento; metodo: specifica la tecnica di discretizzazione che si intende utilizzare. In particolare: zoh : discretizzazione con il metodo del campionamento e tenuta ; imp : discretizzazione con il metodo del puro campionamento

28 Parte 7, 28 Un esempio Vogliamo discretizzare il sistema descritto dalle equazioni di stato: Scegliamo come periodo di campionamento il valore Utilizziamo entrambi gli approcci, per confrontare i risultati.

29 Parte 7, 29 % definizione del sistema a tempo continuo Ac = [0 1;0-1]; Bc = [0; 10]; Cc = [1 0]; Dc = 0; % periodo di campionamento [s] Ts = 0.1; % in secondi Script Matlab: esercizioc2dstato.m sistema_c = ss(ac, Bc, Cc, Dc); % conversione con campionamento e tenuta sis_d_sample_hold = c2d( sistema_c, Ts, 'zoh') % conversione con campionamento puro sis_d_sample = c2d( sistema_c, Ts, 'imp')

30 Parte 7, 30 a = x1 x2 x x b = u1 x x c = x1 x2 y1 1 0 d = u1 y1 0 Sampling time: 0.1 Discrete-time model. Conversione con campionamento e tenuta Zero/pole/gain: (z ) (z-1) (z ) Sampling time: 0.1

31 Parte 7, 31 a = x1 x2 x x b = u1 x x c = x1 x2 y1 1 0 d = u1 y1 0 Sampling time: 0.1 Discrete-time model. Conversione con campionamento puro Zero/pole/gain: z (z-1) (z ) Sampling time: 0.1

32 Parte 7, 32 Risposta all impulso

33 Risposta allo scalino unitario: notare le differenze tra i due sistemi discretizzati. Parte 7, 33

34 Parte 7, 34 Ancora una considerazione sul periodo di campionamento Che cosa succede se il periodo di campionamento diviene arbitrariamente piccolo? Consideriamo soltanto il caso della conversione con campionamento e tenuta o step-invariant transform. Nel caso della impulse-invariant transform si possono esprimere considerazioni analoghe (Esercizio per casa ).

35 Parte 7, 35 Al decrescere del periodo di campionamento, l uscita a gradinata dello ZOH approssima sempre meglio un segnale continuo:

36 Parte 7, 36 Inoltre l equazione alle differenze che descrive l evoluzione dello stato, al decrescere del periodo di campionamento, si trasforma e si ottiene l equazione differenziale del sistema originale

37 Parte 7, 38 Il campionatore impulsivo Per modellare matematicamente questo comportamento, pensiamo di avere a disposizione un segnale impulsivo periodico (un treno di impulsi ) e di eseguire, formalmente, la moltiplicazione tra il segnale u(t) da campionare ed il treno di impulsi : Giustificheremo in seguito questo risultato (vedi CDParte7-slide 43 44).

38 Parte 7, 39 C2d su base fdt: artificio del campionatore e della tenuta Consideriamo lo schema a blocchi Evidentemente u S (t) è u(t) costante a tratti ( a gradinata ), ma u(t) già è costante a tratti!

39 Parte 7, 40 Osservazione Si ricordi lo schema visto in precedenza Segnale discreto Segnale costante a tratti

40 Il blocco campionatore + tenuta allora non modifica il segnale u(t) Lo schema è utile a risolvere però il nostro problema c2d poiché possiamo allora rielaborare la parte di schema a blocchi Parte 7, 41 nella cascata di queste fdt

41 Parte 7, 42 Sistema di mantenimento o tenuta di ordine 0 Il sistema descritto dalla FdT viene denominato sistema di mantenimento (o tenuta) di ordine 0 o Zero Order Hold ( ZOH ).

42 Analisi del campionatore + tenuta Parte 7, 43 Consideriamo un segnale a tempo continuo x(t) e lo schema ZOH Possiamo scrivere

43 Parte 7, 44

44 Parte 7, 45 In definitiva dove La X * (s) è la L-trasformata del segnale dopo il campionatore La fdt G H0 (s) può venire interpretata come la fdt tra X * (s) e H(s)

45 Parte 7, 46 Il segnale x * (t) è il prodotto di x(t) con un treno di impulsi di Dirac di area unitaria. Il segnale x * (t) può essere visto come l uscita di un campionatore impulsivo (chiaramente un astrazione).

46 Parte 7, 47 Abbiamo una caratterizzazione a tempo continuo dell insieme campionatore + tenuta ZOH I due schemi sono equivalenti, nel senso che danno la medesima relazione I/O

47 Parte 7, 48 A questo punto, data l espressione

48 Parte 7, 49 In definitiva la relazione ci permette di analizzare con la Z-trasformata sistemi contenenti campionatore e tenuta. La sostituzione matematica del campionatore reale e della tenuta con il campionatore impulsivo e la fdt G H0 (s) permette di scrivere un sistema equivalente a tempo continuo: utile in fase di analisi!

49 Parte 7, 50 Proprietà Vale la dove In definitiva la trasformata è periodica con periodo

50 Parte 7, 51 Cenni di dimostrazione Partiamo dalla relazione del campionamento ideale, trovata in precedenza Il segnale x * (t) è il prodotto di x(t) con un treno di impulsi di Dirac di area unitaria. Ho esteso la sommatoria: nessun problema perchè x(t) è causale.

51 Parte 7, 52 Indichiamo il treno di impulsi come segue Ne calcoliamo lo sviluppo in serie di Fourier:

52 Parte 7, 53 A questo punto La sua L-trasformata è Il segnale x * (t) è causale: posso allora estendere gli estremi del integrale ed utilizzare la L-trasformata bilatera senza problemi [mi serve la trasf. bilatera perché in realtà δ (t) è non causale].

53 Parte 7, 54 In definitiva Per la proprietà di modulazione in frequenza

54 Campionamento e informazione Parte 7, 55 In generale il problema di ricostruire il segnale a tempo continuo a partire dai campioni è mal posto nel senso che tale ricostruzione non è univoca. Informazione a priori su

55 Parte 7, 56 aliasing Esistono sinusoidi con periodo che producono gli stessi campioni

56 Parte 7, 57 no aliasing Non esistono sinusoidi con periodo che producono gli stessi campioni

57 Parte 7, 58 Aliasing e teorema del campionamento L operazione di campionamento fa sì che La L-trasformata del segnale campionato x * (t) sia costituita da infinite repliche della L-trasformata del segnale originario x(t), eventualmente parzialmente sovrapposte. Il piano di X * (s) è diviso allora in strisce di ampiezza Ω s, ognuna delle quali contiene tutta l informazione relativa al segnale campionato.

58 Parte 7, 59 Aliasing nel dominio della trasformata di Fourier Restringendo l analisi alle trasformate di Fourier, si evidenzia la medesima proprietà: il campionamento provoca la multiplazione dello spettro (la F-trasformata) del segnale x(t) nello spettro del segnale x * (t) La multiplazione dipende dal campionamento attraverso Ω s (oppure ). In particolare le repliche possono essere parzialmente sovrapposte le une alle altre. Che cosa succede in queste condizioni?

59 Parte 7, 60 Per comprendere che cosa succede, analizziamo il problema dapprima con gli spettri del segnale x(t) e x * (t) Nel caso di sovrapposizione delle repliche dello spettro, le componenti ad alta frequenza delle repliche contribuiscono a formare lo spettro del segnale campionato, sommandosi a componenti in bassa frequenza. Il fenomeno di sovrapposizione degli spettri prende il nome di aliasing o equivocazione in frequenza: quando è presente non è possibile risalire allo spettro del segnale originario partendo dallo spettro del segnale campionato. In presenza di aliasing, il segnale campionato è rappresentazione distorta del segnale originario. una

60 Parte 7, 61 Per meglio comprendere il fenomeno, supponiamo che lo spettro del segnale x(t) [a banda limitata] sia puramente reale (per semplicità) ed analizziamo graficamente i casi di Sovrapposizione parziale delle repliche: Ω s < 2 Ω B Sovrapposizione puntuale delle repliche: Ω s = 2 Ω B Non sovrapposizione delle repliche: Ω s > 2 Ω B Sia questo lo spettro del segnale originario, a tempo continuo

61 Parte 7, 62 Repliche non sovrapposte: Ω s > 2 Ω B Repliche Non c è sovrapposizione degli spettri, quindi non c è distorsione: no aliasing. Per ricostruire il segnale a tempo continuo originario è sufficiente un filtro passabasso (fisicamente realizzabile).

62 Parte 7, 63 Repliche che si toccano: Ω s = 2 Ω B Non c è sovrapposizione degli spettri, quindi non c è distorsione: no aliasing. Per ricostruire il segnale a tempo continuo è però necessario un filtro ideale non causale (ricostruttore di Shannon).

63 Parte 7, 64 Repliche sovrapposte: Ω s < 2 Ω B Spettro complessivo C è sovrapposizione degli spettri, quindi c è distorsione: aliasing. Non è più possibile ricostruire il segnale a tempo continuo originario!

64 Parte 7, 65 Teorema del campionamento In generale, se il segnale a tempo continuo è a banda limitata e se è ricostruibile univocamente a partire dai campioni Pulsazione di Nyquist

65 Parte 7, 66 Filtri anti-aliasing Il segnale analogico, a tempo continuo, x(t) non è in generale un segnale a banda limitata Ad es. per la presenza di rumore la banda del segnale da campionare è illimitata Per ridurre gli effetti dell aliasing in questi casi (che sono i più comuni) si prefiltra il segnale con un filtro anti-aliasing. Si vuole far in modo che il segnale da campionare non presenti uno spettro con componenti significative a pulsazioni maggiori di una pulsazione prefissata, in modo da ridurre la distorsione generata dal campionamento (multiplazione dello spettro )

66 Parte 7, 67 Filtri anti-aliasing (2) Filtro anti-aliasing L informazione utile di è confinata in Per esempio: filtro passa-basso con banda passante Pulsazione di campionamento

67 Parte 7, 68 Aliasing nel dominio della L-trasformata Il piano della L-trasformata del segnale campionato X * (s) può essere descritto tramite la sovrapposizione di strisce, di ampiezza costante, ognuna contenente la medesima configurazione. Le strisce del piano di X * (s) possono contenere ciascuna tutta l informazione corretta (configurazione dei poli) oppure può esserci una parziale sovrapposizione delle configurazioni dei poli delle varie strisce. L effetto è ancora la distorsione del segnale, passando da segnale a tempo continuo a segnale campionato.

68 Parte 7, 69 Per giustificare l affermazione fatta, riconsideriamo la relazione Consideriamo un punto s del piano della L-trasformata X * (s) ed analizziamo gli effetti della relazione imposta dal campionamento

69 Parte 7, 70 La corrispondenza tra piano s e piano z non è biunivoca! Tuttavia è possibile dividere il piano s in strisce orizzontali di ampiezza pari a Ω s, in modo tale che ciascuna striscia sia in corrispondenza biunivoca con il piano z. La striscia di piano s delimitata dalle rette orizzontali viene chiamata striscia primaria S 0. Tutte le altre (ottenibili per traslazione verticale) sono dette strisce complementari.

70 Strisce complementari Parte 7, 71 Striscia primaria S 0

71 Parte 7, 72 Autovalori del sistema a segnali campionati L effetto del campionamento non si limita alla multiplazione in strisce del piano della L-trasformata X * (s). Ciascuna striscia contiene in realtà la medesima configurazione per quanto riguarda i poli (poli di X * (s) nella striscia [si ricordi che X * (s) è periodica!] ). La configurazione dei poli in ciascuna striscia può corrispondere a quella originaria di X(s), oppure esserne una copia distorta per aliasing. Dipende dall ampiezza della striscia primaria, quindi dal periodo di campionamento!

72 Parte 7, 73 Per comprenderlo, consideriamo nuovamente la relazione ed analizziamo come si modificano i modi di un sistema dinamico a tempo continuo sottoposto a campionamento. Consideriamo al solito solo la step invariant transform. Già sappiamo che valgono le

73 Parte 7, 74 Consideriamo allora due modi del sistema a tempo continuo che differiscano solo per la parte immaginaria. In particolare sia La relazione del campionamento porta a In sostanza il campionamento porta ad essere indistinguibili a tempo discreto due modi che, a tempo continuo, erano distinti. In particolare sono indistinguibili a tempo discreto modi a tempo continuo associati ad autovalori con medesima parte reale (stessa rapidità di transitorio) ma con parti immaginarie differenti per multipli interi della pulsazione di campionamento.

74 Parte 7, 75 Si può pensare che nel campionamento tutte le strisce vengano traslate sopra la striscia primaria S 0, assieme agli autovalori del sistema continuo che contenevano. Dopodiché la striscia S 0, col suo contenuto, viene mappata tramite la relazione del campionamento sul piano z. In questo modo però autovalori che vanno a sovrapporsi in S 0, diventano indistinguibili dopo il campionamento: aliasing! autovalori col modulo della parte immaginaria maggiore di π/ (Ω N ) vengono equivocati con autovalori a più bassa frequenza: aliasing! Scegliendo opportunamente, l ampiezza di S 0 è tale da contenere tutti gli autovalori, quindi evitando la distorsione.

75 Parte 7, 76 La striscia primaria contiene tutti i poli di X(s): no aliasing.

76 Parte 7, 77 Ci sono dei poli sul confine tra striscia primaria e strisce complementari: ancora no aliasing.

77 Parte 7, 78 I poli di X(s) al di fuori della striscia primaria tornano nella striscia primaria come poli a bassa frequenza come effetto della multiplazione delle strisce: aliasing. A L I A S I N G

78 Parte 7, 79 Un esempio Da matlab c2d

79 Parte 7, 80 Osservazioni Al variare del periodo di campionamento variano chiaramente i modi del sistema a tempo discreto ottenuto per campionamento. In particolare si noti che per 0 si ha che Tutti gli autovalori del sistema a tempo discreto ottenuto per campionamento si addensano attorno al punto 1 al diminuire del periodo di campionamento.

80 Parte 7, 81 Luoghi in s e corrispondenti in z Data la relazione del campionamento come si modificano i luoghi a smorzamento costante, quelli a pulsazione costante, quelli a pulsazione naturale costante oppure quelli a decadimento esponenziale costante?

81 Parte 7, 82 Luoghi a decadimento esponenziale costante

82 Parte 7, 83 Luoghi a pulsazione costante

83 Parte 7, 84 Luoghi a smorzamento costante Spirale logaritmica

84 Parte 7, 85 L espressione analitica del luogo è

85 Parte 7, 86 La relazione ottenuta è quella che descrive una spirale logaritmica. I luoghi (semirette) a smorzamento costante nel piano s tuttavia intersecano sia la striscia primaria che quelle complementari. Per garantire biunivocità allora i luoghi nel piano s devono essere ristretti ai segmenti (delle semirette) con estremi rispettivamente nell origine e nell intersezione dei luoghi con i bordi della striscia primaria.

86 Parte 7, 87 Nel piano z le curve a smorzamento costante sono allora formate dall unione di parti di spirale (simmetriche rispetto all asse orizzontale) e sono dette cardioidi.

87 Parte 7, 88 Luoghi a pulsazione naturale costante

88 Parte 7, 89 L espressione analitica del luogo è data da

89 Parte 7, 90 Con le posizioni si ottiene In definitiva Ancora una volta, la corrispondenza biunivoca è garantita soltanto per le curve all interno della striscia primaria del piano s, cioè per Ω n Ω s /2. Con questa limitazione è possibile disegnare i luoghi a pulsazione naturale costante in s ed i corrispondenti luoghi nel piano z.

90 Parte 7, 91

91 Parte 7, 92 Ed in Matlab? Tramite le istruzioni sgrid e zgrid è possibile disegnare, rispettivamente nel piano s di una FdT F(s) oppure nel piano z di una FdT F(z), un insieme di curve dei luoghi a smorzamento costante/a pulsazione naturale costante. In particolare sgrid(z, Wn) / zgrid(z, Wn) disegna l insieme dei luoghi a smorzamento costante individuati dai valori di smorzamento assegnati nel vettore Z, L insieme dei luoghi a pulsazione naturale costante individuati dai valori di pulsazione contenuti nel vettore Wn. Se non presenti i vettori Z, Wn, vengono disegnati i luoghi per valori predefiniti di smorzamento e pulsazione naturale.

92 Parte 7, 93 Esempi Un primo esempio per un sistema a tempo continuo definito da una FdT: fdt = tf([1 2],[1 2 3]); figure;pzmap(fdt);sgrid;

93 Parte 7, 94 Esempi Un secondo esempio per un sistema a tempo discreto descritto da una FdT: fdt = tf([2 1],[3 2 1 ],0.5); figure;pzmap(fdt);zgrid;

94 Z-trasformata della cascata Parte 7, 95

95 Parte 7, 96 Esempio

96 Campionatore e tenuta: schema a blocchi equivalente Parte 7, 97

97 Parte 7, 98 Questo è il sistema a tempo discreto che vede il regolatore. In sostanza si deve determinare il termine

98 Parte 7, 99 Giustificazione della formula Quel che segue NON è la dimostrazione della formula, ma soltanto una sua semplice giustificazione! Inoltre questa giustificazione illustra un metodo di calcolo della FdT cercata G(z).

99 Parte 7, 100 Supponiamo di applicare allo schema in figura come ingresso un gradino unitario, campionato con periodo. In uscita dall organo di tenuta troviamo allora un gradino unitario a tempo continuo! Ciò permette di calcolare facilmente la risposta y(t), come risposta al gradino unitario, a tempo continuo, di G(s).

100 Parte 7, 101 A questo punto non rimane che campionare il segnale ottenuto, determinarne la Z-trasformata ed infine determinare l espressione della FdT cercata G(z):

101 Parte 7, 102 Discretizzazione per invarianza della risposta al gradino La giustificazione che è stata utilizzata per l espressione può spiegare anche il nome con cui la tecnica di discretizzazione è nota in letteratura: la discretizzazione per campionamento e tenuta (di ordine 0) viene anche detta discretizzazione ad invarianza della risposta allo scalino unitario o step invariant transform

102 Parte 7, 103 Discretizzazione per invarianza della risposta al gradino Step invariant transform i campioni della risposta allo scalino unitario del sistema dinamico a tempo discreto ottenuto applicando lo schema con campionatore e tenuta (di ordine 0) hanno il medesimo valore che assume la risposta allo scalino unitario del sistema dinamico originario a tempo continuo negli istanti di tempo considerati (gli istanti di campionamento).

103 Parte 7, 104 Discretizzazione per invarianza della risposta al gradino Su base stato

104 Parte 7, 105 Discretizzazione per invarianza della risposta al gradino Su base funzione di trasferimento

105 Parte 7, 106 Esempio

106 Parte 7, 107 Calcolo diretto dell espressione Si può dimostrare che l espressione cercata è determinabile tramite la formula seguente in cui Res( ) indica i residui associati ai poli della funzione considerata (funzione della variabile complessa λ).

107 Parte 7, 108 Giustificazione della formula per il calcolo diretto Quel che segue NON è la dimostrazione della formula, ma soltanto una sua semplice giustificazione! Supponiamo, per semplicità nei calcoli successivi, che il segnale d ingresso u(t) sia ancora un gradino unitario

108 Parte 7, 109 A questo punto scriviamo per il segnale d uscita campionato y * (t) Ora vale la relazione

109 Parte 7, 110 È possibile esprimere la L-trasformata di y * (t) come segue [teorema della circuitazione complessa, valido per la trasformata di Laplace] Ricordando come è stata determinata Y(s)

110 Parte 7, 111 Ora in base alla relazione del campionamento si ottiene Si tratta di un integrale di linea, calcolato lungo una linea chiusa nel piano complesso, all interno della regione di convergenza della L-trasformata, che racchiude tutte le singolarità della funzione integranda. Per il teorema dei residui allora

111 Parte 7, 112 Infine la FdT cercata altro non è che cioè

112 Parte 7, 113 Richiami dall analisi di funzioni di variabile complessa Data una funzione F(z) di variabile complessa (ed in generale a valori complessi), analitica [a meno di un numero finito di punti del dominio] ed olomorfa, si definisce Polo un punto singolare isolato z 0 nel dominio di F(z), tale che sia

113 Parte 7, 114 Sviluppo in serie di Laurent

114 Parte 7, 115 Sia F(z) una funzione analitica in un dominio A, z 0 un punto singolare isolato e γ una curva contenuta in A e contenente z 0. Si definisce residuo della funzione F(z) in z 0 : Dall'equazione dello sviluppo in serie di Laurent si vede subito che: Quindi il residuo di una funzione in un polo è il coefficiente della potenza (-1)-esima dello sviluppo in serie di Laurent intorno a questo punto.

115 Parte 7, 116 Esempio Residui da calcolare per

116 Parte 7, 117 Residuo in λ = 0

117 Parte 7, 118 Residuo in λ = -a

118 Parte 7, 119 In definitiva

119 Parte 7, 120 Esercizio per casa Determinare in entrambi i modi l espressione della FdT ottenuta discretizzando per campionamento (campionamento e tenuta) i sistemi dinamici a tempo continuo

120 Parte 7, 121 Impulse-invariant transform Facciamo ora riferimento allo schema a blocchi e vogliamo trovare una formula per convertire per puro campionamento il sistema descritto dalla FdT G(s), in maniera analoga a quanto già fatto su base stato:

121 Parte 7, 122 Impulse-invariant transform In maniera analoga a quanto fatto nelle slide si ottiene l espressione La giustificazione per l espressione può spiegare anche il nome con cui la tecnica di discretizzazione è nota in letteratura: la discretizzazione per puro campionamento viene anche detta discretizzazione ad invarianza della risposta all impulso o impulse invariant transform

122 Parte 7, 123 Discretizzazione per invarianza della risposta all impulso impulse invariant transform i campioni della risposta all impulso del sistema dinamico a tempo discreto ottenuto applicando lo schema con campionatore hanno il medesimo valore che assume la risposta all impulso del sistema dinamico originario a tempo continuo negli istanti di tempo considerati (gli istanti di campionamento).

123 Parte 7, 124 Calcolo diretto dell espressione In maniera analoga a quanto fatto nelle slide , si può dimostrare che l espressione cercata è determinabile tramite la formula seguente in cui Res( ) indica i residui associati ai poli della funzione considerata (funzione della variabile complessa λ).

124 Parte 7, 125 Esercizio per casa Determinare in entrambi i modi l espressione della FdT ottenuta discretizzando per puro campionamento i sistemi dinamici a tempo continuo Si confrontino i risultati con quelli trovati in precedenza.

125 Parte 7, 126 Zeri del sistema a segnali campionati È possibile indagare sulla posizione degli zeri del sistema a segnali campionati, in maniera analoga a quanto fatto per i poli/autovalori? Sarebbe utile poter determinare il numero e la collocazione degli zeri del sistema a segnali campionati, in funzione del numero di zeri/poli del sistema a tempo continuo e del periodo di campionamento scelto [in maniera analoga a quanto visto per poli/autovalori fin qui]. Purtroppo è una questione non banale: riusciremo a dare solo risultati qualitativi! Inoltre analizziamo soltanto la discretizzazione per campionamento e tenuta!

126 Parte 7, 127 Cominciamo con un esempio, dal quale poi trarremo delle considerazioni di carattere generale: Un solo polo e nessuno zero, come la FdT a tempo continuo di partenza E se il polo in s=0 fosse multiplo? Vale ancora la considerazione appena fatta? No!

127 Parte 7, 128 Infatti: Polo multiplo, corrispondente a quello della FdT originaria. La FdT G(z) stavolta presenta (n-1) zeri, reali e distinti, mentre la FdT originaria non ne ha!

128 Parte 7, 129 Proprietà: Le radici dei polinomi A n (z) [cioè gli zeri della FdT in questione a segnali campionati] sono tutte reali, negative ed al crescere di n alcune possono avere modulo maggiore di 1: Vale che:

129 Parte 7, 130 Zeri del campionamento Ora generalizziamo: come già detto in precedenza riusciremo a dare solo risultati qualitativi! Consideriamo un sistema LTI a tempo continuo, descritto da una FdT strettamente propria e la scriviamo in forma fattorizzata come segue:

130 Parte 7, 131 Partendo da una FdT approssimata vogliamo ottenere informazioni utili sul numero e sulla dislocazione degli zeri della FdT (completa, non approssimata) del sistema a segnali campionati. Rielaboriamo la FdT nel modo seguente: mettendo in evidenza un termine asintotico :

131 Parte 7, 132 Se ora si discretizza la FdT approssimata (con campionamento e tenuta ) si ritrova un risultato simile a quello visto in precedenza La FdT discretizzata possiede ( n-m ) poli in z = 1, (n-m-1 ) zeri coincidenti con le radici del polinomio A n-m ( z ). Che cosa posso dire a proposito della discretizzazione della FdT di partenza? Dove sono e quanti sono gli zeri di G (z )? Ed i poli?

132 Parte 7, 133 Dato che possiede n poli, anche deve possedere n poli, secondo la formula fondamentale del campionamento Modifico allora l espressione di possieda n poli per far si che anch essa Che relazione esiste ora tra e, tra e?

133 Parte 7, 134 L ipotesi corrisponde, in frequenza, a considerare Possiamo allora affermare che, a pulsazioni molto elevate vale che Ma allora, se la discretizzazione (il passaggio da a ) viene eseguita con periodo di campionamento, cioè con, posso affermare che

134 Parte 7, 135 Zeri del campionamento In definitiva, se allora valgono le proprietà 1. gli m zeri di generano m zeri di ; per questi zeri di seguono la legge del campionamento Sempre per questi m zeri di tendono a coincidere tutti nel punto

135 Parte 7, 136 Zeri del campionamento 2. Quando si ha allora nascono zeri del campionamento, che per tendono alle radici del polinomio Questi risultati sono validi solo asintoticamente (per e per ). Forniscono tuttavia informazioni utili anche per periodo di campionamento abbastanza piccolo, cioè per (quindi per ) abbastanza elevata rispetto alla dinamica di

136 Parte 7, 137 Zeri del campionamento: considerazioni finali Per valori elevati di (e quindi di ) rispetto alla dinamica di, tutti i poli e zeri di si trasformano in poli e zeri di prossimi al punto Ciò provoca problemi di carattere numerico, a causa di quasi cancellazioni che possono rendere molto difficile il progetto di un regolatore digitale a partire da Inoltre gli eventuali zeri del campionamento si trovano sempre sull asse reale negativo e, per, sono vicini alle radici di. Ciò significa che può avere zeri esterni al cerchio di raggio 1 e centro l origine nel piano z, quindi può essere a fase non minima anche se invece è a fase minima.

137 Parte 7, 138 Guadagno e tipo del sistema a segnali campionati Continuiamo ad analizzare la discretizzazione con campionamento e tenuta. Stavolta vogliamo confrontare il guadagno statico del sistema a tempo continuo e quello del sistema a segnali campionati o eventualmente il tipo ed il guadagno generalizzato. Se il sistema è un tipo 0 allora vale che Il guadagno statico si conserva

138 Parte 7, 139 La relazione si può dimostrare formalmente utilizzando le relazioni ed intuitivamente, ricordando che se il sistema a tempo continuo si trova all equilibrio con ingresso ed uscita, il sistema campionato si trova anch esso all equilibrio con i medesimi valori in ingresso ed in uscita.

139 Parte 7, 140 E se il sistema a tempo continuo fosse un sistema di tipo g, con g > 0? Si può dimostrare che allora anche il sistema discretizzato con campionamento e tenuta è di tipo g e che valgono le relazioni dove è il periodo di campionamento.

140 Parte 7, 141 Scelta del periodo di campionamento La scelta del periodo di campionamento, oppure della pulsazione di campionamento Ω s, va effettuata tenendo conto di varie esigenze. Vediamo le esigenze più significative.

141 Parte 7, 142 Scelta del periodo di campionamento Campionamento ed informazione: La pulsazione di campionamento Ω s va commisurata alla dinamica desiderata per il sistema retroazionato. Supponendo al solito che il sistema di controllo (nel suo complesso) si comporti da filtro passa-basso nei confronti del segnale di riferimento e che l estremo superiore della banda passante desiderata per il sistema di controllo sia, allora dovrà valere la relazione

142 Parte 7, 143 Scelta del periodo di campionamento Campionamento ed informazione: Se approssimiamo (al solito) la banda passante con la pulsazione critica allora Effetto del filtro anti-aliasing: È buona norma imporre che sia (filtro LP non ideale, quindi ). A pulsazioni prossime a Ω LP il filtro può sfasare molto (es. Butterworth di ordine n sfasa di n 45 alla sua pulsazione critica). Questo sfasamento deve avvenire ad una pulsazione molto superiore a quella critica del controllo!

143 Parte 7, 144 Scelta del periodo di campionamento Costo dei dispositivi: Al crescere della pulsazione di campionamento Ω s aumenta il costo dei dispositivi di conversione A/D e D/A. Aumenta inoltre la potenza di calcolo richiesta per l unità di elaborazione che dovrà realizzare la legge di controllo. Ciò suggerisce di non utilizzare valori di inutilmente piccoli (o equivalentemente valori di Ω s troppo elevati ).

144 Parte 7, 145 Scelta operativa Riassumendo, in tutti i casi in cui sia nota a priori almeno una stima della pulsazione critica Ω c del sistema di controllo che si vuole realizzare, le considerazioni precedenti portano a fare la scelta

145 Parte 7, 146 Osservazioni È un indicazione di massima! Non va utilizzata in maniera acritica: l indicazione fornita dalla formula va adattata ed interpretata caso per caso, anche alla luce di altre ulteriori specifiche informazioni (costi, prestazioni, ingombri, potenza di calcolo, consumi di energia elettrica dei vari dispositivi coinvolti ad esempio NON approfondiamo).

146 Parte 7, 147 Osservazioni: scelta del periodo e numero di campioni nel transitorio Consideriamo il caso (tipico) in cui il sistema di controllo abbia due poli dominanti, con coefficiente di smorzamento (tipico) pari a In tal caso l intervallo di tempo d assestamento al 1% è pari a Utilizzando la formula per la scelta del campionamento descritta in precedenza si può scrivere che Per α pari a 5 ciò equivale ad avere tra 5 e 50 campioni nell intervallo di tempo dato dal tempo di assestamento al 1%.

147 Parte 7, 148 Seconda scelta operativa Ecco che così abbiamo una seconda formula che permette di scegliere l intervallo di campionamento, basata su considerazioni legate al numero di campioni nel transitorio della risposta al gradino a ciclo chiuso, piuttosto che alla banda del sistema di controllo.

148 Parte 7, 149 Esempio riassuntivo Consideriamo il sistema a tempo continuo descritto dalla FdT ha pulsazione critica pari a In base alle formule viste in precedenza allora posso scegliere

149 Parte 7, 150

150 Parte 7, 151 Voglio discretizzare il sistema utilizzando la tecnica di campionamento e tenuta con periodo di campionamento pari a Si noti che, dato che per il sistema originario il grado relativo è pari a 2 [ n-m=2 ] allora il processo di discretizzazione dà origine ad uno zero del campionamento in tutti i casi. Al diminuire del periodo di campionamento inoltre lo zero del campionamento diventa sempre più vicino allo zero corrispondente [asintotico] del polinomio

151 Parte 7, 152 Numericamente si ha

152 Parte 7, 153 E nell ultimo caso: A questo punto confrontiamo la configurazione zeri/poli delle tre FdT ottenute con i tre periodi di campionamento diversi: Come previsto si nota che: Al diminuire del periodo di campionamento i poli si addensano attorno al punto z=1 Al diminuire del periodo di campionamento lo zero del campionamento si avvicina sempre più al punto z=-1 (che è la radice di A 2 (z) ).

153 Parte 7, 154 Infatti

154 Parte 7, 155

155 Parte 7, 156