I numeri reali. La retta reale

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1 Capitolo 1 I numeri reali. La retta reale Alcuni brevi richiami sui numeri reali. Esempi: 5 = 5, = 0, = 0, (illimitato periodico) = 0, 3 3 = 1,414 (illimitato aperiodico) = 3,14159 (illimitato aperiodico) Geometricamente si possono rappresentare i numeri reali come punti su una retta: Retta Reale R negativi positivi numeri reali punti sulla retta, corrispondenza biunivoca (uno a uno) 0 né positivo né negativo. Diamo per note le quattro operazioni elementari (+, -, x, / ) e le loro proprietà. Proprietà di Completezza: comunque si scelgono due numeri reali x, y tali che x y(x minore o uguale a y) esiste sempre un numero reale compreso tra x e y [ non esistono ( ) buchi sulla retta reale ]. Sottoinsiemi di R : 1) N numeri naturali (interi positivi) {1,,3,4 }, N R ) Z numeri interi relativi {0, + 1, + }, Z R 3) Q numeri razionali, numeri cioè che possono essere espressi come frazioni m { : m,n Z, n 0 }, Q R n [ tale che, appartiene, diverso da, contenuto ]. 1

2 I numeri reali che non sono razionali sono chiamati irrazionali. Quindi 5 = 5,00000 N - 3 = - 0, Q = 0,3333 = 0, 3 Q [0,3 = =, frazione generatrice] = 1,414 R ( frazione generatrice) irrazionale = 3,14159 R ( frazione generatrice) irrazionale I numeri irrazionali non possono essere espressi sotto forma di frazione. Nota storica : Ricordiamo che π r è l area di un cerchio di raggio r. Archimede nel III secolo a.c. calcolò le prime due cifre decimali di π partendo da un esagono regolare inscritto in un cerchio di raggio unitario e raddoppiando per quattro volte il numero dei lati fino ad arrivare al calcolo dell area di un poligono regolare di 96 lati che approssimava l area del cerchio.. Un altro numero irrazionale noto sin dagli antichi Egizi e dai Greci è la Sezione Aurea di un segmento di lunghezza unitaria. A B Sia AB = 1 e x tale che 1-x : x = x : 1 x 1-x quindi x = 1-x x +x 1 = 0 x 1 = 5 1, x = x è da scartare perché negativa, quindi la soluzione è x 1 = 0, irrazionale. Tale numero è la sezione aurea del segmento AB. 1 Il suo reciproco Φ = 1, 618 è detto Rapporto Aureo. 0,618

3 Il rettangolo ABDC in figura è un Rettangolo Aureo in quanto il rapporto tra il lato maggiore AB e il minore AC è uguale al rapporto aureo. G C D AB = Φ, AF = 1 H A B F Ma anche il rettangolo FBDG è aureo in quanto BF = Φ - AF = Φ - 1 = 0,618 e BD 1 quindi = = 1,618 cioè il lato maggiore e il minore sono in rapporto aureo. BF 0, 618 Nota che il rettangolo FBDG è stato ottenuto da ABDC eliminando il quadrato AFGC costruito sul lato minore AC. Possiamo allora ripetere il procedimento sul rettangolo aureo FBDG eliminando il quadrato costruito sul lato minore GD (di lati GD e DH) ottenendo il rettangolo aureo di lati FB e BH. Ripetiamo la stessa costruzione eliminando in questo rettangolo il quadrato costruito sul lato minore BH ottenendo il rettangolo aureo di base FL e così via.unendo gli archi AG, GH, HL.. etc. costruiti nei quadrati successivi si ottiene una forma di spirale (logaritmica). E interessante notare come questa forma si trovi in natura nella struttura delle conchiglie (Nautilo) o nella disposizione dei semi di girasole. Non dimentichiamo poi che la forma di molte Galassie, tra cui la nostra, è una spirale. La piramide di Cheope e il Partenone sono costituiti da elementi che rispettano dei rapporti aurei. Nell arte del Rinascimento si ebbe un trionfo della sezione aurea come indice di armonia : la Venere del Botticelli, diverse opere di Leonardo da Vinci e Piero della Francesca rispettano le proporzioni auree e il matematico Luca Pacioli divulgò questo metodo di suddivisione armonica nel libro De Divina Proporzione illustrato da disegni di Leonardo da Vinci. 3

4 La facciata del Partenone racchiusa in un rettangolo aureo. Nella Piramide di Cheope l'altezza è approssimativamente la sezione aurea del lato della base. L UOMO VITRUVIANO La celebre immagine è conservata nel Gabinetto dei Disegni e delle Stampe delle Gallerie dell'accademia di Venezia 4

5 Il disegno vuole rappresentare la centralità dell'uomo, ed è oggi nelle tasche di tutti gli italiani e di molti europei, essendo il simbolo impresso sulla moneta da un euro. Leonardo lo realizzò nel 1490, riprendendo il testo del terzo libro del De Architectura del celebre architetto romano Vitruvio, riguardante le proporzioni umane: "Vetruvio architetto mette nella sua opera d'architettura che le misure dell'omo sono dalla natura distribuite in questo modo. Il centro del corpo umano è per natura l ombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si toccherà tangenzialmente, descrivendo un cerchio, l estremità delle dita delle sue mani e dei suoi piedi". E' così che Leonardo scriveva dell'opera che aveva appena realizzato. Il suo uomo si iscrive in modo perfetto, in piedi con le gambe e le braccia allargate, nelle figure geometriche considerate perfette: il cerchio e il quadrato. 5

6 6

7 Struttura a doppia elica del DNA umano. L'aria umida in rotazione sale a spirale e poi si allarga in quota. La Galassia M74 (a forma di spirale come la nostra). I semi di girasole crescono lungo due serie contrapposte di spirali logaritmic 7

8 Uragano LINDA, Oceano Pacifico,

9 Sul versante prettamente matematico, nel XX secolo l'avvento del computer e il potenziamento delle capacità di calcolo hanno permesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale rapporto aureo, altrimenti incalcolabile con i soli strumenti della mente umana; il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M.Berg con un IBM 1401 calcolandolo fino alla 4599^ cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla diecimilionesima. Di seguito fino al 1000 decimale: 1,

10 Un esempio nel moderno Design LA DIVINA PROPORZIONE DI VISCONTI PENNA n. 80 Anno 15 Maggio/Giugno!! "# $%& & '! ($)(* $ +,$! -. $& / $ +$! 0(1. 3.3!!$ 4! ++5$6 $!!+!7 $ 8! $ 9 : : : $ : ; $! $.! <=$!3 :45$.4 :5 : 4 :53, 6$ $ +.+ '! $!! $ 8 $ 7.$ (>?*$+8&$! < $ '&!$++ 10

11 '&!$++ 3!&!3 +$$ $ +$,$! $, +.+! - 4!AB5C;.$++! $.! D&!.$ + $ $ 6++$+.$$!+$+ &3 3!!! 3 $$ <$ $ 3! $!34)(* 5 4()(* 5 /$, $,!8$ 4$$ 5 + EFF$ +! $,!'! G H $ $ F! $!! (*F$+$! & 8$!'! 8 '!+$!+=$4 5$!,!!. $$+++ HHH < I ; &3 B001 ()(*$)() EFF (*#

12 Testata giornalistica registrata presso il Tribunale di Milano n. 40 del 30/01/1993 1

13 INTERVALLI sottoinsiemi di R Se a < b, il simbolo (a,b) indica tutti i numeri reali (infiniti) compresi tra a e b, esclusi a e b, (a,b) = {x:a<x<b}, a, b estremi dell intervallo a b intervallo chiuso [a,b ] = {x:axb} a e b sono compresi intervalli semiaperti [a,b ) = {x:ax<b} b non è compreso (a,b ] = {x:a<xb} a non è compreso Lunghezza dell intervallo = b a [3,5], 5 3 = Intervalli di lunghezza infinita es. [a,+) ={x: x a} 0 a (-, a] ={ x : x a} a R = (-, + ) Il simbolo (infinito) non indica un numero reale. 13

14 Applicazioni sugli intervalli: risolvere le seguenti disequazioni. x- 1 > x + 3 Soluz. x > x + 4 x > 4 ( 4, + ) è l insieme soluzione - x x 1 3 Soluz. x - 6 x + 3 7x 3, x 7 3 ( -, 7 3 ] 5 x-1 Soluz. caso 1: x 1 > 0, cioè, x > 1 (x-1)5 5x 5 7 5x 7 x 5 Cioè x { (1, + ) (-, 5 7 ] } = (1, 5 7 ] simbolo di intersezione. Un numero x appartiene all intersezione di due intervalli se appartiene ad entrambi gli intervalli

15 Caso : x 1 < 0, cioè, x < 1 (x 1)5 5x 5 7 5x, 7 x 5 x < 1 Insieme soluzione 7 x (-, 1) [7, + ) = {Ø} insieme vuoto ( la soluzione) 5 5 Quindi, Caso 1 e Caso soluzioni x (1, 5 7 ] {Ø} = (1, 5 7 ] U simbolo di unione. Un numero x appartiene all unione di due intervalli se appartiene ad almeno uno dei due. Disequazione quadratica: x + 1 > 4x Soluz. x - 4x + 1 >0 Richiamiamo il metodo di risoluzione di un equazione di secondo grado : x 4x + 1= 0 [A x + B x + C = 0 x 1, = B ± B A 4AC ] x 1, = x 1, = 4 ± ± 4 = 1 ± e quindi possiamo scrivere l equazione in forma fattorizzata: Tornando alla disequazione si ha: [x (1+)] [x (1 - )] = 0 (x 1 - )(x 1 + ) > 0 Nel caso che entrambe le parentesi sono positive si ha : x > 1+ e x > 1- x > 1+ cioè x ( 1+, + ) Nel caso che entrambe le parentesi sono negative si ha: x < 1+ e x < 1- x < 1- cioè x ( -, 1- ) 15

16 Quindi l insieme soluzione è: x ( -, 1 - ) U (1 +, + ) NOTA BENE : Le soluzioni della disequazione si trovano all'esterno dell'intervallo delle radici dell'equazione associata. REGOLA GENERALE : 1) Le soluzioni di una disequazione di secondo grado che ha il segno del coefficiente della x concorde con il verso della disequazione(>0, >0), si trovano all esterno dell intervallo delle soluzioni dell' equazione associata. ) Le soluzioni di una disequazione di secondo grado che ha il segno del coefficiente della x discorde dal verso della disequazione ( > 0, < 0), si trovano all interno dell intervallo delle soluzioni dell' equazione associata. Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) x = x se x 0 - x se x < 0 3 3, 0 0, -5 5 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente x rappresenta la misura della distanza tra x e 0 sulla retta dei numeri reali. xx Più in generale, la distanza tra due punti sull asse R sarà denotata da x - y x- x - y se x y - (x y) se x < y 16

17 x = 3 y = 7 x = y = = = Esempi: - x + = 6 cioè x = -4 oppure x- = 6 x - = 6 cioè x = 8 Nota Bene : x a Es. x < 3 - a x a (vale l'analogo con la diseguaglianza stretta) -x < 3, x < 0 x > -3, x < 0 x (-3, 0) e quindi 0,3 x < 3, x 0 x < 3, x 0 x [ ) cioè, x ( 3,0) [ 0,3) Analogamente = (-3,3) -3<x<3 Es. x a b Soluzione: a - b x a + b 3x 1-1 3x - 1 3x -1 3x 1 x 1,, 3 3x 1 3x 3 x 1 [ 3 1, + ) U (-,1] = [ 3 1, 1] 17

18 Geometricamente, interpretando il valore assoluto come distanza: 3x- = 3(x 3 ) = 3 x- 3 quindi 3 x 3 1 x Significa che la distanza di x da 3 non può superare 3 1. Risolvere i seguenti esercizi: 1) x -x 0, ) x 3 > 4x x 4 3) > 1+ x 4) 3x-7 < Esprimere sotto forma di frazione di interi i numeri razionali 0,1, 3, 7 1 Esprimere il numero razionale in forma decimale. 11 Svolgimento esercizi 3) e 4) Disequazione secondo grado x > 1+ 4 x 1) x x - 8 > 0 x > 0 oppure ) x x < 0 x - 8 < 0 x x - 8 = 0 x x 1 = 1 + = = = 1) x > 4, x x > 0 < - x (4, + ) ; 18

19 ) x x < 0 (-,4) x (,0) Quindi le soluzioni sono le x (,0) ( 4, + ). Valore Assoluto 3x 7 < 3x - 7 < 3x x 7 3 oppure 3x + 7 < 3x x Quindi le soluzioni sono le x [,3) (, ]= (,3) Oppure, più velocemente, usando la proprietà del valore assoluto - < 3x-7 < < 3x <+ +75 < 3x <9 3 5 < x < 3 9 =3 19

20 Coordinate cartesiane nel piano x, y assi coordinati, 0 origine. a coordinata x di P b coordinata y di P P(a,b) punto del piano di coordinate a e b Sistema di coordinate cartesiane. Piano cartesiano Corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie di coordinate (numeri reali). y II I x III IV Nel primo quadrante x e y hanno valori positivi Nel secondo quadrante x sono negativi e y positivi Nel terzo quadrante sia x che y sono negativi Nel quarto quadrante x sono positivi e y negativi 0

21 -Richiami di trigonometria- Consideriamo una circonferenza di raggio r = 1 e una coppia di assi cartesiani con l origine nel centro della circonferenza. La lunghezza dell arco AP è per definizione la misura in radianti dell angolo AÔP = t. Quindi la lunghezza di una semicirconferenza π è la misura in radianti dell angolo 180, π / sarà la misura in radianti di un angolo retto (90 ), π corrisponderà a 360 etc Definizione: t R si definiscono cos t = coordinata x del punto P sen t = coordinata y del punto P OQ = cost PQ = sent 1

22 essendo r = 1, risulta -1 cos t 1, -1 sen t 1 cioè cos t 1, sen t 1 Essendo OP=1, dal Teorema di Pitagora, si ha l identità notevole: sen t + cos t = 1 t R Risulta: A(1,0) cos0 = 1, sen0 = 0, C(-1,0) cosπ = -1, senπ = 0 B(0,1) cos π = 0, sen π = D(0,-1) cos π = 0, sen π = -1 cosπ = cos0 = 1, Gli angoli crescono in senso antiorario e decrescono in senso orario. Alcuni valori utili π 1 π 3 sen =, cos = 6 6 π π sen = cos = 4 4

23 π 3 π 1 sen =, cos = 3 3 Definizione di tangente OB = 1 I triangoli OPA e OTB sono simili (rettangoli) perché hanno tre angoli uguali e quindi TB OB PA sen t = = TB = OA cos t sen t cos t tan t tangente di t Nota che OB:OA =OT:OPOB = OT cos t cioè, il cateto OB è uguale all ipotenusa OT per il coseno dell angolo adiacente. In generale, si ha che in ogni triangolo rettangolo valgono le relazioni BA = OB sen OA = OB cos BA = OA tan OA = OB sen β = OB cos 3

24 Inoltre valgono le seguenti relazioni per la somma o differenza tra angoli sen( β ± ) = sen β cos ± cos β sen cos( β ± ) = cos β cos sen β sen e quindi OA=OBsen β =OBsen [π - ( = OB(sen π cosα +cos π senα )= OBcosα π π + α )]=OBsen( +α )= Esempio π Determinare OA e AB se OB= e α = 3 π 1 π 3 OA=cos = = 1, AB=sen = = Verifica : OA + AB = 1 +3 = 4 = OB ELEMENTI DI GEOMETRIA NEL PIANO Distanza fra due punti P(x 1, y 1 ) e Q(x, y ) 4

25 Denotiamo con x = x x 1 l'incremento della variabile x e con y = y y1 quello della variabile y che si ottiene nel passare dal punto P(x 1, y 1 ) al punto Q(x,y ). Dal teorema di Pitagora si ha: PQ = ( x) + y) Esempi: = (x x ) + (y y 1 1) 1) Una particella si muove dal punto P(3,) al punto Q(-1,-). trovare gli incrementi x e y e la distanza da P a Q. x = -1-3 = -4, y = - - = - 4 PQ = = 3 = 4 ) Trovare la distanza di P(x, y) dall origine 0(0, 0) PO = x + y Retta passante per i punti P 1 e P con y > y 1 e x > x 1 P 1 P Pendenza, m, positiva : m = y y = y1 x x x1 > 0 la retta sale verso destra 5

26 Pendenza, m, negativa, y < y 1, x > x 1 la retta discende verso destra m = y y = y1 x x x1 < 0 y < y 1 NOTA BENE : m ha lo stesso valore per qualunque coppia di punti scelti sulla retta Esempio La pendenza della retta che passa per P 1 (-1, ) e P (1,1) è m = = 1 Inclinazione: angolo Φ misurato in senso antiorario a partire dalla direzione positiva dell asse x, 0 Φ 180 6

27 La pendenza di una retta verticale è indefinita essendo una retta verticale è 9O. L'inclinazione di una retta orizzontale è di O. x = O, ma l'inclinazione di Dalla definizione di tangente data precedentemente si ha : y senφ m = = = tanφ x cosφ ( m viene anche chiamato coefficiente angolare della retta) Rette parallele: stessa inclinazione e quindi stessa pendenza m = m 1 Rette ortogonali : m = - m' (reciproco negativo l'una dell'altra) π 7

28 Equazioni delle rette. x = b, y R equazione della retta verticale passante per P(b, 0) y = a, x R equazione della retta orizzontale passante per P(0, a) Equazione della retta non verticale, L, passante per P(x 1, y 1 ) e pendenza m P(x 1,y 1 ) P(x,y) Dalla definizione della pendenza m, si ha che P(x, y) L m = y - y x - x 1 1 y= m(x-x 1 ) + y 1 y = mx + q, con q= y 1 mx 1 equazione esplicita della retta Cioè, conoscendo m e le coordinate di un punto sulla retta possiamo scrivere l'equazione della corrispondente retta. 8

29 Se invece conosco le coordinate di due punti allora posso calcolare m e quindi l equazione di una retta passante per due punti assegnati, P 1 e P, sarà: y y1 y = (x - x1) x x 1 + y 1 essendo m = y x y x 1 1 Esempio: trovare l equazione della retta con pendenza - e passante per il punto (1,4). y - 4 = y -4 = - (x-1) y = -x +6 x -1 GRAFICO x = 0 y = 6 intercetta con l asse y y = 0 x = 3 intercetta con l asse x x y P 1 (1,4) e P (,) sono sulla retta 1 4 9

30 Equazione implicita della retta. Ax + By = C Esempio: trovare la pendenza della retta 3x + 4y = 1 e disegnare il grafico. Soluzione: 4y = -3x + 1 y = 3 1 x + y = x + 3, quindi m = Esempio: La relazione tra gradi Fahrenheit (F) e gradi Celsius (C) per misurare la Temperatura è data da una relazione lineare, cioè da una equazione lineare della forma F = mc + b. Il punto di congelamento dell acqua è C = 0 C e F = 3 F. Il punto di ebollizione è F = 1 F e C = 100 C (a pressione ambiente) Trovare m. QUINDI 3 = m 0 + b, 1 = 100 m + b b = 3, m = = 5 9 F = 5 9 C + 3 oppure C = 9 5 (F 3) equazioni che consentono di convertire i gradi F in C e viceversa. 30

31 Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-, -) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x = -5 e y = 1. Da dove è partita? )Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -3) e sullo stesso grafico disegnare la retta C = F. esiste una temperatura per la quale C e F sono uguali? 3)Trovare l intercetta y della retta passante per i punti (,1) e (3,-1). 4)Trovare i punti di intersezione delle rette 3x + 4y = -6 e x 3y = 13. 5)Trovare le equazioni delle rette passanti per P(,1) che siano a) Parallela a y = x + b) Perpendicolare a y = x +. 31